浙江2019届高三数学一轮复习典型题专项训练平面向量

第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念平行四边形法则向量a(a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa. [小题体验]1．下列四个命题中，正确的命题是( ) A ．若a ∥b ，则a ＝b B ．若|a|＝|b|，则a ＝b C ．若|a|＝|b|，则a ∥b D ．若a ＝b ，则|a|＝|b|答案：D2．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( ) A ．共线 B ．不共线 C ．共线且同向 D ．不一定共线答案：D3．若D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD ―→等于( ) A ．－BC ―→＋12BA ―→B ．－BC ―→－12 BA ―→C ．BC ―→ －12BA ―→D ．BC ―→＋12 BA ―→答案：A4．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a)共线，则λ＝________. 答案：－131．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误． 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [小题纠偏]1．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________. 解析：|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2. 答案：22．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b|＝|a|＋|b|，则p 是q 的________条件．解析：若a ＝b ，则|a ＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p ⇒q . 若|a ＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p . ∴p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要考点一 平面向量的有关概念基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a|a 0；③若a 与a 0平行且|a|＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a|a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列说法中错误的是( )A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 和b 不共线，则a 和b 都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等解析：选C 选项A 中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B 中零向量与任意向量共线，故a ，b 都是非零向量，故正确；选项C 中是共线向量，故错误；选项D 中既然方向相反就一定不相等，故正确．3．(易错题)给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c. 其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c.②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a ＝b ，故|a|＝|b|且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. 答案：①②[谨记通法]向量有关概念的5个关键点 (1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0.(5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第3题易混淆有关概念． 考点二 向量的线性运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2018·武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→等于( )A ．OM ―→B ．2OM ―→C ．3OM ―→D ．4OM ―→解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→.2．(2018·温州模拟)在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( ) A.12AB ―→＋12AD ―→ B ．34AB ―→＋12AD ―→C.34AB ―→＋14AD ―→ D.12AB ―→＋34AD ―→ 解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋AD ―→＋12 AB ―→ ＝34AB ―→＋12AD ―→.3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝12AB ―→＋23BC ―→＝12AB ―→＋23(BA ―→＋AC ―→)＝－16AB ―→＋23AC ―→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：12[谨记通法]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考点三 共线向量定理的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )·AC ―→，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析：选 D 设CO ―→＝y BC ―→，∵AO ―→＝AC ―→＋CO ―→＝AC ―→＋y BC ―→＝AC ―→＋y (AC ―→－AB ―→)＝－y AB ―→＋(1＋y ) AC ―→，∵BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.2．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b)， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ，∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b)＝5AB ―→. ∴AB ―→，BD ―→共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ>0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b)， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b.∴(k －λ)a ＝(λk －1)b. ∵a ，b 是不共线的两个非零向量，⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，又∵λ>0，∴k ＝1.[由题悟法]共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]1．已知向量e 1与e 2不共线，且向量AB ―→＝e 1＋me 2，AC ―→＝ne 1＋e 2，若A ，B ，C 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )A ．mn ＝1B ．mn ＝－1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1解析：选A 因为A ，B ，C 三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得AB ―→＝λAC ―→，所以有e 1＋me 2＝n λe 1＋λe 2，由此可得⎩⎪⎨⎪⎧1＝n λ，m ＝λ，所以mn ＝1.2．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB ―→＝a ，AC ―→＝b.(1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ， 所以AG ―→＝a ＋b ， AD ―→＝12AG ―→＝12(a ＋b)，AE ―→＝23AD ―→＝13(a ＋b)，AF ―→＝12AC ―→＝12b ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13(a ＋b)－a ＝13(b －2a)，BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12b －a ＝12(b －2a)．(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→，又因为BE ―→，BF ―→有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若AB ―→＋AD ―→＝λAO ―→，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．6解析：选B 根据向量加法的运算法则可知，AB ―→＋AD ―→＝AC ―→＝2AO ―→，故λ＝2. 2．在△ABC 中，AD ―→＝2DC ―→，BA ―→＝a ，BD ―→＝b ，BC ―→＝c ，则下列等式成立的是( ) A ．c ＝2b －a B ．c ＝2a －b C ．c ＝32a －12bD ．c ＝32b －12a解析：选D 依题意得BD ―→－BA ―→＝2(BC ―→－BD ―→)， 即BC ―→＝32BD ―→－12BA ―→＝32b －12a.3．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b)＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→.又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．4．(2018·扬州模拟)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ―→＝12NC ―→，P 是BN 上一点，若AP―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值是________．解析：如图，因为AN ―→＝12NC ―→，P 是BN ―→上一点．所以AN ―→＝13AC ―→，AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋23AN ―→，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13.答案：135．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b.答案：b －a －a －b二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ，b ，且AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－5a ＋6b ，CD ―→＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：选A AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝3a ＋6b ＝3AB ―→.因为AB ―→与AD ―→有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋λ－b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b.由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3.如图，已知|OA ―→|＝|OB ―→|＝1，OA ―→与OB ―→的夹角为120°，OC ―→与OA ―→的夹角为30°，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R)，则λμ等于( )A.32B ．233C.12D ．2解析：选D 过C 作OB 的平行线交OA 的延长线于点D .由题意可知，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，∴OD ＝2CD ，又∵OD ―→＝λOA ―→，DC ―→＝μOB ―→，∴λ|OA ―→|＝2μ|OB ―→|，即λ＝2μ，故λμ＝2.4．