关于切线的几个认识误区

高考数学复习重点：高考数学易错知识点（3）
易错点
11 混杂两类切线致误
错因剖析：曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只要一条;曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的一切切线，这个点假设在曲线受骗然包括曲线在该点处的切线，曲线的过一个点的切线能够不止一条。

因此求解曲线的切线效果时，首先要区分是什么类型的切线。

易错点12 混杂导数与单调性的关系致误
错因剖析：关于一个函数在某个区间上是增函数，假设以为函数的导函数在此区间上恒大于0，就会出错。

研讨函数的单调性与其导函数的关系时一定要留意：一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0，且导函数在此区间的恣意子区间上都不恒为零。

易错点13 导数与极值关系不清致误
错因剖析：在运用导数求函数极值时，很容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号停止判别，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。

出现这些错误的缘由是对导数与极值关系不清。

可
导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件，在此提示广阔考生在运用导数求函数极值时一定要留意对极值点停止检验。

2020年第10期魏学孰学10-41不破不立，重识切线王旭光（广东省肇庆市高要区第二中学，广东肇庆526100）切线的概念起源很早，在《几何原本》一书中，欧几里得曾经给切线下过定义：“与圆相遇，但延长后不与圆相交的直线.”⑷这个定义比较直观形象，适用于圆和椭圆等几何图形，我国现行的初中教材也基本上采用了这一定义•后来，到了17世纪，出现了瞬时速度、函数的最值和最优化等一系列问题•它们推动了微积分的产生，解决这些问题都要用到切线.如何求切线成了微积分中的重要问题，数学家们需要进一步研究切线问题•莱布尼茨结合前人的研究，认为曲线的切线是“连接曲线上无限接近两点的直线”⑵，这个定义蕴含着极限的思想，和我们国家目前的高中教材中的定义如出_辙.切线的定义从历史上来看,大致上经历了从静态几何直观阶段到动态极限分析阶段,切线的理解经历了一个漫长的认识过程⑶•切线的概念存在着不少认知误区，如：切线和曲线公共点的个数有几个，切线与曲线的位置关系怎么样等.同时,这也意味着我国的高中生在学习切线时面临着很大的困难,笔者和同事们在教学中也深有体会.因此，这要求我们在教学时应从学生已有的认知出发，层层分析，给出反例，不断纠正，以期最终能正确认识切线.初中的平面几何里，圆是一个重要的内容,但并不涉及抛物线等其他圆锥曲线，学生们只能在圆中认识切线，了解圆与切线的定义和性质.这样来学习切线，符合学生的认知特点，直观形象，易于理解和接受•其定义大致如下：当直线和圆有唯一的公共点时，叫做直线和圆相切.这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点⑷.受限于圆与切线的定义和性质，学生对切线的认知会产生偏差,他们一般会认为切线有三个特点：1.切线与图形只能有一个公共点；2.过一个点作图形的切线，只能作出—条；3.切线只能在图形的一侧,切线不能穿过图形.但是，由于圆的特殊性，其切线的定义和性质有很大的局限性，无法适用于三角函数图像等更多的曲线.到了高中以后，学生们学习了圆锥曲线，虽然里面涉及到了切线的问题，但教材中并未给出切线的确切定义，学生对切线的认知基本上停留在过去.一直到学习导数时,教材中才给出了“割线逼近切线”这一定义，将切线的应用范围扩大，使之更具有一般性.如图1所示，当点如））5=1, 2,3,4）沿着曲线/（%）趋近于P0（x0,f（x0））时，割线PP”变化趋势是什么？㈤当点P”趋近于点P。

对切线定义的辩证思考
切线是一种几何概念，它指的是从曲线上一点出发，沿着曲线切点方向延伸的直线。

它有许多应用，比如在求解曲线上点的切线斜率、求解曲线的极值点、求解曲线的拐点等。

从辩证法的角度来看，切线可以用来表达两种对立的思想，一种是坚持不懈地追求进步，另一种是坚持自我，不让外界的因素影响自己的思想和行为。

切线的两端可以代表这两种思想，一端代表持续进步，另一端代表坚持自我。

通过对切线的辩证思考，可以帮助我们更好地理解这两种思想，并在实践中把握好它们之间的关系，从而使我们的行为更加有效和有益。

用导数的几何意义求切线方程的一个“误区” ———忽视对切点的具体分析 曲线y f x =()在点x 0的导数f x '()0就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，但同学们在解题时常忽视对切点的情况进行具体分析，引起错解。

