2018北京高三二模数学理分类汇编--概率与统计
二、解答题
1、（2018西城二模）（本小题满分13分）
在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得
（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；
（Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率； （III ）某研究机构提出，可以选取常数*00.5()X n n =+∈N ，若一名从业者该项身体指标
检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的0X 的值及相应的概率（只需写出结论）．
2、（2018海淀二模）（本小题13分）
某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：
（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；
（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为1x ，2
1s ，考核成绩的平均数
和方差分别为2x ，22s ，试比较1x 与2x ， 21s 与2
2s 的大小.（只需写出结论）
3、（2018东城二模）（本小题13分）
某银行的工作人员记录了3月1号到3月15日上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数，
如图所示：
从这15天中，随机选取一天，随机变量X 表示当天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数.
（Ⅰ）请把X 的分布列补充完整；
（Ⅱ）令m 为X 的数学期望，若()0.5,P n X
n m m -＃+>求正整数n 的最小值；
（Ⅲ）由图判断，从哪天开始的连续五天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数的均值最大？（结论不要求证明）
4、（2018朝阳二模）（本小题满分13分）
某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量,对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分.每项评分最低分0分,最高分100分.每个景点总分为这五项得分之和,根据考核评分结果,绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下:
请根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（Ⅰ）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个,求其安全得分大于90分的概率; （Ⅱ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个,记安全得分不大于90分的景点个数为
ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望;
（Ⅲ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ,安全平均得分为2x ,写出1x 与2x 的大小关
系.（只写出结果）
5、（2018丰台二模）（本小题共13分）
某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A 组的客户，“⊙”表示B 组的客户．
注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． （Ⅰ）记A ，B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ，n ，根
据图中数据，试比较m ，n 的大小（结论不要求证明）； （Ⅱ）从A ，B 两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A 组的客户的概率；
年龄（岁）
70
605040302010
（III）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．
（16）（本小题共13分）
6、（2018昌平二模）（本小题13分）
为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI）如下图所示：
根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：
（Ⅰ）试估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；
（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C：“A地区空气质量等级优于B地区空气质量等级”. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率.
（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区.（只需写出结论）
7、（2018顺义二模）（本小题满分13分）
2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2
铜的成绩结
束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：
（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；
（Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．
8、（2018房山二模）（本小题13分）
1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[)
2030
，，[)
30,0
4，???，[)
80,09，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）估计其阅读量小于60本的人数；
（Ⅱ）已知阅读量在[)2030，，[)30,04，[)4050，内的学生人数比为2:3:5.为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[)20,04内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用X 表示所选学生阅读量在[)2030，内的人数，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．
2018北京高三二模数学理分类汇编--概率与统计
答案
一、选择、填空题
1、（朝阳区2019届高三一模）
2、（东城区2019届高三一模）
3、（丰台区2019届高三一模）
4、（海淀区2019届高三一模）
5、（怀柔区2019届高三一模）
6、（门头沟区2019届高三一模）
7、（石景山区2019届高三一模）
8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））
9、（西城区2019届高三一模）
10、（延庆区2019届高三一模）
11、（房山区2019届高三一模）
12、（平谷区2019届高三一模）
二、解答题
1、（2018西城二模）（本小题满分13分）
在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得
（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；
（Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率； （III ）某研究机构提出，可以选取常数*00.5()X n n =+∈N ，若一名从业者该项身体指标
检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的0X 的值及相应的概率（只需写出结论）．
解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为 3.4
100408.5
?
=人． 10.100.350.250.150.100.05a =-----=， 10.100.200.300.40b =---=
（Ⅱ）指标检测数据为4的样本中，
有患病者400.208?=人，未患病者600.159?=人． 设事件A 为“从中随机选择2人，其中有患病者”．
则 29217C 9
(A)C 34
P ==，
所以 25(A)1(A)34
P P =-=
． （Ⅲ）使得判断错误的概率最小的0 4.5X =．
当0 4.5X =时，判断错误的概率为
21100
． 2、（2018海淀二模）（本小题13分）
某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：
（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；
（Ⅲ）记抽取的10
名学生第一轮测试的平均数和方差分别为1x ，2
1s ，考核成绩的平均数
和方差分别为2x
，22s ，试比较1x 与2x ， 21s 与2
2s 的大小.（只需写出结论）
解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：
93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．
其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人.
所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为：
6
0.610
=， 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6. （Ⅱ）设事件A ：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分.
由（Ⅰ）知，上述考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人.
所以，232631
()155
C P A C ==
=. （Ⅲ）12x x =，22
12s s >.
3、（2018东城二模）（本小题13分）
某银行的工作人员记录了3月1号到3月15日上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数，
如图所示：
从这15天中，随机选取一天，随机变量X 表示当天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数.
（Ⅰ）请把X 的分布列补充完整；
（Ⅱ）令m 为X 的数学期望，若()0.5,P n X n m m -＃+>求正整数n 的最小值；
（Ⅲ）由图判断，从哪天开始的连续五天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数的均值最大？（结论不要求证明） 解：（I ）X 的分布列分别为
（Ⅱ）由（I ）可得X 的数学期望
1211211
()89101112131410315515151515
E X =?
??????.
所以10m =.
