厦门市2015-2016高二(上)理科数学期末市质检(含答案)

厦门市2016届高中毕业班第二次质量检查数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合{}{}2420A x x x N B x x x =<∈=->且，，则B A = A ．{}2 B ．{}3 C ．{}2,3 D ．{}3,42. “互联网+”时代，全民阅读的内涵已然多元化，倡导读书成为一种生活方式.某校为了解高中学生的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本进行调查.已知该校有高一学生600人，高二学生400人，高三年级学生200人，则应从高一学生中抽取的人数为 A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 3．已知命题:(0,),sin 2p x x x π∀∈<，则A ．p 是真命题，:(0,),sin 2p x x xπ⌝∀∈≥B ．p 是真命题，000:(0,),sin 2p x x x π⌝∃∈≥C ．p 是假命题，:(0,),sin 2p x x xπ⌝∀∈≥D ．p 是假命题，000:(0,),sin 2p x x x π⌝∃∈≥4. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A ．21- B ．0 C ．21 D ．1 5. 在ABC ∆中,11,33AP AB BQ BC ==，记b AC a AB ==,，则=A ．3131+B ．3132+C ．3232+D ．3231-否cos3i s s π=+1-=i i 输出s 是开始结束,6==s i ?0≥i21俯视图侧视图主视图6. 从6名女生中选4人参加1004⨯米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参赛，如果甲、乙两人同时参赛，她们的接力顺序就不能相邻，不同的排法种数为A. 144 B ．192 C ．228 D ．2647. 将函数()cos()(0)2f x x πωω=->的图象向右平移4π个单位长度，所得的图象经过点304π（，），则ω的最小值是 A ．31 B ．1 C.35D. 28.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”， 已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面 积，则该“堑堵”的侧面积为 A ． 2B ．422+C ．442+D ．642+9．已知y x ,满足43,3525,1,x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若不等式1≥-y ax 恒成立，则a 的取值范围是A ．27[,)5+∞ B ．11[,)5+∞ C ．),53[+∞ D ．),2[+∞10.直线:l y kx =与曲线x x x y C 34:23+-=顺次相交于,,A B C 三点，若AB BC =，则k = A. 5- B. 95-C. 21- D. 21 11.已知点1,0MA B （），，是椭圆1422=+y x上的动点，且0=⋅，则⋅的取值范围是 A ．2[,1]3B ．[1,9]C ．]9,32[ D ．612. 已知平面四点,,,A B C D 满足2,23,AB BC CD AD ====设ABD ∆，BCD ∆的面积分别为1S ,2S ，则2212S S +的取值范围是A.(8312,14]B. (8312,83]C.(12,14]D.(12,28] 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z 满足(1)2i z i -=， 则z 在复平面内对应的点在第 ▲ 象限． 14．若函数2()2,21x af x x b b x +=∈-∞++∞-,（，）（）是奇函数，则=+b a ▲ ．15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，以C 的一个顶点为圆心，a 为半径的圆被C 截得的劣弧长为23a π,则双曲线C 的离心率为 ▲ ． 16. 已知等边三角形ABC的边长为,M N 分别为,AB AC 的中点，沿MN 将ABC ∆折成直二面角，则四棱锥A MNCB -的外接球的表面积为 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，315314,8S a a a =⋅=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，12log n n n b b a ++=.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求2n T .18．（本小题满分12分）如图, 等腰梯形ABCD 的底角A 等于60°,其外接圆圆心O 在边AD 上，直角梯形PDAQ 垂直于圆O 所在的平面，90QAD PDA ∠=∠=︒,且24AD AQ ==. (Ⅰ)证明:平面ABQ ⊥平面PBD ;(Ⅱ)若二面角D PB C --平面角等于45︒,求多面体PQABCD 的体积.AQ19．（本小题满分12分）2015年7月31日，国际奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季运动会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办．