第七章 不等式
知识网络
7.1 不等式的性质
典例精析
题型一 比较大小
【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【变式训练1】已知m ＝a ＋1a －2
(a ＞2)，n ＝x －
2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( )
A.m ＜n
B.m ＞n
C.m ≥n
D.m ≤n
【例2】已知－π2≤α＜β≤π
2，求α＋β2，α－β2的取值范围.
7.2 简单不等式的解法
典例精析
题型一 一元二次不等式的解法 【例1】解下列不等式： (1)x 2－2x －3＞0；
(2)已知A ＝{x |3x 2－7x ＋2＜0}，B ＝{x |－2x 2＋x ＋1≤0}，求A ∪B ，(?R A )∩B .
【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌
握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于Δ＞0的不等式解集简称“大于取两端，小于取中间”.
【变式训练1】设函数f (x )＝???≤++>-),
0()
0(22
x c bx x x 若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1
的解集为( )
A.(－∞，－3]∪[－1，＋∞)
B.[－3，－1]
C.[－3，－1]∪(0，＋∞)
D.[－3，＋∞)
题型二 解含参数的一元二次不等式问题
【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ).
【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集.
【变式训练2】解关于x 的不等式
ax －1
x
＋1
＞0.
题型三 一元二次不等式与一元二次方程之间的联系
【例3】已知ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集.
7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
典例精析
题型一 平面区域
【例1】已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，且f (4)＝f (－2)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )
的图象如图所示，则平面区域??
?
??<+≥≥1)2(,0,0b a f b a 所围成的面积是( )
A.2
B.4
C.5
D.8
【解析】选B.由f ′(x )的图象可知，f (x )在[－2,0]上是减函数，在[0，
＋∞)上是增函数.
因为f (－2)＝f (4)＝1，所以当且仅当x ∈(－2,4)时，有f (x )＜f (－2)＝f (4)＝1.
作出可行域如图所示，其围成的图形面积为4.
【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
【变式训练1】若a ≥0，b ≥0，且当??
?
??≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有ax ＋by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P (a ，b )
所形成的平面区域的面积是(
)
A.12
B.π4
C.1
D.π2
【解析】选C.当a ＝b ＝1时，满足x ＋y ≤1，且可知0≤a ≤1，0≤b ≤1，所以点P (a ，b )所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1.本题关键是确定点所形成的区域形状.
题型二 利用线性规划求最值
(1)z ＝x ＋2y －4的最大值； (2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (3)z ＝2y ＋1x ＋1
的取值范围.
【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A (1,3)，B (3,1)，C (7,9). (1)易知直线x ＋2y －4＝z 过点C 时，z 最大. 所以x ＝7，y ＝9时，z 取最大值21.
(2)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方， 过点M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上， 故z 的最小值是(|0－5＋2|2
)2＝9
2.
(3)z ＝2·y －(－1
2)
x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－1
2)连线斜率的2倍.
因为k QA ＝74，k QB ＝38，所以z 的取值范围为[34，7
2
].
【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键.
【变式训练2】已知函数f (x )＝1
3
x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R )在区间[－1,3]上是减函数，求
a＋b的最小值.
【解析】因为f′(x)＝x2＋2ax－b，f(x)在区间[－1,3]上是减函数.
所以f′(x)≤0在[－1,3]上恒成立.则
作出点(a，b)表示的平面区域.
令z＝a＋b，求出直线－2a－b＋1＝0与6a－b＋9＝0的交点A的坐标为(－1,3).
当直线z＝a＋b过点A(－1,3)时，z＝a＋b取最小值2.
题型三线性规划的实际应用
【例3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72 m3，第二种有56 m3.假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需要用第一种木料0.18 m3，第二种木料0.08m3，可获利润6元，生产一个衣柜需要用第一种木料0.09 m3，第二种木料0.28 m3，可获利润10元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】设圆桌生产的张数为x，衣柜生产的个数为y，所获利润为z，则z＝6x＋10y，
当直线l：6x＋10y＝0平移到经过点M(350,100)时，z＝6x＋10y最大.
z max＝6×350＋10×100＝3 100，
所以生产圆桌350张，衣柜100个可获得最大利润3 100元.
【点拨】解实际线性规划问题，首先设出变量，建立不等式模型表示出约束条件，一定要注意问题的实际意义(如本题中x≥0，y≥0)，然后画出可行域，利用图形求解.
【变式训练3】某实验室需购某种化工原料至少106千克，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费元.
【解析】500.设需35千克的x袋，24千克的y袋，则目标函数z＝140x＋120y，约束条件为
?
??∈≥+N y x y x ,106,2435当x ＝1时，y ≥71
24，即y ＝3，这时z min ＝140＋120×3＝500. 总结提高
1.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知，找出约束条件和目标函数是关键.
