安徽省合肥市庐江县_学年高一数学下学期期末试卷(含解析)【含答案】

2023-2024学年安徽省合肥市庐江县高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A ＝{x |﹣1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∪（∁R B ）＝（ ） A ．{x |x ＞1}B ．{x |x ≥﹣1}C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}2．下列四组函数中f （x ）与g （x ）是同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝2lgx ，g （x ）＝lgx 2B ．f(x)=(12)x ，g(x)=x 12C ．f （n ）＝2n +1（n ∈Z ），g （x ）＝2x +1（x ∈R ）D ．f （x ）＝|x |，g(x)=√x 23．若命题p ：1a＞−1，q ：a ＜﹣1，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知lga +lgb ＝0，函数f （x ）＝a x 与函数g （x ）＝﹣log b x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），且函数f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，若a =f(2cos 23π)，b =f(log 124.1)，c =f(20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜c ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b6．将函数y ＝2sin （2x +π6）的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．y ＝2sin （2x +π4）B ．y ＝2sin （2x +π3）C ．y ＝2sin （2x −π4）D ．y ＝2sin （2x −π3）7．已知常数a ＞0，函数f(x)=3x3x +ax经过点P(p ，85)，Q(q ，−35)，若3p +q ＝16pq ，则a 的值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．28．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a ，若cos(a 4π−θ)=13，则sin2θ＝（ ）A ．−79B ．−29C ．29D ．79二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 B ．若﹣2＜a ＜3，1＜b ＜2，则﹣4＜a ﹣b ＜2C ．若b ＜a ＜0，m ＜0，则m a＞m bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd10．德国数学家狄利克雷（1805～1859）在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数D （x ），即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．以下关于狄利克雷函数D （x ）的性质正确的有（ ） A ．D(√2)=0 B ．D （x ）的值域为{0，1}C ．D （x ）为奇函数D ．D （x ﹣1）＝D （x ）11．下列四个等式中正确的是（ ）A ．tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°=√3B ．√3tan12°−3sin12°(4cos 212°−2)=−4√3C ．sin （2024π﹣θ）＝sin θD ．tan15°1−tan 215°=√3612．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f （1﹣x ）＝﹣f （1+x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2+x ﹣2，则（ ）A ．f （x ）是以2为周期的周期函数B ．f （x ﹣2）+f （﹣4﹣x ）＝0C ．f （0）+f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2022）+f （2023）＝2D ．函数y ＝f （x ）﹣log 2（x +1）有3个零点 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．命题p ：∀x ＞1，x 3＞x 2，则p 的否定是 ． 14．已知函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）•x m ﹣2是幂函数，且在（0，+∞）上递增，则实数m ＝ ． 15．已知正实数x ，y 满足x +2y ＝3，则1x+1+12y的最小值为 ．16．已知函数f(x)={|log 3(x −1)|，1＜x ≤4x 2−10x +25，x ＞4，若方程f （x ）＝n 有4个解分别为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)= ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算下列各式的值：（1）(0.027)−13+√(π−3)2+212×√186；（2）lg 25+lg 22+lg2⋅lg25+log 25⋅log 258+e ln2．18．（12分）已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣a ）＜0}，B =[−1，√5)． （1）若a =√6，求∁R A ，A ∩B 及A ∪B ； （2）若A ⊆B ，求a 的取值范围．19．（12分）已知函数f （x ）＝2cos x （√3sin x +cos x ）﹣1． （1）求f （x ）的周期和单调区间；（2）若f （α）=85，α∈（π4，π2），求cos2α的值．