椭圆讲义(学生版)

椭圆的方程【学习目标】1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；2.掌握椭圆的定义和标准方程；3.能用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(21212F F a PF PF >=+)，这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.要点诠释：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形.要点二、椭圆的标准方程标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系(如图)．设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF 1|+|MF 2|=2a ｝． (3)代数方程即：(4)化简方程 由22a c >可得222a cb -=，则得方程22221(0)x y a b a b+=>>关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．因此，方程22221(0)x y a b a b+=>>即为所求椭圆的标准方程.它表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)．这里c 2=a 2-b 2．椭圆的标准方程：1.当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2.当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；要点诠释：1.这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2.在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222b ac -=；3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；4. 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 要点三、求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b ，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：221(,0m n)mx ny m n +=>≠且.（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。

学而思高中完整讲义：椭圆.板块一.椭圆的方程.学生版【例1】 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，焦点到相应的长轴顶点的距离为1，则椭圆的标准方程为（ ）A ．221259x y +=B ．221259y x +=C ．22179y x +=D ．22179x y +=【例2】 已知椭圆2215x y m+=的离心率10e 5=，则m 的值为（ ） A ．3 B ．5153或15 C ．5 D ．253或3【例3】 设定点12(03)(03)F F -，，，，动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段【例4】 已知椭圆的中心在原点，离心率12e =，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）A ．22143x y +=B ．22186x y +=C ．2212x y +=D ．2214x y +=【例5】 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ） A ．必在圆222x y +=内 B ．必在圆222x y +=上 C ．必在圆222x y +=外D ．以上三种情形都有可能【例6】 已知22212x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．2m >或1m <-B ．2m >-C ．12m -<<D ．2m >或21m -<<-【例7】 经过点(30)P -，，(02)Q -，的椭圆的标准方程是 ；典例分析【例8】 已知焦点坐标为(40)-，，(40)，，且6a =的椭圆方程是___________；【例9】 巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．【例10】 已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是____________．【例11】 若椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m = ．【例12】 若椭圆满足条件2a =，1e 2=，则椭圆的标准方程为【例13】 已知椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，长轴与短轴之和为20，焦距为椭圆的标准方程为____________．【例14】 若椭圆22189x y k +=+的离心率为1e 2=，则k 的值等于 ．【例15】 求下列圆锥曲线的焦距与顶点坐标：①221128x y += ②221812x y +=【例16】 求椭圆2211625x y +=的焦距、顶点坐标【例17】 求焦点的坐标分别为(03)-，和(03)，，且过点16(3)5P ，的椭圆的方程．【例18】 已知椭圆的中心在原点，且经过点(30)P ，，3a b =，求椭圆的标准方程．【例19】 若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦1，求椭圆的方程．【例20】 已知常数0a >，向量(0)(10)c a i ==r r ，，，．经过原点O 以c i λ+r r为方向向量的直线与经过定点(0)A a ，以2i c λ-r r为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R ．试问：是否存在两个定点E F ，，使得||||PE PF +为定值．若存在，求出E F ，的坐标；若不存在，说明理由．【例21】 离心率为45的椭圆()222210x y C a b a b +=>>∶上有一点M 到椭圆两焦点的距离和为10，以椭圆C 的右焦点()0F c ，为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT （T 为切点），且点P 满足PT PB =（B 为椭圆C 的上顶点）． ⑴求椭圆的方程；⑵求点P 所在的直线方程l ．【例22】 已知椭圆221(0)x y m n m n+=>>上一点(68)P ，，1F 、2F 为椭圆的两个焦点，且12PF PF ⊥，求椭圆的方程．【例23】 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作垂直于AF的直线交椭圆C 于另外一点P ，交x 轴正半轴于点Q ，且85AP PQ =u u u r u u u r⑴求椭圆C 的离心率；⑵若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：50x -=相切，求椭圆C 的方程．【例24】 已知12F F ，是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点(1)P 在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足20PM F M +=u u u u r u u u u u r r．⑴求椭圆C 的方程．⑵椭圆C 上任一动点00()M x y ，关于直线2y x =的对称点为111()M x y ，，求1134x y -的取值范围．