(2018·遂昌期初)已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且起点在同一点上，若a ，t b ，13(a ＋b)三向量的终点在同一直线上，则实数t 的值为( )A ．2B ．1 C.23D.12解析：选D 由题可设13(a ＋b)＝λa ＋μt b ，因为a ，t b ，13(a ＋b)三向量的终点在同一直线上，所以有λ＋μ＝1.所以13＝λ，μ＝23，所以13＝23t ，解得t ＝12.5．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ∵D 为AB 的中点，则OD ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，又OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→＝0，∴OD ―→＝－OC ―→，∴O 为CD 的中点， 又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4. 6．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ―→＝3NC ―→，得AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b)，AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝34(a ＋b)－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b.答案：－14a ＋14b7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|＝________.解析：由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|可知，AB ―→⊥AC ―→， 则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM ―→|＝12|BC ―→|＝2.答案：28．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，给出下列命题：①AD ―→＝12a －b ；②BE ―→＝a ＋12b ；③CF ―→＝－12a ＋12b ；④AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AD ―→＝12CB ―→＋AC ―→＝－12a －b ，故①错；BE ―→＝BC ―→＋12CA ―→＝a ＋12b ，故②正确；CF ―→＝12(CB ―→＋CA ―→)＝12(－a ＋b)＝－12a ＋12b ，故③正确；AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．∴正确命题为②③④. 答案：39．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2 e 1－8 e 2，CB ―→＝e 1＋3 e 2，CD ―→＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3 e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2 e 1－e 2)－(e 1＋3 e 2)＝e 1－4 e 2， ∵AB ―→＝2 e 1－8 e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4 e 2，∵BF ―→＝3 e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF ―→＝λBD ―→(λ∈R)， 即3 e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.10．已知P 为△ABC 内一点，且3AP ―→＋4BP ―→ ＋5CP ―→＝0，延长AP 交BC 于点D ，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，用a ，b 表示向量AP ―→，AD ―→.解：∵BP ―→＝AP ―→－AB ―→＝AP ―→－a ，CP ―→＝AP ―→－AC ―→＝AP ―→－b ，又3AP ―→＋4BP ―→＋5CP ―→＝0，∴3AP ―→＋4(AP ―→－a)＋5(AP ―→－b)＝0，∴AP ―→＝13a ＋512b.设AD ―→＝t AP ―→ (t ∈R)，则AD ―→＝13t a ＋512t b.①又设BD ―→＝k BC ―→ (k ∈R)，由BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝b －a ， 得BD ―→＝k (b －a)．而AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝a ＋BD ―→. ∴AD ―→＝a ＋k (b －a)＝(1－k )a ＋k b.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧13t ＝1－k ，512t ＝k ，解得t ＝43.代入①得AD ―→＝49a ＋59b.∴AP ―→＝13a ＋512b ，AD ―→＝49a ＋59b.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AF ―→＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 解析：选C 令BF ―→＝λBE ―→，则AF ―→＝AC ―→＋BF ―→＝AB ―→＋λBE ―→＝AB ―→＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AC ―→－AC ―→ ＝(1－λ)AB ―→＋12λAC ―→；令CF ―→＝μCD ―→，则AF ―→＝AC ―→＋CF ―→＝AC ―→＋μCD ―→＝AC ―→＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ―→－AC ―→ ＝12μAB―→＋(1－μ)AC ―→.由对应系数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以AF ―→＝13AB ―→＋13AC ―→.故选C.2．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上， ∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2. ∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 3．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)， 即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线． 又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)． 又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→， 即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0. ∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1 e 1＋λ2 e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)，|a|＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [小题体验]1．已知a ＝(4,2)，b ＝(－6，m )，若a ∥b ，则m 的值为______． 答案：－32．(教材习题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________. 答案：(－6,19)3．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2 e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b.解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n B ．因为a ＝e 1＋2 e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2 e 2)＋n (－e 1＋e)＝(m －n ) e 1＋(2m ＋n ) e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －134．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b)∥c ，则m ＝________. 答案：－11．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[小题纠偏]1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1 e 1＋λ2 e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案：02．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3.答案：－3考点一 平面向量基本定理及其应用基础送分型考点——自主练透[题组练透]1.如图，在三角形ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则AO ―→＝( )A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 解析：选D ∵在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，∴AE ―→＝12AC ―→.∵O 是BE 边的中点，∴AO ―→＝12(AB ―→＋AE ―→)＝12AB ―→＋14AC ―→＝12a ＋14b.2．在△ABC 中，点M ，N 满足AM ―→＝2MC ―→，BN ―→＝NC ―→.若MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x ＝________；y ＝________.解析：∵AM ―→＝2MC ―→，∴AM ―→＝23AC ―→.∵BN ―→＝NC ―→，∴AN ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，∴MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)－23AC ―→＝12AB ―→－16AC ―→. 又MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→， ∴x ＝12，y ＝－16.答案：12 －163．(易错题)如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作▱OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.解：∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ，BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b.∵OD ―→＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b.综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b.[谨记通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理，如“题组练透”第3题．考点二 平面向量的坐标运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b ＝12(－6,8)＝(－3,4)，故选A.2．已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ―→＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ―→＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则MN ―→＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， ∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)．