20．（12分）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条线段围成．设圆弧AB ̂、CD ̂所在圆的半径分别为r 1、r 2米，圆心角为θ（弧度）． （1）若θ=2π3，r 1＝3，r 2＝6，求花坛的面积； （2）根据公司要求扇环形状的花坛面积为32平方米，已知扇环花坛的直线部分的装饰费用为45元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，求当装饰费用最低时线段AD 的长．21．（12分）已知函数f(x)=log 3x ⋅log 3(3x)，函数g （x ）＝4x ﹣2x +1+2．（1）求函数f （x ）的最小值；（2）若∀m ∈[﹣1，2]，不等式f （x ）﹣g （m ）≥0成立，求实数x 的取值范围．22．（12分）某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．（1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价x （x ≥16）元，并投入334（x ﹣16）万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少0.8(x−15)2万瓶，则当每瓶售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润． （提示：月总利润＝月销售总收入﹣月总成本）2023-2024学年安徽省合肥市庐江县高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A ＝{x |﹣1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∪（∁R B ）＝（ ） A ．{x |x ＞1}B ．{x |x ≥﹣1}C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解：由A ＝{x |﹣1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，所以∁R B ＝{x |x ≥1}，所以A ∪（∁R B ）＝{x |x ≥﹣1}． 故选：B ．2．下列四组函数中f （x ）与g （x ）是同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝2lgx ，g （x ）＝lgx 2B ．f(x)=(12)x ，g(x)=x 12C ．f （n ）＝2n +1（n ∈Z ），g （x ）＝2x +1（x ∈R ）D ．f （x ）＝|x |，g(x)=√x 2 解：f （x ）＝2lgx ，则函数f （x ）的定义域为{x |x ＞0}， g （x ）＝lgx 2，则g （x ）的定义域为{x |x ≠0}，定义域不同，不是同一函数；故A 错误；函数f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为{x |x ≥0}，定义域不同，不是同一函数；故B 错误； 函数f （n ）的定义域为Z ，g （x ）的定义域为R ，定义域不同，不是同一函数，故C 错误；f （x ）＝|x |，g （x ）=√x 2=|x |，二者的解析式相同，定义域相同，映射关系相同，值域相同，故是同一函数，故D 正确． 故选：D ．3．若命题p ：1a＞−1，q ：a ＜﹣1，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由p ：1a＞−1解得a ＜﹣1或a ＞0，q ：a ＜﹣1，∴可知（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）⫌（﹣∞，﹣1）， ∴p 是q 的必要不充分条件． 故选：B ．4．已知lga +lgb ＝0，函数f （x ）＝a x 与函数g （x ）＝﹣log b x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵lga +lgb ＝0，∴ab ＝1则b =1a，从而g （x ）＝﹣log b x ＝log a x ，f （x ）＝a x 与g （x ）＝log a x 的图象关于y ＝x 对称， ∴函数f （x ）与函数g （x ）的单调性是在定义域内同增同减，结合选项可知选B ， 故选：B ．5．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），且函数f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，若a =f(2cos 23π)，b =f(log 124.1)，c =f(20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜c ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解：根据题意，函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），则函数f （x ）为偶函数， a ＝f （2cos 2π3）＝f （2cos π3）＝f （1），b ＝f （log 124.1）＝f （log 24.1）c ＝f （20.8），又由函数f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，则f （x ）在（0，+∞）上为增函数， 且1＜20.8＜2＜log 24.1，则a ＜c ＜b ； 故选：A ．6．将函数y ＝2sin （2x +π6）的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．y ＝2sin （2x +π4）B ．y ＝2sin （2x +π3）C ．y ＝2sin （2x −π4）D ．y ＝2sin （2x −π3）解：函数y ＝2sin （2x +π6）的周期为T =2π2=π，由题意即为函数y ＝2sin （2x +π6）的图象向右平移π4个单位，可得图象对应的函数为y ＝2sin[2（x −π4）+π6]，即有y ＝2sin （2x −π）．