本文仅对用导数几何意义求切线引起的误解进行剖析。

例 求曲线y x x =-33过点()2,2-P 的切线方程 误 显然点P 在曲线y x x =-33上，f x x '()=-332∴=-f '()29∴过点P （2，-2）的切线方程为： ()y x +=--292，即9160x y +-= 析 由于点()2,2-P 恰好在曲线y f x =()上，因此及容易得到一条切线方程，即以点P 为切点的切线。

本题求的是“经过点P 的切线”，而不是“点P 处的切线”，因而不排除有其他切线经过P 。

因此本题切线应有两条，一条以点P 为切点，另一条不以点P 为切点但经过点P .正： 设切点坐标为()P x y 00，，则在点P 处的切线方程为：()()y y x x x -=--002033∵过点()2,2-P ，且y x x 00033=-()()()∴---=--23332003020x x x x整理，得：x x 0302340-+= 即：()()x x 002120+-= ∴=-x 01或x 02=当x 01=-时，切点为()2,1--，此时切线方程为y =-2，当x 02=时，切点为()2,2-P ，此时切线方程为9160x y +-=∴过点()2,2-P 的切线方程为：y =-2或9160x y +-=评注：综上所述，当点P 在曲线y f x =()上时，要求过点P 的切线时，一定要注意可能存在两种情况：一是点P 本身即为切点；二是切线是以曲线y f x =()上的另一点Q 为切点，但该切线恰好过点P 。

