山东省济南市莱芜第一中学2021届高三2月校内检测数学试题

山东省济南莱芜市第一中学2021-2022高二数学下学期第一次质量检测试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，答题时间120分钟． 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的级部、班级、姓名、准考证号、写在答题纸密封线外，并将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．考试结束后将答题卡交回．第I 卷（选择题共60分）一、单项选择题．本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位，复数12iz i-=，则z 的虚部为（ ） A. i - B. 1C. iD. 1-【答案】D 【解析】 【分析】由题得2z i =--即得z 的虚部. 【详解】由题得12(12)221i i i i z i i i i --+====--⨯-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的除法运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.下列求导运算正确的是（ ）A. sin cos 66ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B. ()333log xxe '=C. ()x x e e --'=-D.22sin cos x x x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项求解，即可得到答案. 【详解】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，可得：A 中，sin 06π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以不正确； B 中，()33ln 3x x '=，所以不正确；C 中，()()x x x e x e e ---'⋅-'==-，所以是正确的；D 中，222222()sin (sin )2sin cos sin sin sin x x x x x x x x xx x x '''⎛⎫-+== ⎪⎝⎭，所以不正确. 故选：C.【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记基本初等函数的导数公式和导数的运算法则是解答的关键，意在考查运算与求解能力. 3.已知随机变量()22X N σ~，，若()10.32P X <=，则()23P X <<=（ ）A. 0.32B. 0.68C. 0.18D. 0.34【答案】C 【解析】 【分析】由随机变量()22X N σ~，，得到正态分布曲线关于2x =对称，结合对称性，即可求解.【详解】由题意，随机变量()22X N σ~，，可得2μ=，即正态分布曲线关于2x =对称，根据正态分布曲线的对称性，可得()12(1)120.32230.1822P X P X -<-⨯<<===.故选：C.【点睛】本题主要考查了正态分布的概率的计算，其中解答中熟记正态分布的性质，以及合理应用正态分布曲线的对称性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4.设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()f x '的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数()f x 的图像判断单调性，从而得到导函数的政府情况，最后可得答案.【详解】解：原函数的单调性是：当0x <时，单调递增，当0x >时，单调性变化依次为增、减、增，故当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()f x '的符号变化依次为“+、-、+”. 故选：C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题.5.2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”．这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅．小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（ ） A.17B.13C.37D.310【答案】B 【解析】 【分析】设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”，事件B 为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，计算P （A ）、()P AB 的值，从而求得(|)P B A 的值．【详解】由题意，设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”， 事件B 为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，则P （A ）22342737C C C +==， 23271()7C P AB C ==， ()1(|)()3P AB P B A P A ∴==． 故选B ．【点睛】本题主要考查古典概型和条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.6.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）A.215B.25C.35D.45【答案】B 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2A D M B11(1,0,0)=-A D ，11(0,1,)2=-D M ，11(1,0,)2=MB设平面11A D M 的法向量为(,,)m x y z =则1110=01002x A D m y z D M m -=⎧⎧⋅⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎪⎩令1y =可得2z =，所以(0,1,2)=m 设直线1B M 与平面11A D M 所成角为θ，112sin 5552θ⋅===⋅⨯m MB m MB故选：B【点睛】本题考查了空间中的角——线面角的求法，考查了空间想象能力和数学运算技能，属于一般题目.7.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好402060由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】【详解】由27.8 6.635K ≈>，而()26.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A 8.定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数，若()()0.30.333a f =⋅，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c a b >>B. a c b >>C. a b c >>D.c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()=F x xf x ，可知函数为偶函数且在()0+∞，上单调递增，a ，b ，c 可转化为()0+∞，的三个数的函数值，比较三个数的大小，利用函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系.【详解】()()=F x xf x ，则()'()()'0=+<F x f x xf x ， 当(),0x ∈-∞，()F x 单调递减又因为()f x 为R 上奇函数，所以()F x 为偶函数，当()0+x ∈∞，，()F x 单调递增. 0.331(3),(log 3),(log )=(2)(2)9π===-=a F b F c F F F其中，0.30.51332<<<，0log 3log 1πππ<<=0.323log 3π∴>>0.3(2)(3)(log 3)π∴>>F F F所以c a b >> 故选：A【点睛】本题考查了不等关系与不等式、函数的奇偶性以及函数的单调性等基本知识，考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题.二、多项选择题．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9.下列命题正确的是（ ）A. 回归直线一定过样本点()11x y ，中的某个点B. 残差的平方和越小，回归方程的拟合效果越好C. 若1z ，2z C ∈，且22120z z +=，则120z z == D. 复数sin 2cos2z i =+在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据回归直线的性质及回归分析判断AB ，根据复数的运算及复数的几何意义判断CD ； 【详解】解：对于A ，回归直线一定过样本中心但不一定过()11,x y ，故A 错误；对于B ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故B 正确；对于C ，1z ，2z C ∈，且22120z z +=，显然当11z i =+，21z i =-时22120z z +=，故C 错误；对于D ，复数sin 2cos2z i =+在复平面内对应的点为()sin 2,cos2，因为22ππ<<，所以sin20>，cos20<，故点()sin 2,cos2位于第四象限，即D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查回归分析及复数的运算与复数的几何意义，属于基础题. 10.关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B. 若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面 C. 设{},,a b c 是空间中的一组基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底 D. 若0a b ⋅<，则,a b 是钝角 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据共线向量的概念，可判定A 是正确的；根据空间向量的基本定理，可判定B 是正确的；根据空间基底的概念，可判定C 正确；根据向量的夹角和数量积的意义，可判定D 不正确. 【详解】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，根据空间向量的基本定理，可得,,,P A B C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{},,a b c 是空间中的一组基底，则向量,,a b c 不共面，可得向量,a b b c ++，c a +也不共面，所以{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底，所以是正确的； 对于D 中，若0a b ⋅<，又由,[0,]a b π∈，所以,(,]2a b ππ∈，所以不正确故选：ABC.【点睛】本题主要考查了空间的向量的共线定理、共面定理的应用，基底的概念与判定，以及向量的夹角的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.11.A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A. 若A 、B 两人站在一起有24种方法 B. 若A 、B 不相邻共有72种方法 C. 若A 在B 左边有60种排法 D. 若A 不站在最左边，B 不站最右边，有78种方法 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A 利用捆绑法求解；对于B 利用插空法求解；对于C 利用倍分法求解；对于D 利用特殊元素优先法求解【详解】解：对于A ，先将A,B 排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有242448A A =种，所以A 不正确；对于B ，先将A,B 之外的3人全排列，产生4个空，再将A,B 两元素插空，所以共有323472A A =种，所以B 正确；对于C ，5人全排列，而其中A 在B 的左边和A 在B 的右边是等可能的，所以A 在B 的左边的排法有551602A =种，所以以C 正确； 对于D ，对A 分两种情况：一是若A 站在最右边，则剩下的4人全排列有44A 种，另一个是A 不在最左边也不在最右边，则A 从中间的3个位置中任选1个，然后B 从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法原理可知共有4113433378A A A A +=种，所以D 正确， 故选：BCD【点睛】此题考查排列、组合的应用，利用了捆绑法、插空法、倍分法，特殊元素优先法等，属于中档题.12.已知函数3()xf x e x =⋅，则以下结论正确的是（ ） A. 3x =-是()f x 的极大值点 B. 方程()1f x =-有实数解C. 函数()y f x =有且只有一个零点D. 存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】函数求导2)(3)(xf x e x x '=+,利用单调性，得到函数图象，由图象可得答案.【详解】23)(()x f x x x e =+'，令2(3)0()x f x e x x +'>=解得3x >-所以3()x f x e x =⋅在(,3)-∞- 单减，在(3+)-∞，单增，且(0)0f =作出函数图象，则 ()f x 在3x =- 取得极小值，无极大值，故A 错误;因为极小值3(3)271f e--=-<-，方程()1f x =-有实数解，故B 正确；因为0x <时，()0f x <，因为0x >时，()0f x >，只有(0)0f =，故C 正确； 由图象可得正确.(也可由3x kx e x =⋅，得0x =或2x k e x =，令2()xh x e x =，求导()(2)0x h x e x x '=+<，则20x -<< ，故2()x h x e x =在(2,0)-上单减，在(,2)-∞-和(0,+)∞上单增，由图知存在实数k ，使得2x k e x =有三个实根，故存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解)故选：BCD【点睛】本题考查了函数的图象、函数的单调性和函数的零点问题以及导数的应用问题，还考查了分类讨论、数形结合和转化与化归的数学思想.第Ⅱ卷二、填空题．把答案写在答题纸上．13.甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为______ ． 【答案】0.58 【解析】由题意可得：两人是否击中目标是相互独立的， 因为两人击中目标的概率分别是0.6和0.7， 所以两人都击中目标的概率为：0.6×0.7=0.42， 所以甲、乙至多一人击中目标的概率为：1−0.42=0.58. 故答案为0.58.14.设离散型随机变量X 的概率分布如下，X0 1 2P16 13p若随机变量Y 满足21Y X =-，，则()E Y =______()D Y =______． 【答案】 (1). 53 (2). 209【解析】 【分析】由分布列的性质，列出方程求得12p =，进而得到45(),()39E X D X ==，再结合21Y X =-，进而求得(),()E Y D Y ，得到答案.【详解】由离散型随机变量的分布列的性质，可得11163p ++=，解得12p =， 所以22211144141415()012,()(0)(1)(2)63233633329E X D X =⨯+⨯+⨯==-⨯+-⨯+-⨯=，又因为21Y X =-， 所以45()2()12133E Y E X =-=⨯-=，2520()2()499D Y D X =⨯=⨯=. 