【例25】 过椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>上一点P 引圆O ：222x y b +=的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点⑴设00()P x y ，，且000x y ≠，求直线AB 的方程； ⑵若椭圆C 的短轴长为8，且222225||||16a b OM ON +=，求此椭圆的方程；⑶试问椭圆C 上是否存在满足0PA PB ⋅=u u u r u u u r的点P ，说明理由．【例26】 已知A B C ，，均在椭圆222:1(1)x M y a a+=>上，直线AB 、AC 分别过椭圆的左右焦点1F 、2F ，当120AC F F ⋅=u u u r u u u u r 时，有21219AF AF AF ⋅=u u u r u u u u r u u u r ．⑴求椭圆M 的方程；⑵设P 是椭圆M 上的任一点，EF 为圆22:(2)1N x y +-=的任一条直径，求PE PF ⋅u u u r u u u r的最大值．【例27】 设椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率e ， M 、N 是直线l ：2a x c=上的两个动点，且120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r ．（1）若12||||F M F N ==u u u u r u u u u ra 、b 的值．（2） 证明：当||MN u u u u r取最小值时，12F M F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线．。

学而思高中完整讲义：椭圆.板块三.椭圆的几何性质.学生版【例1】 设()P x y ，是椭圆2244x y +=上的一个动点，定点(10)M ，，则2||PM 的最大值是（ ）A ．23Ｂ．1 C ．3 D ．9【例2】 点M 是椭圆2212516x y +=上一点，它到其中一个焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 表示原点，则||ON =（ ）A ．32B ．2C ．4D ．8【例3】 已知P 为椭圆221259x y +=上动点，F 为椭圆的右焦点，点A 的坐标为(31)，，则||||PF PA +的最小值为（ ）A．10．10．10+．10-【例4】 已知椭圆方程为221499x y +=中，12F F ，分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有（ ）①焦点在x 轴上，其坐标为(70)±，； ②若椭圆上有一点P 到1F 的距离为10，则P 到2F 的距离为4； ③焦点在y轴上，其坐标为(0±，；④49a =，9b =，40c =．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例5】 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（ ） A ．4a B ．()2a c -C ．()2a c +D ．以上答案均有可能【例6】 设椭圆222211x y m m +=-(1)m >上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到椭圆的中心的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D典例分析【例8】 过原点O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆P ：2212x y +=交于A 、C 与B 、D ，则四边形ABCD 面积的最小值为（ ）A ．83B ．C ．D ．43【例10】 求过椭圆22142x y +=的一个焦点1F 的弦AB 与另一个焦点2F 围成的三角形2ABF ∆的周长是 ．【例11】 已知1F 、2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若2212F A F B +=，则AB =________．【例12】 设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M满足1()2OM OP OF =+，则OM = ．【例13】 已知P 是椭圆2244x y +=上一点，则P 到点(10)M ，的最大值为 ____．【例14】 已知(32)A ，，(40)F -，，P 是椭圆221259x y +=上一点，则PA PF +的最大值为________．【例15】 如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567P P P P P P P ，，，，，，七个点，F 是椭圆的左焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ．【例16】 设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(12321)i P i = ，，，，，使12321FP FP FP FP ，，，，，组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 ．【例17】 椭圆221925x y +=上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是___________．【例18】 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，F A ，分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于________．【例19】 椭圆22192x y +=的焦点为12F F ，，点P 在椭圆上．若14PF =，则2PF = ；12F PF ∠的大小为 ．【例20】 椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_______．【例21】 椭圆223721x y +=上有一点P 到两个焦点的连线互相垂直，则P 点的坐标是．【例22】 设M 是椭圆22143x y +=上的动点，1A 和2A 分别是椭圆的左、右顶点，则12MA MA ⋅ 的最小值等于 ．【例23】 点P 为椭圆22154x y +=在第一象限内的一点，以点P 以及焦点1F ，2F 为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标是______．【例24】 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，1260F PF ∠=°，椭圆的短半轴长为b 12PF F △的面积为______．【例25】 已知1F 、2F 是椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F ∆的面积为9，则b = ．【例26】 设12F F ，为椭圆22143x y +=左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P Q ，两点，当四边形12PF QF 面积最大时，12PF PF ⋅的值等于______．【例28】 设AB 是过椭圆22221(1)x y a b a b+=>>中心的弦，椭圆的左焦点为1(0)F c -，，则1F AB ∆的面积的最大值为_________．【例29】 解10．【例30】 在椭圆221259x y +=上求一点，使它到两焦点的距离之积为16．【例31】 设P 为椭圆2221x y a+=(1)a >短轴上的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ的最大值．