解题时切勿混淆了“在P 点处的切线”与“过P 点的切线”两概念，否则会因概念理解不够深刻而“大意失荆州”。

帮你避开三个“陷阱”江苏 周立能一、求切线方程时，易把在某点处的切线与过某点的切线混淆求函数()y f x =在图象上某点处的切线方程是导数的重要应用之一．当点P 在曲线()y f x =上时，求过点P 的切线方程有以下两种可能的情形：一是P 点就是切点，二是切线以曲线()y f x =上另一点为切点，但该切线经过点P ．注意：曲线在点P 的切线，只指前一种情形．例1 已知函数3()3f x x x =-+．求过点P （1，3）的曲线的切线方程． 错解：∵3()3f x x x =-+，∴2()31f x x '=-，∴(1)2f '=．∴过点P （1，3）的曲线的切线方程为32(1)y x -=-，即210x y -+=． 剖析：根据曲线切线的定义，曲线的切线与曲线的交点个数未必为1．一般地，若点A 为曲线的切点，则过点A 的切线方程是一条；若点A 不为曲线上的切点，则过点A 的切线可能有多条（如图）．正解：经过点P （1，3）的曲线的切线方程有两种情形．（1）P 点为切点时易知切线方程为210x y -+=；（2）P 点不为切点时，设切点为00()Q x y ，，其中0(1)x ≠，则有3000200033311y x x y x x ⎧=-+⎪-⎨-=⎪-⎩，，解得 0012278x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或0013.x y =⎧⎨=⎩，（舍去） 此时切线方程为13(1)4y x -=--，即4130x y +-=． 综上可知，所求切线有两条，其方程为2104130x y x y -+=+-=，．编者注：正解（2）不舍去0013x y =⎧⎨=⎩，，就是过三次函数上一点的切线方程一般求法，还可以将问题推广到更一般情况：所给点不是曲线上的点时仍用正解（2）可求出切线方程．如将P （1，3）改为P （1，2）可得0003x y =⎧⎨=⎩，，或0032398x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，，切线方程为30x y +-=或234150x y --=．详解请参考《绕过讨论求切线》． 二、判断函数的单调性时，易犯()0()f x f x '>⇔为增函数，()0()f x f x '<⇔为减函数的错误确认在某区间内的符号，若()0f x '>，则()f x 为增函数；若()0f x '<，则()f x 为减函数（函数单调性的充分条件）．反之，若()f x 在该区间上单调递增（递减），则在该区间内()f x '≥0（或()0f x '≤）（函数单调性的必要条件）．当()f x '在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（负）时，()f x '在这个区间上仍旧是单调递增（递减）的． 例2 已知函数32()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，求a 的取值范围． 错解：∵2()361f x ax x '=+-，∴()f x 在R 上是减函数2()3610()0f x ax x x a '⇒=+-<∈⇒<R 且361203a a ∆=+<⇒<-．． ∴当(3)a ∈-∞-，时，()f x 为减函数．剖析：关于多项式函数的单调性有以下结论： ()f x '0≤且()f x '在定义域的任何子区间内不恒为零()f x ⇔为减函数．()f x 为增函数时亦有类似的结论．正解：∵2()361f x ax x '=+-，且()f x '在R 及其任意子区间内不恒为零，∴()f x '在R 上是减函数2()3610()f x ax x x '⇒=+-∈R ≤恒成立0a ⇒<且361203a a ⇒∆=+⇒-≤≤．． ∴当(3]a ∈-∞-，时，()f x 为减函数． 三、研究函数的极值时，易把“导数为零的点”与“极值点”等同可导函数()f x 在点x0取得极值的充要条件是()0f x '=且在0x 左右侧，()f x '符号不同．()0f x '=是0x 为极值点的必要而不充分条件，所以把“导数为零的点”等同于“极值点”是错误的．例3 已知函数432()346(2)24f x x bx a x ax =+-++，在x =1处取极值且函数432()346(1)12h x x bx a x ax =+---在区间(522)a a --，上是减函数．求a 的取值范围． 错解：由已知得32()121212(2)24f x x bx a x a '=+-++，由(1)0f '=，有1b a =-．∴32()121212(1)12h x x bx a x a '=+---，即322()1212(1)12(1)1212()(1)h x x a x a x a x a x x '=+----=-++．．∴当x a <时，()0()h x h x '<，在（－∞，a ）上是减函数；当x a >时，()0h x '>，()h x 在（－∞，a ）上是增函数．∴(522)()a a a --⊆-∞，，，即522a a a -<-≤，解得 32a -<≤．剖析与正解：在上述解法中应注意由(1)0f '=得1b a =-后，还应考虑()f x '在1x =左右两侧附近值不同为正数（或负数）以确保1x =是极值点，即32()121212(2)2412(1)()(2)f x x bx a x a x x a x '=+-++=--+．∵1x =是极值点．∴a ≠1（否则x =1不是极值点，但确有(1)0f '=）．故所求a 的范围为{32a a -<≤，且a ≠1}．。