因为62
(101101)0.5155
P X -＃+=
=<, 5231213
(102102)0.5,1515
P X ++++-＃+==>
所以2n =.
（Ⅲ）第10日或第11日
4、（2018朝阳二模）（本小题满分13分）
某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量,对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分.每项评分最低分0分,最高分100分.每个景点总分为这五项得分之和,根据考核评分结果,绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下:
请根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（Ⅰ）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个,求其安全得分大于90分的概率;
（Ⅱ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个,记安全得分不大于90分的景点个数为
ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望;
（Ⅲ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ,安全平均得分为2x ,写出1x 与2x 的大小关系.（只写出结果）
【解析】（Ⅰ）由图可知,交通得分前5名的景点中安全得分大于90分的景点有3个.故从交通得分前5名的景点中任取1个,其安全得分大于90分的概率为35
（Ⅱ）由图可知,景点总分前6名的安全得分不大于90分的景点有2个.设从景点总分前6名的景点中任取3个,安全得分不大于90分的个数为ξ,则ξ的取值为0,1,2
所以34361(0)5C P C ξ===
21423
63
(1)5C C P C ξ===
12
42361
(2)5C C P C ξ===
故ξ的分布列为
所以131
0121555
E ξ=?+?+?=
（Ⅲ）1
2x x >
5、（2018丰台二模）（本小题共13分）
某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号
电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A 组的客户，“⊙”表示B 组的客户．
注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． （Ⅰ）记A ，B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ，n ，根
据图中数据，试比较m ，n 的大小（结论不要求证明）； （Ⅱ）从A ，B 两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A 组的客户的概率； （III ）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达
人”．从A ，B 两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ． 解：（Ⅰ）m n <．
（Ⅱ）设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是A 组的客户”为事件M ，则
1121010102
2029
()38
C C C P M C +==． 所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A 组的客户的概率是29
38
． （III ）依题意ξ的可能取值为0，1，2．
则11
9811101018
(0)25C C P C C ξ===；1111189211
101013(1)50C C C C P C C ξ+===； 111211
10101
(2)50
C C P C C ξ===． 所以随机变量ξ的分布列为：
所以随机变量ξ的数学期望01225505010
E ξ=?
+?+?=．
年龄（岁）
605040302010
即10
3=
ξE ． 6、（2018昌平二模）（本小题13分）
为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ）如下图
根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：
（Ⅰ）试估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；
（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C ：“A 地区空气质量等级优于B 地区空气质量等级”. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率.
（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A ，B 两地区哪个地区.（只需写出结论）
解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为510.7520-=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地
区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274?≈天. （Ⅱ）记1A 表示事件：“A 地区空气质量等级为优良”；
2A 表示事件：“A 地区空气质量等级为轻中度污染”； 1B 表示事件：“B 地区空气质量等级为轻中度污染”； 2B 表示事件：“B 地区空气质量等级为重度污染”，
则1A 与1B 独立，2A 与2B 独立，1B 与2B 互斥，111222C A B A B A B =U U . 所以111222()()P C P A B A B A B =U U
111222()()()P A B P A B P A B =++
111222()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++.
由所给数据得1A ，2A ，1B ，2B 发生的频率分别为34，15，1
5，320
.
故13()4P A =
，21()5P A =，11()5P B =，23
()20
P B =， 所以31313()()0.2925.4520520
P C =?++?=
（Ⅲ）从空气质量角度，建议选择A 地区居住 7、（2018顺义二模）（本小题满分13分）
2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2
铜的成绩结
束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：
（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；
（Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望． 解：（Ⅰ）不妨设女生人数为X ，男生人数为Y ，则可得X-Y=4（1）
又由分层抽样可知，65X Y
=
（2）
联立（1）（2）可解得X=24，Y=20
（Ⅱ）设该生持满意态度为事件A ，则基本事件的总数有11种，事件A 中包含的基本事件有6种，所以
()6
11P A =
（Ⅲ）ξ的可能取值有0，1，2
=0ξ对应的事件为从该班11名调查对象中抽取2人，2人中恰好有0人持满意态度
基本事件的总数为211C =55，其中包含的基本事件数有2
510C =种
所以()10205511
P ξ==
= 同理：()116521*********C C P C ξ?====，()262
11C 153
2=C 5511
P ξ=== 所以分布列为：
所以期望26312E =0+1+2=11111111ξ?
??
8、（2018房山二模）（本小题
分）
1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散
居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成
7组[)2030，，[)30,04，???，[)80,09，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）估计其阅读量小于60本的人数；
（Ⅱ）已知阅读量在[)2030，，[)30,04，[)4050，内的学生人数比为2:3:5.为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[)20,04内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用X 表示所选学生阅读量在[)2030，内的人数，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）． 解：（Ⅰ）100-100?10?（0.04+0.02?2）=20（人） （Ⅱ）由已知条件可知： [)2050，
内人数为：100-100?10?（0.04+0.02+0.02+0.01)=10 [)200，3人数为2人，[)300，4人数为3人，[)4050，
人数为5人.
X 的可能取值为0,1,2
P(X=0)=10
13502
3
3
=C C C P(X=1)=53351223=C C C P(X=2)=103352
213=C C C 所以X 的分布列为
012105105
=?
+?+?=EX （Ⅲ）第五组