故答案为：53;209. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及数学期望与方差的计算，其中解答中熟记分布列的期望与方差的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 15.疫情期间，某医院科室要从6名男医生、5名女医生中选派三人去支援武汉，要求至少有男女医生各一名，则不同的选法有______种． 【答案】135 【解析】 【分析】根据题意分两类进行分析：1男2女和2男1女，然后由分类计数原可得. 【详解】解：根据题意分两类进行分析：（1）1男2女，有126560C C =种选法；（2）2男1女，有216575C C =种选法，则不同的选取方法有6075135+=种， 故答案为：135【点睛】此题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题. 16.已知函数f (x )=1a x x ⎛⎫-⎪⎝⎭-2lnx (a ∈R )，g (x )=ax-，若至少存在一个0[1,]x e ∈，使得f (x 0)>g (x 0)成立，则实数a 的范围为_______.【答案】()0,∞+ 【解析】【详解】由题意得不等式1()2ln a a x x x x -->- 在[1，e ]上有解,即min 2ln ()xa x> 令min 22ln 22ln ,[1,]0,1,0,0x xy x e y x y a x x -=∈∴=≥==∴'∴>. 故答案为：()0,∞+【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 三．解答题．要求写出主要的证明、解答过程．17.（1）在()1nx +的展开式中，若第3项与第6项系数相等，求n ．（2）n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则求展开式中的有理项． 【答案】（1）7；（2）12,28x x . 【解析】 【分析】（1）根据二项式()1n x +的通项公式，结合组合数的性质进行求解即可；（2）根据二项式n⎛⎝展开式奇数项的二项式系数之和公式，结合二项式n⎛⎝的通项公式进行求解即可. 【详解】（1）二项式()1nx +的通项公式为：11r n r r r rr n n T C x C x -+=⋅⋅=⋅，因为第3项与第6项系数相等，所以25527n n C C n n =⇒=-⇒=；（2）因为n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，所以有135128n n n C C C +++⋅⋅⋅=，即12128n -=，解得8n =，而二项式8⎛ ⎝的通项公式为： (721186188rrrr r r T C C x --+=⋅⋅=⋅，当7211(08,)r r r N -≤≤∈是6的倍数时，即0,6r =时，二项式8⎛⎝展开式中第一项和第7项时，是有理项，分别为：012128C x x ⋅=，6828C x x ⋅=，所以展开式中的有理项为：12,28x x .【点睛】本题考查了二项式通项公式的应用，考查了二项式展开式的有理项问题，考查了二项式展开式二项式系数和的性质，考查了数学运算能力. 18.已知函数32()5f x x ax bx =+++.（1）若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为3，且23x =时()y f x =有极值，求函数()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()f x 在[4,1]-上的最大值和最小值. 【答案】（1）a=2,b=-4（2）最大值13，最小值-11 【解析】 【详解】 【分析】 试题分析：(1)由题意求解关于实数a ,b 的方程组可得函数的解析式为()32245f x x x x =+-+；(2)由题意对函数求导，结合导函数研究原函数的单调性 ，据此可得函数()f x 在[]4,1-上的最大值是13，最小值是-11. 试题解析：(1) 由f'(1)=3, f'()=0 得a =2,b =-4 ，经检验，符合题意，所以函数的解析式为()32245f x x x x =+-+.(2)由f (x )=x 3+2x 2-4x +5 得f'(x )=(x +2)(3x -2) ，f'(x )=0得 x 1=-2 ,x 2= 变化情况如表：x -4 (-4,-2) -2 (-2,) (,1) 1f'(x ) + 0 - 0 + f (x )递增 极大值 递减 极小值 递增 函数值 -11134所以f (x )在[-4，1]上的最大值13，最小值-11点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD//QA ，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===．（1）求证：//QB 平面PDC ； （2）求二面角C PB Q --的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）56π.【解析】 【分析】根据面面垂直的性质定理，可以建立以DA ，DC ，DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向空间直角坐标系.（1）根据线面平行的判定定理，结合空间向量的数量积运算进行证明即可； （2）根据空间向量夹角公式，结合二面角的性质进行求解即可.【详解】∵平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ ⋂平面ABCD AD =，PD ⊂平面ADPQ ，PD AD ⊥，∴直线PD ⊥平面ABCD ．由题意，以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：()0,0,0D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()2,0,0A ，()2,0,1Q ，()002P ,,．（1）因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，又因为2PDA π∠=，所以PD AD ⊥，而,,PDDC D PD DC =⊂平面PDC ，所以AD ⊥平面PDC ，因此()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量， 又()0,2,1QB =-，∴0QB AD ⋅=，即QB AD ⊥， 又∵直线QB ⊄平面PDC ，∴//QB 平面PDC ； （2）设()1111,,n x y z =为平面PBC 的法向量， ∵()2,2,2PB =-，()0,2,2PC =-则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩．不妨设11z =，可得()10,1,1n =． 设()2222,,n x y z =为平面PBQ法向量，又∵()2,2,2PB =-，()2,0,1PQ =-，则2200n PQ n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩．不妨设22z =，可得()21,1,2n =． ∴1212222222123cos ,011112n n n n n n ⋅===⋅++⨯++， 又二面角C PB Q --为钝二面角， ∴二面角C PB Q --的大小为56π．【点睛】本题考查了用空间向量证明线面平行、面面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，以及利用空间向量求解二面角大小问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.20.2021年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过800元（含800元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了800元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）114400（2）顾客选择第一种抽奖方案更合算.【解析】 【分析】（1）选择方案一可以免单，但需要摸出三个红球，利用古典概型求出摸出三个红球的概率，再利用两个相互独立事件同时发生的概率应该是两事件的概率乘积可求得两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）分别写出两种方案下付款金额的分布列，再求出期望值，利用期望值的大小，进行合理选择．【详解】解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()333101120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.()3331010120C P X C ===，()2137310760040C C P X C ===，()12373102170040C C P X C ===，()373107100024C P X C ===，故X 的分布列为，所以()1721706007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=，所以()()1000200E Z E Y =-=()1000200820E Y -=（元）.因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.【点睛】本题考查了古典概率的计算，并运用期望来选择合理方案，解题关键是能够熟练运用公式进行求解，并能计算正确，本题较为基础.21.2021年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺()2019,19CoronaVirusDisease COVID -，简称“新冠肺炎”右图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图．为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y 与时间变量t 的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量1的值依次1，2，…，10）建立模型y c dt =+和 1.5t y a b =+⋅．（1）根据散点图判断，y c dt =+和 1.5t y a b =+⋅哪一个适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题： 时间 1月25日 1月26日l 月27日1月28日l 月29日累计确诊人数的真实数据 19752744451559747111当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋅⋅⋅，其回归直线v a u β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211nnii i i i i nniii i uu v vu v nuvuuunuβ====---==--∑∑∑∑ ，v u αβ=+参考数据：其中 1.5it i ω=，101110i i ωω==∑．【答案】（1） 1.5t y a b =+⋅适宜；（2）10201.5t y =+⋅；（3）回归方程可靠. 【解析】 【分析】（1）直接由散点图得结论；（2）设 1.5t ω=，则y a b ω=+，，求出b 与a 的值，则可得回归方程； （3）在（2）中求得的回归方程中，分别取11,12,13t =求得y ，再比较误差与0.1的大小得结论.详解】（1）根据散点图可知：1.5t y a b =+⋅适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型；（2）设 1.5t ω=，则y a b ω=+，()()()1010111010222211101547001019390207640101910i i i ii i i i i i y y y y b ωωωωωωωω====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑， 390201910a y b ω=-=-⨯=，∴10201.5t y =+⋅；（3）11t =时，2010y =，201019750.11975-<，当12t =时，3010y =，301027440.12744-<，当13t =时，4510y =，451045150.14515-<，所以（2）的回归方程可靠.【点睛】此题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，属于中档题.22.已知函数，()2ln ,f x ax x a R =-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有2个不同的零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时()f x 在()0,∞+上单调递减，当0a >时，()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，()f x 在⎛ ⎝上单调递减.（2）10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）分0,0a a ≤>两种情况讨论导数的符号后可得函数的单调区间.（2）根据（1）可知0a >且()min 0f x f =<，后者可得实数a 的取值范围为102a e <<，再根据()10f a =>，111ln 0f a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭结合零点存在定理可知当102a e<<时函数确有两个不同的零点. 【详解】（1）解：因为()()120f x ax x x'=->， ①当0a ≤时，总有()0f x '<，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.②当0a >时，令120ax x ->，解得x >故x >()0f x '>，所以()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. 同理120ax x -<时，有()0f x '<，所以()f x在⎛ ⎝上单调递减. （2）由（1）知当0a ≤时，()f x 单调递减，所以函数()f x 至多有一个零点，不符合已知条件，由（1）知当0a >时，()2min 1ln 2f x f a ==-=11ln 22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()min 0f x <当时，解得12a e<，从而102a e <<. 又10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有11a<<，因为()10f a =>，111ln f a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令()ln ,2g t t t t e =->，则()10t g t t -'=>， 所以()g t 在()2,e +∞为增函数，故()()2ln 20g t e e >->， 所以10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，根据零点存在定理可知： ()f x在⎛ ⎝内有一个零点，在1a ⎫⎪⎪⎭，内有一个零点， 故当函数()f x 有2个零点时，a 的取值范围为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．取点时要依据函数值容易计算、与极值点有明确的大小关系这两个原则，讨论所取点的函数值的正负时，可构建新函数，通过导数讨论函数的最值的正负来判断.。