【例32】 设12F F ，为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 在椭圆上，已知12P F F ，，是一个直角三角形的三个顶点，且12||||PF PF >，求12||||PF PF 的值．【例33】 已知A 、分别是椭圆22221x y a b +=的左右两个焦点，O 为坐标原点，点1,P ⎛- ⎝⎭在椭圆上，线段PB 与y 轴的交点M 为线段PB 的中点． ⑴求椭圆的标准方程；⑵点C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC ∆，求sin sin sin A BC+的值．【例34】 如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥． ⑴求点P 的坐标；⑵设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求点M 的坐标． ⑶求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【例35】 已知点P 在圆C ：22(4)1x y +-=上移动，Q 点在椭圆2214x y +=上移动，求PQ的最大值．【例36】 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 和2F ，离心率e =，点2F 到直线l ：2a x c=c 为椭圆的半焦距，⑴求a b 、的值；⑵设M 、N 是l 上的两个动点，满足120F M F N ⋅= ，证明：当MN取最小值时，21220F F F M F N ++= ．。

第64讲椭圆及其性质知识梳理知识点一：椭圆的定义平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （122||a F F >）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c ，定义用集合语言表示为：{}1212|||||2(2||20)P PF PF a a F F c +=>=>注意：当22a c =时，点的轨迹是线段；当22a c <时，点的轨迹不存在．知识点二：椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质所示．焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>>()222210y x a b a b+=>>统一方程221(m 0,n 0,)mx ny m n +=>>≠参数方程cos ,[0,2]sin x a y b θθθπθ=⎧∈⎨=⎩为参数（）cos ,[0,2]sin x a y b θθθπθ=⎧∈⎨=⎩为参数（）第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）范围a x a -≤≤且b y b-≤≤b x b -≤≤且a y a-≤≤①2max 12122cos 1,b F BF r r θθ=-=∠，（B 为短轴的端点）②1202012|s |,1tan 2|in 2|,PF F c y x S x r b r c y θθ∆⎧⎪===⎨⎪⎩焦点在轴上焦点在轴上12()F PF θ=∠（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为22ba．①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为a c+，距离的最小值为a c-．（2）椭圆的切线①椭圆22221(0)x y a ba b+=>>上一点00()P x y，处的切线方程是00221x x y ya b+=；②过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00()P x y ，，所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=；③椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=．必考题型全归纳题型一：椭圆的定义与标准方程例1．（2024·高二课时练习）已知椭圆C 上任意一点(),P x y 都满足关系式4=，则椭圆C 的标准方程为.例2．（2024·山东青岛·统考三模）已知椭圆C 的长轴长为4，它的一个焦点与抛物线214y x =的焦点重合，则椭圆C 的标准方程为．例3．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为12(1,0),(1,0)F F -，且过点31,,2P ⎛⎫⎪⎝⎭则椭圆标准方程为．变式1．（2024·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测）已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>），F 是E 的左焦点，过E 的上顶点A 作AF 的垂线交E 于点B .若直线AB 的斜率为，ABF △E 的标准方程为.变式2．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆焦点在x 轴，它与椭圆22143x y+=有相同离心率且经过点(2,，则椭圆标准方程为.变式3．（2024·北京·高二北大附中校考期末）与双曲线224312y x -=有相同焦点，且长轴长为6的椭圆标准方程为.变式4．（2024·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过坐标原点的直线交E 于P ，Q 两点，且22PF F Q ⊥，且2212PF Q S a = ，228PF F Q +=，则E 的标准方程为.变式5．（2024·山东青岛·高二青岛二中校考期中）过点，且与椭圆221259x y +=有相同的焦点的椭圆标准方程是．变式6．（2024·浙江丽水·高三校考期中）我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”.若椭圆22:11612x y E +=，则以椭圆E 的焦点为顶点的相似椭圆F 的标准方程为.变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点（异于M 、N ），1AF B △的周长为AM 与AN 的斜率之积为23-，则椭圆C 的标准方程为.变式8．（2024·高二课时练习）已知椭圆C 的焦点在坐标轴上，且经过(2)A -和(B -两点，则椭圆C 的标准方程为.【解题方法总结】（1）定义法：根据椭圆定义，确定22,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出,,a b c 的方程组，解出22,a b ，从而求得标准方程.注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为221(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠.②与椭圆221x y m n +=共焦点的椭圆可设为221(,,)x y k m k n m n m k n k +=>->-≠++.③与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆，可设为22122x y k a b +=（10k >，焦点在x 轴上）或22222x y k a b+=（20k >，焦点在y 轴上）.题型二：椭圆方程的充要条件例4．（2024·全国·高三对口高考）若θ是任意实数，方程22sin cos 5x y θθ+=表示的曲线不可能是（）A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线例5．