下载文档原格式
高阶导数十个常用公式公式1：一阶导数定义$$f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$公式2：二阶导数定义$$f''(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}$$公式3：多项式函数求导若$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \\ldots + a_1x + a_0$，则$f'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \\ldots + a_1$公式4：乘法法则(uu)′=u′u+uu′公式5：除法法则$$\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$$公式6：链式法则$$\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$$公式7：三角函数导数$$\\frac{d}{dx}\\sin(x) = \\cos(x)$$$$\\frac{d}{dx}\\cos(x) = -\\sin(x)$$$$\\frac{d}{dx}\\tan(x) = \\sec^2(x)$$公式8：指数函数导数$$\\frac{d}{dx}e^x = e^x$$$$\\frac{d}{dx}a^x = a^x\\ln(a)$$公式9：对数函数导数$$\\frac{d}{dx}\\ln(x) = \\frac{1}{x}$$$$\\frac{d}{dx}\\log_a(x) = \\frac{1}{x\\ln(a)}$$公式10：反函数导数若u=u−1(u)为u(u)的反函数，则$f'(f^{-1}(x)) =\\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$以上是高阶导数计算中常用的十个公式，通过灵活应用这些公式，可以帮助解决各种函数的高阶导数求解问题。
低阶导数和高阶导数一、低阶导数与高阶导数的定义（一）低阶导数1. 一阶导数- 对于函数y = f(x)，它的一阶导数y^′=f^′(x)表示函数y = f(x)的瞬时变化率。
- 从几何意义上讲，函数y = f(x)在点x处的一阶导数f^′(x)就是曲线y = f(x)在点(x,f(x))处的切线斜率。
- 例如，对于函数y = x^2，根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，可得y^′=(x^2)^′ = 2x。
2. 二阶导数- 函数y = f(x)的一阶导数y^′=f^′(x)的导数称为函数y = f(x)的二阶导数，记作y^′′=f^′′(x)。
- 二阶导数在物理中可以表示加速度（如果y表示位移，y^′表示速度，那么y^′′表示加速度）。
- 对于前面提到的y = x^2，y^′ = 2x，那么y^′′=(2x)^′=2。
（二）高阶导数1. 定义- 一般地，函数y = f(x)的n - 1阶导数的导数称为函数y = f(x)的n阶导数，记作y^(n)=f^(n)(x)，n≥slant2且n∈ N^+。
2. 莱布尼茨公式（用于求两个函数乘积的高阶导数）- 设u = u(x)和v = v(x)都是n阶可导函数，则(uv)^(n)=∑_{k =0}^nC_{n}^ku^(n - k)v^(k)，其中C_{n}^k=(n!)/(k!(n - k)!)。
二、低阶导数与高阶导数的求法（一）基本函数求导公式1. 幂函数- (x^n)^′=nx^n - 1，例如(x^3)^′ = 3x^2。
2. 三角函数- (sin x)^′=cos x，(cos x)^′=-sin x，(tan x)^′=sec^2x。
3. 指数函数- (a^x)^′=a^xln a（a>0,a≠1），特别地(e^x)^′ = e^x。
4. 对数函数- (log_{a}x)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1,x>0），特别地(ln x)^′=(1)/(x)。
常见高阶导数8个公式高阶导数是指对函数进行多次求导的操作，它可以提供更多关于函数的信息，包括函数的曲率、凹凸性、拐点等特征。
在这里，我们将介绍常见的8个高阶导数公式，并对每个公式进行详细的解释。
1.一阶导数的公式：\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)一阶导数（也称为导函数）表示函数在特定点的斜率，表示函数在该点的瞬时变化率。
2.二阶导数的公式：\(f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}\)二阶导数表示函数的一阶导数的变化率，也称为函数的曲率。
如果二阶导数大于0，则函数在该点处为凸函数；如果二阶导数小于0，则函数在该点处为凹函数。
3.高阶导数的迭代公式：\(f^{(n)}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^{(n-1)}(x+h) - f^{(n-1)}(x)}{h}\)高阶导数的迭代公式可以用来计算任意阶数的导数。
其中，\(f^{(n)}(x)\)表示函数\(f(x)\)的第n阶导数。
4.复合函数的高阶导数公式：如果\(y=f(g(x))\)，其中f和g都是可导函数，则复合函数的n阶导数可以通过链式法则来计算：\(f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(k)}(g(x)) g^{(n-k)}(x)\)其中，\(C_{n}^{k}\)表示二项式系数。