故选：D ．7．已知常数a ＞0，函数f(x)=3x3x +ax经过点P(p ，85)，Q(q ，−35)，若3p +q ＝16pq ，则a 的值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2解：因为f(x)=3x3x +ax =11+ax 3x． f （p ）=3p3p +ap =11+ap3p =85，即ap 3p =−38， f （q ）=3q 3q +aq =11+aq 3q =−35，即aq 3q =−83， 两式相乘得a 2pq 3p +q=1，所以a 2pq ＝3P +q ，又因为3p +q ＝16pq ，a ＞0，所以a 2＝16，解得a ＝4． 故选：C ．8．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a ，若cos(a 4π−θ)=13，则sin2θ＝（ ）A ．−79B ．−29C ．29D ．79解：由题意，任取数字2023，经过一步变为314，经过第二步变为123，再变为123，再变为123， 所以数字黑洞为123，即a ＝123，代入cos(a 4π−θ)=cos(1234π−θ)=cos(34π−θ)=√22sinθ−√22cosθ=13，所以sinθ−cosθ=√23，两边同时平方得：1−2sinθcosθ=1−sin2θ=29，所以sin2θ=79，故选：D ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 B ．若﹣2＜a ＜3，1＜b ＜2，则﹣4＜a ﹣b ＜2C ．若b ＜a ＜0，m ＜0，则m a＞m bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd解：对于A ，c ＝0时，显然错误，对于B ，∵﹣2＜a ＜3，1＜b ＜2，∴﹣2＜a ＜3，﹣2＜﹣b ＜﹣1，∴﹣4＜a ﹣b ＜2，故B 正确， 对于C ，∵b ＜a ＜0，m ＜0，∴1a ＜1b ＜0，∴m a ＞mb，故C 正确，对于D ，令a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝2，d ＝1，显然错误， 故选：BC ．10．德国数学家狄利克雷（1805～1859）在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数D （x ），即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．以下关于狄利克雷函数D （x ）的性质正确的有（ ） A ．D(√2)=0 B ．D （x ）的值域为{0，1}C ．D （x ）为奇函数D ．D （x ﹣1）＝D （x ）解：由题意可得狄利克雷函数D （x ）={1，x ∈Q0，x ∈∁R Q ，选项A ：因为√2为无理数，则D （√2）＝0，故A 正确，选项B ：由函数的解析式可得狄利克雷函数D （x ）的值域为{0，1}， 选项C ：因为函数值0与1不关于原点对称，故C 错误，选项D ：若x 为有理数，则x ﹣1也为有理数，所以D （x ﹣1）＝D （x ）＝1， 若x 为无理数，则x ﹣1为无理数，所以D （x ﹣1）＝D （x ）＝0，故D 正确， 故选：ABD ．11．下列四个等式中正确的是（ ）A ．tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°=√3B ．√3tan12°−3sin12°(4cos 212°−2)=−4√3C ．sin （2024π﹣θ）＝sin θD ．tan15°1−tan 215°=√36解：tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°=tan(25°+35°)(1−tan25°tan35°)+√3tan25°tan35°=√3，故A 正确； √3tan12°−3sin12°(4cos 212°−2)=√3sin12°cos12°−32sin12°⋅cos24°=√3sin12°−3cos12°2sin12°⋅cos12°cos24°=2√3(12sin12°−√32cos12°)sin24°cos24°=4√3sin(12°−60°)2sin24°cos24°=4√3sin(−48°)sin48°=−4√3，故B 正确；根据诱导公式知sin （2024π﹣θ）＝﹣sin θ，故C 错误； tan15°1−tan 215°=12×2tan15°1−tan 215°=12×tan30°=√36，故D 正确． 故选：ABD ．12．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f （1﹣x ）＝﹣f （1+x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2+x ﹣2，则（ ）A ．f （x ）是以2为周期的周期函数B ．f （x ﹣2）+f （﹣4﹣x ）＝0C ．f （0）+f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2022）+f （2023）＝2D ．函数y ＝f （x ）﹣log 2（x +1）有3个零点解：已知f （x ）为偶函数，且f （1+x ）＝﹣f （1﹣x ），又1−x+1+x 2=1，即f （x ）关于（1，0）对称，则f （x +4）＝f （1+x +3）＝﹣f （1﹣（x +3））＝﹣f （﹣2﹣x ）＝﹣f （﹣（2+x ））＝﹣f （2+x ）＝﹣f （1+1+x ）＝f （1﹣（1+x ））＝f （﹣x ）＝f （x ）， 所以f （x ）是周期为4的周期函数，故A 错误； 因为f （x ）的周期为4，f （x ）关于（1，0）对称，所以 （﹣3，0）是函数 f （x ） 的一个对称中心，则 f （x ﹣2）+f （﹣4﹣x ）＝0成立，故B 正确； 因为f （x ）的周期为4，且f （0）+f （1）+f （2）+f （3）＝0，f （0）+f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2022）+f （2023）＝0，故C 错误； 作出函数f （x ）与y ＝log 2（x +1）的图象，易得两个函数有3个交点，所以函数y ＝f （x ）﹣log 2（x +1）有3个零点，故D 正确． 