课堂导学三点剖析一、正态分布的性质【例1】 正态总体N （0，1）的概率密度函数是 f(x)=2221x e-π.x ∈R .(1)求证：f(x)是偶函数； （2）求f(x)的最大值；(3)利用指数函数的性质说明f(x)的增减性. 解：（1）对于任意的x ∈R ， f(-x)=2)(221x e--π=2221x e-π=f(x)∴f(x)是偶函数.(2)令z=22x ,当x=0时，z=0，e z =1,∵e z 是关于z 的增函数，当x≠0时，z ＞0,e z ＞1,∴当x=0,即z=0时，z x e e =22取得最小值.∴当x=0时，f(x)=2221x e-π取得最大值π21.(3)任取x 1＜0,x 2＜0,且x 1＜x 2,有x 12＞x 22,∴221x -＜-222x ,∴221x e -＜222x e -,∴22222121x x ee--<ππ即f(x 1)＜f(x 2)它表明当x ＜0时，f(x)是递增的.同理可得，对于任取的x 1＞0,x 2＞0,且x 1＜x 2，有f(x 1)＞f(x 2),即当x ＞0时，f(x)是递减的. 二、利用正态分布的密度函数求概率 【例2】 设ξ服从N （0，1），求下列各式的值：（1）P （ξ＞2.35);(2)P(ξ＜-1.24);(3)P(|ξ|＜1.54).分析：因为ξ服从标准正态分布，所以可借助于标准正态分布表，查出其值，由于表中只列出x 0＞0,P(ξ＜x 0)=Φ（x 0)的情形，其他情形需用公式：Φ（-x)=1-Φ(x);P(a ＜ξ＜b)=Φ（b)-Φ(a);和P （ξ＞x 0)=1-P(ξ＜x 0)进行转化. 解析：（1）P(ξ＞2.35)=1-P(ξ＜2.35)=1-Φ(2.35)=1-0.990 6=0.009 4; (2)P(ξ＜-1.24)=Φ(-1.24)=1-Φ(1.24)=1-0.892 5=0.107 5;(3)P(|ξ|＜1.54)=P(-1.54＜ξ＜1.54)=Φ(1.54)-Φ(-1.54)=2Φ(1.54)-1=0.876 4. 温馨提示对于标准正态分布N （0，1）来说，总体在区间（x 1,x 2)内取值的概率P （x 1＜ξ＜x 2)=φ(x 2)-φ(x 1)的几何意义是：介于直线x=x 1和x=x 2间，x 轴上方，总体密度曲线下方的阴影部分面积.三、正态分布的应用【例3】 从南部某地乘车前往北区火车站搭汽车有两条线路可走，第一条线路穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布N(50,100)，第二条线路沿环城路走，线路较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N （60，16），试计算 (1)若有70分钟时间可用，应走哪条线路？（2）若有65分钟时间可用，又应走哪条线路？ 解析：（1）有70分钟时走第一条线路及时赶到的概率为： P （ξ≤70)=Φ(105070-)=Φ(2)=0.977 2. 走第二条线路及时赶到的概率为 P （ξ≤70）=Φ(46070-)=Φ(2.5)=0.993 8. 所以，应走第二条线路.（2）只有65分钟可用时，走第一条线路及时赶到的概率为： P(ξ≤65)=Φ(105065-)=Φ(1.5)=0.933 2. 走第二条线路及时赶到的概率为 P （ξ≤65）=Φ(45065-) =Φ(1.25)=0.894 4.所以，应走第一条线路. 温馨提示正态分布是自然界中最常见的一种分布，例如测量的误差，人的生理特征的某些数据，学生的考试成绩等，它广泛存在于自然现象及科学技术的许多领域中，在实际应用中，当给定一个标准的正态分布N （0，1）以后，设P （ξ＜x ）=P,结合标准的正态分布表可求两个方面的问题：一是已知x 的值求概率P ；二是已知概率P 的值求x 的值.若ξ—N(μ,σ2)，则σμξ-—N(0,1),从而把一般的正态分布转化为标准的正态分布. 各个击破【类题演练1】下列函数是正态密度函数的是( ) A.f(x)=22)(21σσπσ-x eB.f(x)=2222x e -=ππC.f(x)=4)1(2221-x eπD.f(x)=2221x e π思路分析：对照正态密度函数f(x)=222)(21σμπσ--∙x e易知B 选项正确.此时σ=1，μ=0.