这个公式可以通过逐步计算每个f和g的导数来求解。
5.多项式函数的高阶导数公式：对于多项式函数\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\)，其中a为常数，多项式的n阶导数为：\(f^{(n)}(x)=n!a_n\)这个公式可以通过对多项式进行多次求导并应用一阶导数公式来进行证明。
6.指数函数的高阶导数公式：对于指数函数\(f(x)=e^x\)，其任意阶导数都为自身：\(f^{(n)}(x)=e^x\)这个公式可以通过数学归纳法来证明。
高阶导数十个常用公式推导高阶导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数变化的变化率。
在这篇文章中，我将介绍十个常用的高阶导数公式，并通过生动的语言和情感来解释它们的含义。
第一个公式是一阶导数的定义：函数f(x)在点x处的导数等于函数在该点的斜率。
这个定义可以用来计算函数在任意点的导数。
接下来是二阶导数的定义：函数f(x)的二阶导数是它的一阶导数的导数。
二阶导数描述了函数的曲率，可以用来判断函数的凹凸性。
第三个公式是高阶导数的线性性质：如果函数f(x)和g(x)在某点的高阶导数都存在，那么它们的和、差和常数倍的导数也存在，并且等于对应的和、差和常数倍的导数。
四阶导数是函数的曲率的一种度量，它描述了函数的曲线相对于平均曲线的曲率的变化。
四阶导数可以用来判断函数的拐点。
第五个公式是高阶导数的乘积法则：如果函数f(x)和g(x)在某点的高阶导数都存在，那么它们的乘积的高阶导数等于对应的乘积的高阶导数。
六阶导数是函数曲线的弯曲程度的一种度量，它描述了函数曲线相对于平均曲线的弯曲程度的变化。
六阶导数可以用来判断函数的拐点和曲线的形状。
第七个公式是高阶导数的链式法则：如果函数f(x)和g(x)在某点的高阶导数都存在，那么它们的复合函数的高阶导数等于对应的复合函数的高阶导数。
七阶导数是函数曲线的弯曲程度的一种度量，它描述了函数曲线相对于平均曲线的弯曲程度的变化。
七阶导数可以用来判断函数的拐点和曲线的形状。
第九个公式是高阶导数的逆运算：如果函数f(x)的高阶导数存在且连续，那么它的原函数也存在，并且可以通过高阶导数的逆运算求得。
八阶导数是函数曲线的弯曲程度的一种度量，它描述了函数曲线相对于平均曲线的弯曲程度的变化。
八阶导数可以用来判断函数的拐点和曲线的形状。
最后一个公式是高阶导数的微分方程：如果函数f(x)的高阶导数满足某个微分方程，那么函数f(x)就是这个微分方程的解。
通过以上十个常用的高阶导数公式，我们可以更深入地理解函数的变化规律和曲线的性质。
高阶导数的基本公式14个高阶导数是微积分中的一个重要概念，它在求解函数的极值、曲线的凹凸性等问题中起着重要作用。
本文将介绍高阶导数的基本公式，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 一阶导数我们回顾一下一阶导数的定义和计算方法。
对于函数y=f(x)，它在某一点x处的导数可以表示为f'(x)，它的计算方法是通过求函数在该点的切线斜率来得到。
一阶导数的基本公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)] / h其中，lim表示极限运算，h表示趋近于0的一个无穷小量。
2. 二阶导数在一阶导数的基础上，我们可以进一步求解二阶导数。
二阶导数表示的是函数的变化率的变化率，也可以理解为函数曲线的弯曲程度。
二阶导数的计算方法是对一阶导数再求导，其基本公式为：f''(x) = d/dx [f'(x)]3. 高阶导数的定义将二阶导数的概念推广，我们可以定义高阶导数。
高阶导数表示的是函数变化率的变化率的变化率...的变化率。
也就是说，高阶导数描述了函数曲线的弯曲程度的变化程度。
高阶导数的计算方法是对前一阶导数再求导，其基本公式为：f^(n)(x) = d^n/dx^n [f(x)]其中，n表示导数的阶数。
4. 高阶导数的性质高阶导数具有一些特殊的性质，下面我们来介绍其中的几个。
（1）线性性质：高阶导数具有线性性质，即对于任意实数a和b，以及可导函数f(x)和g(x)，有如下公式成立：(a*f(x) + b*g(x))^(n) = a*f^(n)(x) + b*g^(n)(x)这个性质使得我们在计算高阶导数时可以进行简化。
（2）乘法法则：对于两个可导函数f(x)和g(x)，它们的乘积的高阶导数可以通过一阶导数和它们的高阶导数来计算。
具体公式如下：(f(x)*g(x))^(n) = Σ(C(n,k)*f^(k)(x)*g^(n-k)(x))其中，C(n,k)表示从n个数中选取k个数的组合数。
高阶导数十个常用公式1. 一阶导数：如果函数 y=f(x)，则其一阶导数定义为：f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h2. 二阶导数：如果函数 y=f(x)，则其二阶导数定义为：f''(x)=lim(h→0)(f'(x+h)-f'(x))/h3. 三阶导数：如果函数 y=f(x)，则其三阶导数定义为：f'''(x)=lim(h→0)(f''(x+h)-f''(x))/h4. 四阶导数：如果函数 y=f(x)，则其四阶导数定义为：f''''(x)=lim(h→0)(f'''(x+h)-f'''(x))/h5. 五阶导数：如果函数 y=f(x)，则其五阶导数定义为：f'''''(x)=lim(h→0)(f''''(x+h)-f''''(x))/h6. 六阶导数：如果函数 y=f(x)，则其六阶导数定义为：f''''''(x)=lim(h→0)(f'''''(x+h)-f'''''(x))/h7. 七阶导数：如果函数 y=f(x)，则其七阶导数定义为：f'''''''(x)=lim(h→0)(f''''''(x+h)-f''''''(x))/h8. 八阶导数：如果函数 y=f(x)，则其八阶导数定义为：f''''''''(x)=lim(h→0)(f'''''''(x+h)-f'''''''(x))/h9. 九阶导数：如果函数 y=f(x)，则其九阶导数定义为：f'''''''''(x)=lim(h→0)(f''''''''(x+h)-f''''''''(x))/h10. 十阶导数：如果函数 y=f(x)，则其十阶导数定义为：f''''''''''(x)=lim(h→0)(f'''''''''(x+h)-f'''''''''(x))/h。