故选：BD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题p ：∀x ＞1，x 3＞x 2，则p 的否定是 ∃x 0＞1，x 03≤x 02 ． 解：命题p ：∀x ＞1，x 3＞x 2的否定是：∃x 0＞1，x 03≤x 02． 故答案为：∃x 0＞1，x 03≤x 02．14．已知函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）•x m﹣2是幂函数，且在（0，+∞）上递增，则实数m ＝ 3 ．解：由题意得m 2﹣2m ﹣2＝1，解得m ＝3或﹣1，当m ＝3时，f （x ）＝x ，在（0，+∞）上递增，满足要求， 当m ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣3，在（0，+∞）上递减，不合要求，故m ＝3． 故答案为：3．15．已知正实数x ，y 满足x +2y ＝3，则1x+1+12y的最小值为 1 ．解：因为正实数x ，y 满足x +2y ＝3，所以（x +1）+2y ＝4， 所以1x+1+12y=14(1x+1+12y)[(x +1)+2y]=14(2+2y x+1+x+12y)≥14(2+√2y x+1⋅x+12y)=1，当且仅当2y x+1=x+12y，即x ＝y ＝1时取等号， 所以1x+1+12y的最小值为1．故答案为：1．16．已知函数f(x)={|log 3(x −1)|，1＜x ≤4x 2−10x +25，x ＞4，若方程f （x ）＝n 有4个解分别为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)= 10 ． 解：作出函数f （x ）的大致图象，如下：可知，0＜n ＜1且当1＜x ≤4时，|log 3（x ﹣1）|＝n 有2个解x 1，x 2； log 3（x 1﹣1）＝﹣n ，log 3（x 2﹣1）＝n ， 得x 1=3−n+1，x 2=3n+1，∴1x 1+1x 2=13−n +1+13n +1=13n +1+3n 1+3n=1；当x ＞4时，由x 2﹣10x +21＝n 有2个解x 3，x 4，根据图象的对称性，得x 3+x 4＝10． ∴(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)=1×10=10． 故答案为：10．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算下列各式的值：（1）(0.027)−13+√(π−3)2+212×√186；（2）lg25+lg22+lg2⋅lg25+log25⋅log258+e ln2．解：（1）(0.027)−13+√(π−3)2+212×√186=（100027）13+π﹣3+212×(12)12=103+π−3+1=43+π；（2）lg25+lg22+lg2⋅lg25+log25⋅log258+e ln2=l g25+lg22+2lg2•lg5+lg5lg2⋅3lg22lg5+2＝（lg2+lg5）2+32+2=92．18．（12分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣a）＜0}，B=[−1，√5)．（1）若a=√6，求∁R A，A∩B及A∪B；（2）若A⊆B，求a的取值范围．解：（1）当a=√6时，A＝{x|（x+1）（x−√6）＜0}＝{x|﹣1＜x＜√6}，则∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥√6}，所以A∩B＝{x|﹣1＜x＜√5}，A∪B＝{x|﹣1≤x＜√6}．（2）当a＝﹣1时，A＝∅，显然A⊆B成立；当a＜﹣1时，A＝（a，﹣1），显然A⊆B不成立；当a＞﹣1时，A＝（﹣1，a），因为A⊆B，B＝[﹣1，√5），所以a≤√5，即此时−1＜a≤√5．综上，a的取值范围是{a|−1≤a≤√5}．19．（12分）已知函数f（x）＝2cos x（√3sin x+cos x）﹣1．（1）求f（x）的周期和单调区间；（2）若f（α）=85，α∈（π4，π2），求cos2α的值．解：（1）∵f（x）＝2cos x（√3sin x+cos x）﹣1=√3sin2x+cos2x+1＝2sin（2x+π6），∴T=2π2=π；∴令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得：kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间为[kπ−π3，kπ+π6]，k∈Z，令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，解得：kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z，可得f（x）的单调递减区间为[kπ+π6，kπ+2π3]，k∈Z，（2）∵f（α）＝2sin（2α+π6）=85，∴可得sin（2α+π6）=45，∵α∈(π4，π2)，可得2α+π6∈（2π3，7π6）， ∴cos （2α+π6）=−√1−sin 2(2α+π6)=−35， ∴cos2α＝cos （2α+π6−π6）＝cos （2α+π6）cos π6+sin （2α+π6）sin π6=−35×√32+45×12=4−3√310． 20．（12分）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条线段围成．设圆弧AB ̂、CD ̂所在圆的半径分别为r 1、r 2米，圆心角为θ（弧度）．（1）若θ=2π3，r 1＝3，r 2＝6，求花坛的面积； （2）根据公司要求扇环形状的花坛面积为32平方米，已知扇环花坛的直线部分的装饰费用为45元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，求当装饰费用最低时线段AD 的长．