（2024·上海徐汇·位育中学校考三模）已知m ∈R ，则方程()()22211m x m y -++=所表示的曲线为C ，则以下命题中正确的是（）A ．当1,22m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆B ．当曲线C 表示双曲线时，m 的取值范围是()2,+∞C ．当2m =时，曲线C 表示一条直线D ．存在m ∈R ，使得曲线C 为等轴双曲线例6．（2024·全国·高三专题练习）已知方程220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=，其中A B C D E F ≥≥≥≥≥．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．其中，真命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个变式9．（2024·全国·高三专题练习）“01a <<，01b <<”是“方程221ax by =-表示的曲线为椭圆”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件变式10．（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知曲线22:1432x y C a a +=+，则“0a >”是“曲线C是椭圆”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件变式11．（2024·全国·高三专题练习）设a 为实数，则曲线C ：22211yx a-=-不可能是（）A ．抛物线B ．双曲线C ．圆D ．椭圆变式12．（2024·广西钦州·高三校考阶段练习）“15k <<”是方程“22115x y k k+=--表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条【解题方法总结】221x y m n +=表示椭圆的充要条件为：0,0,m n m n >>≠；221x y m n +=表示双曲线方程的充要条件为：0mn <；221x y m n+=表示圆方程的充要条件为：0m n =>.题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题例7．（2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点A ，B 是椭圆22:194x y C +=上关于原点对称的两点，1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，若12AF =，则1BF =（）A ．1B ．2C ．4D ．5例8．（2024·北京·高三强基计划）如图，过椭圆22143x y +=的右焦点2F 作一条直线，交椭圆于A ，B 两点，则1F AB 的内切圆面积可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．4例9．（2024·江西·高三统考阶段练习）已知椭圆22122:1(1),,x C y a F F a+=>为两个焦点，P 为椭圆C 上一点，若12PF F △的周长为4，则=a （）A ．2B ．3C ．32D ．54变式13．（2024·河南·高三阶段练习）已知12,F F 分别为椭圆222:1(12x yC a a +=>的两个焦点，且C 的离心率为1,2P 为椭圆C 上的一点，则12PF F △的周长为（）A ．6B ．9C ．12D ．15变式14．（2024·全国·校联考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，左、右焦点分别为1F ，2F ，延长2BF 交椭圆E 于点P ．若点A 到直线2BF 的距离为3，12PF F△的周长为16，则椭圆E 的标准方程为（）A ．2212516x y +=B ．2213632x y +=C ．2214948x y +=D ．22110064x y +=变式15．（2024·广东梅州·统考三模）已知椭圆22:195x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若24AF =，则12AF F △的面积为（）A ．BC ．4D变式16．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）椭圆22:1(0)43x y E a b +=>>的两焦点分别为12F F ，，A 是椭圆E 上一点，当12F AF 的面积取得最大值时，12F AF ∠=（）A ．6πB ．2πC ．3πD ．23π变式17．（2024·河南开封·统考三模）已知点P 是椭圆221259x y +=上一点，椭圆的左、右焦点分别为1F 、2F ，且121cos 3F PF ∠=，则12PF F △的面积为（）A ．6B ．12C ．2D ．变式18．（2024·全国·高三专题练习）设12,F F 为椭圆22:15xC y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=（）A ．1B ．2C ．4D ．5变式19．（2024·全国·高三专题练习）设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x y C +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（）A ．135B C ．145D 变式20．（2024·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）若椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，两个焦点分别为()1,0F c -，()()2,00F c c >，M 为椭圆C 上异于顶点的任意一点，点P是12MF F △的内心，连接MP 并延长交12F F 于点Q ，则PM PQ=（）A ．2B ．12C ．4D ．14变式21．（2024·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若12AB F F =，则1ABF 的面积等于（）A ．18B ．10C ．9D ．6变式22．（2024·贵州黔西·校考一模）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2FP 是C 上一点，且12F P F P ⊥．若12PF F △的面积为2，则=a （）A ．1B ．2CD ．4变式23．（2024·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知椭圆222:1(03)9x y C b b+=<<的左、右焦点分别为12,,F F P 为椭圆上一点，且1260F PF ∠=︒，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则12F PF △的面积为（）A．B．C．D变式24．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点P 与两个焦点12,F F 的距离的和等于4，且12120PF F ∠=︒，则12PF F △的面积为（）A．7B．5C．4D．5变式25．（2024·河北唐山·统考三模）已知椭圆22:12x C y +=的两个焦点分别为12,F F ，点M 为C 上异于长轴端点的任意一点，12F MF ∠的角平分线交线段12F F 于点N ，则22MF F N=（）A ．15B ．5C ．2D 【解题方法总结】焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即12||||2PF PF a +=.题型四：椭圆上两点距离的最值问题例10．