从新高考考查情况来看，排列组合与二项式定理是新高考命题的热点，主要考查分类、分步计数原理的应用，排列与组合的综合应用，分组分配问题等，二项展开式的通项、二项式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、参数问题等，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等．主要考查学生的转化与化归、分类讨论思想，数学运算和逻辑推理等核心素养．1、求二项式系数和或各项的系数和的解题技巧：（1）形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．（2）对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． （3）若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --. 2、解决排列问题的常见方法：（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列.（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.热点11 计数原理（5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.3、解决组合问题的常见方法：组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏。

专题05 函数的周期性和对称性形影不离【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。

在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。

因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。

类型一 函数的周期性的判定及应用万能模板 内 容使用场景 几类特殊函数类型解题模板第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性；（1）若函数)(x f 满足)()(a x f a x f -=+，则函数)(x f 的周期为a 2； （2）若函数)(x f 满足)()(x f a x f -=+或)(1)(x f a x f =+或)(1)(x f a x f -=+，则函数)(x f 的周期为a 2； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题.例 1 函数定义域为，且对任意，都有，若在区间上则（ ）A.B. C.D.【变式演练1】（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知函数()f x ，任意x y R ∈，，满足()()()()22f x y f x y f x f y +-=-，且()()1220f f ==，，则()()()1290f f f +++的值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【变式演练2】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足1(1)()3f x f x +=，且当[0,1)x ∈时，()1|21|f x x =--.若对[,)x m ∀∈+∞，都有2()81f x ≤，则m 的取值范围是（ ）A ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．13,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．143⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【变式演练3】（多选）（2022·云南·高三阶段练习）已知函数()f x 的定义域为1221R,,R,2x x x x ∀∈-=，都有()()120f x f x +=，且()11f =，则下列结论正确的是（ ）A ．()231f =B ．()231f -=C ．()()()()()123451f f f f f ++++=D ．()()()()1230f x f x f x f x ++++++=类型二 函数的对称性问题万能模板 内 容使用场景 几类特殊函数类型 解题模板记住常见的几种对称结论：第一类 函数)(x f 满足()()f x a f b x +=-时，函数()y f x =的图像关于直线2a bx +=对称； 第二类 函数)(x f 满足()()c f x a f b x ++-=时，函数()y f x =的图像关于点(,)22a b c+对称； 第三类 函数()y f x a =+的图像与函数()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=对称. 例2 ．（多选）（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）已知函数()()sin sin 1f x x x =+-，则下列结论正确的是（ ）A ．()y f x =图象是轴对称图形B ．()()0f x f x π++=C ．()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()[]1,0,1f x x <∀∈例3 （2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三开学考试（理））定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -＋＝，且()f x 在[]10-，上是增函数，给出下列几个命题：①()f x 是周期函数；②()f x 的图象关于直线1x =对称； ③()f x 在[]1,2上是减函数； ④(2)(0)f f =．其中正确命题的序号是_____．(写出所有正确命题的序号)例4 （2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）已知直线3y x =-+分别与函数e x y =和ln y x =的图象交于点()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x +=_________．【变式演练4】（2022·湖南湘潭·高三开学考试）（多选）已知函数()()sin cos f x x x x ππ=+∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 是周期函数 B ．函数()f x 的最大值是2C ．函数()f x 的图象关于点1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称 【变式演练5】（2022·四川省德阳市第三中学高三开学考试）设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.【高考再现】1.（2022·全国乙（理）T12） 已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（ ）A. 21-B. 22-C. 23-D. 24-2.（2022·新高考Ⅰ卷T12） 已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A. (0)0f =B. 102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C. (1)(4)f f -=D. (1)(2)g g -=3.（2022·新高考Ⅱ卷T8） 若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A. 3-B. 2-C. 0D. 14．（2021·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．525．（2021·全国高考真题（理））设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++6. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m7. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）】已知f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数,满足f(1−x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=（ ） A ． −50 B ． 0 C ． 2 D ． 508. 【2018年全国文科数学】已知函数f(x)=lnx +ln(2−x)，则 A ． f(x)在（0，2）单调递增B ． f(x)在（0，2）单调递减C ． y =f(x)的图像关于直线x=1对称D ． y =f(x)的图像关于点（1，0）对称9.【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+=.10. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学】函数f(x)满足f(x +4)=f(x)(x ∈R)，且在区间(−2,2]上，f(x)={cosπx2,0<x ≤2,|x +12|,−2<x ≤0,则f(f(15))的值为____，11. 【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩ 其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是. 【反馈练习】1．（2022·河南·南阳市第六完全学校高级中学高三阶段练习（文））已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22xf x =-，则()()()()0122022f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．12．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x -+=，()2()f x f x -=，当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()2log 2023f =（ ）A ．252048-B ．9991024-C ．10242023-D ．512999-3．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()49g x f x --=，若y g x 的图象关于直线2x =对称，()24g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．47-B ．48-C ．23-D ．24-4．（2022·甘肃·武威十八中高三阶段练习（理））已知奇函数()f x 满足()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，2()2f x x =，则(7)f =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足：对任意的x ∈R ，有()()22f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()21log 1f x x =++，则()2023f =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．（2022·北京四中高三开学考试）已知函数()sin cos sin cos x xf x x x+=，在下列结论中：①π是()f x 的一个周期； ②()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；③()f x 的图象关于直线π4x =对称； ④()f x 的图象关于点π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数()2()ln11f x x x =++，定义域为R 的函数满足()()20g x g x +--=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，……，()66,x y ，则()61i i i x y =-=∑（ ）A ．6B ．12C ．6-D ．12-8．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）（多选）已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，下列说法正确的有（ ） A ．()f x 图象关于(10)-，对称 B ．()20230g =C ．()g x 的最小正周期为4D ．对任意R x ∈都有()()11f x f x -=+9．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高三开学考试）（多选）已知偶函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是以2为周期的周期函数B ．函数()f x 是以4为周期的周期函数C ．函数(3)f x -为偶函数D ．函数(1)f x -为奇函数10．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）（多选）已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如：[]0.20=，[]1.22-=-，则（ ） A ．()f x 是增函数 B ．()f x 是周期函数 C ．()2f x 的值域为[)0,1D ．()2f x 是偶函数11．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）（多选）已知函数()f x 对x ∀∈R ，都有()()()(),2f x f x f x f x -=--=，且()11f =，则（ ）A ．()f x 的图像关于直线1x =对称B ．()f x 的图像关于点()2,0-中心对称C ．()60f =D ．()51f =-12．（2022·广西·桂电中学高三阶段练习）已知函数()f x 满足对R x ∀∈，有()()11f x f x -=+，()()2f x f x +=-，当()0,1x ∈时，()2f x x mx =+，若35122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则m =________13．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()11f -=-，则()()20222023f f +=______．14．（2021·辽宁·沈阳二中高三开学考试）已知定义域为R 的函数()f x 对任意的实数x ，y 满足()()()πcos 222f x f y x y x y f +-+⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，且()()010f f ==，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并且当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >， ①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增③函数()f x 是以2为周期的周期函数；④502f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭其中的真命题有______．（写出所有真命题的序号）15．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数()g x 的图象与函数()[)()20,f x x x =∈+∞的图象关于直线y x =对称，将函数()g x 图象右移2个单位，下移2个单位得到函数()h x 的图象，若P ，Q 分别为函数()f x ，()h x 图象上的两个动点，则这两点间距离的最小值为______.16．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =，则函数1()()1g x f x x =+-在[]-24，上的零点之和为____________. 【来源】山东省济南市济南市莱芜第一中学2020-2021学年高三下学期2月月考数学试题 17．定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[2,2)x ∈-时，3()sin 2f x x x π=-，则函数()f x 在区间[0,669)上的零点个数是______．【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（六）数学（理）试题18．已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.19．定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=．当[)3,3x ∈-时，()()22,3113x x f x x x ⎧-+-≤<-⎪=⎨-≤<⎪⎩，，则(4)f =___________；(1)(2)(3)(2016)(2017)f f f f f +++++=__________．20．（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称.(1)求证：()f x 是周期为4的周期函数；(2)若())01f x x x =≤≤，求[]5,4x ∈--时，函数()f x 的解析式.。

山东省莱芜市高考数学二模试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知 A={1，2}，B={x|x A}，则 中的元素个数是（ ）A.1B.2C.3D.42. （2 分） 在复平面内，复数 z=i(1+2i)对应的点位于（ ）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2 分） (2018·泉州模拟) 设等差数列 的前 项和为 .若，，则（）A.B.C.D.4. （2 分） 实数 x,y 满足条件 A . 16,则 的最小值为（ ）第 1 页 共 14 页B.4 C.1 D. 5. （2 分） 如图所示，一个空间几何体的正视图和俯视图都是边长为 2 的正方形，侧视图是一个直径为 2 的 圆，则该几何体的表面积是（ ）A . 4π B . 6π C . 8π D . 16π 6. （2 分） 如图是一个算法程序框图，当输入的 x 值为 3 时，输出的结果恰好是 ， 则空白框处的关系式 可以是（ ）A. B. C.第 2 页 共 14 页D. 7. （ 2 分 ） (2016 高 三 上 · 宜 春 期 中 ) 若 抛 物 线 y2=2px （ p ＞ 0 ） 的 焦 点 为 F ， 其 准 线 经 过 双 曲 线的左焦点，点 M 为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C.D. 8. （2 分） (2017 高一下·平顶山期末) 函数 y=x，x∈R 的递减区间为（ ）A.B.C.D.9. （2 分） 在△ABC 中，A＝60°，AB＝2，且△ABC 的面积 S△ABC＝ ，则边 BC 的长为（ ）A. B.2C. D.7 10. （2 分） (2016·浦城模拟) 从 4 男 2 女共 6 名学生中选派 2 人参加某项爱心活动，则所选 2 人中至少有 1 名女生的概率为（ ）第 3 页 共 14 页A. B. C. D. 11. （2 分） 如图所示，点 P 在∠AOB 的对角区域 MON 的阴影内，满足 =x +y ，则实数对（x， y）可以是（ ）A . （ ，﹣ ） B.（ ， ） C . （﹣ ，﹣ ） D . （﹣ ， ）12. （2 分） (2017 高一上·石家庄期末) 已知函数 f（x）= 个不同的解 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， 且 x1＜x2＜x3＜x4 ， 则 x3（x1+x2）+A . （﹣1，+∞） B . （﹣1，1） C . （﹣∞，1） D . [﹣1，1]第 4 页 共 14 页，若方程 f（x）=a 有四 的取值范围为（ ）二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018 高二上·浙江月考) 设分别为椭圆的左,右焦点， 是椭圆上一点，点 是的内心，线段 的延长线交线段于点 ，则________.14. （ 1 分 ） (2020· 陕 西 模 拟 ) 函 数 截得弦长为 2，则实数 a 的值为________.的图象在处的切线被圆15. （1 分） 已知函数函数的图像关于直线 对称，则 的值为________ 。

山东省济南市莱芜第一中学2021届高三语文2月校内检测试题本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共9 页，满分150分。

考试用时150分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、现代文阅读（分）1.阅读下面的文字,完成1~5题。

（19分）材料一:作为最大的发展中国家,中国始终把脱贫攻坚摆在治国理政的突出位置。

改革开放40多年来,中国有8亿多人摆脱贫困,对世界减贫贡献率超过70%。

今年,中国将实现现行标准下农村贫困人口全部脱贫,提前10年实现联合国《2030年可持续发展议程》的减贫目标。

近期,不少外国媒体记者通过对中国乡村的实地采访,用数据和事实讲述了他们眼中的中国减贫故事。

——西班牙埃菲社一位农民从四川省中部一个荒凉的山区搬迁到凉山彝族自治州甘洛县蓼坪乡清水村新家后,再也不用担心下雨,浴室和厨房都是新的,社区里还有学校、卫生站和敬老院,这在几年前是不可想象的。