解：（1）设花坛的面积为S ，则S =12r 22θ−12r 12θ=12×36×2π3−12×9×2π3=9π 答：花坛的面积为9π（m 2）（2）AB̂的长为r 1θ米，CD ̂的长为r 2θ米，线段AD 的长为（r 2﹣r 1）米 由题意知S =12r 22θ−12r 12θ=12（r 1θ+r 2θ）（r 2﹣r 1）＝32， 则r 1θ+r 2θ=64r 2−r 1， 记r 2﹣r 1＝x ，则x ＞0，装饰总费用为y ，则y ＝45×2（r 2﹣r 1）+90（r 1θ+r 2θ）＝90（x +64x），（0＜x ＜10） 用定义法可证明y 关于x 在（0，8]单调递减，在[8，+∞）单调递增，所以当x ＝8时，y 有最小值为1440，故当线段AD 的长为8米时，花坛的装饰费用最小．21．（12分）已知函数f(x)=log 3x 9⋅log 3(3x)，函数g （x ）＝4x ﹣2x +1+2． （1）求函数f （x ）的最小值；（2）若∀m ∈[﹣1，2]，不等式f （x ）﹣g （m ）≥0成立，求实数x 的取值范围．解：（1）f(x)=log 3x 9⋅log 3(3x)=(log 3x −2)(log 3x +1)=(log 3x)2−log 3x −2=(log 3x −12)2−94，∴显然当log 3x =12，即x =√3时，f(x)min =−94， ∴f （x ）的最小值为−94； （2）∵∀m ∈[﹣1，2]，使不等式f （x ）﹣g （m ）≥0成立，∴f （x ）≥g （m ）max ，又g （x ）＝4x ﹣2x +1+2＝（2x ﹣1）2+1，∴g （m ）＝（2m ﹣1）2+1，又m ∈[﹣1，2]，显然当m ＝2时，g(m)max =(22−1)2+1=10，∴有f （x ）≥10，即(log 3x)2−log 3x −2≥10，可得（log 3x ﹣4）（log 3x +3）≥0，∴log 3x ≤﹣3或log 3x ≥4，解得0＜x ≤127或x ≥81， 故实数x 的取值范围为（0，127]∪[81，+∞）． 22．（12分）某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．（1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价x （x ≥16）元，并投入334（x ﹣16）万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少0.8(x−15)2万瓶，则当每瓶售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润＝月销售总收入﹣月总成本）解：（1）设饮料每瓶售价为a 元，由题意得[8﹣0.8（a ﹣15）]（a ﹣10）≥（15﹣10）×8，即a 2﹣35a +300≤0，解得15≤a ≤20， 故饮料每瓶售价最多为20元；（2）每瓶售价x （x ≥16）元，设下月总利润为W ，则每瓶利润为（x ﹣10）元，月销售量为8−0.8(x−15)2•（x ﹣15）＝（8−0.8x−15）万瓶， 由题意得W ＝（x ﹣10）（8−0.8x−15）−334（x ﹣16）=−14x −4x−15+51.2=−14[（x ﹣15）+16x−15]+47.45（x ≥16），∵x ≥16，则x ﹣15≥1，∴（x ﹣15）+16x−15≥2√(x −15)⋅16x−15=8，当且仅当x ﹣15=16x−15，即x ＝19时，等号成立，∴W=−14[（x﹣15）+16x−15]+47.45≤−14×8+47.45＝45.45，故当每瓶售价x为19元时，下月的月总利润最大，且下月的最大总利润为45.45万元．。

安徽省合肥市庐江兴华高级中学高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域为（）A． B．C．R D．参考答案：D2. 已知在区间上是增函数，则的范围是（）A.B.C.D.参考答案：B略3. 函数的图象与直线的公共点数目是（）A． B． C．或D．或参考答案：C4. 已知函数，若，则实数等于（）A. B.C.9D.2 ks5u参考答案：D略5. （5分）已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）参考答案：C考点：函数单调性的性质；其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式．解答：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选C点评：此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关．6. 不论m为何值，直线(m－2)x－y＋3m＋2＝0恒过定点()A．(3,8) B．(8,3) C．(－3,8) D．(－8,3)参考答案：C略7. 过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+3=0平行的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x+y﹣1=0 C．f（x）D．f（5x）＞f（3x+4）参考答案：A【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+3=0平行的直线方程为x﹣2y+m=0，把点（﹣1，3）代入直线方程，求出m值即得直线l的方程．【解答】解：设过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+3=0平行的直线方程为x﹣2y+m=0，把点（﹣1，3）代入直线方程得﹣1﹣2×3+m=0，m=7，故所求的直线方程为x﹣2y+7=0，故选A．8. 某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。