某中学为了普及冬奥会知识，举行了一次奥运知识竞赛，随机抽取20名学生的成绩（满分为100分）如下：男生 93 91 90 86 83 80 76 69 67 65 女生 96 87 85 83 79 78 77 74 73 68(Ⅰ)根据两组数据完成男、女生成绩的茎叶图，并比较男、女生成绩的平均值及分散程度；(Ⅱ)从成绩80分以上（包括80分）的学生中抽取4人，要求4人中必须既有男生又有女生，用X 表示所选4人中男生与女生人数的差，求X 的数学期望．20．（本小题满分12分）已知直线1l ：220mx y m +--=，2l ：220x my m -+-=，1l 与y 轴交于A 点，2l 与x 轴 交于B 点，1l 与2l 交于D 点，圆C 是ABD ∆的外接圆. (Ⅰ)判定ABD ∆的形状，并求圆C 面积的最小值；(Ⅱ)若D E ，是抛物线22x py =与圆C 的公共点，问：在抛物线上是否存在点P 使得PDE ∆是等腰三角形？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）设函数()ln e x f x ax x b -=+，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为()111e 12e y x --=+--.（Ⅰ）求,a b ；（Ⅱ）求证：()212e f x ->--.选考题（请考生在22、23、24三题中任选一题作答． 注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．） 22． （本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，AD ，CF 分别是ABC ∆的中线和高线，PB ，PC 是ABC ∆外接圆O 的切线，点E 是PA 与圆O 的交点． (Ⅰ)求证：AC CD AF PC ⋅=⋅； (Ⅱ)求证：DC 平分ADE ∠．23． （本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为2220x x y -+=，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈．(Ⅰ) 写出C 的极坐标方程，并求l 与C 的交点,M N 的极坐标；(Ⅱ) 设P 是椭圆2213x y +=上的动点，求PMN ∆面积的最大值．24． （本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知函数3)(-=x x f .(Ⅰ)求不等式()21f x x <++的解集； (Ⅱ)已知,R m n +∈且112mn m n+=，求证：()()6mf n nf m +-≥．。

2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。

2015-2016学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）抛物线x2=2y的焦点坐标是（）A．B．C．（1，0）D．（0，1）2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），x=x0﹣1”的否定是（）A．∀x∈（0，+∞），x2≠x﹣1B．∀x∈（0，+∞），x2=x﹣1C．∃x0∉（0，+∞），x≠x0﹣1D．∃x0∈（0，+∞），x≠x0﹣13．（5分）已知数列{a n}满足a4=23，a n+1=2a n+1，则a2等于（）A．5B．C．6D．4．（5分）已知向量=（1，0，1），=（0，﹣1，﹣1），则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．（5分）下列命题中，真命题的是（）A．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若＜＜0，则ab＜b2D．若＞，则a＞b6．（5分）命题p“若sinα=，则α=30°；命题q：若点（m，n）在直线x+y+1=0的上方，则m+n+1＞0，下列命题是真命题的是（）A．p∨￢q B．￢p∧q C．￢q∧￢q D．p∧q7．（5分）△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若=x+y+z，则x+y+z等于（）A．3B．2C．D．19．（5分）已知直线l：+=1（a＞0，b＞0），直线l过点P（1，4），则a+b的最小值是（）A．6B．8C．9D．1010．（5分）已知正项等比数列{a n}，其前n项和为S n，a k﹣1=2，a k•a k+2=a=64，则S10等于（）A．410﹣1B．C．210﹣1D．11．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=3，E为线段A1C上的动点，则满足ED⊥ED1的点E的个数为（）A．0B．1C．2D．无数个12．（5分）已知点F为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F作直线l与双曲线C相交于A，B两点，若满足|AB|=2的直线l有且仅有两条，则双曲线C的方程可以是（）A．x2﹣4y2=1B．x2﹣=1C．2x2﹣2y2=1D．x2﹣y2=1二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5分）若“x2+x﹣2≤0”是“x≤k”的充分不必要条件，则k的取值范围是．14．（5分）已知点P（0，1）到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为．15．（5分）如图，某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°，乙山山顶B 的仰角为45°，∠APB的大小为45°，山脚P到山顶A的直线距离为2km，在A处测得山顶B的仰角为30°，则乙山的高度为km．16．