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§4 旋转曲面的面积教学目标：通过本节内容的学习，达到以下教学目标与要求： 一级目标：熟练掌握旋转曲面的面积的计算方法 二级目标：掌握微元法教学内容和重、难点：1. 微元法2. 旋转曲面的面积的计算方法 重点：旋转曲面的面积的计算方法 难点：微元法教学方法和教具使用：讲授法。
教学过程： 一、微元法设函数()y f x =在区间[],a b 上连续，且()[]0,,f x x a b ≥∈，下面用微元法说明由曲线()y f x =与直线,,0x a x by ===所围成的曲边梯形的面积为().baf x dx ⎰任取[],x a b ∈，相应于区间[],a x 的曲边梯形的面积是x 的函数，记这个函数为()[],,A A x x a b =∈，则()00,A =而()A b 就是由曲线()y f x =与直线,,0x a x b y ===所围成的曲边梯形的面积.当x ∆很小时，()()().A A x x A x f x x ∆=+∆-≈∆可以证明当0x ∆→时，()()A f x x o x ∆=∆+∆，即当0x ∆→时，()().A f x x o x ∆-∆=∆故()dA f x dx =，从而函数()A A x =为函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数.又因函数 ()[],,xa f t dt x ab ∈⎰也是函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，故存在一个常数C 使得，()()[],,.xaA x f t dt C x a b =+∈⎰令x a =，则有()()()()0,0000.a aaaA f t dt C C A f t dt =+=-=-=⎰⎰于是，()()[],,.xaA x f t dt x a b =∈⎰令x b =得由曲线()y f x =与直线,,0x a x b y ===所围成的曲边梯形的面积为()()().b baaA b f t dt f x dx ==⎰⎰一般地，若所求量Φ是分布在区间[],a x 上的()a x b ≤≤，或者说它是该区间的端点x 的函数，即()[],,,x x a b Φ=Φ∈且()0a Φ=，而当x b =时，()b Φ为最终所求的值.在小区间[][],,x x x a b +∆⊆上，若能把Φ的微小增量∆Φ近似表示为x ∆的线性形式(),f x x ∆Φ≈∆其中()f x 为某一连续函数，而且当0x ∆→时，()(),f x x o x ∆Φ-∆=∆则()()()(),.xad x f x dx x f t dt C Φ=Φ=+⎰又因()0a Φ=，故()()[]0,,,.xaC x f t dt x a b =Φ=∈⎰令x b =，得()()().bbaab f t dt f x dx Φ==⎰⎰以上方法通常称为微元法，在用微元法时，应注意：（1）所求量Φ关于分布区间必须是可加的.（2）微元法的关键是正确给出∆Φ的近似表达式().f x x ∆Φ≈∆二、旋转曲面的面积1.直角坐标系设平面光滑曲线()[]:,,C y f x x a b =∈（不妨设()0f x ≥）这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面（图10-19）．下面用微元法导出它的面积公式． 1）选取积分变量x ,其变化区间为[.]a b ；2）任取[.]a b 上小区间[],x x x +∆,通过x 轴上点x 与x x +∆分别作垂直于x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带．当x ∆很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即()()S f x f x x π∆≈++∆⎡⎣ [2()f x y x π=+∆ 其中()()y f x x f x ∆=+∆-．因曲线C 为光滑曲线，故函数()y f x =在区间[],a b 上连续可微，于是0lim 0,lim x x y ∆→∆→∆== 因此()({limlim 2020,x x f x f x ππ∆→∆→=+=⎡⎣[(()2()2.f x y x f x x o x ππ+∆-=∆ 所以得到()(),122dx x f x f dS'+=π3) 以(2dS f xπ=为被积表达式，得旋转曲面的面积公式(2.baS f x π=⎰ （1）附记：圆台侧面积公式()S r R l π=+，其中r 、R 分别为圆台的上、下底面半径l 为圆台的母线长.2.参数方程如果光滑曲线C 由参数方程()x x t =，()y y t =，[],t αβ∈ 给出，且()0y t ≥，那么曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为2(.S y t βαπ=⎰ (2)下面仅就()x x t =在[],αβ严格单调递增的情形加以证明.设由该参数方程确定y 为x 的函数是()y f x =，[],x a b ∈，这里()(),.x a x b αβ==由（1）及定积分的换元积分法知，((()(222.ba S f x y t t dt y t βαβαπππ='==⎰⎰⎰例1 计算圆221x y +=在[]12,[,]x x R R ⊂-上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积． 解 对曲线y =[]12,xx 上应用公式（1），并注意到()2y x ''==-=则212x x S π=⎰()212122.x x Rdx R x x ππ==-⎰特别当12,x R x R =-=时，则得球的表面积24S R π=球．