安徽省合肥市庐江县金牛中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若幂函数在上是增函数，则A．>0 B．<0 C．=0 D．不能确定参考答案：A2. 直线和平行，则实数A．3 B． C．1D．参考答案：B3. 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={4，5}，则?U A=（）A．{5} B．{4，5} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4，5}参考答案：C【考点】补集及其运算．【分析】直接利用补集的概念进行运算．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={4，5}，则?U A={1，2，3}，故选：C4. 设，，是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列正确的是（）A．若向量，满足||＞||，且，同向，则＞B．|+|≤||+||C．|?|≥||||D．|﹣|≤||﹣||参考答案：B【考点】向量的模．【分析】利用向量的基本知识进行分析转化是解决本题的关键．根据向量的数乘运算、向量的数量积运算性质，向量减法的几何意义对有关问题进行求解并加以判断．【解答】解：对于A．向量不能比较大小，故错误，对于B，|+|≤||+||，根据向量的几何意义可得B正确，对于C，|?|=||||?|cos＜，＞|≤||||，故C错误，对于D，|，根据向量的几何意义可得D错误，故选：B．5. 数列的一个通项公式是（）A . B. C . D .参考答案：B略6. 已知若则化简的结果是（）参考答案：A7. 在数列中，若，，则（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用倒数法构造等差数列，求解通项公式后即可求解某一项的值.【详解】∵，∴，即，数列是首项为，公差为2的等差数列，∴，即，∴．故选C ．【点睛】对于形如，可将其转化为的等差数列形式，然后根据等差数列去计算.8. 把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是参考答案：A 略9. 在数列中，，，则等于 ( )A ．－2B ．C ．D ．3参考答案：D10. 如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（ ）A ．mB ．mC ．mD ．m参考答案：A解答：解：由正弦定理得，∴，故A ，B 两点的距离为50m ，故选A点评： 本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生对基础知识的综合应用．11. 已知函数在[2,4]上是增函数，则实数a 的取值范围是________参考答案：略12. 若，则参考答案：3 略13. 在△ABC 中，若?=?，|+|=|﹣|，则角B 的大小是 ．参考答案：45°【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用． 【分析】由|+|=|﹣|可知=0，建立平面直角坐标系，设出各点坐标，利用数量积相等列出方程得出直角边的关系，得出∠B 的大小．【解答】解：∵|+|=|﹣|，∴=0，∴．以AC ，AB 为坐标轴建立平面直角坐标系，设C （a，0），B （，b ），A （0，0）． 则=（0，b ），=（a ，﹣b ），=（﹣a ，0）．∵?=?，∴﹣b 2=﹣a 2，∴a=b，∴△ABC 是到腰直角三角形，∴B=45°． 故答案为：45°．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系进行坐标运算是解题关键． 14. 已知向量，则的取值范围是_________。

庐江县2022/2023学年度第二学期期末教学质量抽测高一数学试题（答案在最后）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.为了扎实推进“五大行动”，学校为高一年级同学准备了形式多样的劳动课程.有种植白菜、种植蕃茄、果树整枝和害虫防治4种课程，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为（）A.3B.5C.6D.92.已知i 为虚数单位，复数z 满足2i z z +=，则z 的虚部为（）A.－1B.－2C.1D.23.不同的直线m 和n ，不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出//αβ的是（）A.n αγ= ，m βγ= ，//n mB.αγ⊥，βγ⊥C.//n m ，n α⊥，m β⊥ D.//n α，//m β，//n m4.某企业为响应国家新旧动能转换的号召，积极调整企业拥有的5种系列产品的结构比例，并坚持自主创新提升产业技术水平，2021年年总收入是2020年的2倍，为了更好的总结5种系列产品的年收入变化情况，统计了这两年5种系列产品的年收入构成比例，得到如下饼图：则下列结论错误的是（）A.2021年的甲系列产品收入和2020年保持不变B.2021年的丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的4倍C.2021年的丙和丁系列产品的收入之和比2020年的企业年总收入还多D.2021年的乙和丙系列产品的收入之和比2020年的乙和丙系列产品收入之和的2倍还少5.已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于20km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20︒，灯塔B 在观察站C 的南偏东40︒，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（）A.20kmB.C.D.6.已知圆锥的顶点为S ，底面圆心为O ，以过SO 的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B.8πC. D.16π7.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA AB AD ==，E 为棱PA 的中点，则直线CE 与平面PAD 所成角的余弦值为（）A.23B.3C.2D.28.在ABC 中，已知()0AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎪+⋅-= ⎪⎝⎭，那么ABC 一定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形二、多项选择题：（每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，选对的得5分，错选或不选得0分，部分选对的得2分.）9.