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，且a n+1=λS n﹣S n+1，其中λ是常数，若{a n}是递增数列，则λ的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a7=22，S4=24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜．18．（12分）在△ABC中，AB=4，AC=6，cosB=．（Ⅰ）求△ABC面积；（Ⅱ）求AC边上的中线BD的长度．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=2，AC=2，BC=2，AA1=2，点D，E分别为棱BC，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：DF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角B﹣AB1﹣D的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），直线x=﹣1与动直线y=n 的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P．（Ⅰ）求点P的轨迹Г的方程；（Ⅱ）过动点M作曲线Г的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．21．（12分）甲、乙两个粮库要项A，B量诊运送大米，已知甲库将调出100吨大米，乙库将调出80吨大米，A镇至少需要60吨大米，B镇至少需要100吨大米，且甲往B镇运送大米的吨数不少于乙往A镇运送大米的吨数的2倍，两库到两镇运费如表（其中a为常数，＜a＜2）．运费（元/吨）甲库乙库A镇240+10a180 B镇260210为了满足上述要求，同时使总运费最省，试问甲、乙粮库应运往A镇各多少吨大米？22．（12分）如图，已知F1（0，﹣1），F2（0，1）为椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，过F1作两条倾斜角互补的直线l1，l2，l1，l2分别与椭圆Γ相交于A，B，C，D四点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）求阴影部分S的最大值；（Ⅲ）求证：直线AD与直线BC的交点是定点．2015-2016学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）抛物线x2=2y的焦点坐标是（）A．B．C．（1，0）D．（0，1）【解答】解：根据抛物线的定义可得，x2=2y的焦点坐标（0，）故选：B．2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），x=x0﹣1”的否定是（）A．∀x∈（0，+∞），x2≠x﹣1B．∀x∈（0，+∞），x2=x﹣1C．∃x0∉（0，+∞），x≠x0﹣1D．∃x0∈（0，+∞），x≠x0﹣1【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定是全称命题，则命题的否定是：∀x∈（0，+∞），x2≠x﹣1，故选：A．3．（5分）已知数列{a n}满足a4=23，a n+1=2a n+1，则a2等于（）A．5B．C．6D．【解答】解：∵a4=23，a n+1=2a n+1，∴a4=2a3+1=23，解得a3=11；∴11=a3=2a2+1，解得a2=5．故选：A．4．（5分）已知向量=（1，0，1），=（0，﹣1，﹣1），则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：||=，||=，=﹣1．∴cos＜＞==﹣．∴与的夹角为120°．故选：C．5．（5分）下列命题中，真命题的是（）A．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若＜＜0，则ab＜b2D．若＞，则a＞b【解答】解：对于A：令a=2，b=0，c=1，d=﹣2，不成立；对于B：令a=2，b=﹣1，c=﹣1，d=﹣3，不成立；对于C：若＜＜0，则b＜a＜0，∴ab＜b2，故C正确；对于D：若＞，a（a﹣1）＜0时，ab﹣b＜ab﹣a，则﹣b＜﹣a，则a＜b，不成立；故选：C．6．（5分）命题p“若sinα=，则α=30°；命题q：若点（m，n）在直线x+y+1=0的上方，则m+n+1＞0，下列命题是真命题的是（）A．p∨￢q B．￢p∧q C．￢q∧￢q D．p∧q【解答】解：命题p“若sinα=，则α=30°，是假命题；命题q：若点（m，n）在直线x+y+1=0的上方，则m+n+1＞0，是真命题；故￢p∧q∧真命题，故选：B．7．（5分）△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解答】解：由题意可得2b•cosB=a•cosC+c•cosA，再利用正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，∴sin2B=sin（A+C），即2sinBcosB=sinB．由于sinB≠0，∴cosB=，∴B=60°，故选：B．8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若=x+y+z，则x+y+z等于（）A．3B．2C．D．1【解答】解：∵，=，=，∴=x+y+z=（x+y）+（x+z）+（y+z）．∵=，∴，解得x=y=z=．∴x+y+z=．故选：C．9．（5分）已知直线l：+=1（a＞0，b＞0），直线l过点P（1，4），则a+b的最小值是（）A．6B．8C．9D．10【解答】解：∵直线l：+=1（a＞0，b＞0），直线l过点P（1，4），∴=1．