成都纺织高等专科学校教案３6概率论研究和揭示随机现象的规律性，是近代数学的一个重要分支．时至今日,随着科学技术的迅速发展,它在国民经济、工农业生产、自动控制、生物学和医学、财经管理和社会生活等诸多领域都有着广泛的应用．§１1.1 随机事件及其概率1１．1.1 随机事件人们在社会实践中会遇到两类现象.一类是确定性现象或必然现象，例如正负电荷一定互相吸引；三角形两边之和必然大于第三边;标准大气压下,1０0℃的水必然沸腾等等.这类现象有着共同的特点:其结果是确定的,是事先可以预知的.另一类是随机现象或偶然现象,例如抛一枚硬币,可能出现正面向上或反面向上两种结果之一;含5件次品的产品中抽取3件,取到的次品数为０,1,2,3都有可能;乘客到公共汽车站候车,候车的人数和候车时间都无法事先预测.这类现象与必然现象是相对的,即结果具有不确定性，事先不能断言会出现哪种结果.表面上随机现象的结果具有偶然性和不确定性.对于少数的试验而言,其结果确实无法预料.但是在相同条件下进行大量的重复试验就会发现，随机现象呈现出某种规律性.例如,当抛硬币一次时,出现正面或出现反面是不确定的.但是随着硬币抛掷次数的增多,正面向上和反面向上次数的比值会越来越接近于1：1；某地在每年冬至那一天，气温都不尽相同，但是从长期来看气温总是稳定在平均气温附近．这些在大量重复试验中呈现出的固有的规律性称为统计规律性.概率论和数理统计就是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 对随机现象进行一次观察或进行一次实验的过程称为随机试验,简称试验．随机试验有三个特征:（1)试验可以在相同条件下重复进行；(2）每次试验的所有可能结果是已知的,(3)每次试验之前不能确定具体出现哪个结果． 随机试验的每一个可能发生的结果称为随机事件,简称事件．通常用大写字母A ，B ,C ,…表示.不能再分解的随机事件称为基本事件.如掷一枚骰子,“出现奇数点”、“出现偶数点”是随机事件,“出现1点”、“出现4点”是基本事件. 全体基本事件的集合称为这个试验的样本空间，记作Ω．样本空间中的元素称为样本点．例1 抛硬币两次，观察正、反面的情况.1Ω={(正面，正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面，反面)｝,1Ω是非数量集,因为样本点的个数是有限的,所以也是有限集.例２ 射手射击,记录命中目标所用的射击次数．{}21, 2, 3,Ω=,2Ω是数量集，样本点的个数无限，由于可以依次排成一列,所以是无限集中样本点个数为可列个的情况．例3长为l 的杆截为两段，记录较长一段的长度.3{}2l x x l Ω=≤<, 3Ω是数量集，也是无限集,但此时和例2的情况并不同,样本点的取值不能“依次排成一列”.随机试验中,由于每次试验的结果都是Ω的一个样本点,所以Ω必然发生, 称Ω为必然事件.在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件,常用∅表示．例如抛骰子的试验中,{出现大于６的点｝是不可能事件．必然事件和不可能事件都是确定性的,它们不是随机事件，但为了便于讨论,往往把它们作为随机事件的极端情况处理．自测1 指出下列事件中哪些是随机事件?哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ (１)A ={标准大气压下,在2５℃的室温时，纯水会结冰}；(２)B ={如果a ，b 都是实数,那么a +b =b +a ｝；（３）C ={从分别标有号数１,2,３,4,5,6,7,8，9,1０的１0张号签中任取一张，得到6号签}；（４)D ={某电话总机在一分钟内接到至少１５次呼唤}.11.1．2 事件的关系和运算与集合的关系和运算相对应,下面先介绍事件之间的关系和运算.引例1 抛掷一颗骰子,观察出现的点数.A =｛出现的点数为奇数}，B ={出现的点数为偶数},C ={出现的点数为2}. 那么事件,,A B C 之间有何种关系呢?定义11．1．1 若事件A 的发生必然导致事件B 发生,则称事件B 包含事件A .记作A B ⊂.如图11-1所示.图11-1 图 1１-2特别地,若A B ⊂且B A ⊂,则称事件A 与事件B 相等，记作A B =． 定义11.１.２ 事件A 与事件B 同时发生,这一事件称为事件A 与B 的积(交），记为AB 或A B ．