初中数学什么是切线在几何学中，切线是指与给定曲线（如圆、椭圆、抛物线等）仅有一个公共点且与该曲线相切的直线。

切线在数学中有着重要的应用和意义。

在本文中，我将详细解释切线的概念、性质和应用。

切线的定义如下：对于给定曲线上的一点P，经过P点且与曲线相切的直线称为曲线在P点的切线。

切线与曲线仅有一个公共点，即切点。

切线的位置和方向是由曲线在该点的切线斜率决定的。

切线的性质包括以下几个方面：1. 切线与曲线在切点处的切线斜率相等。

切线斜率可以用导数来表示，即切线斜率等于曲线在该点的导数值。

2. 切线与曲线在切点处的切线垂直。

这是因为切线斜率与曲线的斜率相等，而曲线的斜率是垂直于切线的。

3. 切线在切点处与曲线有公共的切点。

这是切线的定义所决定的，切线与曲线仅有一个公共点，即切点。

通过切线的性质，我们可以进行切线的求解和应用。

以下是一些常见的切线应用：1. 求解曲线的切线方程。

根据切线的性质，我们可以通过求解切线的斜率和切点来确定切线的方程。

通常，切线方程可以表示为y = kx + b的形式，其中k为切线的斜率，b为切线与y轴的截距。

2. 计算曲线上某点切线的斜率。

通过求解曲线在该点的导数，我们可以得到切线的斜率，从而确定切线的性质和方程。

3. 解决与切线相关的几何问题。

切线在几何学中有着广泛的应用，如切线与圆的性质、切线与曲线的相交问题等。

通过应用切线的性质和定理，我们可以解决与切线相关的几何问题。

总结起来，切线是与给定曲线仅有一个公共点且与曲线相切的直线。

切线的性质包括切线斜率相等、切线垂直于曲线、切线与曲线有一个公共切点等。

切线在数学中有着广泛的应用和意义，可以用于求解切线方程、计算切线斜率以及解决与切线相关的几何问题。

关于切线的几个认识误区误区一：曲线上某一点处附近的曲线一定在该点处切线的同一侧．错因分析：学生比较熟悉圆、椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的切线，这些曲线在某一点处附近的曲线确实都在该点处切线的同一侧，学生往往通过类比，认为误区一的结论是正确的，这种先入为主的错误认识影响了对切线概念的正确理解．解析：由曲线在某一点处的切线的定义可知，曲线在某一点处的切线是通过该点的割线的极限位置，切线既可以位于切点处曲线的一侧，也可以穿过切点处的曲线．例1：函数3()f x x =，导函数 2()3f x x '=，(0)0f '=，在点（0，0）处的切线为00(0)y x -=⨯-，即0y =.误区二：函数在某一点处的导数不存在，则在该点处的切线不存在．错因分析：学生一般是通过求导来求曲线在某一点处的切线的斜率．在某一点处导数存在，说明在该点处切线存在，学生容易类比出在某一点处的导数不存在就判定在该点处的切线不存在．解析：曲线在某一点处的导数不存在，既可能是曲线在该点处的左右割线的极限不同，也可能是在该点处的切线与Y 轴平行或重合．前者导致切线不存在，而后者是可以存在切线的. 例2：函数13()f x x =，导函数 233211()33f x x x -'==，(0)f '不存在，但在点（0，0）处的切线为0x =.（与例1是互为反函数）例3：函数()f x x =，导函数1,0()1,0x f x x >⎧'=⎨-<⎩，(0)f '不存在，在点（0，0）处的切线也不存在.误区三：经过曲线上的一点作曲线的切线只有一条．错因分析：同误区一．解析：经过曲线上的一点作曲线的切线时，该点可能是切点，也可能不是切点．例4：函数3()3f x x x =-，导函数2()33f x x '=-，令2()330f x x '=-=，解得1x =±，极值点为（－1，2）和（1，2）.(据此可画函数的草图)现在求过点（2，2）的切线：一方面，以（2，2）为切点：2(2)3239f '=⨯-=，切线为29(2)y x -=-；另一方面，以（－1，2）为切点的切线为2(1)(1)y f x '-=-⨯+ 即2y =，此切线也过点（2，2）.。

例谈利用导数求解曲线的切线问题作者：殷瑕来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第03期摘要：随着江苏高考改革的步伐，我们发现导数部分在高考数学试卷中所占的比例越来越大，而利用导数求解曲线的切线问题又是导数中的一个重要问题，几乎可以说是一个必考点。

因此，如何彻底解决这一问题已经成为我们高中数学教学的一个重中之重。

关键词：导数；切线；误区；通解通法一、对切线问题认识的误区1.切线与曲线的公共点不一定是切点例题1. 若直线是曲线的切线，求实数。

错解：曲线过定点，切线也过点因而点为切点，切线的斜率为1而故所以正解：设切点为因为切点一定在切线上，所以而切线斜率为1，切点又在曲线上故解得：，或当时，当时，所以，或2.曲线与切线只有一个交点例题2. 过曲线上一点的切线的方程是。

错解：。

过点的切线的方程为，即。

正解：设切点坐标为，则，切线方程为。

切线过点，切点在曲线上，。

化简得：，即。

解得：或。

当时，切点即，切线方程，即；当时，切点即为，切线方程为，即3.切线不能穿过曲线例题3. 已知两条曲线和y=x在处的点的切线互相平行，则的值为。

A.0或B.0C.D.0或错解：两条曲线在处的切线的斜率分别为，则，解得或0。

当时，曲线在原点处的切线为x轴，但从图象上看x轴穿过该曲线，不是切线，故舍去。

因此，填。

正解：在学习圆锥曲线时，平行于双曲线的渐进线（抛物线的轴）的直线与双曲线（抛物线）只有一个交点，但并不是切线，由此便以为切线不能穿过曲线。

其实，题中x轴是曲线y=x3的切线，也不难从切线的几何背景来加以解释。

根据导数的几何意义，如果函数在点x=x0处的导数存在，那么这个导数值就是曲线在该点处切线的斜率，至于该直线与曲线有多少个交点、是否穿过曲线等等，是不会影响它的切线“身份”的。