则a+b=（a+b）=5++≥5+2=9，当且仅当b=2a=6时取等号．∴a+b的最小值是9．故选：C．10．（5分）已知正项等比数列{a n}，其前n项和为S n，a k﹣1=2，a k•a k+2=a=64，则S10等于（）A．410﹣1B．C．210﹣1D．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，=2，a k•a k+2=a=64，∵a k﹣1==2q2，∴a k+1∴64=（q4）2==（2q2）2，解得q=2，a1=．∴S10==．故选：D．11．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=3，E为线段A1C上的动点，则满足ED⊥ED1的点E的个数为（）A．0B．1C．2D．无数个【解答】解：以A为坐标原点建立如图所示的空间坐标系，则D（0，2，0），D1（0，2，3），设A1E=λA1C，（0≤λ≤1），则由A1（0，0，3），=（1，2，﹣3）得：=（λ，2λ，3﹣3λ），则=（﹣λ，2﹣2λ，3λ﹣3），=（﹣λ，2﹣2λ，3λ），若ED⊥ED1，则⊥，即λ2+（2﹣2λ）2+3λ（3λ﹣3）=0，即14λ2﹣17λ+4=0，解得：λ=，故存在两个满足条件的点，故选：C．12．（5分）已知点F为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F作直线l与双曲线C相交于A，B两点，若满足|AB|=2的直线l有且仅有两条，则双曲线C的方程可以是（）A．x2﹣4y2=1B．x2﹣=1C．2x2﹣2y2=1D．x2﹣y2=1【解答】解：对于A，即有x2﹣=1，可得a=1，b=，当AB垂直于x轴时，弦长AB为=＜2，由2a=2，可得直线l与双曲线的交点在左右支上，有一条；交于右支，有两条，共有3条；对于B，x2﹣=1，可得a=1，b=，当AB垂直于x轴时，弦长AB为=4＞2，由2a=2，可得直线l与双曲线的交点在左右支上，有一条；交于右支，有0条，共有1条；对于C，即有﹣=1，可得a=b=，当AB垂直于x轴时，弦长AB为=＜2，由2a=＜2，可得直线l与双曲线的交点在左右支上，有两条；交于右支，有两条，共有4条；对于D，可得a=b=1，当AB垂直于x轴时，弦长AB为=2，由2a=2，可得直线l与双曲线的交点在左右支上，有一条；交于右支，有一条，共有2条．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．（5分）若“x2+x﹣2≤0”是“x≤k”的充分不必要条件，则k的取值范围是k ≥1．【解答】解：x2+x﹣2≤0，解得﹣2≤x≤1，∵“x2+x﹣2≤0”是“x≤k”的充分不必要条件，∴k≥1．∴k的取值范围是：k≥1．故答案为：k≥1．14．（5分）已知点P（0，1）到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为3．【解答】解：双曲线C：﹣=1的一条渐近线设为y=x，即为bx﹣ay=0，可得点P（0，1）到渐近线的距离为=，即有3a==c，可得e==3．故答案为：3．15．（5分）如图，某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°，乙山山顶B 的仰角为45°，∠APB的大小为45°，山脚P到山顶A的直线距离为2km，在A处测得山顶B的仰角为30°，则乙山的高度为2km．【解答】解：假设甲山底部为C，乙山底部为D，过A作AE⊥BD于E．由题意可知∠APC=30°，∠BPD=45°，AP=2，∴AC=AP•sin30°=1，DE=AC=1，设BD=h，则DP=BD=h，BE=h﹣1，∴BP=h．∵∠BAE=30°，∴AB=2BE=2h﹣2．在△ABP中，由余弦定理得：cos45°===．解得h=2．∴乙山的高度为2km．故答案为：2．16．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，且a n+1=λS n﹣S n+1，其中λ是常数，若{a n}是递增数列，则λ的取值范围是λ＞3．=λS n﹣S n+1，【解答】解：∵a n+1∴a n=λS n+1﹣S n+2，+2﹣a n+1=λa n+1﹣a n+2，两式相减得：a n+2整理得：2a n=（λ+1）a n+1，即=，+2依题意＞1，即λ＞1（n≥2），又∵a2=λS1﹣S2，∴2a2=（λ﹣1）a1，即=，依题意，＞1，即λ＞3，综上所述，λ＞3，故答案为：λ＞3．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a7=22，S4=24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由已知可得：，解得，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；（Ⅱ）由（I）可知S n===n（n+2），∴==（﹣），∴T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣＜．18．（12分）在△ABC中，AB=4，AC=6，cosB=．（Ⅰ）求△ABC面积；（Ⅱ）求AC边上的中线BD的长度．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即36=16+a2﹣2×4a×．∴a2﹣a﹣20=0，解得a=5．又cosB=，B为三角形内角，∴sinB==．=sinB==．∴S△ABC（Ⅱ）设∠ADB=α，则∠CDB=π﹣α．设BD=m．在△ABD与△BCD中，分别利用余弦定理可得：42=m2+32﹣6mcosα，52=m2+32﹣6mcos（π﹣α），∴41=2m2+18，解得m=．