如图11-2所示.图11-３ 图１1-4对任意事件A ,有AA A =,A ΩA =,A ∅=∅. 定义11.１.3 两事件A 与事件B 中至少有一件发生,这一事件称为事件A 与B 的和(并),记为A B +或A B ．如图11-３所示.对任意事件A ,有A A A +=，A +Ω=Ω,A A +∅=．定义1１．1.4 事件A 发生而事件B 不发生,这一事件称为事件A 与B 的差，并记作A B -，如图11-4所示.定义11．1.5 若事件A 与事件B 不能同时发生,即AB =∅,则称事件A 与B 为互斥事件(或不相容事件),如图11-5所示.图１1－5 图11－6基本事件间是互斥的,不可能事件与任何事件是互斥的．定义１1.1.6 若事件A 与B 满足A B +=Ω且AB =∅,则称事件A 与B 是互逆事件(或对立事件),记作B =A .如图11－６所示．显然,互逆事件一定是互斥事件,但反之不真.由互逆事件的定义,对任意事件A 和B ，不难证明以下结论成立:（1)A B A AB AB -=-=； (2)A A =， Ω=∅, ∅=Ω;（３)对偶律:AB A B =+, A B AB +=．例4 求引例１中事件的关系．解 由事件关系的定义知, C B ⊂，A 与C 互斥,A 与B 互逆,B C -={出现的点数为4或6}.例5 从一批包含正品和次品的产品中,一件一件地依次任意取出三件,若记1A ={第一个零件是正品},2A ={第二个零件是正品｝,3A ={第三个零件是正品}.试表示(1)没有一个零件是次品；（2)只有第一个零件是次品；（3)恰有一个零件是次品;（4)至少有一个零件是次品.解 (1){没有一个零件是次品}表示成1A 2A 3A ;(2）{只有第一个零件是次品} 表示成1A 2A 3A ;(３)｛恰有一个零件是次品｝表示成1A 2A 3A 1A 2A 3A 1A 2A 3A ；(4){至少有一个零件是次品}表示成1A 2A 3A 或123A A A ．自测2 对飞机进行两次射击，A =｛第一弹击中飞机｝，B ={第二弹击中飞机｝.用A 和B 的运算关系来表示下列事件:(１)两弹都击中飞机;(２）两弹都没击中飞机;(3）至少有一弹击中飞机；(4)恰有一弹击中飞机.并找出以上事件中的互斥事件和互逆事件.１１.1.3 随机事件的概率引例2 掷一枚均匀的硬币,可能出现的结果有“正面向上”，“反面向上”，且由于硬币质地均匀,可以认为每种情况的出现机会都为12． 引例3 有10０0张彩券,其中有2张一等奖券,现有１000人各取一张,问每人得到一等奖的机会有多大?可以通过分析判断或猜测得出结果为2‰ .用来表示事件A 发生可能性大小的数值称为事件A 的概率，记作()P A ．对于确定的事件，概率值是客观存在的.但如何才能获得()P A 的数值呢?人们常利用事件发生的次数与试验次数的比值来获知概率值的大小,这样的值称为频率.尽管事件的频率随试验的不同会有所改变,但当试验的次数逐渐增加时,频率总是逐渐稳定于一个确定的常数，这个常数就是概率.频率的稳定性不断被人们的实践和理论给予证明.下面介绍概率的古典定义.上两例中“投掷硬币”、“抓彩券”试验有两个特征：(１)基本事件总数有限；（2）每个基本事件发生的可能性相等．满足这两个特征的试验模型称为古典概型.定义１1.1.7 在古典概型中，若基本事件总数为n ,事件A 包含的基本事件数为m ,则事件A 的概率为(A)m P n=.概率的这种定义称为概率的古典定义. 由该定义可知,概率有如下性质:性质１ （非负性)对于任何事件A ,有0()1P A ≤≤;性质2 (规范性）()1P Ω=,()0P ∅=.用古典定义求概率时，关键是要求出一切基本事件的总数n 和正确求出事件A 所包含的基本事件个数m ．例6 1００件产品中有９0件合格品,1０件次品.从中任取2件,求恰有1件次品的概率.解易知该试验模型是古典概型.从100件产品中任取2件的方式有n=2100C种．设A={恰有1件次品｝,则事件A包含的基本事件数m=119010C C种．由古典概率公式得() P A=mn1190102100C CC=211=．例7已知有n个人,每个人都以1N的同样概率被分配到N（n N≤)间房中的任一间,试求某指定的一间房中恰有m个人的概率．