某次辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．则这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征可能不同的是（）A.极差B.中位数C.平均数D.方差10.下列说法中错误的是（）A.三个点可以确定一个平面B.若直线a 在平面α外，则a 与α无公共点C.用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台D.斜棱柱的侧面不可能是矩形11.下列命题为真命题的是（）A.复数2i --的虚部为－1B.在复平面内，复数2i --的共轭复数对应的点在第四象限C.若i 为虚数单位，n 为正整数，则41i 11i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭nD.复数z 是方程2450x x ++=的一个根，则z =12.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是（）A.cos cos c a B b A=+ B.若22tan tan a B b A =，则a b=C.若333a b c +=，则ABC 为锐角三角形D.若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.一个封闭的正三棱柱容器的高为4，内装水若干（如图（1），底面处于水平状态）.图（1）中水面的高度3，现将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为E ，F ，1F ，1E ，则:AE EB =______.14.已知向量()2,3a =- ，()0,4b = ，则a 在b上的投影向量坐标为___________.15.欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位，x ∈R ）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，i e x =______，i i e e x x -+=______.16.已知半径为5的球面上有P ，A ，B ，C 四点，满足90ACB ∠=︒，4AC =，BC =，则球心O 到平面ABC 的距离为______，三棱锥-P ABC 体积的最大值为______.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量(6,1)a =，(2,3)b =- ，(2,2)c = ，()3,d k =- ．（1）求2a b c +- ；（2）若(2)//()a c c kb ++，求实数k 的值．（3）若a 与d的夹角是钝角，求实数k 的取值范围．18.以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在50400 kw h ⋅之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.（1）求直方图中x 的值；（2）估计该小区居民用电量的平均值和中位数；（3）从用电量落在区间[)300,400内被抽到的用户中任取2户，求至少有1户落在区间[)350400,内的概率.19.已知定义在区间(0,)+∞上的函数()f x 是增函数，()10f =，()31f =.（1）解不等式21()01f x <-<；（2）若()221f x m am ≤-+对所有(0,3]x ∈，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.20.在四棱维P -ABCD 中，点E 为PA 中点，BE ⊥PD ，PA =PB =PD ，AB =AD =12CD =2，∠DAB =60°.（1）求证：PD ⊥AB ；（2）求BE 与平面ABCD 所成角的正弦值；（3）若CD //AB ，求四棱锥P -ABCD 的体积.21.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．22.如图，四边形ABCD 是圆柱1OO 的轴截面，点P 为底面圆周上异于A ，B 的点.（1）求证：PB ⊥平面PAD ；（2）若圆柱的侧面积为2π，体积为π，点Q 为线段DP 上靠近点D 的三等分点，是否存在一点P 使得直线AQ 与平面BDP 所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点P 的位置；若不存在，说明理由.庐江县2022/2023学年度第二学期期末教学质量抽测高一数学试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二、多项选择题：（每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，选对的得5分，错选或不选得0分，部分选对的得2分.）【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】ACD【12题答案】【答案】AC三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）【13题答案】【答案】1:1##1【14题答案】【答案】()0,3【15题答案】【答案】①.1②.2cos x【16题答案】【答案】①.4②.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤）【17题答案】【答案】（1）()0,5（2）14-（3）18k <且12k ≠-【18题答案】【答案】（1）0.0024x =（2）平均值为187，中位数为183.3（3）35【19题答案】【答案】（1）(,2)2⋃-（2）{},202][),(∞-⋃⋃+∞-【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）15（3【21题答案】【答案】（1）4；（2）存在，且2 a .【22题答案】。