[谨记通法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 考点三 平面向量共线的坐标表示重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x ，2－y )，AB ―→＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．答案：(2,4)2．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[由题悟法]向量共线的充要条件 (1)a ∥b ⇔a ＝λb(b ≠0)；(2)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．[即时应用]1．(2018·丽水质检)已知a ＝(1，－2)，b ＝(x,1)，若(a ＋b)∥b ，则实数x 的值为( ) A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：选A 因为a ＝(1，－2)，b ＝(x,1)，所以a ＋b ＝(x ＋1，－1)．因为(a ＋b)∥b ，所以x ＋1－(－x )＝2x ＋1＝0，解得x ＝－12.2．(2018·贵阳监测)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )∥(m －n )，则λ＝________.解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)， 又(m ＋n )∥(m －n )，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0. 答案：03．设向量a ，b 满足|a|＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 解析：∵a 与b 方向相反，∴可设a ＝λb(λ<0)， ∴a ＝λ(2,1)＝(2λ，λ)．由|a|＝5λ2＝25，解得λ＝－2或λ＝2(舍去)， 故a ＝(－4，－2)． 答案：(－4，－2)4．若三点A (2,2)，B (a ,0)，C (0，b)(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________．解析：AB ―→＝(a －2，－2)，AC ―→＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.答案：12一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析：选 B 由题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(AC ―→－AB ―→)－AB ―→＝AC ―→－2AB ―→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．2．已知A (－1，－1)，B (m ，m ＋2)，C (2,5)三点共线，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A AB ―→＝(m ，m ＋2)－(－1，－1)＝(m ＋1，m ＋3)， AC ―→＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥AC ―→，∴3(m ＋3)－6(m ＋1)＝0， ∴m ＝1.故选A.3.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，且BP ―→＝2PA ―→，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ―→＝OB ―→＋BP ―→，又BP ―→＝2PA ―→，所以OP ―→＝OB ―→＋23BA ―→＝OB ―→＋23(OA ―→－OB ―→)＝23OA ―→＋13OB ―→，所以x ＝23，y ＝13. 4．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b)，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：125．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0， 即10x ＝5，解得x ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·温州十校联考)已知a ＝(－3,1)，b ＝(－1,2)，则3a －2b ＝( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1)D ．(7，－1)解析：选B 由题可得，3a －2b ＝3(－3,1)－2(－1,2)＝(－9＋2，3－4)＝(－7，－1)． 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(3b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，m ∥n ，则cos A 的值等于( ) A.36 B ．34C.33D.32解析：选C 由m ∥n ，得(3b －c )cos A －a cos C ＝0，再由正弦定理得 3sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A ⇒3sin B ·cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，即cos A ＝33. 3．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12a x 与线段AB 交于点C ，且AC ―→＝2CB ―→，则实数a等于( )A ．2B ．1 C.45D.53解析：选A 设C (x ，y )，则AC ―→＝(x －7，y －1)，CB ―→＝(1－x,4－y )，∵AC ―→＝2CB ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －7＝－x ，y －1＝－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵点C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ×3，∴a ＝2.4．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为( )A.23 B ．－23C.32D ．－32解析：选B 设P (x ，y )，则由AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→， 得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)， ∴x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5. 又点P 在直线x －2y ＝0上， 故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.故选B.5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12b B ．12a ＋14b C.23a ＋13b D.13a ＋23b 解析：选C 如图，∵AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，∴AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝12a ＋12b.∵E 是OD 的中点， ∴|DE ||EB |＝13， ∴|DF |＝13|AB |.∴DF ―→＝13AB ―→＝13(OB ―→－OA ―→)＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 BD ―→－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 AC ―→ ＝16AC ―→－16BD ―→＝16a －16b ，∴AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b ，故选C.6．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，c ＝(3,2)．若向量c 与向量k a ＋b 共线，则实数k ＝________，若c ＝x a ＋y b ，则x ＋y 的值为________．解析：k a ＋b ＝k (1,3)＋(－2,1)＝(k －2,3k ＋1)，因为向量c 与向量k a ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1.因为c ＝x a ＋y b ，所以(3,2)＝(x －2y,3x ＋y )，即x －2y ＝3,3x ＋y ＝2，解得x ＝1，y ＝－1，所以x ＋y ＝0.答案：－1 07．已知向量OA ―→＝(1，－3)，OB ―→＝(2，－1)，OC ―→＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ―→，AC ―→不共线． ∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1. 答案：k ≠18.给定两个长度为1的平面向量OA ―→和OB ―→，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动．若OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，其中x ，y ∈R ，则x ＋y的最大值是________．解析：以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，OA ―→的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)，则可知A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设C (cos α，sin α)⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则有x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.答案：29．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c)∥(2b －a)，求实数k .解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， 解得k ＝－1613.10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ―→＝a ，BC ―→＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ―→，DF ―→，CD ―→.解：EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ―→＝DE ―→＋EF ―→＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13 b －a ＝16b －a ，CD ―→＝CF ―→＋FD ―→＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16 b －a ＝a －23b. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．设OP ―→＝x OA ―→，OQ ―→＝y OB ―→，则1x ＋1y＝________.解析：∵点P ，G ，Q 在一条直线上， ∴PG ―→＝λPQ ―→ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤λ≤23.∴OG ―→＝OP ―→＋PG ―→＝OP ―→＋λPQ ―→＝OP ―→＋λ(OQ ―→－OP ―→) ＝(1－λ)OP ―→＋λOQ ―→＝(1－λ)x OA ―→＋λy OB ―→，① 又∵G 是△OAB 的重心， ∴OG ―→＝23OM ―→＝23×12(OA ―→＋OB ―→)＝13OA ―→＋13OB ―→.② 而OA ―→，OB ―→不共线，∴由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧－λx ＝13，λy ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧1x ＝3－3λ，1y ＝3λ.∴1x ＋1y＝3.答案：32．