答案：B【变式提升1】把一正态曲线C 1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C 2，下列说法不正确的是 ( ) A.曲线C 2仍是正态曲线B.曲线C 1，C 2的最高点的纵坐标相等C.以曲线C 2为概率密度曲线的总体的方差比的曲线C 2为概率密度曲线的总体的方差大2D.以曲线C 2为概率密度设曲线的总体的均值比以曲线C 1为概率密度曲线的总体的均值大2 思路分析：正态密度函数为f(x)=222)(21σμπσ--x e,正态曲线对称轴为x=μ,曲线最高点纵坐标为f(μ)=πσ21,所以曲线C 1向右平移2个单位后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f(μ)没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位，所以均值μ增大2个单位. 答案：C【类题演练2】若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的，如果某地成年男子的身高ξ—N(175,62)(单位：cm ），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？解析：设该地公共汽车门的高度应设计为x cm,则根据题意可知：P （ξ＞x)＜1%,由于ξ—N(175,62)，所以P(ξ＞x)=1-P(ξ＜x)=1-Φ(6175-x )＜0.01;也就是：Φ(6175-x )＞0.99,查表可知：6175-x ＞2.33;解得x ＞188.98，即该地公共汽车门至少应设计为189 cm 高. 【变式提升2】某镇农民年平均收入服从μ=500元，σ=20元的正态分布，（1）求此镇农民年平均收入在500元—520元间人数的百分比；（2）如果要使农民的年收入在(μ-a,μ+a)内的概率不小于0.95，则a 至少为多大？解析：设ξ表示此镇农民的年收入，由已知ξ—N （500，202）. （1）P （500＜ξ＜520) =Φ(20500520-)-Φ(20500500-)=Φ（1）-Φ（0）=0.341 3.这说明此镇农民平均收入在500元—520元间的人数约为34%.（2）令P(μ-a ＜ξ＜μ+a)=Φ(20a )-Φ(-20a )≥0.95,则有Φ(20a )-［1-Φ(20a )］≥0.95,有2Φ(20a )-1≥0.95，所以Φ(20a)≥0.975，由于Φ(x)是增函数，故查表得(20a)≥1.96,所以a ＞39.2，因此要使农民的平均收入在（500-a,500+a ）内的概率不小于0.95，a 不能小于39.2.【类题演练3】某班有48位同学，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80分，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？解析：设x 表示这个班的数学成绩，则x 服从N （80，102），P （80＜x ＜90）=Φ(108090-)-Φ(108080-)=Φ(1)-Φ(0),查标准正态分布表得 Φ(1)=0.841 3,Φ(0)=0.500 0,故P(80＜x ＜90)=0.841 3-0.500 0=0.341 3.所以从理论上讲在80分至90分之间有48×0.341 3=16.382 4≈16(人).【变式提升3】已知测量误差ξ—N(7.5,100),(单位cm),则必须进行多少次测量才能使至少一次测量的绝对误差不超过10 cm 的概率大于0.9?解析：设测量的绝对误差不超过10 cm 的概率为p ，则 p=P(|ξ|≤10) =Φ(105.710-)-Φ(105.710--) =Φ(0.25)-Φ(-1.75)=Φ(0.25)-［1-Φ(1.75)］ =Φ(0.25)+Φ(1.75)-1=0.598 7+0.959 9-1=0.558 6.设η表示n 次测量中绝对误差不超过10 cm 的次数，则η—B(n,p),由P(η≥1)＞0.9得1-P （η=0）＞0.9,即1-0n C 0.558 60(1-0.558 6)n ＞0.9,(0.441 6)n ＜0.1.解得n ＞4414.0lg 1-=2.815;所以至少要进行3次测量.。