考研高阶导数公式一、导数的基本概念与意义导数是微积分学中的一个基本概念，表示函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，其在x点的导数f"(x)可以用以下公式表示：f"(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx二、考研高阶导数公式概述在考研数学中，高阶导数是指二阶及以上的导数。
高阶导数在求解函数的极值、曲率、拐点等问题中具有重要意义。
以下为一些常见的高阶导数公式：1.二阶导数：f""(x) = lim(Δx→0) [(f"(x+Δx) - f"(x)) / Δx]2.三阶导数：f"""(x) = lim(Δx→0) [(f""(x+Δx) - f""(x)) / Δx]三、一阶导数的求解方法1.求导法则：对于基本初等函数及其复合函数，可以使用求导法则进行求解。
2.隐函数求导：对于隐函数y = f(x)，可以先求出显函数，然后对显函数求导。
3.参数方程求导：对于参数方程x = x(t)，y = y(t)，可以先将参数方程转化为普通方程，然后对普通方程求导。
四、二阶导数的求解方法1.求导法则：对一阶导数再求一次导数。
2.隐函数求导：对隐函数的一阶导数求导。
3.参数方程求导：对参数方程的一阶导数求导。
五、高阶导数的求解方法1.求导法则：对一阶导数、二阶导数再求导。
2.利用导数的性质：如和差、积、商的导数公式。
六、导数在实际问题中的应用1.极值问题：求函数的极值点、极值、最值。
2.曲率问题：求曲线的曲率、曲率半径。
3.拐点问题：求函数的拐点。
4.实际问题：求质点运动的瞬时速度、加速度等。
七、总结与建议导数是考研数学中的重要知识点，掌握导数的求解方法及实际应用对于解题具有重要意义。
在学习过程中，要注重理论知识与实际例题的结合，加强运算能力的培养。
2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式
模块基本信息
一级模块名称 微分学
二级模块名称
基础模块
三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数
公式
模块编号 2-10 先行知识
导数的概念 模块编号
2-2
知识内容 教学要求
掌握程度
1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念
一般掌握
2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导
3、莱布尼兹公式
3、掌握隐函数高阶导的求解（一般
是二阶）
4、隐函数的高阶导数
4、掌握参数方程高阶导的求解（一
般是二阶）
5、参数方程的高阶导数
5、熟记正弦、余弦等常见函数的n
阶导数公式
能力目标 1、提高学生的观察分析能力
2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力
时间分配
45分钟
编撰
黄小枚
校对
方玲玲
审核
危子青
修订
肖莉娜 二审 危子青
一、正文编写思路及特点：
思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义，
然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。
特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。
二、授课部分 1.引例
（1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即
)()('t s t v = 或dt
ds
t v =
)( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数：
[]'
')(')()(t s t v t a ==或)()(dt
ds
dt d t a =
（3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称
为)(t s 对t 的二阶导数，记为)('
't s 或22dt
s
d
2．高阶导数的定义
设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。
记 y '', 或
)(x f '', 22dx y d , dx x f d )
(2
根据导数的定义可知：''0()()
()lim x f x x f x f x x
→+-''=V V V
类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作
y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , n
n dx
y
d .