解设事件A＝｛某指定的一间房中恰有m个人},这m个人可从n个人中任意选出,共有mnC种选法,其余n m-个人可任意分配到其余的1N-间房中去,共有(1)n mN--种分法, 由古典概率公式得()P A=(1)m n mnnC NN-⋅-111m n mmnCN N-⎛⎫⎛⎫=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.自测3已知见例7.如果恰有n间房，试求n间房中各有1人的概率.1１.1.4 概率的加法公式引例4某班有80％的学生参加了数学竞赛,7０%的学生参加了外语竞赛,6０％的学生既参加了数学竞赛又参加了外语竞赛,问该班参加数学竞赛或外语竞赛的学生占百分之多少?分析设A=｛参加数学竞赛的学生 },B={参加外语竞赛的学生},则AB={既参加数学竞赛又参加外语竞赛的学生},A B+={参加数学竞赛或外语竞赛的学生}.我们用图１1-7所示,来解释以上事件概率之间的关系．图中阴影部分的面积表示()P A B+,于是()P A B+=()()()P A P B P AB+-0.80.70.60.990%=+-==.图11-7即该班参加数学竞赛或外语竞赛的学生占90%.定理11.1.1 (概率的加法公式） 一般地，对任意两个事件A 与B ,有()P A B +=()()()P A P B P AB +-.推论11．1．1 若事件A 与B 互斥,则()P A B +()()P A P B =+．一般地,若事件12,,,n A A A 彼此互斥, 则1212( )()()()n n P A A A P A P A P A ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.推论１１.1．2 若A 是A 的逆事件，则()P A 1()P A =-.例8 某小区有80%的住户有洗衣机,70%的住户有空调，60%的住户既有洗衣机又有空调,若从该小区住户中任选一户,发现该住户没有这两件家用电器的概率是多少?解 设A ={有洗衣机的住户},B =｛有空调的住户},则AB ={既有洗衣机又有空调的住户},A B +={至少有一种家用电器的住户},A B +={没有这两件家用电器的住户}.()P A B +()()()0.80.70.60.9P A P B P AB =+-=+-=,于是,()1()10.90.1P A B P A B +=-+=-=.例9 在20件产品中，有１５件一级品,5件二级品,从中任取3件,其中至少1件为二级品的概率是多少?解 设事件A =｛至少1件为二级品},事件i A =｛恰有i 件二级品}(1,2,3)i =,其中1,A 2,A 3A 彼此互斥.由推论１1.１.1可得()P A =123()P A A A ++123()()()P A P A P A =++12515320C C C =21515320C C C +35320C C +105228=30228+2228+137228=. 自测４ 从1—１00这一百个自然数中任意取出一个，求这个数是2或3的倍数的概率．作业:习题11.11．写出下列随机试验的样本空间:(1)１0只产品中有3只是次品,每次从其中取一只（取后不放回),直到３只次品都取出,记录抽取的次数；(２）生产产品直到10件正品,记录生产产品的总件数;(３）甲、乙二人下棋一局,观察棋赛的结果；（4）测量一汽车通过给定点的速度.2.一批产品有正品也有次品，从中抽取3件,A ={抽出的第一件是正品｝,B ={抽出的第二件是正品｝，C ={抽出的第三件是正品},试用A ,B ,C 表示下列事件:（1){只有第1件是正品}； （2）｛第１、2件是正品,第3件是次品}; （３){3件都是正品}； (4）{至少有１件为正品｝；(5）{至少有２件为正品}}; (6){恰有１件为正品}；（７）{恰有2件为正品}.3.随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班1天.(1）这3人的值班顺序共有多少种不同的排法?（2）其中甲在乙之前的排法有多少种？(３)甲排在乙之前的概率是多少?4.从含有两件正品1a 、2a 和一件次品1b 的三件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次,求取出的两件中恰有一件次品的概率.5.在上题中,把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变,求取出后两件中恰有一件次品的概率．