当地村民表示,易地搬迁、改善基础设施、促进生态旅游、开展职业技能培训等项目逐渐使他们摆脱贫困。

——比利时荷兰语新闻网站Chinasquare 中国大力改善交通基础设施,有助于消除贫困。

“十三五”期间,中国将交通基础设施建设的重点放在贫困地区,尤其是中西部地区。

截至2019年底,中国农村公路里程已达420万公里,并将在下一个五年计划中继续推进城乡交通运输一体化建设,促进乡村物流业发展。

中国村村通路、通汽车,缩短了农村与城市的距离,农村与外界的联系更加通畅,交通条件改善助力当地民众过上了更好的生活。

——西班牙《国家报》贵州省贵阳市修文县猕猴桃种植园将大数据等新技术用于猕猴桃种植与销售,将科技革新与生态保护相结合,助力当地农民脱贫。

山东省莱芜市第一中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4，a10是方程的两根，则（）A. 21B. 24C. 25D. 26参考答案：D【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系，得到，再由等差数列的性质和前n项和公式，即可求解.【详解】因为是方程的两根，所以，又由，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和前n项和公式，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2. 已知，则的值是（）A. B. C.D.参考答案：A3. 设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）A. B. C.D.参考答案：C4. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．17021参考答案：B【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2，c=3满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．5. 记实数，，…，中的最大数为，最小数为，则（）A．B．C．D．参考答案：D略6. 已知不等式组，表示的平面区域为M，若直线与平面区域M有公共点，则k 的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A本题为线性规划含有带参数直线问题依据线性约束条件作出可行域，注意到所以过定点（3,0）。

