概率论与数理统计的哲学理念

统计学中的概率理论和数理统计在统计学中，概率理论和数理统计是两个重要的概念和工具。

概率理论是研究随机现象以及其规律性的数学理论，而数理统计是应用概率理论研究收集和分析数据的一门学科。

本文将分别对概率理论和数理统计进行介绍。

一、概率理论概率理论是研究随机现象的数学理论。

随机现象是指在一定条件下，不能精确预测其结果的现象。

概率理论主要研究以下几个方面：1.1 随机事件和概率在概率理论中，将随机现象的每一个可能结果称为随机事件。

概率是描述随机事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的一个实数表示，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生。

1.2 概率分布概率分布是描述随机事件中各个结果发生的概率分布情况。

常见的概率分布包括均匀分布、正态分布等。

通过分析概率分布，可以了解随机事件发生的规律和可能的结果。

1.3 事件的独立性和相关性在概率理论中，事件的独立性和相关性是重要的概念。

事件的独立性表示事件之间互不影响，事件的发生与否与其他事件无关。

事件的相关性表示事件之间存在某种关联，一个事件的发生与否可能会影响其他事件的发生。

二、数理统计数理统计是应用概率理论研究收集和分析数据的一门学科。

数理统计主要包括以下内容：2.1 总体和样本在数理统计中，将研究对象称为总体，而从总体中抽取得到的一部分数据称为样本。

通过对样本进行分析，可以推断总体的性质和规律。

2.2 参数估计参数估计是数理统计中的重要内容。

通过样本数据，利用概率理论的相关方法，估计总体中的未知参数。

参数估计可以帮助我们了解总体的特征和规律。

2.3 假设检验假设检验是通过利用样本数据对总体的某个假设进行推断和验证。

通过计算样本数据的统计量，与假设进行比较，确定是否拒绝或接受该假设。

2.4 回归分析回归分析是数理统计中常用的分析方法之一。

通过建立数学模型，将自变量和因变量之间的关系进行描述和分析，从而预测和解释因变量的变化。

三、概率理论与数理统计的关系概率理论和数理统计相辅相成，互为补充。

哲学思想在概率论与数理统计中的应用1概率论与数理统计中哲学思想的体现1.1个性与共性的体现在数理统计抽样调查中，需要针对调查数据进行客观规律性的总结。

而共性就指不同事物的普遍性质，也指的就是相关的数据调查，个性是和其他事物之间加以区别的一些特殊的事物。

数理统计抽样调查过程中统计出共性的特征是就需要相应的指标，而指标中的单独变量的条件就是指个性。

1.2实践的观点在马克思主义哲学过程中，实践是人们认识和改造客观世界的一种活动，也是人类发挥自身主观能动性的活动。

人们需要在实践过程中明确规定了实践的对象，发挥自身主观能动性去创造世界和改造世界。

因此人在实践活动中是受到自身的主观意志的影响，人类社会在不断发展中需要不断的探究当前世界发展的规律。

实践拥有感性和精神性的特点，任何无论怎样进行实践，都是人的主观思维和精神在其中进行作用。

实践和理论之间的差别就是实践包含了人主观的思维，它可以通过自身的探索得到相应的证明，而理论却无法从自身得到相应的证明。

例如在实验室实验过程中，可能会产生一种现象，可能很多次在实践过程中都没有产生这种现象。

如果在大规模的实践中现象是会必然发生的，在多次实验中可以看出事物发展过程中的规律。

概率论在形成过程中所得到的理论都是通过实践进行检验的，是通过反复实验而得到的相应数据，从某种程度上来说，概率论是实践得出来的，展现出来了科学家们的探索精神。

理论本身是需要不断通过实践来进行相应的证明的，即使是发生概率较小的事件，都需要通过反复性的实验和推导，由此可以知道实践是检验真理的唯一标准。

1.3动静结合马克思主义哲学中指出动中有静，静中有动的理论。

从某种程度上来说，探究事物发挥在那过程中会产生相应的随机事件和变量，事态的发展是静止的，而变量之间产生的变化则是运动的，是具有动态化的特征。