6.某射手在一次射击中射中1０环,9环,8环的概率分别为0.2４,0．2８,0.１９,计算这个射手在一次射击中:(１)射中10环或9环的概率；（2)不够８环的概率．７.一箱子内有9张票,其号数分别为1,２,…,9,从中任取2张，其号数至少有１个为奇数的概率是多少?备注：成都纺织高等专科学校教案37§11.2 条件概率与事件的独立性11.2.1条件概率与乘法公式1．条件概率引例１ 在100个圆柱形零件中有９１件直径合格,有95件长度合格,有9０件两个指标都合格,求下列事件的概率:(1)从中任取１件,求直径合格的概率；（2)从中任取1件，讨论在长度合格的前提下,直径也合格的概率.分析 设事件A ={任取1件长度合格},事件B ={任取1件直径合格},事件AB ={任取1件直径和长度都合格｝．对于问题(1),由古典概率公式得()P B =91100；对于问题(2),要求在长度合格的前提下,直径也合格的概率,这就是下面要定义的条件概率.定义11.2．1 设A 、B 为两个随机事件,且事件A 的概率()0P A >,则在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率称为条件概率,记为(|)P B A .条件概率的计算公式是(|)P B A =()()P AB P A ．比如引例1中问题(２),(|)P B A ()()P AB P A =9010095100=9095= 例１ 某种电池可使用80小时以上的概率为0.9,可使用100小时以上的概率为0.65.一只电池已使用了8０小时,求它还可以使用至少２0小时的概率．解 设事件A ={使用80小时以上}，B ={使用１00小时以上},由条件概率公式得(|)P B A =()()P AB P A =0.650.900.722≈. ２.乘法公式由条件概率公式可以得到 ()P AB =()P B (|)P A B ， ()P B >0 ,()P AB =()P A (|)P B A ， ()P A ＞０ .上述两式称为概率的乘法公式,它可推广到多个事件的乘积,即121121312121()()(|)(|)(|)n n n n P A A A A P A P A A P A A A P A A A A --⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅.例2 有一种商品，甲厂的市场占有率为６０%,该厂的正品率为８5%.消费者在市场上购买了一件这样的商品,那么他买到的是甲厂生产的正品的概率为多少呢?解 设A ={甲厂生产},B ={商品为正品｝, 则AB ={甲厂生产的正品}.根据已知()0.6P A =，(|)0.85P B A =,由乘法公式得()P AB =()P A (|)0.60.850.51P B A =⨯=.这表明消费者买到的是甲厂生产的正品的可能性为５1％.例3 １00件产品中有９0件为正品，1０件为次品．从中不放回地抽取3次，每次任取一件.求:(1)前两次都取到正品的概率;(２)第三次才取到次品的概率．解 设i A =｛第i 次取到正品},(1,2,3)i =,B ={第三次才取得次品｝.（1)两次都取正品的概率为12()P A A 1()P A =21(|)P A A =901008999⨯ 0.8091≈； (2)第三次才取到次品的概率为()P B =123()P A A A 1()P A =21(|)P A A 312(|)P A A A90100=⨯89991098⨯0.0826≈． 自测１ 袋中有6个白球,4个黑球,从中任意抽取两个球,作不放回抽样,求(1）第一次取到白球时第二次取到黑球的概率;(２)取到的两个球都是白球的概率.1１.2．2事件的独立性引例２ 有８个零件,其中５个正品,3个次品,每次取１个,有放回地取两次,求第二次取到正品的概率，及在第一次取到次品的条件下第二次取到正品的概率．分析 设事件A =｛第一次取到次品},事件B ={第二次取到正品},由于是有放回地抽样,无论第一次取到的情况如何,在第二次取零件时,仍是５个正品,３个次品，故有5()(|)8P B P B A ==. 这说明事件B 的概率不受事件A 已发生的影响.实际上与此同时，事件A 发生的概率也与事件B 无关.这就是事件的独立性．定义１1．２.2 若两个事件A ,B 中,任一事件的发生与否不影响另一事件发生的概率,则称事件A 与B 是相互独立的.