2021年山东省济南市莱芜区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.(2021·四川省眉山市·历年真题)2021的相反数是()A. 2021B. −2021C. 12021D. −120212.(2021·山东省·其他类型)由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是()A. B. C. D.3.(2021·全国·模拟题)2021年2月14日，春运进入第18日，据国务院联防联控机制春运工作专班数据显示，2月14日全国预计发送旅客1272万人次，“1272万”用科学记数法表示为()A. 1.272×104B. 1.272×105C. 1.272×106D. 1.272×1074.(2021·全国·模拟题)某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题.如图所示，已知AB//CD，∠BAE=84°，∠DCE=120°，则∠E的度数是()A. 36°B. 38°C. 39°D. 42°5.(2021·全国·模拟题)下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.6.(2021·四川省自贡市·模拟题)若正多边形的内角和是720°，则该正多边形的一个外角为()A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°7.(2021·全国·模拟题)若3x=5，3y=4，9z=2，则32x+y−4z的值为()A. 254B. 10C. 20D. 258. (2021·全国·模拟题)牛牛同学10个周综合素质评价成绩统计如表： 成绩(分) 94 95 97 98 100 周数(个) 1 2 2 4 1下列说法错误的是( )A. 这10个周的综合素质评价成绩的中位数是98B. 这10个周的综合素质评价成绩的平均数是97C. 这10个周的综合素质评价成绩的方差是3D. 这10个周的综合素质评价成绩的众数是989. (2018·山东省菏泽市·期中考试)已知直线y =(k −2)x +k 经过第一、二、四象限，则k 的取值范围是( )A. k ≠2B. k >2C. 0<k <2D. 0≤k <210. (2021·广东省·单元测试)如图，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3，动点P 满足S △PAB =13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B两点距离之和PA +PB 的最小值为( ) A. √29B. √34C. 5√2D. √4111. (2021·全国·模拟题)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的对称中心恰好是原点O ，已知点B 坐标是(−2,32)，双曲线y =6x 经过点A ，则菱形ABCD 的面积是( ) A. 9√2B. 18C. 25√22D. 2512. (2021·全国·模拟题)已知二次函数y =(x +1)2−4，当a ≤x ≤b 且ab <0时，y 的最小值为2a ，最大值为2b ，则a +b 的值为( )A. 2√3B. −72C. √3−2D. 0二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. (2016·宁夏回族自治区中卫市·期末考试)分解因式：2x 2−12x +18=______．14. (2021·全国·模拟题)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4.随机摸取一个小球不放回，再从口袋中随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和不大于4的概率是______ ．15. (2021·全国·模拟题)若关于x 的分式方程m x−4−x 4−x =2的解为非负数，则m 的取值范围是______ ．16. (2021·全国·模拟题)圆锥的底面半径是7，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是______ ．17. (2021·全国·模拟题)如图，某小区规划在一个长为24m 、宽为10m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.若草坪部分的总面积为160m 2，则小路的宽度为______ m.18. (2021·全国·模拟题)如图，正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连接GF.给出下列结论：①∠ADG =22.5°；②四边形AEFG 是菱形；③tan∠AED =√2+1；④S △AGD =√2S △OGD ；⑤BE =√2OG ．其中结论正确的是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19. (2021·全国·模拟题)(1)计算：|2−3tan60°|+(−4)2×(−12)3−6√34+(13)−2． (2)解不等式组：{x −3(x −2)≥−4x −1<2x+13，并写出它的正整数解．20.(2021·全国·模拟题)为了丰富学生的体育活动，学校利用下午大课间开设了五门体育活动课，分别为：A“跳绳”、B“足球”、C“乒乓球”、D“篮球”、E“羽毛球”.为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：(1)本次调查的学生共有______ 人；统计图中的b=______ ；(2)通过计算补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，C“乒乓球”对应的圆心角的度数是______ ；(4)如果每人只能参加一种活动课，小明和小刚恰好参加同一种活动课的概率是多少？21.(2021·全国·模拟题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC于E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长．22.(2021·全国·模拟题)如图，为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测.某段限速道路AB=328米，当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°.求无人机距离地面道路的高度和飞行距离各为多少米.(均精确到1米)(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√3≈1.73)23.(2021·全国·模拟题)某地区为了提升“菜篮子”工程质量，计划调拨不超过200吨蔬菜和不超过160吨肉制品补充当地市场.现有大、中型车辆共30辆，已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨，一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨．(1)符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；(2)若一辆大型车的运费是1200元，一辆中型车的运费为800元，试说明(1)中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？24.(2021·全国·模拟题)已知AD是等边△ABC的高，AC=2，点O为直线AD上的动点(不与点A重合)，连接BO，将线段BO绕点O顺时针旋转60°，得到线段OE，连接CE、BE．(1)问题发现：如图1，当点O在线段AD上时，线段AO与CE的数量关系为______ ，∠ACE的度数是______ ．(2)问题探究：如图2，当点O在线段AD的延长线上时，(1)中结论是否还成立？请说明理由．(3)问题解决：当∠AEC=30°时，求出线段BO的长25.(2021·全国·模拟题)在平面直角坐标系中，直线y=−x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点C，点B在x轴的负半轴上，且AB=4，抛物线经过点A，B，C.点M 为第一象限内抛物线上的一动点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点N(n,0)．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)如图1，当l经过抛物线顶点时，点D是抛物线对称轴上一点，若以C，B，D为顶点的三角形是等腰三角形，求点D坐标；(3)如图2，连接BM交y轴于点F，连接OM，AM，若△MAN的面积等于△OMF的面积，求n的值．答案和解析1.【答案】B【知识点】相反数【解析】解：2021的相反数是：−2021．故选：B．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键．2.【答案】A【知识点】简单组合体的三视图、由三视图判断几何体【解析】解：如图所示：故选：A．由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为1，2，3；据此可画出图形．本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．3.【答案】D【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：1272万=12720000=1.272×107，故选：D．根据科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．即可将题目中的数据用科学记数法表示出来．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】A【知识点】平行线的性质【解析】解：如图，延长DC交AE于F，∵AB//CD，∠BAE=84°，∴∠CFE=84°，又∵∠DCE=120°，∠E+∠CFE=∠DCE，∴∠E=∠DCE−∠CFE=120°−83°=36°．故选：A．延长DC交AE于F，依据AB//CD，∠BAE=78°，可得∠CFE=78°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E=∠DCE−∠CFE．本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．5.【答案】D【知识点】中心对称图形、轴对称图形【解析】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．6.【答案】D【知识点】多边形内角与外角【解析】解：多边形内角和(n−2)×180°=720°，∴n=6．则正多边形的一个外角=360°n =360°6=60°，故选：D．根据正多边形的内角和定理(n−2)×180°列方程求出多边形的边数，再根据正多边形外角和为360°、且每个外角相等求解可得．此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：(n−2)⋅180°，外角和等于360°．7.【答案】D【知识点】同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方【解析】解：∵9z=2，∴(32)z=2，∴32z=2，∵3x=5，3y=4，∴原式=32x⋅3y÷34z=(3x)2⋅3y÷(32z)2=52×4÷22=25．故选：D．首先把底数统一化成3，逆用同底数幂的乘法，幂的乘方法则，即可得到答案．本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，会逆用法则是解题的关键．8.【答案】A【知识点】加权平均数、中位数、方差、众数【解析】解：A.把这些数从小到大排列为：94，95，95，97，97，98，98，98，98，100，=97.5；故A错误，符合题意；则中位数是97+982×(94+95×2+97×2+98×4+100)=97，故B正确，不符合题意；B.平均数是：110C.这组数据的方差为×[(94−97)2+(95−97)2×2+(97−97)2×2+(98−97)2×4+(100−97)2]=3；故C正确，不符合题意；D.98出现次数最多，所以这10个周的综合素质评价成绩的众数是98，故D正确，不符合题意；故选：A．根据中位数、平均数、众数和方差的定义计算即可得出答案．本题主要考查中位数、平均数、众数和方差，熟练掌握中位数、众数的定义和方差、平均数的计算公式是解题的关键．9.【答案】C【知识点】一次函数图象与系数的关系【解析】解：∵一次函数y=(k−2)x+k的图象经过第一、二、四象限，∴k−2<0且k>0；∴0<k<2，故选：C．根据一次函数经过的象限确定其图象的增减性，然后确定k的取值范围即可．本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限；k<0时，直线必经过二、四象限；b>0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．10.【答案】D【知识点】矩形的性质、轴对称-最短路线问题、三角形的面积【解析】【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．首先由S△PAB=13S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB=13S矩形ABCD，∴12AB⋅ℎ=13AB⋅AD，∴ℎ=23AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB =5，AE =2+2=4， ∴BE =√AB 2+AE 2=√52+42=√41， 即PA +PB 的最小值为√41． 故选D ．11.【答案】C【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、反比例函数系数k 的几何意义、中心对称的概念【解析】解：过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥AE 于G ，交y 轴于点F ，如图，∵双曲线y =6x 经过点A ，∴设A(m,6m )，则OE =m ，AE =6m ． ∵点B 坐标是(−2,32)， ∴BF =2，OF =32．∴GE =OF =32，AG =6m −32，BG =m +2．∵菱形ABCD 的对称中心恰好是原点O ， ∴AO =CO ，BO =DO ，AO ⊥BO ． 由勾股定理可得：OB 2+OA 2=AB 2． ∴BF 2+OF 2+AE 2+OE 2=AG 2+BG 2． 即：22+(32)2+m 2+(6m )2=(m +2)2+(6m −32)2． 解得：m =3√22．∴OE =3√22，AE =3√22=2√2．∴OA =√AE 2+OE 2=5√22． ∴AC =2OA =5√2．∵OB =√BF 2+OF 2=52， ∴BD =2OB =5．∴S 菱形ABCD =12AC ⋅BD =12×5√2×5=25√22．故选：C ．过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥AE 于G ，交y 轴于点F ，双曲线y =6x 经过点A ，设A(m,6m )，则OE =m ，AE =6m ；已知点B 坐标是(−2,32)，可得BF =2，OF =32，所以GE =OF =32，AG =6m −32，BG =m +2；由菱形ABCD 的对称中心恰好是原点O ，可得AO =CO ，BO =DO ，AO ⊥BO ；由勾股定理可得：OB 2+OA 2=AB 2，所以BF 2+OF 2+AE 2+OE 2=AG 2+BG 2，即：22+(32)2+m 2+(6m )2=(m +2)2+(6m −32)2，解得：m =3√22，可得OE =3√22，AE =3√22=2√2，则OA =√AE 2+OE 2=5√22，AC =2OA =5√2；OB =√BF 2+OF 2=52，BD =2OB =5；利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，结论可求．