（2024·湖南·校联考二模）已知12,F F 分别为椭圆22:162x yC +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，则2212122PF PF PF PF +-的最大值为（）A ．64B ．16C ．8D ．4例11．（2024·云南·高三校联考阶段练习）已知(3,0),(3,0)A B -，P 是椭圆2212516x y +=上的任意一点，则||||PA PB ⋅的最大值为（）A ．9B ．16C ．25D ．50例12．（2024·河南·高三期末）已知P 是椭圆22:11612x y C +=上的动点，且与C 的四个顶点不重合，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，若点M 在12F PF ∠的平分线上，且10MF MP ⋅=，则OM 的取值范围是（）A ．()0,2B ．(0,C ．(0,4-D ．()0,1变式26．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知12,F F 是椭圆22:143x yC +=的两个焦点，点P 在C 上，则2212PF PF +的取值范围是（）A ．[]1,16B ．[]4,10C ．[]8,10D ．[]8,16变式27．（2024·全国·高三专题练习）若椭圆C ：22143x y +=，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为（）A ．3B ．2C ．2D 1变式28．（2024·全国·高三专题练习）已知点M 在椭圆221189x y +=上运动，点N 在圆()2211x y +-=上运动，则MN 的最大值为（）A ．1B ．1+C ．5D ．6【解题方法总结】利用几何意义进行转化.题型五：椭圆上两线段的和差最值问题例13．（2024·北京·高三强基计划）设实数x ，y 满足22154x y +=，则）A ．B ．2-C ．D ．前三个答案都不对例14．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C ：22195x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是C 上一点，()2,1B ，则1AB AF +的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．11例15．（2024·江苏·统考三模）已知F 为椭圆C ：2214x y +=的右焦点，P 为C 上一点，Q 为圆M ：()2231x y +-=上一点，则PQ ＋PF 的最大值为（）A ．3B ．6C ．4+D ．5+变式29．（2024·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）若平面向量,,a b c满足||||1,||||a b a b a b ==+=-，若||||4c a c -+=，则c a b c --+- 的取值范围为（）A ．[]2,6B ．[]2,4C ．[]4,6D ．[]3,5变式30．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆22:1167x y C +=的左焦点为,F P 是C 上一点，()3,1M ，则PM PF +的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．11变式31．（2024·全国·高三专题练习）已知点P 为椭圆22143x y +=上任意一点，点M 、N 分别为()2211x y -+=和()2211x y ++=上的点，则PM PN +的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7变式32．（2024·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别为椭圆22:14xC y +=的两个焦点，P为椭圆上一点，则12PF PF -的最大值为（）A ．2B ．C ．4D ．变式33．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆2212516x y +=外一点A (5，6)，l 为椭圆的左准线，P 为椭圆上动点，点P 到l 的距离为d ，则35PA d +的最小值为（）A ．8B ．10C ．12D ．14变式34．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（）A ．1B ．－1C D ．【解题方法总结】在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点P 在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．题型六：离心率的值及取值范围方向1：利用椭圆定义去转换例16．（2024·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条PAB 的P 处钻一个小孔，可以容纳笔尖，,A B 各在一条槽内移动，可以放松移动以保证PA 与PB 的长度不变，当,A B 各在一条槽内移动时，P 处笔尖就画出一个椭圆E .已知2PA AB =，且P 在右顶点时，B 恰好在O 点，则E 的离心率为（）A ．12B ．23C D ．3例17．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的一个焦点为()2,0F ，点()2,1A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得8PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是（）A ．44,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．44,97⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．22,97⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．22,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦例18．（2024·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知椭圆C 的左右焦点分别为1F ，2F ，P ，Q 为C 上两点，2223PF F Q = ，若12PF PF ⊥，则C 的离心率为（）A ．35B ．45C ．5D ．5变式35．（2024·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）如图，已知圆柱底面半径为2，高为3，ABCD 是轴截面，,E F 分别是母线,AB CD 上的动点（含端点），过EF 与轴截面ABCD 垂直的平面与圆柱侧面的交线是圆或椭圆，当此交线是椭圆时，其离心率的取值范围是（）A ．30,5⎛⎤⎥⎝⎦B ．40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭变式36．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左，右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且112MF F N = ，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A ．34B ．23C ．3D ．4变式37．（2024·重庆巴南·统考一模）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，点P 为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M ，N 满足1F M MP = ，22ON OP OF =+，若四边形MONP的周长等于4b ，则椭圆C 的离心率为e =（）A ．