相互独立的事件有如下性质:性质1 事件A 与B 相互独立的充要条件是()P AB =()P A ()P B .性质2 若事件A 与B 相互独立，则A 与__B ，A 与B ,__A 与__B 也都相互独立.独立性在概率的理论和应用中都尤为重要.但实际中，我们一般不会借助公式()P AB =()P A ()P B 来判断事件间的独立性,而是根据独立的意义和事件的实际背景来进行判断．例4 甲、乙二人各进行一次射击,如果甲击中目标的概率为0.8,乙击中目标的概率为0.6，求(1)两人都击中目标的概率;(２)恰有一人击中目标的概率;（3）至少有一个人击中目标的概率.解 设A ={甲击中目标},B =｛乙击中目标}.在射击过程中,由于甲是否命中目标不会影响到乙命中目标的概率,于是A 与B 相互独立,由性质2可知A 与__B ,__A 与B ,__A 与__B 也相互独立．(1)两人都击中目标的概率为 ()P AB =()P A ()P B 0.80.6=⨯0.48=；(2）设C =｛恰有一人击中目标}，则C =____AB AB ,所以 ()P C =____()P A B A B __()P A B =__()P A B +__()()P A P B =__()()P A P B +0.8(10.6)(10.8)0.60.44=⨯-+-⨯=；（3)设D ={至少有一人击中目标},则D A B =+，所以()1()1()P D P D P AB =-=-1()()1(10.8)(10.6)0.92P A P B =-=---=．自测2 甲乙两个气象台同时作天气预报,如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，求在一次预报中 （1)两个气象台都预报准确的概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率．1１.2.3贝努里概型引例3 在相同条件下某射手独立射击4次,每次击中目标的概率都是0.9,问4次射击中有2次击中目标的概率是多少？这类问题涉及到的是贝努里试验.若试验在相同条件下重复进行n 次，且各次试验的结果是相互独立的,则称这类试验为n 重独立试验.在n 重独立试验中,如果每次试验只有A 和__A 两个结果,且()P A p =在每次试验中保持不变,则称此类试验为n 重贝努里试验,相应的数学模型称为贝努里概型.例5 引例3是4n =的贝努里概型.设i A ＝{第i 次击中目标} (1,2,3,4)i =,i A ={第i 次没有击中目标},则()0.9,()0.1i i P A P A ==.“4次射击有2次击中目标”的概率,等于如下246C =种情况的概率之和: 1234A A A A ,1234A A A A ,1234A A A A ,1234A A A A ,1234A A A A ,1234A A A A ．实际上，上述６种可能情况的概率相等,由事件的独立性有2212341234()()()()()0.90.90.10.10.90.1P A A A A P A P A P A P A ==⨯⨯⨯=⨯.所以4次射击有2次击中目标的概率为2222240.9(10.9)60.90.10.0486C -=⨯⨯=.一般地,在贝努里试验中,如果事件A 发生的概率是p （01p <<)，则事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生k (0,1,2,,k n =)次的概率为()n P k =(1)k k n k n C p p --,（0,1,2,,k n =）.例６ 某集团的一批产品中，有１0%的次品,进行重复抽样检查,共取５件样品,计算(1）这5件样品中恰好有3件次品的概率;(2）这5件样品中至多有3件次品的概率.解 设i A ={这5件中恰好有i 件次品}(i ＝0,1，2,3),5n =,0.1p =.(1)3()P A 33250.1(10.1)0.0081C =-≈；(２)0123()P A A A A +++=51142233325550.90.10.90.10.90.10.90.9995C C C +++≈．自测3 有甲、乙、丙三批罐头,每批1０0个，其中各有１个不合格品.从三批罐头中各抽出1个,求（1）３个中恰有１个不合格的概率;（2)3个中至少有１个不合格的概率. 作业：习题1１.21.