本题主要考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的系数k 的几何意义，勾股定理．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．12.【答案】C【知识点】二次函数的最值、二次函数的性质 【解析】解：∵a ≤x ≤b 且ab <0， ∴a ，b 异号， ∴a <0，b >0，由二次函数的对称性，b 关于对称轴的对称点为−b −2， 若−1≤a <0， 则(a +1)2−4=2a ， 解得a =−√3(舍)， 若−b −2≤a <−1， 则−4=2a ，a =−2，且(b+1)2−3=2b，解得b=√3，∴a+b=√3−2，若a<−b−2，则2a=−4，a=−2，2b=(a+1)2−4=−3，(舍)，∴b=−32故选：C．根据a的取值范围分−1≤a<0，−b−2≤a<−1，a<−b−2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．本题主要考查二次函数的性质，关键在于要根据a的情况分类讨论，a不同对应的最大值，最小值也不同．13.【答案】2(x−3)2【知识点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】解：2x2−12x+18，=2(x2−6x+9)，=2(x−3)2．故答案为：2(x−3)2．先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．14.【答案】13【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，两次取出的小球标号的和不大于4的结果有4种，∴两次取出的小球标号的和不大于4的概率为：412=13，故答案为：13．画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果数，再由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15.【答案】m≥−8且m≠−4【知识点】一元一次不等式的解法、分式方程的解【解析】解：方程两边都乘以(x−4)得：m+x=2(x−4)，解得：x=m+8．∵x−4≠0，∴m+8−4≠0，∴m≠−4；∵分式方程的解为非负数，∴m+8≥0，∴m≥−8．故答案为：m≥−8且m≠−4．把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m 的范围．本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验．16.【答案】7√3【知识点】圆锥的计算【解析】解：设圆锥的母线长为R，圆锥的底面周长=2π×7=14π，则180π×R180=14π，解得，R=14，由勾股定理得，圆锥的高=√142−72=7√3，故答案为：7√3．根据弧长公式列式计算求出圆锥的母线长，根据勾股定理求出圆锥的高．本题考查的是圆锥的计算，掌握弧长公式、圆锥的侧面展开图是解题的关键．17.【答案】2【知识点】一元二次方程的应用【解析】解：如图，设修建的小路宽应为x米，则新的草坪面积等于矩形DEFG的面积，即得到方程：(24−2x)×(10−x)=160，整理得：x2−22x+40=0，解得x=20或x=2．但x=20不合题意，舍去，所以修建的小路宽应为2米．故答案为：2．此题是典型的“平移”方法，将三条道路平移到场地的边上，形成整体的草坪．再设修建的路宽应为x米，根据题意可知：新草坪的仍然是矩形，这样草坪面积可以建立，解方程即可．此题考查了几何图形的平移，用“平移”的方法，将分散的图形拼成一个“整体”，再建立几何图形面积，得到方程，方程的解注意需要检验．18.【答案】①②③④【知识点】翻折变换(折叠问题)、菱形的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、正方形的性质【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°，∴∠ADG=1∠ADB=22.5°，2故①正确；②∵∠AED=90°−∠ADE=67.5°，∠BAC=45°，∴∠AGE=67.5°，∴AE=AG，由翻折可知，AE=EF，AG=FG，∴AE=EF=FG=AG，∴四边形AEFG是菱形，故②正确；③设AE为x，则EF=x，BE=√2x，则正方形边长为(√2+1)x ，tan∠AED =ADAE =(√2+1)xx=√2+1，故③正确；④∵四边形AEFG 是菱形， ∴FG//AB ，∴∠FGO =∠BAC =45°，∴FG =√2OG ，AGOG =√2，即S △AGD =√2S △OGD ， 故④正确；⑤∵BE =√2EF =√2FG ， ∴BE =2OG ， 故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④， 故答案为：①②③④．①根据正方形的性质可得∠ADB =45°，由折叠可得①正确；②求出∠AED 的度数，可证AE =AG ，由翻折可得四边相等，故②正确； ③设AE 为x ，则EF =x ，BE =√2x ，则正方形边长为(√2+1)x ，故③正确； ④⑤由BE =√2EF ，EF =AG =√2OG ，可得④正确，⑤错误．本题考查了正方形的性质和轴对称的性质、解直角三角形，解题关键是熟练运用相关性质的出边角之间的关系，从而得出正确结论．19.【答案】解：(1)|2−3tan60°|+(−4)2×(−12)3−6√34+(13)−2 =|2−3√3|+16×(−18)−3√3+9=3√3−2+(−2)−3√3+9=5；(2){x −3(x −2)≥−4①x −1<2x+13②， 由不等式①，得 x ≤5， 由不等式②，得 x <4，故原不等式组的解集是x <4， 故该不等式组的正整数解是1，2，3．【知识点】特殊角的三角函数值、一元一次不等式组的整数解、负整数指数幂、实数的运算、一元一次不等式组的解法【解析】(1)根据绝对值、有理数的乘方、负整数指数幂可以解答本题；(2)根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．本题考查实数的运算、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20.【答案】120 12 90°【知识点】扇形统计图、条形统计图、用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】解：(1)本次调查的学生共有：18÷15%=120(人)，则b=120×10%=12(人)，故答案为：120，12；(2)E的人数为：120−18−12−30−36=24(人)，补全条形统计图如下：(3)在扇形统计图中，C“乒乓球”对应的圆心角的度数为：360°×30120=90°，故答案为：90°；(4)列表如下：A B C D EA(A,A)(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)B(B,A)(B,B)(B,C)(B,D)(B,E)C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)(C,E)D(D,A)(D,B)(D,C)(D,D)(D,E)E(E,A)(E,B)(E,C)(E,D)(E,E)共25种等可能的情况，小明和小刚恰好参加同一种活动课的有5种，∴小明和小刚恰好参加同一种活动课的概率为：525=15．(1)由A的人数和所占百分比求出本次调查的学生人数，即可解决问题；(2)求出E的人数，补全条形统计图即可；(3)列表得出共25种等可能的情况，小明和小刚恰好参加同一种活动课的有5种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．21.【答案】解：(1)连接OD．∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD．∴∠ODB=∠ACB．∴OD//AC，∵DE⊥AC．∴OD⊥DE．∵OD是圆的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC=10，BC=16，∴BD=CD=8，∵⊙O的半径为5，∴AC=AB=10，∴AD=√AC2−CD2=√102−82=6，∵S△ADC=12AC⋅DE=12CD⋅DE，∴10DE=8×6，∴DE=4.8．【知识点】勾股定理、垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质【解析】(1)根据切线的判断方法证出OD⊥DE即可；(2)根据勾股定理和三角形的面积公式可求出答案．本题考查切线的判定和性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法以及勾股定理是解决问题的关键．22.【答案】解：(1)如图，由题意得：∠ECA=37°，∠CDA=30°，∠FDB=45°，CD//AB，AB=328米，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，则四边形CDNM是矩形，∵∠ECA=37°，∠CDA=30°，∠FDB=45°，CD//AB，∴∠CAM=∠ECA=37°，∠DAN=∠CDA=30°，∠B=∠FDB=45°，设CM=DN=x米,在Rt△ADN中,tan∠DAN=DN AN,AN=DNtan30∘=√3x米,在Rt△BDN中,tanB=DN BN,BN=DNtan45∘=x米,AB=AN+BN,∴√3x+x=328,解得：x≈120米,即无人机距离地面道路的高度为120米，∴AN=√3x≈207.6米，在Rt△ACM中,tan∠CAM=CM AM,∴AM=CMtan37∘≈160米,∴CD=MN=AN−AM=207.6−160≈48米，即无人机的飞行距离为48米．【知识点】解直角三角形的应用【解析】通过作垂线构造直角三角形，在不同的直角三角形中，利用边角关系进行计算即可．本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提．23.【答案】解：(1)设安排大型车x 辆，则安排中型车(30−x)辆，依题意得：{8x +3(30−x)≤2005x +6(30−x)≤160， 解得：20≤x ≤22．∵x 为整数，∴x 取20，21，22，∴有三种运输方案：方案1：安排大型车20辆，中型车10辆；方案2：安排大型车21辆，中型车9辆；方案3：安排大型车22辆，中型车8辆．(2)设总运费为w 元，则w =1200x +800(30−x)=400x +24000．∵400>0，∴w 随x 的增大而增大，∴当x =20时，w 取得最小值，最小值=400×20+24000=32000．∴当安排大型车20辆，中型车10辆时运费最低，最低费用是32000元．【知识点】一元一次不等式组的应用、一次函数的应用【解析】(1)设安排大型车x 辆，则安排中型车(30−x)辆，根据安排的30辆货车一次可运送不超过200吨蔬菜和不超过160吨肉制品，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出x 的取值范围，再结合x 为整数即可得出各运输方案；(2)设总运费为w 元，根据总运费=每辆大型车的运费×安排大型车的数量+每辆中型车的运费×安排中型车的数量，即可得出w 关于x 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．本题考查了一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；(2)根据各数量之间的关系，找出w 关于x 的函数关系式．24.【答案】AO =CE ∠ACE =90°【知识点】几何变换综合【解析】解：(1)AO =CE ，∠ACE =90°，理由：∵线段BO 绕点O 顺时针旋转60°，得到线段OE ，故B O =OE ，∠BOE =60°，∴△BOE 为等边三角形，∴∠OBE=60°，BE=BO，∵∠OBE=60°=∠OBD+∠DBE，∠ABC=60°=∠ABO+∠OBD，∴∠ABO=∠CBE，在ABO和△CBE中，{∠ABO=∠EBC AB=ACBO=BE，∴△ABO≌△CBE(SAS)，∴AO=CE，∠BAO=∠BCE，∵AD是等边三角形ABC的高，故AD也是∠BAC的平分线，故∠BAO=30°=∠BCE，∴∠ACE=∠BCE+∠ACB=30°+60°=90°，故答案为：AO=CE，∠ACE=90°；(2)成立，理由如下：连接BE．∵线段BO绕点O顺时针旋转了60°得EO，∴△BOE是等边三角形，∴BO=BE，∠OBE=60°，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∠ABC=60°，∴∠ABC+∠OBC=∠OBE+∠OBC，即∠ABO=∠CBE，∴△ABO≌△CBE(SAS)，∴AO=CE，∠BCE=∠BAO，∵AD是等边△ABC的高，∴∠BCE=∠BAO=30°，∠BCA=60°，∴∠ACE=∠BCA+∠BCE=90°，∴AO=CE，∠ACE=90°；(3)①当点O1在线段AD的延长线上时，由(1)和(2)知：△BO1E1是等边三角形，∠ACE1=90°，∵∠ACE1=90°，∠AE1C=30°，∴∠E1AC=60°，∵∠BAC=60°，∴点A、B、E1在一条直线上，∵在Rt△ACE1中，AC=2，∠AE1C=30°，∴A E1=4，∴BO1=BE1=2；②当点O2在线段DA的延长线上时，∵∠ACE2=90°，∠AE2C=30°，AC=2，∴CE2=2√3，∵△ABO2≌△CBE2(SAS)，∴AO2=CE2=2√3，∵AD是等边△ABC的高，AB=AC=2，∴BD=1，AD=√3，在Rt△O2DB中，BD=1，而O2D=A O2+AD=2√3+√3=3√3，∴BO2=√O2D2+BD2=√(3√3)2+12=2√7；综上，BO=2或2√7．(1)证明△ABO≌△CBE(SAS)，则AO=CE，∠BAO=∠BCE，进而求解；(2)和(1)的方法相同；(3)①当点O1在线段AD的延长线上时，证明点A、B、E1在一条直线上，进而求解；②当点O2在线段DA的延长线上时，通过画图确定BO为位置，进而求解．本题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等、解直角三角形、等边三角形的性质等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．25.【答案】解：(1)对于y=−x+3，令y=−x+3=0，解得x=3，令x=0，则y=3，得，点A的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3)，∵AB=4，点B在x轴的负半轴上，∴点B的坐标为(−1,0)，∵抛物线经过点A(3,0)，C(−1,0)，∴设抛物线的解析式为y=a(x−3)(x+1)，将C(0,3)代入，得a=−1，∴抛物线的解析式为y=−(x−3)(x+1)，即：y=−x2+2x+3；(2)由题意得：BC√12+32=√10，设D(1,m)，①当BD=CD时，BD2=CD2，即：22+m2=12+(3−m)2，解得：m=1，∴D1(1,1)；②当BD=BC时，4+m2=10，解得n=±√6，∴D2(1,√6)，D3(1,−√6)；③当CD=BC时，1+(m−3)2=10，解得：m1=6(舍去)，m2=0，∴D4(1,0)；综上所述，满足条件的D点的坐标是：D1(1,1)，D2(1,√6)，D3(1,−√6)，D4(1,0)；(3)点M的坐标为(n,−n2+2n+3)，由题意得：tan∠MBN=OFOB =MNBN，∴OF=−n2+2n+3n+1=−(n+1)(n−3)n+1=3−n，∵S△MAN=S△MOF，∴12×AN ⋅MN =12×OF ⋅x M ，即12×(3−n)(−n 2+2n +3)=12×(3−n)n ， 即：−n 2+2n +3=n ，解得：n 1=1+√132，n 2=1−√132(舍去)， ∴n =1+√132．【知识点】二次函数综合【解析】(1)由待定系数法即可求解；(2)分BD =CD 、BD =BC 、CD =BC 三种情况，分别求解即可；(3)由S △MAN =S △MOF ，得到12×AN ⋅MN =12×OF ⋅x M ，即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。