所以在对世界的探究过程中，我们要注意概率事件相对静止与绝对运动。

我们需要在理解事件发展的过程中，要用辩证的观点和思维去看待世界，诠释在概率论和数理统计教学中的方式和方法。

概率论与数理统计课程思政概率论与数理统计是一门既有理论又有实践的重要学科，对于我们的生活和工作都有着重要的指导意义。

在学习这门课程时，除了要掌握其基础理论知识，还要理解其思想内涵和价值意义，培养批判思维和实践能力。

首先，概率论与数理统计是一种描述现实世界中随机现象的工具。

生活中，我们面对的大多数情况都是具有不确定性和随机性的。

例如，投掷硬币的结果、车流量、人口数量、股票价格等都有一定的不确定性和随机性。

概率论与数理统计能够帮助我们对这些随机现象进行量化和预测，使我们更好地理解和应对这些现象。

其次，概率论与数理统计不仅适用于自然科学领域，也适用于社会和经济领域。

在社会科学和经济学领域中，概率论和数理统计被广泛应用于数据分析、市场调研、风险控制和经济预测等方面。

例如，统计数据能够反映社会和经济现象的变化趋势，从而为政策决策和社会管理提供依据。

此外，概率论与数理统计也能培养我们的批判思维和实践能力。

这门课程要求我们学会从实际问题出发，建立相应的数学模型，进行推理分析和实验验证。

只有通过实践，我们才能深入理解概率论和数理统计的现实应用，实现从理论到实践的有效跨越。

最后，概率论与数理统计的思想内涵在人文层面上也有着重要的意义。

这门课程告诉我们任何事情都具有不确定性，任何事情也都具有可能性。

因此，我们应该保持谦虚和缜密的思考方式，切勿轻信主观臆测和偏见观点。

我们需要通过深入探究和系统思考，才能更好地认识世界和自我。

综上所述，概率论与数理统计是一门生动、全面、有指导意义的课程，它不仅有着广泛的应用领域和理论价值，还能够培养我们的批判思维和实践能力，以及人文素养。

希望我们在学习中能够深刻理解其内涵和价值，为实现自身的成长和社会的发展做出贡献。

关于概率论与数理统计的思考及其概括概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科。

研究随机现象的规律性有其独特的思想方法，它不是寻求出现每一现象的一切物理因素，不能用研究确定性现象的方法来研究随机现象，而是承认在所研究的问题中存在有一些人们不能认识或者根本不知道的随机因素作用下，发生了随机现象。

这样，人们既可以通过试验来观察随机现象，提示其规律性，作出决策，也可以根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律，作出决策。

概率论是基于给出随机现象的数学模型，并用数学语言来描述它们，然后研究其规律，透过表面的偶然性，找出其内在规律性，建立随机现象与数学其他分支的桥梁，使得人们可以利用已成熟的数学工具和方法来研究随机现象，进而也为其他数学分支和其他新兴学科提供了解决问题的新思路和新方法。

数理统计是以概率论为基础，基于有效地观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来研究随机现象，进而对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。

概率论应用随机变量（多维随机变量）与随机变量的概率分布、数字特征与特征函数为数学工具对随机现象进行描述、分析、与研究，其前提条件是假设随机现象的概率分布是已知的；而数理统计中作为研究对象的随机变量的概率分布是完全未知的，或者分布类型已知，但其中某些参数或某些数字特征是未知的。

概率论研究问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实出发，按一定的逻辑推理得到结论的，因此概率论的方法本质上是演绎式的， 而统计学的方法是归纳式的，从所研究对象的全体中随机抽取一部分进行试验或观测，以获得试验数据，按照一定的统计方法得出结论的，例如，统计学家通过大量观测得到的试验数据，按照一定的统计方法得出结论：吸烟与患肺癌有关；吸烟与患支气管炎有关。