函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 注：（1）如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数.
（2）二阶及二阶以上的导数y '' y ''' y (4) ⋅⋅ y (n )统称高
阶导数.
3.常见初等函数的高阶导数
例1 已知3y x = 求()n y （一级） 解: ()()423;6;6;0;,0.n y x y x y y y ''''''=====L 课堂练习：已知y =e x 求它的n 阶导数. 例2 已知sin y x =求它的n 阶导数. （一级） 解:)2
sin(cos π+=='x x y ,
)2
2sin()2
2
sin()2
cos(ππππ⋅+=++=+=''x x x y ,
)2
3sin()2
2
2sin()2
2cos(ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y ,
)2
4sin()2
3cos()4(ππ⋅+=⋅+=x x y ,
一般地, 可得
)2
sin()(π⋅+=n x y n , 即)2
sin()(sin )(π⋅+=n x x n .
用类似方法, 可得)2
cos()(cos )(π⋅+=n x x n .
（选讲）例3 已知()1
1y x -=+求它的n 阶导数. （一级） 解：()()2
11;y x -'=-+ ()()()3121;
y x -''=--+
()()()()4
1231;
y x -'''=---+
一般的，可得
()()()
()
11!1.
n
n n y n x -+=-⋅⋅+
课堂练习：求函数()ln 1x +的n 阶导数
常见初等函数的高阶导数
()()
()
()()()
()()()()()()
()()
()
()
()()()
()
()
()()
()
1
111,02sin sin 23cos cos 24ln 1!
5ln 1111n n
n
n
n n
x x n n n
x n x R x x x n x x n a a a n x x x ααααααππ--=⋅--+⋅∈>⎛⎫
=+⋅ ⎪
⎝
⎭⎛
⎫=+⋅ ⎪
⎝
⎭=-+=->-+g L g
4.莱布尼茨公式
如果函数()u u x =及()v v x =都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数,u v uv ±，也在点x 处具有n 阶导数, 且 ()
()
()()n n n u v u v ±=±
∑=-=n
k k k n k n
n v u C uv 0
)()()()(, 此式称为莱布尼茨公式.
例4．22x y x e =求()20y ). （二级） 解: 设22,x u e v x == 则 ()()221,2,,20k k x u e k ==L
()()
2,2,03,4,20k
v x v v k '''====L
代入莱布尼茨公式, 得
()(
)
200020111922183317202002020202020uv C v u C v u C v u C v u C v u =+++++L
022*******
18220202022222x x x C x e C x e C e =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
()202222095x e x x =⋅++
5.隐函数的高阶导数
例 1.()y y x =是由方程y e xy e +=所确定的隐函数,试求()/y 0,()//y 0。
（二级）
解: 方程两边对x 求导： y //e y y xy 0++= ①
方程两边再对x 求导：
()2
y //y ////e y e 2y xy 0y +++= ②
由原方程知，当0x =时，1y =，代入①得/1(0)y e
=-
再将0x =，1y =，/1(0)y e
=-代入②式，
得 //21(0)y e
=
注：隐函数的高阶导数就是对方程两边多求几次导，然后把低价导数代入等式。
6.参数方程的高阶导数
例1 求方程⎩
⎨
⎧==t b y t
a x sin cos ()π20≤≤t 所确定的函数的一阶导数dx dy
及二阶导数22dx y d . （二级）
解：
t a
b t a t b dx dy cot sin cos -=-= t
a b
t a t
a b
dt dx dx dy dt d dx y d 3
2222
sin sin csc /-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 注：求参数方程的高阶导数应注意在求导数的时候找准函数的自变量.
三、能力反馈部分 1、（考查函数的二阶导数的掌握程度）
已知sin x y e -=，求''y
2、（考查隐函数的n 阶导数的掌握程度）
已知6y x xe ye +=，求()n y
3、（考查参数方程的高阶导数的掌握程度）
33
cos sin x a t y b t ⎧=⎨=⎩
已知22
d y dx 求.。