12B C D 变式38．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知M ，N 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上关于原点O 对称的两点，P 是椭圆C 上异于,M N 的点，且PM PN ⋅ 的最大值是212a ，则椭圆C 的离心率是（）A ．13B ．12C ．2D方向2：利用a 与c 建立一次二次方程不等式变式39．（2024·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习）椭圆2222:1(0)x y a b a bτ+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c +与椭圆τ的一个交点为M 在x 轴上方，满足122132F MF MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率为（）A 1B ．12C1D ．12变式40．（2024·广东深圳·高三校考阶段练习）已知椭圆E ：(222210)x y a b a b+=>>的右焦点为2F ，左顶点为1A ，若E 上的点P 满足2PF x ⊥轴，121tan 2PA F ∠=，则E 的离心率为（）A ．12B ．25C ．14D ．15变式41．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知O 为坐标原点，()11,P x y 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上一点()10x >，F 为右焦点.延长PO ，PF 交椭圆E 于D ，G两点，0DF FG ⋅=，4DF FG =，则椭圆E 的离心率为（）A B C D 变式42．（2024·河南开封·校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，A ，B 分别是C 的左顶点和上顶点，F 是C 的左焦点，若tan 2tan FAB FBA ∠=∠，则C 的离心率为（）A ．12BC ．32-D 变式43．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，斜率为1的直线经过左焦点1F 且交C 于,A B 两点（点A 在第一象限），设△12AF F的内切圆半径为112,r BF F 的内切圆半径为2r ，若122r r =，则椭圆的离心率的值为（）A ．13B ．12C D ．3变式44．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆上一点，0AF BF ⋅= ，12cos 13BAF ∠=，则椭圆的离心率为（）A ．713B ．34C ．13D ．712变式45．（2024·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，F 为其左焦点，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于点A ，B ，且AF AB ⊥．若30ABF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A B C D 方向3：利用最大顶角θ满足sin12e θ≤＜变式46．（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅= 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．()0,1D ．2⎫⎪⎪⎣⎭变式47．（2024·全国·高三专题练习）设1F 、2F 是椭圆()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆外存在点P 使得120PF PF ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围______．变式48．（2024·北京丰台二中高三阶段练习）已知1F ，2F 分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点P 使得122F PF θ∠=（02πθ<<，θ是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________.变式49．（2024·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在一点P 使得122π3F PF ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是________．方向4：坐标法变式50．（2024·云南·校联考模拟预测）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F （如图），过2F 的直线交E 于P ，Q 两点，且1PF x ⊥轴，229PF F Q =，则E 的离心率为（）A B ．12C D ．2变式51．（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为e ．倾斜角为120︒的直线与C 交于,A B 两点，并且满足21AB AF BF e=-，则C 的离心率为（）A ．12B C ．2D 变式52．（2024·广东佛山·校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的下焦点为F ，右顶点为A ，直线AF 交椭圆C 于另一点B ，且2AF FB =，则椭圆C 的离心率是（）A 1B ．2C D 1变式53．（2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时，||PM 取得最大值，则C 的离心率的取值范围是（）A ．2⎫⎪⎪⎣⎭B ．0,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦变式54．（2024·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1F ，过左焦点1F 作倾斜角为π6的直线交椭圆于A ，B 两点，且113AF F B = ，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．23C ．3D ．3变式55．（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为2F ，过右焦点作倾斜角为π3的直线交椭圆于,G H 两点，且222GF F H = ，则椭圆的离心率为（）A ．12B ．2C ．23D 变式56．（2024·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<的左，右焦点为12,F F ，离心率为2，又点,A B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足11AF F B λ= ，若2AB AF ⊥，则λ=（）A ．5B ．4C ．3D ．2变式57．（2024·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的上顶点，点P 在过A 且斜率为上，12PF F △为等腰三角形，12120PF F ∠=，则C 的离心率为（）A ．10B ．14C ．9D ．14变式58．（2024·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c ，以原点O 为圆心，a 为半径作圆O ，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆O 的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为（）A ．