此结论不是用数学逻辑推理方法证明得到的。

因此掌握统计学的思想与方法对初学者无疑是很重要的。

下面简要概括本书内容。

第一章 随机事件与概率。

浅谈概率论、数理统计作者：我认为概率论的核心思想就是利用已有的数学工具去研究不确定的现从而总出其一般化的规律。

而数理统计则是以概率论为理论基础，基于有效的观测，收集，整理，分析带有随机性的数据来研究随机现象。

研究随机现象数量规律的数学分支。

随机现象是指这样的客观现象但我们观察它时，所得的结果不能预先确定，而只是多种可能结果中的一种。

在自然界和人类社会中，存在着大量的随机现象。

例如，掷一硬币，可能出现正面或反面；测量一物体长度，由于仪器及观察受到环境的影响，每次测量结果可能有差异；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。

这些都是随机现象。

随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件又通称随机事件。

事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。

虽然在一次随机试验中发生某个事件是带有偶然性的，但那些可以在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律性。

人们在长期实践中已逐步觉察到某些这样的规律性，并在实际中应用它。

例如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的近旁，越远则越少，因之其分布状况呈现“中间大、两头小”及某种程度的对称性（即近似于正态分布）。

大数律及中心极限定理就是描述和论证这些规律性的。

在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中某一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就是概率论中的随机过程。

例如，微小粒子在液体中因受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动）也是一随机过程。

研究随机过程的统计特性，计算与过程有关的某些事件的概率，特别是研究与过程样本轨道（即过程的一次实现）有关的问题，是现代概率论的主要课题。

总之，概率论与实际有着密切的联系，它在自然科学、技术科学、社会科学、军事和工农业生产中都有广泛的应用。

我认为在概率的发展史中，随机变量的引入是一个重大的进步，将研究对象有随机事件发展为随机变量，使其得以用数学的语言来表述，将工科数学分析的成果应用于此，将其函数化，并利用微积分的方法来研究。

漫谈概率论与数理统计中的哲学思想
概率论与数理统计将哲学思想完美融入其中，它们尤其出现在现有思想体系中，无论是管理、经济、金融还是计算机科学，都大量应用着概率论与数理统计理论。

从量化角度看，概率论与数理统计是系统思考的重要技术手段和实践指导手段，这些理论不仅有助于探索复杂的自然实践，掌握脉络，它还帮助人们建立科学的思维，研究和解决一些领域中的实际问题。

在哲学上，概率论与数理统计把人们置于两个不同的思想系统中，这两种思维
分别是理性和感性，理性指的是概率论与数理统计的数学分析方法，它用于解释和控制系统的行为，而感性则指的是社会学和心理学的研究，用来探究异类系统的思维，以解释它们在社会关系中的表现形式。

此外，概率论与数理统计也提升了我们对物体之间关系的认知，为人们更深入地理解系统之间关系提供了可能性。

概率论与数理统计对哲学思想也有一些影响，它可以帮助我们讨论和考虑世界
的真实含义，让我们更深入地清楚自然规律和抽象结构的思考。

人们可以通过概率论与数理统计理论来了解物理、社会等多学科之间的关系，全面解读世界的本质，以此为基础系统地构建一个哲学理论，对待各种问题有一个因果贯通的宏观看法。

因此可以看出，概率论与数理统计在现有思想体系中扮演着重要角色，不仅可
以用于理性推理，更有助于形成人们关于世界真实本质的哲学思想，为学术界、行业界乃至社会更加深刻地了解真理贡献了精神力量。