所以，答案为0或。

小结：利用导数求解曲线的切线问题中主要有以上三种误区，那么，我们怎样在以后的学习中避免这些错误，这些都是我们研究的方向。

高一数学复习考点知识讲解课件5.1.2瞬时变化率——导数第1课时曲线上一点处的切线考点知识1.了解以直代曲的数学思想，体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点的切线的过程.2.会求函数在某点处的切线方程．导语“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，几千年的社会实践证明了它的正确性，尤其体现在古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子，今天让我们一起来探究如何通过利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段，并以此来研究曲线的某些性质．一、以直代曲问题1如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？提示当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想．例1刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为_________．答案33 2解析S正六边形＝6×34＝332.反思感悟以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”，“量变到质变”，“近似与精确”的思想．跟踪训练1已知函数f(x)的部分图象如图所示．若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为________．答案3 2解析若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S＝1 2×1×3＝3 2.二、曲线的割线和切线问题2如图，过P 作割线PQ ，当点Q 逐渐向P 靠近时，有何现象出现？提示割线PQ 在点P 附近越来越逼近该曲线，当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，此时称这条直线l 为曲线在点P 处的切线． 知识梳理名称割线切线斜率设曲线C 上一点P (x ，f (x ))，另一点Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当Δx 无限趋近于0时，f (x ＋Δx )－f (x )Δx 无限趋近于点P (x ，f (x ))处的切线的斜率例2已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是______；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是______． 答案54.1解析当Δx ＝1时，割线AB 的斜率k 1＝Δy Δx ＝(2＋Δx )2－1－22＋1Δx ＝(2＋1)2－221＝5；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1.反思感悟一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线． 跟踪训练2过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______，过两点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的割线的斜率为________． 答案122－2解析由平均变化率的计算公式及几何意义，可得过两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为k ＝2－11－0＝1.同理，过两点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的割线的斜率为k ＝2－112－0＝22－2.三、切线的斜率例3已知曲线y ＝13x 3＋43.求曲线在点P (2,4)处的切线方程． 解∵点P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上， Δy Δx ＝13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx ＝4·Δx ＋2(Δx )2＋13(Δx )3Δx＝4＋2·Δx ＋13(Δx )2，当Δx无限趋近于0，ΔyΔx无限趋近于4，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为4，∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.反思感悟根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．跟踪训练3(1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为________．答案(3,30)解析设点P坐标为(x0，y0)，则f(x0＋Δx)－f(x0)(x0＋Δx)－x0＝2(Δx)2＋4x0Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4＋2Δx.当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，因此4x0＋4＝16，即x0＝3，所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.即点P坐标为(3,30)．(2)已知曲线y＝f(x)＝3x2－x，求曲线在点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程．解设A(1,2)，B(1＋Δx，f(1＋Δx))，则k AB＝3(1＋Δx)2－(1＋Δx)－2Δx＝5＋3Δx，当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.1．知识清单：(1)以直代曲．(2)曲线的割线和切线．(3)求曲线在一点处的切线．2．方法归纳：局部以直代曲、无限逼近的思想．3．常见误区：不能正确理解用割线无限逼近切线的思想．1．函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的切线斜率为()A．－2B．－1C．1D．2 答案B解析因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝－Δx1＋Δx ，所以ΔyΔx ＝－11＋Δx， 所以当Δx 趋近于0时，ΔyΔx 趋近于－1. 故函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为－1.2．抛物线y ＝x 2在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14处的切线的倾斜角是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案B解析∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14在抛物线y ＝x 2上，Δy Δx ＝⎝⎛⎭⎪⎫12＋Δx 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122Δx＝1＋Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于1，∴在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14处的切线的斜率为1，故倾斜角为45°.3．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线斜率为12a ，则实数a 的值是() A ．－1B ．1C ．－2D ．2 答案B解析Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2＋3Δx ·x ＋(Δx )2，因为当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于3x 2， 所以曲线在点(2,8)处切线的斜率k ＝12， 所以12a ＝12，即a ＝1.4．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB的斜率为________． 答案－16解析由函数的解析式有Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，则Δy Δx ＝－Δx2(2＋Δx )Δx ＝－12(2＋Δx ).当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为k ＝－12(2＋Δx )＝－12(2＋1)＝－16.课时对点练1．已知函数f (x )的图象如图所示，A (x 0，y 0)在曲线上，x 0∈[2,2＋Δx ]且Δx 无限趋近于0，则在A 点处的切线斜率近似为()A ．f (2)B ．f (2＋Δx ) C.f (2＋Δx )－f (2)Δx D ．f (x 0)答案C解析由两点割线的斜率，当Δx 无限趋近于0时，函数f (x )在A 点处的切线斜率近似为f (2＋Δx )－f (2)Δx.2．