烟台莱州一中 2021级高三第二次质量检测数学试题〔理〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中选择一个符合题目要求的选项〕S {x ||x 2|3},T {x |a x a 8},S T R =->=<<+⋃=，那么a 的取值范围是〔 〕 A.3a 1-<<- B.3a 1-≤≤- C.a 3a 1≤-≥-或 D.a 3a 1<->-或f (x)是幂函数，且满足f (4)3f (2)=，那么1f ()2= . A.3 B.-3 C.13 D.13-111ABC A B C -的棱长与底面边长相等，那么1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于〔 〕A.22 B.64 C.104 D.324.如右图，在平行四边形A BCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，那么以下说法 错误的选项是( )A.AC AB AD =+B.BD AD AB =-C.11AO AB AD 22=+D.5AE AB AD 3=+x 122log x 0-=，那么有A.m 21m <<B.m m 12<<C.m 1m 2<<D.m 12m <<6.某几何体的三视图如以下列图，那么它的体积是 A.283π-3π C.82π- D.23πn {a }中，56a a a(a 0)+=≠，15165a a b +=，那么2526a a +等于〔 〕A.b aB.22b aC.2b a D.2b ax y e =在点2(2,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积〔 〕A.29e 4B.22aC.2e D.2e 2n {a }中2n n 1n 1a a a 0(n N*,n 2)-+--=∈≥，那么2009S 等于〔 〕A.4018B.2009 C10.a 、b 、l 表示三条不同的直线，αβγ、、表示三个不同的平面，有以下四个命题： ①假设,b αβαβγ⋂=⋂=且a //b,那么//αγ；②假设a 、b 相交，且都在αβ、外，a //,a //,b //,b //αβαβ，那么//αβ； ③假设αβ⊥，a,b ,a b αββ⋂=⊂⊥，那么b α⊥； ④假设a ,b ,l a,l b,αα⊂⊂⊥⊥那么l α⊥. 其中正确的选项是〔 〕A.①②B.②③C.①④D.③④A B C ∆中，AB 3,AC 2==，假设O 为A B C ∆内部的一点，且满足OA OB OC 0++=，那么AO BC ⋅=〔 〕A.12B.25C.13D.14a f (x)log (x b)=+的图象如以以下列图，其中a,b 为常数，那么函数2g(x)a b =+的大致图象是〔 〕二、填空题〔本大题共4小题，共16分〕 2e112x ()dx x +⎰的值是14.设x,y 满足约束条件x y 3x y 12x y 3+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，假设目标函数x y z (a 0,b 0)a b =+>>的最大值为10，那么5a 4b +的最小值为 .n S 表示等差数列n {a }的前n 项和，且9n S 18,S 240==，假设n 4a 30(n 9)-=>，那么n= .2x 1f (x)lg (x 0,x R)|x |+=≠∈有以下命题：①函数y f (x)=的图象关于y 轴对称；②在区间〔-∞，0〕上，函数y f (x)=是减函数； ③函数f (x)的最小值为lg 2；④在区间〔1，+∞〕上，函数f (x)是增函数。