《概率论与数理统计》笔记
概率论与数理统计是一门关注数学中模型与统计学之间关系的学科，它广泛应用于多
学科，如金融、制造业、社会研究、生物学等。

该学科通过训练统计学家，使他们能够正
确地估算、模拟、识别实际问题。

概率论的基本思维是发现或认识事件可能发生的概率。

它的概念源自古典概率论，尤
其是科学家蒙特马克的研究，利用统计抽样了解不完全知识的情况。

概率论用来描述不同
事件之间相互作用的关系和支配这些事件的规律。

概率论不仅涉及单个事件的概率，也包
括有关许多独立事件及其相关概率的多事件概率论。

数理统计主要用来收集、组织、分析数据，推断一般情况下的规律和趋势，其中使用
了广泛的数理方法。

它可以帮助人们做出有意义的结论，从而帮助他们把控不确定性的环境。

数理统计从双重意义上来看，既是一门理论学科，又是一门实践性学科，它融合了数学、统计学和计算机的优势，把这些优势应用于许多实际问题，如质量控制、流行病模型、社会研究等。

概率论与数理统计并不是一门独立的学科，它们是两个相互渗透和紧密相关的学科。

概率论提供了统计学家用来描述系统未来行为的模型，而数理统计则可以用来理解和控制
数据的变化和潜力。

这两门学科的知识和技术能够实现精确测量、预测和决策，进而实现
有效的事实分析。

对《概率论与数理统计》这门课的认识
概率论与数理统计是一门重要的统计学课程，也是一门重要的概
率学课程。

它分析统计学中的概率模型，它致力于向人们介绍概率论。

概率论与数理统计的主要内容包括概率的概念及概率论的基本方法，
数学期望的概念，概率分布的假设,以及多元抽样，统计推断。

概率论与数理统计的主要任务是探讨不确定性的特征，用现实的
数据来研究特定的问题，认识概率分布的形式，学会建模，持续进行
估计，以及构建分析方法，以提供有效的管理与决策。

在统计资料上，学习对概率分布和概率关系的分析，建立模型和统计推断方法。

通过学习概率论与数理统计，可以更好地了解模型和方法，建立
合理有效的统计模型，估计模型参数，建立总结表，扩展分析应用现
实问题，研究所求解的方法是否有效，提供实用的应用解决方案，用
数据建立可靠的观点，做出准确的结论。

总之，概率论与数理统计被认为是重要的学科，通过学习，可以
认识和掌握现代统计学的有效方法，从而更好的掌握数字检验，推断
统计方法，支持和指导工作行为，探索复杂事务中的解释与趋势，有
助于提高科学技术水平，改善社会经济状况。