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3―→＝λA 1A 2―→ (λ∈R)，A 1A 4―→＝μA 1A 2―→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知点C (c,0)，D (d,0)(c ，d∈R)调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析：选D 根据已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，从而得c ＝λ.(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d ＝μ.根据1λ＋1μ＝2，得1c ＋1d ＝2.线段AB 的方程是y ＝0，x ∈[0,1]．若C 是线段AB 的中点，则c ＝12，代入1c ＋1d＝2得，1d＝0，此等式不可能成立，故选项A 的说法不正确；同理选项B 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 上，则0< c ≤1,0<d ≤1，此时1c ≥1，1d ≥1，1c ＋1d ≥2，若等号成立，则只能c ＝d ＝1，根据定义，C ，D 是两个不同的点，矛盾，故选项C 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，即c >1，d >1，则1c ＋1d <2，与1c ＋1d ＝2矛盾，若c <0，d <0，则1c ＋1d是负值，与1c ＋1d ＝2矛盾，若c >1，d <0，则1c<1，1d <0，此时1c ＋1d <1，与1c ＋1d＝2矛盾，故选项D 的说法是正确的．3．已知三点A (a ,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a >0，b >0.(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值． 解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形， 所以OA ―→＝BC ―→，即(a,0)＝(2,2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.故a ＝2，b ＝2.(2)因为AB ―→＝(－a ，b )，BC ―→＝(2,2－b )， 由A ，B ，C 三点共线，得AB ―→∥BC ―→， 所以－a (2－b )－2 b ＝0，即2(a ＋b )＝a b ， 因为a >0，b >0，所以2(a ＋b )＝a b ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0，解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0. 因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥8，即a ＋b 的最小值是8. 当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．向量的夹角3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b· a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b· c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22[小题体验]1．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案：D2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则a·b＝_____.答案：－103．(2016·山东高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(t a＋b)，则实数t的值为________．解析：∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)，∴t a ＋b ＝(t ＋6，－t －4)． 又a ⊥(t a ＋b)，则a ·(t a ＋b)＝0，即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5. 答案：－54．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b.若b ·c ＝0，则t ＝________. 解析：因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12，由b ·c ＝0，得b ·[t a ＋(1－t )b]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2.答案：25．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ―→·BD ―→＝________.解析：选向量的基底为AB ―→，AD ―→，则BD ―→＝AD ―→－AB ―→，AE ―→＝AD ―→＋12AB ―→，所以AE ―→·BD―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12 AB ―→ ·(AD ―→－AB ―→)＝2.答案：21．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c(a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b<0，反之不成立．3．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b. 4．在用|a|＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2再进行开方． [小题纠偏]1．若a ，b 是两个互相垂直的非零向量，给出以下式子：①a ·b ＝0；②a ＋b ＝a －b ；③|a ＋b|＝|a －b|；④a 2＋b 2＝(a ＋b)2.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 因为a ，b 是两个互相垂直的非零向量，所以a ·b ＝0；所以(a ＋b)2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2；(a －b)2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝a 2＋b 2；所以(a ＋b)2＝(a －b)2，即|a ＋b|＝|a －b|.故①③④是正确的，②是错误的．2．(2016·北京高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________． 解析：由题意得|a|＝1＋3＝2，|b|＝3＋1＝2， a ·b ＝1×3＋3×1＝2 3.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝232×2＝32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6.答案：π6考点一 平面向量的数量积的运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3D ．－11解析：选C ∵a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， ∴(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－3.2．(2015·山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD ―→·CD ―→＝( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2 D.32a 2 解析：选D 由已知条件得BD ―→·CD ―→＝BD ―→·BA ―→＝3a ·ac os 30°＝32a 2，故选D.3．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b|＝10，则a ·b ＝________；(2a －b )·(a ＋b)＝__________.解析：因为a ＝(－2，－6)， 所以|a|＝－2＋－2＝210，又|b |＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a |·|b |·c os 60°＝210×10×12＝10.(2a －b )·(a ＋b)＝2a 2＋a ·b －b 2＝80＋10－10＝80. 答案：10 804.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，D 为BC 的中点，则AB ―→·AD ―→＝________.解析：法一：由题意知，AC ＝BC ＝2，AB ＝22， ∴AB ―→·AD ―→＝AB ―→·(AC ―→＋CD ―→)＝AB ―→·AC ―→＋AB ―→·CD ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|c os 45°＋|AB ―→|·|CD ―→|c os 45° ＝22×2×22＋22×1×22＝6. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得A (0,2)，B (－2,0)，D (－1,0)，∴AB ―→＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)， AD ―→＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)， ∴AB ―→·AD ―→＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6. 答案：6[谨记通法]向量数量积的2种运算方法[锁定考向]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直；(4)与最值、范围有关问题．[题点全练]角度一：平面向量的模1．已知 e 1，e 2是单位向量，且e 1·e 2＝12.若向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b|＝________.解析：法一：∵e 1·e 2＝12，∴|e 1||e 2|c1，e 2＝12，∴1，e 2＝60°.又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴b ，e 1＝b ，e 2＝30°.由b ·e 1＝1，得|b||e 1|c os 30°＝1，∴|b|＝132＝233.法二：由题可得，不妨设e 1＝(1,0)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，b ＝(x ，y )．因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以x ＝1，12x ＋32y ＝1，解得y ＝33.所以b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，所以|b|＝ 1＋13＝233. 答案：233角度二：平面向量的夹角2．(2018·山西四校联考)已知|a|＝1，|b|＝2，且a ⊥(a －b)，则向量a 与向量b 的夹角为( )A.π6 B.π4 C.π3D.2π3解析：选B ∵a ⊥(a －b)，∴a ·(a －b)＝a 2－a ·b ＝1－2c a ，b ＝0，∴c a ，b ＝22，∴a ，b ＝π4. 3．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：∵e 1，e 2的模为1，且其夹角θ＝2π3.∴a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋e 1·e 2－2k e 1·e 2－2e 22 ＝k ＋(1－2k )cos 2π3－2＝2k －52.又∵a ·b ＝0，∴2k －52＝0，即k ＝54.答案：54角度三：平面向量的垂直4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m＋n)，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94D ．－94解析：选B ∵n⊥(t m ＋n)，∴n ·(t m ＋n)＝0，即t m ·n ＋| n |2＝0，∴t|m || n |cos 〈m ，n 〉＋| n |2＝0. 又4|m|＝3| n |，∴t ×34|n|2×13＋| n |2＝0，解得t ＝－4.故选B.5．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b|＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解：(1)证明：由题意得|a －b|2＝2， 即(a －b)2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2a ·b ＝2， 即a ·b ＝0，故a ⊥b.(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.角度四：与最值、范围有关问题6．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )。