设()0.5P A =,()0.3P B =,()0.1P AB =,求(|)P A B ,(|)P B A .2.袋中有５个红球及2个白球.从袋中任取一球,看过颜色后放回袋中,然后，再从这袋中任取一球.设每次取球时,袋中各个球被取到的可能性相同,求:(1）第一次，第二次都取得红球的概率；（2)第一次取得红球，第二次取得白球的概率；(3)两次取得的球为红、白各一的概率;(4)第二次取得红球的概率．3.一批产品中有3％的废品,而合格品中一等品占45%.从这批产品中任取一件,求该产品是一等品的概率．4．一大批产品,它的次品率是0.1,从这批产品中任意抽取3件来检查,恰有一次取到次品的概率是多少？５.设每种型号的高射炮，每门炮发射一发炮弹击中敌机的概率为0.6.现若干门炮同时发射,各射击一发炮弹.问欲以０.99的把握击中来犯的一架敌机,至少需配置几门高射炮?备注：成都纺织高等专科学校教案3８11.３ 随机变量及其分布在利用随机事件来研究随机现象的过程中我们已注意到,许多随机现象的结果都可以用一维的实数来表示.正是在随机事件数字化思想的指引下产生了随机变量的概念.由于随机变量是对随机试验的整体刻画,它的诞生极大地推动了概率论的发展．１1.3．1 随机变量的概念１.随机变量引例１ 五个人一起去买彩票，中奖概率为0．1.那么中奖的人数是随机的,我们用变量X 表示中奖的人数,X 可能的取值０，1,2，3,4,5.显然“2X =”等价于事件 “五人中恰有2人中奖”，2235(2)0.10.9P X C ==；引例2 计算中的四舍五入,用变量Y 表示舍入误差, Y 的取值是随机的,可能的取值范围是连续区间[)0.5,0.5-;引例３ 掷均匀的硬币一次,结果为正面向上或反面向上.定义函数Z 为1,0,Z ⎧=⎨⎩正面向上,反面向上.这里“1Z =”等价于事件 “硬币正面向上”，且 1(1)2P Z ==. 引例１、引例２和引例３中的变量X ，Y ,Z 满足:(１）取值的随机性,即所取的不同数值要由随机试验的结果而定;(2）概率的确定性,即取某一个值或在某一区间内取值的概率是确定的.我们称这样的变量为随机变量.随机变量常用希腊字母ξ、η、ζ…(或大写字母X 、Y 、Z …）表示.随机变量按其取值情况分为离散型和非离散型.当随机变量的取值是有限个或可列个,这样的随机变量称为离散型随机变量,如引例1中的X 和Z .在非离散随机变量中,最常见的是连续型随机变量.连续型随机变量是指按一定的概率规律在某一个或若干个有限或无限区间上取值的随机变量,如引例1中的Y .我们只讨论离散型和连续型随机变量.自测1 某射手击中靶的环数为随机变量X ,试说明下列各式的意义:（1)(1)P X = ;(2)(6)P X ≤；(3)(07)P X <<；(4)(3)P X ≥．１1.3.２ 离散型随机变量1．离散型随机变量引例４ 将一枚硬币连续抛掷三次,出现正面的次数ξ是随机变量,其取值为0,1，2，3,k p 表示ξ每个取值对应的概率.列表如下:定义1１.3．１ 设随机变量ξ的可能取值为1x ，2x ，3x ,…,n x ，…，且其相应的概率分别为1p ,2p ,3p ,…,n p …．()k k P x p ξ==（k =1,2,３,…)称为离散型随机变量ξ的概率分布，简称分布列或分布.分布也可用表格形式表示:其中概率k p (n ＝1,2,3,…)有如下性质:(１) 01k p ≤≤(k =1,２，3,…);(2) 1p +2p +3p ＋ … +n p + … =11k k p∞==∑.例1 现有10件商品,其中有2件次品,任取3件，随机变量ξ表示取出的次品数,写出ξ的分布列，并求出)1(≥ξP 和)2(≤ξP ．解 ξ的取值是0,１,2．相应的概率是157)0(31038===C C P ξ,157)1(3102812===C C C P ξ,151)2(3101822===C C C P ξ. ξ的分布列是而 )1(≥ξP 158151157=+=, )2(≤ξP 1151157157=++=． 2．常见离散型随机变量的分布列(１)两点分布抛掷一枚硬币出现正面或反面;产品抽样检验的结果为合格品或废品；子弹是否命中目标,新生儿的性别,系统运行是否正常等等.这些试验中随机变量的共同特点是ξ只取两个值，其分布列为其中10<<p ,p q -=1,此时称ξ服从参数为p 的两点分布或(０-1）分布．自测2 一批产品共100件,其中有3件次品．