从哲学的角度探讨概率论与数理统计中的辩证思维，教师若能以哲学思想来指导教学，在教学中自觉地渗透辩证的思维方法，不仅能提高学生的学习数学的效率，也能取得更好的教学效果．概率论与数理统计作为理工科专业重要的基础课之一，一直以来受到广大师生的重视，有关这方面的教研论文很多，但从哲学角度来探讨这方面的论文却较少．本文主要从以下几个方面谈谈概率论与数理统计中蕴含的哲学思想：1对立统一规律马克思主义哲学告诉我们，对立统一规律是辩证法的实质与核心．概率论是对随机现象统计规律演绎的研究，随机现象是偶然的，但又有一定的规律性，偶然中蕴含着必然．必然性是客观事物在发展过程中合乎规律的、确定不移的趋势；而偶然性则是事物发展过程中不确定的、并非必定如此的趋势．必然性和偶然性虽是事物联系和发展的两种对立趋势，但两者又是相互统一的．频率与概率是两个对立的概念，概率是从频率中抽象出来的，是频率的稳定值；而频率则是概率的具体体现，是概率的近似值．概率是抽象的、难测的、人们生疏的；频率是具体的、易测的、人们熟悉的．因此利用频率来认识概率是科学的，也是十分必要的．频率是随着试验的发生而发生的，其值是不断变化的（变数），而概率是先于试验而客观存在的，是随机事件发生可能性大小的度量（常数）．概率的统计定义是利用频率来刻画概率的，频率是概率收敛于概率，这反映了常量与变量的辩证统一．二项分布属于离散型，正态分布属于连续型，拉普拉斯中心极限定理表述了二项分布的极限分布是正态分布，这充分体现了离散与连续的辩证统一关系．统计推断的思想方法同样有着深刻的哲理，从局部推断整体，可以说是数理统计的一个特点．它是对有关信息缺乏完全掌握的情况下进行的归纳推理方法，是一种定量的推理技术，从局部观察要对总体下结论，这种推理的可行性与可靠性，尚有赖于局部样本个性（特殊性）和总体共性（普遍性）之间的一种内在的对立统一的辩证关系．如果抽样和推理完全建立在可靠的科学基础之上（即按随机性原则抽样，加上科学的推理方法），则总体的推断是可能的，而且结论是可靠的．统计推断的思想方法反映了“每一事物内部不但包括了矛盾的特殊性，而且包含矛盾的普遍性，普遍性存在于特殊性之中”．统计推断的结论，往往是在某一“可靠性水平”下给出的，这种矛盾的特殊性与普遍性的辩证统一，贯穿于数理统计的始终．2质量互变规律量变和质变，是事物发展变化的两种基本形式，量变是质变的必要准备，质变是量变的必然结果，当量变达到一定程度，突破事物的度，就产生质变．“实际推断原理”指出“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎不发生”，小概率事件在一、两次试验中一般不会发生，但在大量重复试验时这个事件几乎是必然发生．事实上，设事件Ａ在一次试验中发生概率Ｐ＝（Ａ）＝ｐ（０＜ｐ＜１），则Ｐ（Ａ）＝１－ｐ．在ｎ次重复独立试验中Ａ都不发生的概率为（１－ｐ）ｎ，于是在ｎ次重复独立试验中Ａ至少发生一次的概率为１－（１－ｐ）ｎ，当ｎ→∞时，由０＜１－ｐ＜１知１－（１－ｐ）ｎ→１，这就表明事件Ａ迟早会发生．这就是为什么自然界发生地震、海啸、泥石流、交通事故等等都是必然发生的、不可避免的原因．3无限和有限无限与有限是相互依赖、相互渗透并在一定条件下可以相互转化．在概率论中有时我们需要把无限转化为有限的情况，有时又要把有限转化或推广到无限的情形．例1任取一个正整数，求该数的平方的个位数是１的概率．解如果我们把正整数的全体取为样本空间，这样的空间是无限的，同时也不好谈等可能．于是要考虑在保证等可能的情况下，将无限转化为有限，一个正整数的平方的个位数只取决于该整数的个位数，它们可以是０，１，…，９这十个数字中的任一个，即取样本空间．Ω＝｛０，１，…，９｝．而欲求概率对应的事件Ａ＝｛１，９｝，所以．Ｐ（Ａ）＝２＝１．