专题 平面向量1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.4．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________. 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．5．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________． 【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则B ，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE y x =-，直线AE 的斜率为y =.由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以35(,)(3,1)12BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6ABAC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____..【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE=2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.7．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-(AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++=所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值， 所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值max y ===故答案为0；【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCD 中，4AB =uu u r,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅= A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+.∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=. 故选：C ．【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．9．【福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学试题】已知向量a ，b 满足||1=a ，||=b 且a 与b 的夹角为6π，则()(2)+⋅-=a b a bA ．12B ．32-C ．12-D ．32【答案】A【解析】()()221222312+-=-+⋅=-+=a b a b a b a b . 故选A.【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．10．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ，(4,5)=c ，若()λ+⊥a b c ，则实数λ=A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【解析】因为(1,2)=a ，(2,3)=-b ， 所以()12,23λλλ-+a +b =， 又()λ+⊥a b c ，所以()0λ+⋅=a b c ， 即()()4125230+=λλ-+，解得2λ-= . 故选C.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.11．【2019届北京市通州区三模数学试题】设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为a ，b 均为单位向量， 若a 与b 夹角为2π3，则||1+===a b ，因此，由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“||+=a b ”；若||+a b ||+=a b 解得1cos ,2=a b ，即a 与b 夹角为π3，所以，由“||+a b a 与b 夹角为2π3”因此，“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的既不充分也不必要条件. 故选D【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，以及向量的数量积运算，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量的数量积运算法则即可，属于常考题型.12．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试数学（二)】在ABC △中，2AB AC AD +=，AE DE +=0，若EB xAB y AC =+，则 A ．3y x = B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D【解析】因为2AB AC AD +=，所以点D 是BC 的中点，又因为AE DE +=0，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，因此 31,344x y x y =-=⇒=-，故题选D.【名师点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对向量加法的几何意义的理解.13．【2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学试题】已知直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若32AO AB ⋅=，则实数m =A ．1±B ．2±C ．2±D ．12±【答案】C【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得2x 2+2mx +m 2−1=0， ∵直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴∆=-2m 2+8＞0，解得x <<，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−m ，21221-=m x x ，y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-+y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=23，解得m =2±． 故选：C ．【名师点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题．14．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1A E A F ⋅=，则λ的值为 A ．3 B ．2C ．23D ．52【答案】B【解析】由题意可得：()()113AE AF AB BE AD DF AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭，且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-， 故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选：B.【名师点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AC ==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=A ．572B ．14425C ．125D ．2512【答案】B 【解析】如图：由3AB =，4=AD得：5BD ==，125AB AD AE BD ⋅== 又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅AE BD ⊥，0AE EO ∴⋅=，又2144cos 25AE AE AO AE AO EAO AE AO AE AO⋅=∠=⋅==14425AE EC ∴⋅=. 故选B.【名师点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹角已知的向量之间的数量积问题.16．【湖师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【答案】D【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.17．【2019年北京市高考数学试卷】已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________.【答案】8.【解析】向量4,36,m =-=⊥（），（），，a b a b则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b .【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.18．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅的值为__________. 【答案】8. 【答案】5-【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -，∵10112MC k -==-+，根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即0x y +=，联立方程224500x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x =-， 令0y =可得(0,0)P ， 12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-，故答案为：-5．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用，属于常考题型.。

专题17 平面向量的应用【母题来源一】【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是______________；最大值是______________．【答案】0【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-， 令123456||y AB BC CD DA AC BD λλλλλλ=+++++0=≥．又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =． 因为135()λλλ-+和245()λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-， 所以当135()λλλ-+和245()λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值，所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值max y ===【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题．【母题来源二】【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A 1B +1C ．2D ．2【答案】A【解析】设 ， ， ， ， ， ，则由 ， 得 ，， ， 由b 2−4e ·b +3=0得 ， ，因此|a −b |的最小值为圆心 ， 到直线 1，为 ． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算．【母题来源三】【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是______________，最大值是______________．【答案】4【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b则++-a b a b令y =，则[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得++-=a b a b有一定的要求．