12B ．13C ．3D ．2变式59．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试）已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，若113MF F N =，则C 的离心率为（）A B ．13C ．2D ．3方向5：找几何关系，利用余弦定理变式60．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过坐标原点O 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，点P 位于第一象限，直线PF 与椭圆C 另交于点A ，且23PF FA = ，若1cos 3AFQ ∠=，2FQ FA =，则椭圆C 的离心率为（）A B C D 变式61．（2024·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）设点1F 、2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点，点M ，N 在椭圆C 上，若1123MF F N = ，222MF MN MF =⋅ ，则椭圆C 的离心率为（）A B C ．35D ．15变式62．（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，290MF N ∠=，且2243F N F M =，则椭圆的离心率为（）A ．13B ．12C ．3D 变式63．（2024·河南·校联考模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，若椭圆上存在点P ，使得线段1PF 与直线y x =垂直垂足为Q ，若1132PF F Q =，则椭圆C的离心率为（）A ．45B ．35C ．34D 变式64．（2024·江西南昌·校联考二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 经过点1F 交C 于A ，B 两点，点M 在C 上，12AM F F ∥，1AB MF =，1260F MF ∠=︒，则C 的离心率为（）A ．12B ．3C ．2D ．2变式65．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知1F ，2F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左，右焦点，P 是C 上的一点，若11232PF F F =，且1260PF F ∠=︒，则C 的离心率为（）AB ．2C 2D ．3-方向6：找几何关系，利用正弦定理变式66．（2024·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F Ð=Ð，则椭圆E 的离心率为（）A 2B ．4C D ．4变式67．（2024·全国·高三专题练习（理））已知椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得12MF F △中，1221sin sin MF F MF F a c∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为()A ．(0－1)B ．2,12⎫⎪⎪⎝⎭C ．20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．－1,1)变式68．（2024·全国·高三专题练习）过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点1F ，2F 作倾斜角分别为6π和3π的两条直线1l ，2l ．若两条直线的交点P 恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（）A2B 1-C ．12D 变式69．（2024·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆离心率e 的取值范围是______．变式70．（2024·全国·高三专题练习）过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点1F ，2F 作倾斜角分别为6π和3π的两条直线1l ，2l ．若两条直线的交点P 恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（）A ．2B 1C ．12-D ．12方向7：利用基本不等式变式71．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C上的两点A ，B 关于原点对你，且满足0FA FB ⋅=，FB FA ≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A ．,12⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．12⎤-⎢⎥⎣⎦C ．)1,1D ．22⎢⎣⎦变式72．（2024·江苏南京·高三阶段练习）设1F 、2F 分别是椭圆E ：()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点，M 是椭圆E 准线上一点，12F MF ∠的最大值为60°，则椭圆E 的离心率为（）A 2B ．2C ．2D ．2变式73．（2024·山西运城·高三期末（理））已知点A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点，O 为坐标原点，过椭圆的右焦点F 作垂直于x 轴的直线l ，若直线l 上存在点P 满足30APO ∠=︒，则椭圆离心率的最大值______________.变式74．（2024·全国·高三专题练习）已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，且135AFB ∠=︒，记椭圆的离心率为e ，则2e 的取值范围是___________.方向8：利用焦半径的取值范围为[]a c a c -+，．变式75．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得213PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．变式76．（2024·广西南宁·二模（理））已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在一点P 使12PF e PF =，则该椭圆的离心率e 的取值范围是______.变式77．（2024·河南·信阳高中高三期末（文））若椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上存在一点P ，使得128PF PF =，其中12,F F 分别C 是的左、右焦点，则C 的离心率的取值范围为______.变式78．（2024·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭变式79．（2024·陕西西安·统考三模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 上一点Р到焦点1F 的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．25C ．13D ．23变式80．（2024·全国·模拟预测）已知1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210x ya b a b+=>>的左､右焦点，B 是椭圆C 的上顶点，P 是椭圆C 上任意一点，且C 的焦距大于短轴长，若2PB 的最大值是12PF PF ⋅的最小值的163倍，则椭圆C 的离心率为（）A ．