已知抛物线y ＝14x 2，抛物线上有一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q 是抛物线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14()Δx 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14()Δx 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14()Δx ＋12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14()1＋Δx 2 答案C解析当x ＝1＋Δx 时，y ＝14(1＋Δx )2.3．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则割线AB 的斜率为() A ．2B ．2.3C ．2.09D ．2.1 答案B解析f (1)＝5，f (1.3)＝5.69.∴k AB ＝f (1.3)－f (1)1.3－1＝5.69－50.3＝2.3.4．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q .已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是()答案B解析单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应是一直下凹的．5．已知点P ()－1，1为曲线上的一点，PQ 为曲线的割线，当Δx 无限趋近于0时，若k PQ 无限趋近于－2，则在点P 处的切线方程为() A ．y ＝－2x ＋1B ．y ＝－2x －1 C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －2 答案B解析根据题意可知，在点P 处切线的斜率为－2，所以在点P 处的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)，整理可得y ＝－2x －1.6．曲线y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是() A ．y ＝x －2B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2答案C解析因为Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x (x ＋Δx )， 所以Δy Δx ＝1x (x ＋Δx )， 当Δx 无限接近于0时，Δy Δx 无限接近于1x 2，所以函数在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率是k ＝4， 所以切线方程为y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. 7．当h 无限趋近于0时，(4＋h )2－42h 无限趋近于______，4＋h －4h无限趋近于________．答案814解析(4＋h )2－42h＝8h ＋h 2h ＝8＋h ， 当h 无限趋近于0时，8＋h 无限趋近于8.4＋h －4h ＝4＋h －4h (4＋h ＋4)＝14＋h ＋4， 当h 无限趋近于0时，14＋h ＋4无限趋近于14.8．过曲线y ＝x 2上两点A ()2，4和B ()2＋Δx ，4＋Δy 作割线，当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率为______．答案4.1解析k AB ＝Δy Δx ＝()Δx ＋22－22Δx ＝()Δx 2＋4Δx Δx＝Δx ＋4， 所以当Δx ＝0.1时，AB 的斜率为4.1.9．求函数f (x )＝－x 2＋x 的图象在点A (2，f (2))处切线的方程．解设点B (2＋Δx ，f (2＋Δx ))，则割线AB 的斜率为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx ， 当Δx 无限接近于0时，函数f (x )＝－x 2＋x 的图象在点A (2，f (2))处切线的斜率为k ＝－3，又f (2)＝－22＋2＝－2，所以切线的方程为y －(－2)＝－3(x －2)，即3x ＋y －4＝0.10．求曲线y ＝x 在点(1,1)处的切线方程． 解∵点(1,1)在曲线y ＝x 上，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于12，∴在点(1,1)处切线的斜率为12，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0.11．已知函数f (x )＝x 2图象上四点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))，D (4，f (4))，割线AB ，BC ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()A ．k 1<k 2<k 3B ．k 2<k 1<k 3C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2答案A解析k 1＝f (2)－f (1)2－1＝4－1＝3，k 2＝f (3)－f (2)3－2＝9－4＝5，k 3＝f (4)－f (3)4－3＝16－9＝7， ∴k 1<k 2<k 3.12．若曲线y ＝ax 2在x ＝a 处的切线与直线2x －y －1＝0平行，则a 等于()A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－12或1答案A解析根据题意得Δy Δx ＝a (a ＋Δx )2－a ·a 2Δx ＝2a 2＋a ·Δx ，当Δx 无限接近于0时， 2a 2＝2，∴a ＝±1，当a ＝1时，y ＝x 2，切点是(1,1)，切线的斜率k ＝2，故切线方程是y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0和直线2x －y －1＝0重合，故a ＝－1.13．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为()A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(－2,2)D ．(－2，－2)答案B解析设切点坐标为(x 0，y 0)，Δy Δx ＝(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－(x 20－3x 0)Δx ＝(Δx )2＋2x 0Δx －3Δx Δx＝Δx ＋2x 0－3， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于2x 0－3，即k ＝2x 0－3＝1，解得x0＝2，y0＝x20－3x0＝4－6＝－2.故切点坐标为(2，－2)．14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________________．答案3x－y－11＝0解析设切点为P(x0，y0)，在点P处的切线斜率为k，Δy Δx＝(x0＋Δx)3＋3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)－10－(x30＋3x20＋6x0－10)Δx＝3x20＋6x0＋6＋(Δx)2＋(3x0＋3)Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于3x20＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.所以k＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时，k有最小值3，此时点P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.15．若函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝________.答案1 4解析根据题意，Δy Δx ＝a(x＋Δx)2＋1－ax2－1Δx＝2a·x·Δx＋a·(Δx)2Δx＝2ax＋a·Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，且y0＝ax20＋1，y0＝x0，解得a＝14.16．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积．解(1)ΔyΔx＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－2－(x2＋x－2)Δx＝2x＋1＋Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于2x＋1，∴直线l1的斜率k1＝3，∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点P(x0，x20＋x0－2)，则直线l2的方程为y－(x20＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，解得x0＝－2 3.∴直线l2的方程为y＝－13x－229，即3x＋9y＋22＝0.(2)解方程组⎩⎨⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0， ∴所求三角形的面积为S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋223＝12512.。