【命题意图】1．考查平面向量的基本定理及基本运算．2．考查平面向量数量积及模的最值问题．【命题规律】平面向量问题多以熟知的平面图形为背景进行考查，考查平面向量的基本定理、基本运算、数量积及模的最值问题，多为选择题或填空题的形式出现，难度为中高档，是高考考查的热点内容，向量作为工具，还常与解三角形、不等式、解析几何等相结合，进行综合考查，注重转化与化归思想的应用．【答题模板】1．平面向量的线性运算（1）在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．（2）在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．2．平面向量的模及其应用的类型与解题策略（1）求向量的模解决此类问题应注意模的计算公式||=a，a或坐标公式||=（2）求模的最值或取值范围解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．（3）由向量的模求夹角对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用．3．向量与平面几何综合问题的解法（1）坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．（2）基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．【方法总结】1．平面向量线性运算问题的求解策略（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．（4）对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．2．共线向量定理的应用（1）证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．（2）证明三点共线：若存在实数λ，使AB=λAC，则A，B，C三点共线．（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值．（4）对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，OA、OB不共线，满足OP=x OA＋y OB（x，y∈R），则P、A、B共线⇔x＋y=1．3．平面向量共线的坐标表示（1）两向量平行的充要条件若a=（x1，y1），b=（x2，y2），其中b≠0，则a∥b的充要条件是a=λb，即x1y2－x2y1=0．（2）三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定．4．平面向量的数量积a b叫做向量a与b的数量积(或内积)，（1）数量积的概念：已知两个非零向量,a b，我们把数量||||cos记作⋅a b ,即⋅=a b ||||cos θa b ，其中θ是a 与b 的夹角．（2）计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．（3）数量积的几何意义：由向量投影的定义，我们可以得到⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos θb 的乘积．（4）求向量模的常用方法：利用公式|a |2=a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． （5）利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． （6）在解题时，注意数形结合、方程思想及转化与化归数学思想的运用． 5．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量1122(,),(,)x y x y ==a b ，θ是a 与b 的夹角． （1）数量积：⋅=a b 1212||||cos x x y y θ=+a b ． （2）模：||==a（3）夹角：cos ||||θ⋅==a bab ．（4）垂直与平行：0⊥⇔⋅=⇔a b a b 12120x x y y +=；a ∥b ⇔a ·b =±|a ||b |． 【注】当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=a b ||||-a b ． （5）性质：|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔1212||x x y y +≤．6．平面向量的应用（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量与函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法． （3）向量的两个作用①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题； ②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题． （4）向量中有关最值问题的求解思路一是“形化”，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是“数化”，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题．1．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】在平面上，1e ，2e 是方向相反的单位向量，||2=a ，12()()0-⋅-=b e b e ，则||-a b 的最大值为A ．1B ．2C ．2D ．3【答案】D【分析】将已知数量积运算得到||b ，由向量模的几何意义结合图形可求得||-a b 的最大值．【解析】由题意12()()0--=b e b e ，即21212()0-+⋅+⋅=b e e b e e ，又1e ，2e 是方向相反的单位向量，所以12+=0e e ，121⋅=-e e ， 所以210-=b ，即21=b ，所以||1=b ，如图，记OA =a ，OB =b ，则A ，B 两点的轨迹分别是以原点为圆心，以2和1为半径的圆， 当a ，b 反向共线时，||-a b 取得最大值，最大值为3， 故选D ．【名师点睛】本题考查了向量数量积的运算、向量模的几何意义的应用及数形结合思想，属于中档题．2．【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末检测】已知向量a ，b 满足||1=a ，|2|||4+=a +b b ，则||+a b 的取值范围是A ．[22]B ．C ．[22+D ．2]【答案】D【分析】根据题干条件得到题目所表示的几何意义，根据椭圆的定义和几何意义得到结果． 【解析】设点M 为平面中任意一点，点12,F F 是关于原点对称的两个点， 设1FO =a ，2F M =b ，根据题意12|2|||||||4MF MF +=+=a +b b ， 根据椭圆的定义得到点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，该椭圆的方程为22143x y +=，所以||||[,]MO b a +=∈a b ，所以||+a b 的取值范围是2]． 故选D ．【名师点睛】这个题目考查了向量的加法的几何意义，考查了解决向量问题的数形结合的方法，向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．3．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知向量a ，b 的夹角为60︒，||1=a 且2()t t =-+∈R c a b ，则||||+-c c a 的最小值为ABC ．5D ．4【答案】B【分析】建立坐标系，将||||+-c c a 转化为直线上一动点到两定点距离和，再根据对称求最小值．【解析】由题意可设(1,0)=a ，(,)22m m =b ，所以()2tm =-c ，()2tm -=-c a ，因此||||+-c c a 表示直线y =上一动点()2tm P 到定点(2,0)A ，(3,0)B 距离的和，因为(2,0)A 关于直线y =的对称点为(A '-，所以||||||PA PB A B '+≥==．故选B ．【名师点睛】本题考查向量坐标表示与直线对称、等价转化与数形结合思想及运算求解能力，属难题．4．【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】已知,a b 是不共线的两个向量，⋅a b 的最小值为任意m ，n ∈R ，||m +a b 的最小值为1，||n +b a 的最小值为2，则||b 的最小值为 A ．2B ．4C ．D ．【答案】B【解析】设,a b 的夹角为θ，则02θπ≤≤， 因为||m +a b 的最小值为1，||n +b a 的最小值为2， 所以||sin 1θ=a ，||sin 2θ=b ，所以22||||sin θ=a b ，因为||||cos θ⋅=≥a b a b 22cos sin θθ≥所以(2cos 0θθ+≥，解得cos 2θ≥， 所以1sin 2θ≤，所以2||4sin θ=≥b ，所以||b 的最小值为4， 故选B ．【名师点睛】本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知平面向量,a b 不共线，且||1=a ，1⋅=a b ，记b 与2+a b 的夹角是θ，则θ最大时，||-=a bA ．1 BCD ．2【答案】C【分析】把cos θ表示为||b 的函数，利用函数的性质求出当θ最大时||b 的值，进而可求出||-a b 的值． 【解析】设||x =b ， 因为||1=a ，1⋅=a b所以22(2)22x ⋅+=⋅+=+b a b a b b ，|2|==+a b所以2(2)cos |||2|θ⋅+==+b b a b a b ，所以cos 0θ>，所以22222(2)cos (8)x x x θ+==+2222211124114112()(2)2263x x x =-++--++++，当24x =时，2cos θ取得最小值，θ取得最大值，此时||=-==a b 故选C ．【名师点睛】本题考查平面向量的有关计算，利用函数的思想求最值是一种常见思路．6．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考】已知向量a ，b 满足：||2=a ，,60<>=︒a b ，且1()2t t =-+∈R c a b ，则||||+-c c a 的最小值为AB ．4C． D【答案】A【分析】由题意可知，把a 看作(2,0)A ，根据坐标系，和向量的坐标运算，则||||+-c c a 的最小值可转化为在直线y =取一点B ，使得||||BD BC +最小，作点C关于y =的对称点C'，则||||BD BC +最小值即为||DC'．【解析】如图，由题意可把a 看作(2,0)A ，,60<>=︒a b ， 则t b 可表示为BO ，点B在直线y =上，设(1,0)C -，(3,0)D ， 因为1()2t t =-+∈R c a b ，所以||||BC =c ，32t -=-+c a a b ， 所以||||BD -=c a ，则||||+-c c a的最小值可转化为在直线y =取一点B ，使得||||BD BC +最小， 作点C关于y =的对称点C'，则||||BD BC +最小值即为||DC'，设(,)C'x y，由1122yx y x ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得12x =，y =则||C'D == 所以||||+-c c a故选A ．【名师点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的模的几何意义，考查了转化能力和数形结合的能力，属于难题．7．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】已知a ，b ，c 和d 为空间中的4个单位向量，且++=0a b c ，则||||||-+-+-a d b d c d 不可能等于A ．3 B．C ．4D．【答案】A【分析】根据n 个向量的和的模不大于n 个向量的模的和可推出结论．【解析】由题可得||||||-+-+-a d b d c d |||3|≥-+-+-=++-a d b d c d a b c d ， 因为++=0a b c ，所以|||||||3|3-+-+-≥-=a d b d c d d ， 因为a ，b ，c ，d 是单位向量，且++=0a b c ， 所以-a d ，-b d ，-c d 不共线， 所以||||||3-+-+->a d b d c d ，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了向量与不等式的关系，涉及向量的共线问题，属于难题． 8．【浙江省2019届高考模拟卷一】如图，在ABC △中，3BAC π∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若ABC △的面积为||AP 的最小值为A B ．