2.可行域是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，亦可是一侧开放的无限大的平面区域.
3.若可行域是一个多边形，那么一般在顶点处，使目标函数值取得最值，最优解一般是多边形的某个顶点.
4.实际问题的最优解要求是整数解时，这时要对最优解(非整数解)进行适当调整，其方法是在边界直线的附近寻求与目标函数直线距离最近的整点，而不要在最优解的附近寻找.
7.4 基本不等式及应用
典例精析
题型一 利用基本不等式比较大小
【例1】(1)设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A.x ＋y ≥2(2＋1) B.x ＋y ≤2(2＋1) C.x ＋y ≤2(2＋1)2
D.x ＋y ≥(2＋1)2
(2)已知a ，b ∈R ＋，则ab ，a ＋b
2，
a 2＋
b 22，2ab
a ＋b
的大小顺序是 . 【解析】(1)选A.由已知得xy ＝1＋(x ＋y )，又xy ≤(x ＋y 2)2，所以(x ＋y
2)2≥1＋(x ＋y ).
解得x ＋y ≥2(2＋1)或x ＋y ≤2(1－2). 因为x ＋y ＞0，所以x ＋y ≥2(2＋1).
(2)由a ＋b 2≥ab 有a ＋b ≥2ab ，即a ＋b ≥2ab ab ，所以ab ≥2ab
a ＋
b .
又a ＋b 2＝
a 2＋2a
b ＋b 2
4
≤2(a 2＋b 2)
4
，所以a 2＋b 22≥a ＋b
2
， 所以
a 2＋
b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2ab
a ＋b
. 【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用.
【变式训练1】设a ＞b ＞c ，不等式1a －b ＋1b －c ＞λ
a －c
恒成立，则λ的取值范围是 .
【解析】(－∞，4).因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0. 而(a －c )(1a －b ＋1b －c )＝[(a －b )＋(b －c )](1a －b ＋1
b －
c )≥4，所以λ＜4.
题型二 利用基本不等式求最值
【例2】(1)已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋1
4x －5
的最大值为 ；
(2)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数f ′(x )，f ′(0)＞0，对任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)
f ′(0)的最小值为
( )
A.3
B.52
C.2
D.32
【解析】(1)因为x ＜5
4，所以5－4x ＞0.
所以y ＝4x －2＋
14x －5＝－(5－4x ＋15－4x
)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝1
5－4x ，即x ＝1时，等号成立.
所以x ＝1时，y max ＝1.
(2)选C.因为f (x )≥0，所以?
??≤-=>.040
2
ac b Δa 所以c ≥b 2
4a .又f ′(x )＝2ax ＋b ，所以f ′(0)＝b ＞0，
f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝1＋a ＋c b ≥1＋4a 2＋b 24ab ≥1＋24a 2b 2
4ab ＝2， 当且仅当c ＝b 2
4a
且4a 2＝b 2时等号成立.
【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误.
【变式训练2】已知x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，求(a ＋b )2
cd 的取值范围.
【解析】由等差数列、等比数列的性质得a ＋b ＝x ＋y ， cd ＝xy ，所以(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝2＋x y ＋y
x ，
当y x ＞0时，(a ＋b )2cd ≥4；当y
x ＜0时，(a ＋b )2cd ≤0， 故(a ＋b )2cd
的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).
题型三应用基本不等式解实际应用问题
【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)；
(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由.
【解析】(1)设该厂x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1).
设平均每天所支付的总费用为y1，则
y1＝1
x[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝
900
x
＋9x＋10 809≥2x
x
9
900
?＋10 809＝10 989，
当且仅当9x＝900
x
，即x＝10时，取等号.
即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.
(2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则
y2＝1
x[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.9＝
900
x
＋9x＋9 729(x≥35).
因为y2′＝9－900
x2
，当x≥35时，y2′＞0.
所以y2＝900
x
＋9x＋9 729在[35，＋∞)上是增函数.
所以x＝35时，y2取最小值70 488
7.
由70 488
7
＜10 989知，该厂可以利用此优惠条件.
【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值.当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理.
【变式训练3】已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2ab－4a2－b2的最大值.
【解析】因为a＞0，b＞0,2a＋b＝1，
所以4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab，
且1＝2a＋b≥22ab，即ab≤2
4，ab≤1
8.
所以S＝2ab－4a2－b2＝2ab－(1－4ab)＝2ab＋4ab－1≤2－1 2
，
当且仅当a ＝14，b ＝1
2
时，等号成立.