高中数学易混淆知识点高中数学易混淆知识点易混概念辨析切线和切线的长“切线”和“切线的长”请研究下面的问题：已知：⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，经过P 作⊙O的切线并求切线的长。

在这个问题中出现了“切线”和“切线的长”这两个名词，它们有什么区别?和圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线。

如上面问题中过P点所作⊙O的切线PT，它和⊙O只有一个公共点T.在切线上，某一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线的长。

如上面问题中，P是切线PT上的一点，T是切点，线段PT的长就叫做P点到⊙O的切线的长。

由此可见，“切线”和“切线的长”这两个概念是有联系的。

没有切线，就谈不上切线的长。

但是，它们又是有区别的。

切线是直线，不可以度量，谈不上具体的长度；切线的长则是切线上一条线段的长，即圆外一已知点到切点之间的距离，是可以度量的。

切线是一条直线，它是一个图形；切线的长是一个数量。

不能把图形和数量混为一谈。

了解了“切线”和“切线的长”的区别，我们回过头来分析上面的问题，所谓“过P点作圆O的切线”，是一个作图题，要求作出过P点和圆O相切的直线。

而“求切线的长’则是一个计算题，要求算出线段PT的长度，两者的区别是很明显的，至于它们具体的作法和解法，就留给同学们自己去完成了。

易混概念辨析共点线和共线点“共点线”和“共线点”步枪射击时，战士要把自己的眼睛通过枪管前面的“准心”，瞄准敌方的目标。

也就是说，从几何上看，就是要使眼睛、准心、目标三点共线，这样才能击中目标。

像这样位于同一条直线上的若干个点，叫做共线点。

下面我们来证明一个“三点共线的问题”。

例：自三角形外接圆上任一点，分别作三角形三边或其延长线的垂线，试证三垂足共线。

已知：图中，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O上的一点，PD、PE、PF分别垂直于直线AB、BC、AC，D、E、F是垂足。

求证：D、E、F三点共线。

证明：连结BP、PC、DE、EF∵∠BDP=∠PEB=90°，∴B、D、E、P四点共圆。