43C ．3D【答案】D【分析】运用平面向量基本定理，得到m 的值，结合向量模长计算方法，建立等式，计算最值即可． 【解析】由题可得2())(3AP AC CP AC kCD AC k AD AC AC k AB AC =+=+=+-=+-21(1)32k AB k AC mAC AB =+-=+， 所以1k m -=，2132k =，所以14m =，因为ABC △的面积为13|2|||A AC B ⋅⋅=， 所以|||8|AB AC ⋅=，所以2222111116|||1|3||||||||||AP AC AB AC AB AC AC =++⋅⋅=++≥ 所以||AP 的最小值为3， 故选D ．【名师点睛】考查了平面向量基本定理，考查了基本不等式的运用，难度偏难．9．【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】1e ，2e 均为单位向量，且它们的夹角为45︒，设a ，b 满足2||4+=a e ，12()k k =+∈R b e e ，则||-a b 的最小值为AB．2 C．4D．4【答案】C【分析】依据题意求出a ，b 的轨迹，然后求出||-a b 的最小值． 【解析】设OA =a ，OB =b ，如图，以1e 所在直线为x 轴，垂直于1e 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则1(1,0)=e，2=e ，因为2||4+=a e ，设(,)x y =a，所以221((228x y +++=， 因为12()k k =+∈R b e e，(,)(1,)22x y k k =+， 所以1x y -=，所以||||||OA OB BA -=-=a b ，1||2244-+--=， 故选C ．【名师点睛】本题较为综合，在解答向量问题时将其转化为轨迹问题，求得满足题意的图像，要求最小值即算得圆心到直线的距离减去半径，本题需要转化，有一定难度．10．【浙江省嵊州市2017-2018学年高三第一学期期末教学质量调测】如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，该矩形所在的平面内一点P 满足||1CP =，记1I A B A P =⋅，2I AC AP =⋅，3I AD AP =⋅，则A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意的点P ，有21I I >D ．对任意的点P ，有31I I >【答案】C【解析】以C 为原点，以CD ，CB 所在直线为x 轴、y 轴建立坐标系， 则(3,2)A --，(0,2)B -，(3,0)C -，(3,0)AB =，(3,2)AC =，(0,2)AD =， 因为||1CP =，且P 在矩形内，所以可设3(cos ,sin )()2P αααπ<<π，(cos 3,sin 2)AP αα=++， 所以13cos 9I AB AP α=⋅=+，23cos 2sin 13I AC AP αα=⋅=++，32sin 4I α=+， 所以212sin 40I I α-=+>，则21I I >，A 错误，C 正确，3152sin 3sin 5)0I I αααϕ-=-+-=-+<，则31I I <，B 错误，D 错误．故选C ．【名师点睛】本题主要考查平面向量数量积公式的坐标表示，属于中档题．平面向量数量积公式有两种形式，一是几何形式，||||cos θ⋅=a b a b ，二是坐标形式，1212x x y y =+⋅a b （求最值问题与求范围问题往往运用坐标形式），主要应用以下几个方面：（1）求向量的夹角，cos ||||θ⋅=a ba b （此时⋅a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是||⋅a bb ；（3）,a b 向量垂直则0⋅=a b ；（4）求向量m n +a b 的模（平方后需求⋅a b ）．11．【浙江省2019年高考模拟训练卷数三】如图，C ，D 是以AB 直径的圆O 上的动点，已知||2AB =，则AC BD ⋅的最大值是A ．12BCD 1【答案】A【分析】过点O 作AC 的平行线交圆O 于点E ，交BC 于M ，且M 为垂足，设D 在OE 的投影为N ， 由向量的几何意义可知，||||AC BD AC MN =⋅⋅，只需当N 落在E 处时，MN 最大，求得AC BD ⋅=2cos (1cos )θθ-，再由[0,)2θπ∈求得最值即可．【解析】如图，先将C 视为定点，设∠CAB ＝θ，[0,)2θπ∈，则AC=2cos θ，连接CB ，则CB ⊥AC ，过O 作AC 的平行线交圆O 于E ，交BC 于M ，且M 为垂足， 又知当D 、C 在AB 同侧时，AC BD ⋅取最大值， 设D 在OE 的投影为N ，当C 确定时，M 为定点，则当N 落在E 处时，MN 最大，此时AC BD ⋅取最大值， 由向量的几何意义可知，||||AC BD AC MN =⋅⋅，最大时为||||AC ME ⋅， 又OM =OB cos θ，所以||1ME =-cos θ，所以AC BD ⋅最大为||||AC ME ⋅=2cos (1cos )θθ-2cos 1cos 12()22θθ+-≤⨯=，当且仅当cos θ=12时等号成立，即θ=3π，所以AC BD ⋅的最大值为12．故选A ．【名师点睛】本题考查向量数量积的几何意义，考查了数形结合思想，解题关键是找到数量积取得最大时的D 的位置，当题目中有多个动点时，可以先定住一个点，是常用的手段，考查了逻辑推理能力，属于难题．12．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】已知平面向量a ，m ，n ，满足||4=a ，221010⎧-⋅+=⎨-⋅+=⎩m a m n a n ，则当||-=m n ______________时，m 与n 的夹角最大．【分析】设三向量的起点均为O ，求出m ，n 的终点轨迹，利用几何图形知识得出答案． 【解析】如图，设a ，m ，n 的起点均为O ，以O 为原点建立平面坐标系，不妨设(4,0)=a ，(,)x y =m ，则222x y =+m ，4x ⋅=a m ， 由210-⋅+=m a m 可得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=， 所以m 的终点M 在以(2,0)同理n 的终点N 在以(2,0)显然当OM ，ON 为圆的两条切线时，MON ∠最大，即m ，n 的夹角最大． 设圆心为A，则AM =所以1OM ==，sin MOA ∠=60MOA ∠=︒， 设MN 与x 轴交于点B ，由对称性可知MN x ⊥轴，且2MN MB =，所以22sin 212MN MB OM MOA ==⋅∠=⨯⨯= 故当||-=mn m 与n 的夹角最大．13．【浙江省宁波市2019届高三上学期期末考试】在ABC △中，D 为边BC 中点，经过AD 中点E的直线交线段,AB AC 于点,M N ，若,A B mA M A C nA N==u u u r u u u r u u u r u u u r，则m n +=______________；该直线将原三角形分成的两部分，即三角形AMN 与四边形BCNM 面积之比的最小值是______________． 【答案】413【分析】由向量共线定理可知1()4AE AB AC =+，然后根据,AB mAM AC nAN ==，可分别用 AB ， AC 表示 AE ，M E ，根据 M E 与 NE 共线，结合向量共线定理可求m n +，由AMN ABC S AM ANS AB AC⋅=⋅△△1mn=，结合4m n +=及基本不等式可求mn 的最大值，进而可求三角形AMN 与四边形BCNM 面积之比的最小值．【解析】如图，在ABC △中，D 为BC 边的中点，E 为AD 的中点，则11(+)24AE AD AB AC ==， 因为,AB mAM AC nAN ==，所以11()4AE AM ME AB ME AB AC m =+=+=+， 所以111()44ME AB AC m =-+，同理111 ()44NE AB AC n =+-， 因为 M E 与 NE 共线，所以存在实数λ，使 (0)ME NE λλ<=， 即111111()?[()]4444AB AC AB AC m nλ-+=+-， 所以1144 111()44m n λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得41m λ=-，41n λλ=-，所以44411m n λλλ+=+=--；因为1sin 12 1sin 2AMN ABC AM AN A S AM AN S AB AC mn AB AC A ⋅⋅===⋅⋅△△，4m n +=， 所以2()42m n mn +≤=，当且仅当2m n ==时取等号， 此时1mn有最小值14，所以三角形AMN 与四边形BCNM 面积之比的最小值为13．【名师点睛】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理、三角形法则、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．【浙江省七彩联盟2018-2019学年第一学期高三11月期中考试】已知向量a ，b 满足||3=a ，6⋅=a b ，若对任意实数x 都有||||x -≥-a b a b ，则1||()2λλλ-+∈R b a 的最小值为______________．【解析】如图，设OA =a ，OB =b ，由||3=a ，6⋅=a b 知b 在a 上的投影为2，即2OD =，1DA =， 因为对任意实数x 都有||||x -≥-a b a b ，所以AB OB ⊥． 由射影定理可得2BD OD DA =⋅，所以DB =．设12OP λλ-=+b a ，12OC =a ，可得P 在直线BC 上， 所以线段OP 的最小值为O 到直线BC 的距离， 当OP BC ⊥时，OP DB ==故1||()2λλλ-+∈R b a． 【名师点睛】本题考查了向量的运算，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．15．【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末联考】若向量a ，b ，c 满足≠a b ，0≠c且()()0-⋅-=c a c b ，则||||||++-a b a b c 的最小值是______________．【答案】2【分析】设OA =a ，OB =b ，OC =c ，由()()0-⋅-=c a c b 确定点C 的轨迹，再设||2x +=a b ，||2y -=a b ，由||c 取得最大值时，即可求出||||||++-a b a b c 的最小值．【解析】如图，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，由()()0-⋅-=c a c b 可知CA CB ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上； 设||2x +=a b ，||2y -=a b ，则||||22||||x y++-+=a b a b c c ，而||c 表示点O 到以AB 为直径的圆上任一点的距离， 所以最大值即是点O 到圆心E 的距离加半径，即||x y ≤+c ，所以||||22222||||x y x yx y++-++=≥=+a b a b c c ，即最小值为2．【名师点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，以及圆外一点到圆上任意一点距离的最大值的求法，常需要结合图像求解，属于中档试题．16．【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】设圆1O ，圆2O 半径都为1，且相外切，其切点为P ．点A ，B 分别在圆1O ，圆2O 上，则PA PB ⋅的最大值为______________．【答案】12【分析】以P 为原点，两圆圆心所在的直线为x 轴建立直角坐标系，利用圆的参数方程可设(1cos ,sin )A αα+，(1cos ,sin )B ββ-+，利用辅助角公式和配方法可以求得PA PB ⋅的最大值．【解析】如图，以P 为原点，两圆圆心所在的直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系．则221:(1)1O x y -+=，222:(1)1O x y ++=，令(1cos ,sin )A αα+，(1cos ,sin )B ββ-+， 所以(1cos )(1cos )sin sin PA PB αβαβ⋅=+-++1cos (1cos )cos sin sin ααβαβ=--+++1cos α≤--所以1cos PA PB α⋅≤--令t =，则2211cos (,022t t t α--+=-+=--+≥，所以当2t =时，PA PB ⋅取得最大值为12．【名师点睛】向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．。