例2 计算由内摆线33cos ,sin x a t y a t ==（见课本PP246图10—7）绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积．解 由曲线关于y 轴的对称性及公式（2），得32sin S a ππ=⎰242201212sin cos 5at tdt a πππ==⎰习题选解 P2621.求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积： （1） sin ,0y x x π=≤≤，绕x 轴；（2）()()()sin ,1cos 0,02x a t t y a t a t π=-=->≤≤，绕x 轴；（4）()()222x y a r r a +-=<，绕x 轴.解: （1）())2sin 2sin 2cos 12ln cos 22ln1.S x x πππππππππ===-=-+⎤=⎦⎰⎰⎰（2）()((()2020222200222322002221cos 21cos 21cos 41cos sin 242sin 16sin sin 2222161cos cos 2S a t a t ta t at dtt t t t adt a d t a d πππππππππππππ=-⎡⎣=-=-=-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰()20112223211216416116.33t au du a u u a ππππ--⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=--=--=⎪⎝⎭⎰⎰（4）解 此旋转体的表面可看作是由两个半圆：y a r x r y a r x r=-≤≤=-≤≤绕x 轴旋转而得到的，所以((((((222222224rrr rrrrr rr rr r S a a a a a a dxar ππππππππ-------=++-=++-⎡=+-⎢⎢⎣===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰244arcsin 4.rr r rx d x ar ar ar r πππ---⎛⎫ ⎪⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰2.设平面光滑曲线由极坐标方程()[][]()(),,,0,,0r r r θαθβαβπθ=≤≤⊂≥给出，试求出它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积的计算公式. 解在直角坐标系下，曲线的参数方程为()()cos ,sin ,.x r y r θθθθαθβ==≤≤于是()()()()sin cos ,cos sin ,dy dx r r r r d d θθθθθθθθθθ''=+=- ()()()2sin 2sin 2sin .S r r r βαβαβαπθθπθθπθθ===⎰⎰⎰。
旋转曲面的面积
旋转曲面的面积以直代曲，勾股定理，dx的起点和终点不和ds 重合的，所以可以用ds取代弧长，dx不行。
曲面是直线或曲线在一定约束条件下的运动轨迹。
这根运动的直线或曲线，称为曲面的母线；曲面上任一位置的母线称为素线。
母线运动时所受的约束，称为运动的约束条件。
在约束条件中，控制母线运动的直线或曲线称为导线，控制母线运动的平面称为导平面。
当动线按照一定的规律运动时，形成的曲面称为规则曲面；当动线作不规则运动时，形成的曲面称为不规则曲面。
形成曲面的母线可以是直线，也可以是曲线。
如果曲面是由直线运动形成的则称为直线面(如圆柱面、圆锥面等)；由曲线运动形成的曲面则称为曲线面(如球面、环面等)。
直线面的连续两直素线彼此平行或相交(即它们位于同一平面上)，这种能无变形地展开成一平面的曲面，属于可展曲面。
如连续两直素线彼此交叉(即它们不位于同一平面上)的曲面。
则属于不可展曲面。
曲面的表示法和平面的表示法相似，最基本的要求是应作出决定该曲面各几何元素的投影，如母线、导线、导面等。
此外，为了清楚地表达一曲面，一般需画出曲面的外形线，以确定曲面的范围。
极坐标；设AB的方程为p=p(θ)p=p(θ)，α≤θ≤βα≤θ≤β，
则S=2n(ja)Bp(日)sin日[p(日)12+[p'(日)12vd0S=2/aβ
p(0)sinθ[p(日)12+[o'(日)]2d日。
§4 旋转曲面的面积一 微元法用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把称为量 的元素并记做，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式：⎰badx x f )(例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为⎰-=badx x f x f A |)()(|21采用微元法应注意一下两点：1）所求量 关于分布区间 具有代数可加性.2）)()(x o x x f U ∆=∆-∆对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：x y s xx S V xy S ∆'+≈∆∆≈∆∆≈∆21)(||二 旋转体的侧面积设y ＝y(x)于[a,b]上非负，且连续可微，该曲线绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积：2b aS π=⎰ 例1、 计算圆222R y x =+在],[],[21R R x x -⊂上的弧段绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积． 例2、 计算由内摆线t a y t a x 33sin ,cos ==绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积． 作业：P255 1（2）（3）， 3（2）。