23B ．12C ．2或12D ．2方向9：利用椭圆第三定义．变式81．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>），点A ，B 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P ，使1,03AP BP k k ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率e 的取值范围是______．变式82．（2024·全国·模拟预测）已知直线:l y kx =与椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>交于,A B两点，M 是椭圆上异于,A B 的一点．若椭圆E 的离心率的取值范围是32⎛⎫⎪⎪⎝⎭，则直线MA ，MB 斜率之积的取值范围是（）A ．1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭B ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．21,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭变式83．（2024·内蒙古赤峰·校联考三模）下列结论：①若方程22158x y k k +=--表示椭圆，则实数k 的取值范围是()5,8；②双曲线221515y x -=与椭圆221925y x +=的焦点相同．③M 是双曲线221412x y -=上一点，点1F ，2F 分别是双曲线左右焦点，若15MF =，则29M F =或1．④直线y kx =与椭圆C ：22221x y a b+=交于P ，Q 两点，A 是椭圆上任一点（与P ，Q 不重合），已知直线AP 与直线AQ 的斜率之积为13-，则椭圆C 的离心率为3．错误的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个变式84．（2024·河南·校联考模拟预测）已知直线:34110l x y +-=与椭圆222:14x y C m+=交于,A B 两点，若点()1,2P 恰为弦A B 的中点，则椭圆C 的离心率是（）A B ．2C ．D 变式85．（2024·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点,M N 是椭圆C 上关于y 轴对称的两点.若直线,AM AN 的斜率之积为23，则C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．12D ．3【解题方法总结】求离心率的本质就是探究,a c 之间的数量关系，知道,,a b c 中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出e 的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.题型七：椭圆的简单几何性质问题例19．（2024·甘肃陇南·高三统考期中）已知双曲线2213x y m m-=的一个焦点是()0,2，椭圆221y x n m-=的焦距等于4，则n =．例20．（2024·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）若抛物线22y px =的焦点恰好是椭圆22151x y +=的右焦点，则p =.例21．（2024·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知椭圆22116x y m+=的左、右焦点分别为点1F 、2F ，若椭圆上顶点为点B ，且12F BF 为等腰直角三角形，则m =.变式86．（2024·四川南充·高三统考期中）已知点()4,0A -、()4,0B ，动点(),P m n 满足：直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之积为916-的取值范围为．变式87．（2024·全国·高三专题练习）若P 为椭圆22125252x y +=上的一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，则12F PF ∠的最大值为.变式88．（2024·全国·高三专题练习）AB 是平面上长度为4的一条线段，P 是平面上一个动点，且6PA PB +=，M 是AB 的中点，则PM 的取值范围是．变式89．（2024·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球1O ，2O ，使得它们分别与圆锥的侧面和平面α都相切，平面α分别与球1O ，2O 相切于点E ，F .数学家Ger min alDandelin 利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，E ，F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin 双球.若球1O ，2O 的半径分别为6和3，球心距离1211O O=，则此椭圆的长轴长为.变式90．（2024·全国·高三专题练习）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）到地面的距离为1S，近地点（长轴端点中离地面最近的点）到地面的距离为2S，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（用1S，2S，R表示）．【解题方法总结】a b b a轴长轴长=2a ，短轴长=2b离心率(01)ce e a=<<（注：离心率越小越圆，越大越扁）题型八：利用第一定义求解轨迹例22．（2024·全国·高三专题练习）已知M N 是椭圆()222210x y a b a b+=>>中垂直于长轴的动弦，,A B 是椭圆长轴的两个端点，则直线AM 和N B 的交点P 的轨迹方程为．例23．（2024·广东东莞·高三校考阶段练习）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆()22:125N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，则圆心P 的轨迹方程为例24．（2024·全国·高三专题练习）已知点P 为椭圆2212516x y +=上的任意一点，O 为原点，M满足12OM OP =，则点M 的轨迹方程为．变式91．（2024·全国·高三专题练习）已知平面上一定点(2,0)C 和直线l ：x =8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且1()2PC PQ + ·1()2PC PQ -=0．则动点P 的轨迹方程为；变式92．（2024·全国·高三专题练习）一个动圆与圆221:(3)1C x y ++=外切，与圆22:(3)81C x y +-=内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为．变式93．（2024·全国·高三对口高考）已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆221:42Fx y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点.线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为.变式94．（2024·全国·高三专题练习）已知圆M ：()2211x y ++=，圆N ：()2219x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的方程为____________.。