例2甲、乙、丙、丁４人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外３人中的任何１人，球经过ｎ次传球后，球在甲手中的概率记为ｐｎ（ｎ＝０，漫谈概率论与数理统计中的哲学思想贾朝勇（蚌埠学院数理系，安徽蚌埠233000）摘要：概率论与数理统计中蕴含着丰富的哲学思想,如对立统一规律、质量互变规律等等.教师若在讲授概率论与数理统计过程中加强哲学思想的渗透，将会取得更好的教学效果.关键词：概率论；对立统一规律；质量互变规律;实践中图分类号：Ｇ６４２文献标识码：A文章编号：1673-260X （2011）09-0001-02Vol.27No.9Sep.2011第27卷第9期2011年9月赤峰学院学报（自然科学版）Journal of Chifeng University （Natural Science Edition ）基金项目：安徽省高等学校优秀青年人才科研资助项目（2010SQR L115）１－－１，…，），求Ｐｎ＋１和ｐｎ的关系式，并求出ｐｎ的表达式及ｌｉｍｎ→∞ｐｎ．解记Ａｎ为事件“球经过ｎ次传递后，球在甲手中”（ｎ＝１，２，…），则有Ｐ（Ａ１）＝０，即ｐ１＝０．由于Ａｎ＋１＝ＡｎＡｎ＋１＋ＡｎＡｎ＋１，因而Ｐ（Ａｎ＋１）＝Ｐ（ＡｎＡｎ＋１）＋Ｐ（ＡｎＡｎ＋１）＝Ｐ（ＡｎＡｎ＋１）＝１（１－ｐｎ）所以ｐｎ＋１和ｐｎ的关系式为ｐｎ＋１＝１（１－ｐｎ）（ｎ＝１，２，…）（１）将（１）式变形为ｐｎ＋１－１＝－１（ｐｎ－１）所以ｐｎ－１是公比为－１，首项为ｐ１－１＝－１的等比数列．故有ｐｎ－１４＝－１４（－１３）ｎ－１即ｐｎ＝１４［１－（－１３）ｎ－１］（２）由（２）可得ｌｉｍｎ→∞ｐｎ＝１４．4联系的观点在概率论教学中，教师若能运用辩证法中的联系观点来分析概率论知识，不仅能使抽象的概率论内容具体化、形象化，而且增强学生学习的信心，提高学生学习数学的能力．概率论中随机事件间的关系及运算有事件的并、交、差、逆等等，如撇开其符号所表示的内容，则与集合论知识中的并集、交集、差集、补集等具有相同的表示形式，所以教师教学上联系集合论知识，学生会在原有知识的基础上，能够很快顺利的理解和掌握随机事件之间的关系及运算．连续型随机变量分布函数和密度函数把积分和求导联系起来了，它们有如下关系：Ｆ（ｘ）＝ｘ－∞乙ｆ（ｔ）ｄｔ；若ｆ（ｘ）在ｘ处连续，则Ｆ＇（ｘ）＝ｆ（ｘ）．根据变量的取值情况分为离散型随机变量和非离散型随机变量．一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量．非离散型随机变量中主要研究的是连续型随机变量，离散型随机变量和连续型随机变量是概率论所研究的随机变量中的两种最主要类型，离散型比较简单，能较好地阐述概率思想、说明方法；连续型相对比较复杂，在学习过程中要善于将离散与连续型联系对比，融会贯通．这样，就可以将离散型的概念和结果“移植”到连续型情形．概率分布在离散中扮演的角色与密度函数在连续中扮演的角色相同，分布函数和特征函数是离散与连续对立统一的数学表现形式．在研究连续型随机变量的概率分布时，可以用离散化方法，反过来离散型随机变量的分布在一定的条件下又以连续型分布为极限．例如，指数分布具有其特有的性质———“无记忆性”，即设Ｘ￣Ｅ（λ），则对任意非负实数ｘ，ｙ，有Ｐ（Ｘ＞ｘ＋ｙ｜Ｘ＞ｘ）＝Ｐ（Ｘ＞ｙ）．既然连续型随机变量中指数分布具有“无记忆性”，那么离散型随机变量有没有类似的分布呢？其实几何分布Ｘ￣Ｇ（ｐ），Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ｐｑｋ－１（０＜ｐ＜１，ｑ＝１－ｐ），则对任意非负整数ｍ，ｎ，有Ｐ（Ｘ＞ｍ＋ｎ｜Ｘ＞ｍ）＝Ｐ（Ｘ＞ｎ）．即几何分布也具有“无记忆性”．有趣的是指数分布是连续型随机变量中唯一具有“无记忆性”的分布，而几何分布也是离散型随机变量中唯一具有“无记忆性”的分布．