一．基础题组1.【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】均为单位向量，且它们的夹角为，设满足，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依据题意求出的轨迹，然后求出的最小值【详解】【点睛】本题较为综合，在解答向量问题时将其转化为轨迹问题，求得满足题意的图像，要求最小值即算得圆心到直线的距离减去半径，本题需要转化，有一定难度。

2. 【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】已知点为单位圆上的动点，点为坐标原点，点在直线上，则的最小值为__________．【答案】2.【解析】分析：题设的都是动点，故可设，，从而可表示关于的函数，求出函数的最小值即可．点睛：向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．3. 【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】已知，，则的最大值为______，最小值为______．【答案】 6【解析】分析：可设出，画出向量，由向量数量积的定义和点与圆的距离最值，即可得到所求最值.详解：点睛：本题主要考查向量的几何运算及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.4. 【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】如图，在△中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：设，由共线可得，由此,利用基本不等式可得结果.点睛：利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 5. 【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A 为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是________；若向量，则的最小值为_________.【答案】【解析】分析：首先根据图形的特征，建立适当的平面直角坐标系，根据正方形的边长，设出点P的坐标，利用终点坐标减去起点坐标，得到对应向量的坐标利用向量数量积坐标公式求得结果；再者就是利用向量相等得到坐标的关系，将其值转化为对应自变量的函数关系，结合自变量的取值范围，求得最小值.详解：如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，结合题意，可知，所以，因为，所以，所以，所以的范围是；点睛：该题考查的是有关向量的问题，在解题的过程中，注意建立相应的坐标系，将向量坐标化，从而容易求解，再者就是利用向量相等的条件是坐标相等，得到关于的关系式，利用三角式子的特征求得相应的最值.6. 【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】已知平面向量, 满足，若，则的最小值为__________．【答案】.【解析】分析：先建立直角坐标系，设A(x,y)，B(5，0),C(0,5),再转化为求的最小值，再转化为求|PD|+|PA|的最小值.点睛：（1）本题主要考查坐标法的运用，考查对称的思想方法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力.(2)本题有三个难点，其一是要想到建立直角坐标系，其二是转化为求的最小值，其三转化为求|PD|+|PA|的最小值.7. 【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】已知向量,a b 满足32a b a b -=-=，则a 的取值范围是__________． 【答案】[]2,4【解析】分析：根据绝对值三角不等式即可求出. 详解：∵32a b a b -=-= ∴336a b -=∴26333333=2a b b a a b b a a +=-+-≥-+--，即4a ≤；()()623333332a b a b a b a b a -=---≤---=，即2a ≥.∴a 的取值范围是[]2,4 故答案为[]2,4.点睛：本题考查向量的模，解答本题的关键是利用绝对值三角不等式，即a b a b a b -≤±≤+. 8. 【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】在△中，角所对的边分别为，已知，点满足，则__________；__________．【答案】 8..【解析】分析：由已知利用余弦定理即可求得的值，进而求得的值，利用余弦定理可求的值.详解：如图，，，.点睛：本题主要考查余弦定理解三角形. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.9. 【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】在直角梯形中，，同一平面内的两个动点满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：由题意，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，点是的中点，取的中点，连接，利用三点共线时取得最值，即可求解.10. 【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知平面内任意不共线三点，，，则的值为（）A．正数 B．负数 C． 0 D．以上说法都有可能【答案】B【解析】.即的值为负数.本题选择B选项.11.【浙江省金丽衢十二校2018届高三第二次联考】已知向量满足的夹角为，则=_____；与的夹角为_____．【答案】【解析】分析：根据向量模的性质以及向量数量积求以及||，再根据向量数量积求向量夹角.12. 【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性】平行四边形中，在上投影的数量分别为，则在上的投影的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算和数量积求出结果．【详解】建立如图所示的直角坐标系：设，则：则：解得：．所以：．在上的摄影当时，，得到：．当时，，故选：A．13. 【浙江省上虞市2018届高三第二次(5月)调测】已知的外接圆圆心为，且，若，则的最大值为________________.【答案】.【解析】14. 【浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟】已知，向量满足.当的夹角最大时，________．【答案】【解析】设，，即，所以，此时，故答案为.15. 【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min．若平面向量a，b，c 满足| a |＝| b |＝a•b＝c•(a＋2b－2c)＝2．则（）A． |a－c|max＝ B． |a＋c|max＝C． |a－c|min＝√ D． |a＋c|min＝【答案】A【解析】分析：由条件可设，，由向量数量积的坐标表示可得C在以圆心，半径为的圆上运动，根据向量模长的几何意义以及圆的性质，运用最大值为，计算可得所求．详解：根据题意，建立平面直角坐标系，不妨取，，则，设，由，得，即对应点在以圆心为，半径为的圆周上，且表示点A 与点C 的距离，则，故选A.16. 【浙江省绍兴市2018届高三3月模拟】已知正三角形的边长为4，是平面上的动点，且，则的最大值为_______．【答案】【解析】如图所示,17. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期考试】已知在ABC ∆中, 3AB =, BC =2AC =，且O 是ABC ∆的外心，则AO AC ⋅=___， AO BC ⋅=_____________【答案】 2 52-【解析】设外接圆半径为,32R AB BC AC AO CO R ==＝，＝，224122R R cos OAC R R+-∠==⋅则122AO AC AO AC cos CAO R R⋅=⋅∠=⨯⨯= 18. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期考试】设数列{}n x 的各项都为正数且11x =. ABC ∆内的点()*n P n N ∈均满足n P AB ∆与n P AC ∆的面积比为2:1，若()112102n n nn n PA x P B x P C ++++=，则4x 的值为( )A ． 15B ． 17C ． 29D ． 31 【答案】A【解析】由()112102n n n n n P A x P B x P C ++++=得()11212n n n n n P A x P C x P B +++=- ， 设()21n n n P D x P C =+以线段n n P A P D 、 作出平行四边形n AEDP ，如图， 则111,22n n n n n n n P E P A P D P E x P B P B ++==-∴=， 12PnAE n PnABSx S +∴=， 121n n n n P C P C AE x P D ==+ ∴1,12PnAC PnAC PnADPnAEnS SSSx ==+则()112122PnAC n PnABn S x Sx +==+即1121121n n n n x x x x ++=+∴+=+，（）， 则{}1n x + 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以3412216x +=⨯= ，所以415x =；故选A ．19. 【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】已知平面向量，满足且，则的最大值为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【答案】B【解析】分析：由满足可得，再由，两边同时乘以，可得，则=即可得出答案.20. 【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷（二）】如图，在平面四边形中，，则________【答案】【解析】【分析】运用向量的基底转化，向已知向量上进行转化，然后求值【详解】所以21.【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟考试（一）】如图，在平面四边形中，，则_________【答案】【解析】 【分析】 由题意得，然后根据数量积的运算律求解即可．【详解】 由题意得，∴．22.【浙江省台州中学2018届高三模拟】已知，是两个单位向量，而，，，，则对于任意实数，的最小值是__________．【答案】【解析】分析：首先对模平方，根据向量数量积化简，对配方，根据实数平方为非负数求最小值.详解：当且仅当时取等号，即的最小值是3.二．能力题组1. 【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】已知O 为锐角ABC ∆的外心， 3AB =， 23AC =若AO xAB yAC =+，且9128x y +=.记1l OA OB =⋅ ， 2l OB OC =⋅， 3l OA OC =⋅，则（ ）A ． 213l l l <<B ． 321l l l <<C ． 312l l l <<D ． 231l l l << 【答案】D【解析】分析：由已知结合数量积的几何意义列关于x ， y ， cos BAC ∠的方程组，求得cos BAC ∠，再由余弦定理求得BC ，展开数量积，结合OA OB OC ==，且余弦函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数即可得答案． 详解：分别取AB ， AC 的中点为D ， E ，连接OD ， OE ，根据题设条件可得OD AB ⊥， OE AC ⊥.∵OA OB OC ==，且余弦函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 ∴OB OC OA OC OA OB ⋅<⋅<⋅ ∴231l l l << 故选D.点睛：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题. (3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 2. 【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】已知向量满足，若的最大值为，则向量的夹角的最小值为__________，的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：由题意，求得，所以的最小值为，再利用向量的模的计算公式，即可求解. 详解：由题意，则，解得，所以，所以的最小值为，所以，所以.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．3. 【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】【解析】分析：由题意知，，所以，由此可知，当时取得最大值．。