6-4.2弯曲梁的剪应力计算及强度计算解析

中性轴
正应力沿截面高度呈线性分布，
中性轴上为零，其最大值发生
在截面的上下边缘处。
横力弯曲正应力
横力弯曲时的正应力，用纯弯曲正应力公式计算 不会引起很大的误差，能够满足工程问题所需的 精度。
等直梁 max
Mmax所在横截面 离中性轴最远处
max

Mmax IZ
ymax
等直梁的最大弯曲正应力公式
8 hb 2
12MPa
6
【例2】一矩形截面的简支梁，梁上作用有均布荷载，已
知：l=4m，b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木
材的容许正应力 10MPa ，试校核该梁的强度。
解：作梁的弯矩图
q
h
M max

ql 2 8

2 42 8

4kN.m
l
b
WZ

bh 2 6
z
横截面
（1）中性层是对整个截面而言的，中性轴是对某 个截面而言的。
（2）中性轴通过横截面的形心，是截面的 形心主惯性轴。
三、 弯曲正应力公式
My z
I z
M
M
中性轴
z
m
n
y
o

o
dA
z
mn
y
dx
MZ: 横截面上的弯矩

y: 所求应力点到中性轴的距离 M
M
IZ: 截面对中性轴的惯性矩
上式表面:弯曲横截面上的

M max W

M max h3


9
取 h=300mm 则：b=200mm
小结：
一、 弯曲正应力公式

8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
M max ymax Iz
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz ymax
bh3 /12 h/2
A
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
EIz 称为梁的弯曲刚度。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
M y
z dA 0
A
(d)
M z
y dA M
A
(e)
z dA E y z dA 0
A
A
A y z dA I yz 0
(自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。

[1 12
16
283
16
28
(14
13)2 ]

[1 12

8 103
18 10
(19
13)2 ]
26200cm4
Wz

Iz ym a x

26200 (28 13)
1748cm3
（3）正应力校核

max

M Wz
1.2 105 1748 106
1.0 1.04 1.12 1.57 2.30
（四）切应力强度条件

max

(
FQ Sz,max
I z
)max

[
]
对于等宽度截面， m ax发生在中性轴上；对于宽度变化的截面，
m ax不一定发生在中性轴上。
在进行梁的强度计算时，需注意以下问题： （1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应
S
* z
：y以外面积对中性轴的静矩
I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
b：y处的宽度
c
yc
y
z h
b
对于矩形：
S* z

A*

yc
b(h 2

y) [ y

h 2
2
y
]
b (h2 24

y2)
弯曲应力/弯曲时的剪应力
而
Iz

1 bh3 12


6FQ bh3
( h2 4

y2)
力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大 时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也 需要较核剪应力强度。

例2 已知悬臂梁如图，l 1.5m ，P=32kN，梁由22a工字
钢制成，自重按 q 0.33kN / m ，材料的 160 MPa
140 MPa 校核粱强度。
q
p
A
B
z
l
例3 矩形截面松木梁如图，已知 q 3.6kN / m ，材料的
10MPa 2MPa l 4m
计算：1）若截面高宽比h/b=2，设计木梁尺寸b、h。 2）若木梁采用b=140mm，h=210mm的矩形截面，计算
z
Wz1
D13
32
max
1.33 m
4Q 3A
D1
As D12 a2 , a
4
R; (R D1 / 2)
a
z
Wz 2
bh2 6
(
R)3
6
1.18Wz1
a
max 1.5 m
当 D12
4
[D2
(0.8D)2 ]时, D 4
1.67 D1
Wz3
D3
32
(1 -
0.8
4
)
2.75Wz1
z
max 2 m
0.8D D
2a1
当 D12
4
2a12时, a1
2 D1 / 4
Wz 4
bh2 6
4a13 6
1.67Wz1
max 1.5 m
z a1
2a2 1.6a2
当 D12
4
2a22
0.81.6a22时, a2
1.05D1
z 0.8a2
a2
Wz5 4.57Wz1
max 2.3 m (= Q Af )
求最大应力并校核强度
max