从这批产品中任取一件,考察取出的产品是正品还是次品,试用随机变量描述该试验的结果,并写出其分布列．(2)二项分布引例5 某射手在一次射击中击中目标的概率为0.9,射击2０次,随机变量ξ表示击中目标的次数,其可能取值是０,1,2,…，20．取这些值的概率为)(k P =ξ2020(0.9)(0.1)k k k C -=（=k 0,1，２,…,20) 一般的,当随机变量ξ具有分布列：==)(k P ξk n k k np p C --)1(,（k =0,1,2，3，…,n ） 其中10<<p ,我们则称ξ服从参数为n ,p 的二项分布,记为(,)B n p ξ.二项分布是“n 重贝努里试验中事件A 发生次数”的随机变量的分布列．特别地,当1=n 时,二项分布就是两点分布．例2 某工厂生产的螺丝的次品率为5%，每个螺丝是否为次品是相互独立的．工厂将10个螺丝包成一包出售,并保证若发现一包内多于一个次品即可退货,求某包螺丝次品个数ξ的分布列和售出螺丝的退货率.解 对10个一包的螺丝进行检验，可以看成是独立地进行了10次试验，由于每个螺丝为次品的概率是05.0,这时１０个螺丝中次品的个数(10,0.05)B ξ.设A ={该包螺丝被退回工厂},则 (A)P )1(1)1(≤-=>=ξξP P001011910101(0.05)(0.95)(0.05)(0.95)0.09C C =--≈．自测3 在一个车间里有9个工人相互独立地工作,且他们间歇地使用电力，若每个工人在1小时内平均有12分钟需要电力,问在１小时内至少有７人需要用电的概率是多少?11．３.3 连续型随机变量１.连续型随机变量引例６ 测试某批灯泡的寿命(单位:小时）,若随机变量ξ表示灯泡寿命,它可取区间[０,+∞）上的任意实数.由于灯泡的寿命连续变化无法一一列举,离散型随机变量中的分布列已经不再适用了.为了讨论这类随机变量的分布,我们引入概率密度的概念.定义１1.3.２ 对于随机变量ξ，若存在一个非负可积函数)(x f （+∞<<∞-x ),使得对任意实数a ,b ()a b <,有)(b a P <<ξ()d ba f x x =⎰, 则称ξ为连续型随机变量,称)(x f 为随机变量ξ的概率密度函数,简称密度函数或概率密度．由密度函数的定义可知,)(x f 具有下列两个性质：性质1 )(x f 0≥；性质2 ()d 1f x x +∞-∞=⎰.概率密度)(x f 的作用类似于离散型随机变量的分布列,都是刻画随机变量取值的规律.下面从几何的角度来解释密度函数的意义:在直角坐标系中画出密度函数)(x f 的图像,称其为密度曲线,密度曲线位于x 轴上方,ξ在任一区间(,)a b 内取值的概率等于以(,)a b 为底,曲线)(x f 为顶的曲边梯形的面积(如图１1-8），而)(x f 与x 轴之间的面积为1(如图11－9).由定义可知，对任意实数a ，有)(a P =ξ0=,从而有)(b a P <<ξ=)(b a P ≤<ξ＝)(b a P <≤ξ=)(b a P ≤≤ξ=()d ba f x x ⎰．图11-８ 图11-9 例3 若随机变量ξ具有概率密度)(x f ＝,,0,a x b λ≤≤⎧⎨⎩其他.求λ的值．解 由概率密度函数的性质2 ,()d f x x +∞-∞=⎰d b a x λ =⎰1)(=-a b λ，ab -=1λ． 例3中随机变量ξ的概率密度函数是1,,()0,a xb f x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他. 我们称这样的随机变量ξ在区间[]b a ,上服从均匀分布,记为~(,)U a b ξ.均匀分布的密度函数图形如图１１-10所示.图11-１0图11-11２.正态分布 如果随机变量ξ的概率密度函数是)(x f ＝222)(21σμσπ--x e ,)(+∞<<-∞x 则称随机变量ξ服从正态分布,记作ξ～2(,)N μσ,其中两个参数μ-∞<<+∞,0σ>.正态分布的密度函数图形如图11-11所示,称为正态曲线.正态分布曲线的形态取决于密度函数中的两个参数.正态曲线以x μ=为对称轴,当x μ=时)(x f 2πσμ时曲线沿x 轴平移,即μ决定了正态曲线的位置;变小或变大σ的取值,图形会变得更陡峭或更平坦.故σ决定了正态曲线的陡缓程度．特别地， 当0μ=,1σ=时,称ξ服从标准正态分布,记作ξ(0,1)N ，其概率密度函数为。