总结提高
1.基本不等式的几种常见变形公式： ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 2
2(a ，b ∈R )；
2ab
a ＋b
≤ab ≤a ＋b 2≤
a 2＋
b 2
2
(a ＞0，b ＞0). 注意不等式成立的条件及等号成立的条件.
2.合理拆分或配凑因子是常用的技巧，配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值，且等号能够成立.
3.多次使用基本不等式求最值时，要特别注意等号能否同时成立.
7.5 不等式的综合应用
典例精析
题型一 含参数的不等式问题
【例1】若不等式组???<+++>--0
5)25(2,
0222k x k x x x 的解集中所含整数解只有－2，求k 的取值范围.
【解析】由x 2－x －2＞0有x ＜－1或x ＞2， 由2x 2＋(5＋2k )x ＋5k ＜0有(2x ＋5)(x ＋k )＜0. 因为－2是原不等式组的解，所以k ＜2. 由(2x ＋5)(x ＋k )＜0有－5
2
＜x ＜－k .
因为原不等式组的整数解只有－2，所以－2＜－k ≤3，即－3≤k ＜2， 故k 的取值范围是[－3,2).
【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁. 【变式训练1】不等式(－1)n
a ＜2＋(－1)n ＋
1
n 对任意n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围.
【解析】当n 为奇数时，－a ＜2＋1n ，即a ＞－(2＋1
n ).
而－(2＋1
n
)＜－2，则a ≥－2；
当n 为偶数时，a ＜2－1n ，而2－1n ≥2－12＝32，所以a ＜3
2
.
综上可得－2≤a ＜3
2
.
【点拨】不等式中出现了(－1)n 的时候，常常分n 为奇数和偶数进行分类讨论. 题型二 不等式在函数中的应用
【例2】已知函数f (x )＝2x －a
x 2＋2在区间[－1,1]上是增函数.
(1)求实数a 的值组成的集合A ；
(2)设x 1，x 2是关于x 的方程f (x )＝1
x 的两个相异实根，若对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]，不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1
－x 2|恒成立，求实数m 的取值范围.
【解析】(1)f ′(x )＝4＋2ax －2x 2
(x 2＋2)
2， 因为f (x )在[－1,1]上是增函数，所以当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≥0恒成立， 令φ(x )＝x 2－ax －2，即x 2－ax －2≤0恒成立.
所以A ＝{a |－1≤a ≤1}. (2)由f (x )＝1
x
得x 2－ax －2＝0.
设x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2. 从而|x 1－x 2|＝
(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝
a 2＋8，
因为a ∈[－1,1]，所以a 2＋8≤3，即|x 1－x 2|max ＝3.
不等式对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]不等式恒成立，即m 2＋tm －2≥0恒成立. 设g (t )＝m 2＋tm －2＝mt ＋m 2－2，则
解得m ≥2或m ≤－2.
故m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).
【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了.
【变式训练2】设a ，b ＞0，且ab ＝1，不等式a a 2＋1＋b
b 2＋1
≤λ恒成立，则λ的取值范围是 .
【解析】[1，＋∞).因为ab ＝1，所以a a 2＋1＋b b 2＋1＝2a ＋b ≤2
2ab ＝1，所以λ≥1.
题型三 不等式在实际问题中的应用
【例3】某森林出现火灾，火势正以100 m 2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火
50 m 2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m 2，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？
【解析】设派x 名消防队员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y ，则 t ＝
5×10050x －100＝10
x －2
，
y ＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费 ＝125xt ＋100x ＋60(500＋100t ) ＝125x ×10x －2＋100x ＋30 000＋60 000
x －2
＝100(x －2)＋62 500
x －2＋31 450
≥2
100(x －2)·62 500
x －2
＋31 450＝36 450，
当且仅当100(x －2)＝62 500
x －2，即x ＝27时，y 有最小值36 450，故应派27人前去救火才能使总损失最
少，最少损失36 450元.
【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题，建立不等式模型，利用基本不等式求最值，基本不等式是历年高考考查的重要内容.
【变式训练3】某学校拟建一块周长为400 m 的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？
【解析】设中间矩形区域的长，宽分别为x m ，y m ，中间的矩形区域面积为S ， 则半圆的周长为πy
2
，
因为操场周长为400，所以2x ＋2×πy
2＝400，
即2x ＋πy ＝400(0＜x ＜200,0＜y ＜400
π
)，
所以S ＝xy ＝12π·(2x )·(πy )≤12π·? ??
??2x ＋πy 22＝20 000
π，
由???=+=,400π2,π2y x y x 解得?????==π200,
100y x
所以当且仅当??
?
??==π200,
100y x 时等号成立，
即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200
π
m 时，矩形区域面积最大.
总结提高
1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题.
不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合.解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题.
2.建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等.
3.解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验.