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=2，AC=2，BC=2，AA1=2，点D，E分别为棱BC，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：DF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角B﹣AB1﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB中点F，连接DF，FA1，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵A1E=EC1，A1C1∥AC，∴A1E∥AC，A1E=，BD=DC，BF=FA，∴DF∥AC，DF=，∴DF∥A1E，DF=A1E，∴四边形A1FDE为平行四边形，∴A1F∥DE，A1F⊂面B1BAA1，DE⊄面B1BAA1，∴DE∥平面ABB1A1．（Ⅱ）∵AB2+AC2=8=BC2，∴AB⊥AC，又AA1⊥底面ABC，以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（0，2，2），D（1，1，0），E（0，1，2），=（0，2，0），=（﹣1，0，2），由AA1⊥底面ABC，AC⊂面ABC，得AA1⊥AC，又AB⊥AC，且AB∩AA1=A，∴AC⊥面B1BAA1，∴=（0，2，0）是平面B1BAA1的法向量，=（2，0，2），=（1，1，0），设面AB1D的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1），cos＜＞===﹣，由图得，二面角B﹣AB1﹣D为锐二面角，∴二面角B﹣AB1﹣D的余弦值为．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），直线x=﹣1与动直线y=n 的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P．（Ⅰ）求点P的轨迹Г的方程；（Ⅱ）过动点M作曲线Г的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．【解答】解：（Ⅰ）据题意，MP⊥直线x=﹣1，∴|MP|为点P到直线x=﹣1的距离，连接PF，∵P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点，∴|MP|=|PF|，∴P点的轨迹是抛物线，焦点为F（1，0），准线为直线x=﹣1，∴曲线Г的方程为y2=4x；（Ⅱ）证明：据题意，M（﹣1，n），过点M的切线斜率存在，设为k，则切线方程为：y﹣n=k（x+1），联立抛物线方程可得ky2﹣4y+4k+4n=0，由直线和抛物线相切，可得△=16﹣4k（4k+4n）=0，即k2+kn﹣1=0，（*）∵△=n2+4＞0，∴方程（*）存在两个不等实根，设为k1，k2，∵k1=k AM，k2=k BM，由方程（*）可知，k AM•k BM=k1•k2=﹣1，∴切线AM⊥BM，∴∠AMB=90°，结论得证．21．（12分）甲、乙两个粮库要项A，B量诊运送大米，已知甲库将调出100吨大米，乙库将调出80吨大米，A镇至少需要60吨大米，B镇至少需要100吨大米，且甲往B镇运送大米的吨数不少于乙往A镇运送大米的吨数的2倍，两库到两镇运费如表（其中a为常数，＜a＜2）．运费（元/吨）甲库乙库A镇240+10a180 B镇260210为了满足上述要求，同时使总运费最省，试问甲、乙粮库应运往A镇各多少吨大米？【解答】解：设甲、乙库往A镇运送x、y 吨大米，则甲、乙库往B镇运送100﹣x、80﹣y吨大米．依题意有：，整理得：，根据上述约束条件作出可行域，如下图所示：设总运费为z，则z=（240+10a）x+260（100﹣x）+180y+210（80﹣y）=（10a﹣20）x﹣30y+42800目标直线为l：y=x+﹣，且l越上移z的值越小，因为＜a＜2，所以斜率∈（﹣，0），如图，当l过点M（20，40）时，Z的值取得最小，答：应该按甲库往A镇运送的大米量为20吨；乙库往A镇运送的大米量为40吨的方案派送大米，总运费最省．22．（12分）如图，已知F1（0，﹣1），F2（0，1）为椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，过F1作两条倾斜角互补的直线l1，l2，l1，l2分别与椭圆Γ相交于A，B，C，D四点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）求阴影部分S的最大值；（Ⅲ）求证：直线AD与直线BC的交点是定点．【解答】解：（Ⅰ）依题意可知|AF2|+|BF2|+|AB|=8，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF2|+|BF1|=2a，可得4a=8，解得a=2，又c=1，b==，则椭圆方程为+=1；（Ⅱ）设直线AB：y=kx﹣1与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣x1，y1），D（﹣x2，y2），根据对称性，不妨设k＞0，x1＜0＜x2，y2＞y1，由得：（4+3k2）x2﹣6kx﹣9=0，得△=36k2+36（3k2+4）＞0，x1+x2=，x1x2=﹣，S=2=2••|x 1|•=2|k|•|x1x2|==≤，当且仅当|3k|=，即k=±时，取到最大值；（Ⅲ）证明：依题意可知AD与BC的交点在y轴上，直线BC：=，令x=0，得y=+y2=，代入x1+x2=，x1x2=﹣，可得y=﹣4，所以直线AD与BC的交点为（0，﹣4）．。

2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。