莱芜一中20-21学年度上学期高三第一次质量检测数学试题命题人：杨萍审核人：邵萍苏晓会本试卷共4页。

总分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的级部、班级、姓名、准考证号、填写在答题卡上。

2．选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，用0.5mm 中性笔将答案写在答题卡对应题目的规定区域。

答在答题卡的规定区域之外或本试卷上无效。

3．考试结束后只需将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.1-8为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

9-12为多选题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

1．已知集合=⋂>-=>+-=B A },11{},0)1)(3({则x x B x x x A ()A ．)3,2(B ．(2，3]C ．()(),02,-∞⋃+∞D ．),3(+∞2．已知复数iiZ +-=23，则复数z 的虚部为（）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i 3．函数()x x x f cos +=的零点所在的区间为（）A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）4．如图，在△ABC 中，BC BN 41=，设b AC a AB ==,，则AN ＝（）A ．b a 4341-B ．b a 4143-C ．b a 4341+D ．b a 4143+5．函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 21πx x f 的单调递增区间为（）A ．z k ππk ππk ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,12,125B ．z k ππk ππk ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,43,4C ．z k ππk ππk ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--,6,32D ．z k ππk ππk ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,4,46.已知函数()21xf x e x =--(其中e 为自然对数的底数)，则()y f x =图象大致为（）7．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11ab+的最小值是()A.2B.42C.4D.228．已知函数()ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠且()()1212f x f x x x =-，则的最大值为（）A ．22B ．2C 2D ．19．下列说法错误的是（）．A.若0xy ≥，则||||||x y x y +>+B.若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠C.“2a bx +>是x ab >”的充分不必要条件D.“0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃≤，1x e x ≤+”10．已知向量b a ,是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使b a ,共线的是（）A ．e b a 432=-且e b a 22-=+B ．存在相异实数μλ,，使0=-b μa λC ．当0=+y x 时，0=+b y a xD ．已知梯形ABCD ，其中bCD a AB ==,11.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最大值为2，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为()2f x π的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列结论正确的是（）．A ．函数()f x 的图像关于直线512x π=对称B ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，函数()f x 的最小值为22-C ．若4432sin cos 65f πααα⎛⎫-=-⎪⎝⎭的值为45-D ．要得到函数()f x 的图像，只需要将()22g x x =的图像向右平移6π个单位12．函数()()()ln f x f x x x g x x '==、，下列命题中正确的是（）A ．不等式()0g x >的解集为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()()0f x e 在，上单调递增，在(),e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m ≥1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。