更使人惊奇的是，指数分布与几何分布除具有某些相似的性质外，二者之间还存在某种内在联系．事实上，设Ｘ￣Ｅ（λ），则，Ｐ（ｋ－１＜Ｘ≤ｋ）ｋｋ－１乙λｅ－λｘｄｘ＝ｅ－λ（ｋ－１）（１－ｅ－λ）＝ｐｑｋ－１（ｋ＝１，２，…）其中ｐ＝１－ｅ－λ，ｑ＝ｅ－λ．记Ｙ为离散型，｛Ｙ＝ｋ｝＝｛ｋ－１＜Ｘ≤ｋ｝，则Ｐ（Ｙ＝ｋ）＝ｐｑｋ－１亦即ｙ￣Ｇ（ｐ）．上述过程可理解为将参数为λ的指数分布Ｅ（λ）离散化为参数为ｐ＝１－ｅ－λ的几何分布Ｇ（Ｐ）．两个事件独立和二维随机变量独立类似，事实上，对事件Ａ、Ｂ，若Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）成立，则称事件Ａ、Ｂ相互独立；相应的对二维随机变量（Ｘ，Ｙ），若Ｆ（ｘ，ｙ）＝ＦＸ（ｘ）ＦＹ（ｙ），坌ｘ，ｙ∈Ｒ成立，称随机变量Ｘ与Ｙ相互独立，或对于二维连续型随机变量（Ｘ，Ｙ）独立也可以用密度函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆＸ（ｘ）ｆＹ（ｙ），坌ｘ，ｙ∈Ｒ，成立来定义，对于二维离散型随机变量独立也可以用分布律Ｐｉｊ＝Ｐｉ·Ｐ·ｊ，坌ｉ，ｊ∈Ｎ成立来定义．同样，已知事件的条件概率的定义和二维随机变量条件密度函数的定义也是相似．5实践的观点实践是认识的起点，也是认识的归宿．概率论源于实践，最终还要应用于实践，接受实践的检验．例如，在一次随机试验的结果完全是受偶然性支配的，没有什么规律性可言，但是当试验大数次地进行时，随机试验的结果就会呈现出某种规律性，这就是所谓的“统计规律性”．这种统计规律性几乎全是人们在实践中总结、归纳、提炼出来的，这不仅由实践升华出了“概率”的统计定义，而且还导出了一个著名的贝努里大数定律一一频率“依概率收敛”于概率．这充分反应了数学家们尊重实践、尊重客观统计规律的科学精神．极大似然估计法也充分体现了数理统计源于实践．因为在随机试验的实际观测中，既然子样（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）出现了，这就表明试验条件对这个子样的出现“最为有利”，因而在所有的子样中，随机子样出现在这个子样（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）领域内的可能性（即概率）就应该最大，相应的似然函数值就应该达到最大．这正是实践观点的具体体现，这也是与人们长期实践的经验相吻合的．“实际推断原理”是一个用实践证明的真理，概率很小的事件在一次试验中“实际上是不可能发生的”．这个原理的正确性不是用纯粹数学的逻辑推理来证明的，而是用实践经验来证明的，这不仅没有什么问题，而且恰好是“实践是检验真理的唯一标准”这一基本哲学观点的具体体现．在进行概率论与数理统计的教和学的过程中，有必要研究它与哲学的内在联系，从哲学的视野来看待这门课程，这不仅是学习概率论与数理统计的需要，而且也是教学与研究的需要．———————————————————参考文献：〔1〕胡满峰,魏国强.化解概率论习题难点的若干方法[J].高等数学研究,2008,11(1):109-112.〔2〕孙世良.概率论中的若干典型问题[J].大学数学,2008,24(1):155-161.〔3〕王爱茹,刘福会.漫谈数学中的哲学思想[J].高等农业教育,2005(6):60-62.〔4〕张栋栋,张德然.概率论思维及其智力品质的培养[J].大学数学,2005,21(5):103-108.〔5〕张焱.偶然与必然的辨证法--概率论教学札记之二[J].四川师范学院学报(高教研究专号),1995(5):89-90.〔6〕赵晓青,戎晓剑,董文雷.概率论中三种重要分布的归一性研究[J].石家庄铁路职业技术学院学报,2008,7(3):72-75.２－－。