江西省新余四中、临川一中等2019届高三数学9月联考试题理（扫
描版）
江西名校学术联盟·2019届高三年级教学质量检测考试(一)
数学（理科）参考答案
1.【答案】B
【解析】依题意，{}
{}228042A x x x x x =+-<=-<<，故[)0,2A B =，故选B.
2.【答案】A 【解析】依题意，()()()()3i 6i 3i 183i 6i 1836i 6i 6i 6i 373737m m m m m m
z +++++--+=
===+--+，则1836m m -=+，解得15
7
m =
，故选A. 3.【答案】B
【解析】依题意，131********
n n ????-??
???-????=--，化简可得2log 6n =，故[]2n =，则第2日蒲生长的长度为13
322
?=尺，故选B. 4.【答案】C
【解析】运行该程序，第一次，999,2S k ==；第二次，995,4S k ==；第三次，
979,6S k ==；第四次，915,8S k ==；第五次，659,10S k ==，第六次365,12S k =-=，
此时0S <，故输出的k 的值为12，故选C. 5.【答案】D 【解析】依题意，ln 2
3
34<<，故命题p 为真；而()124248b a a b a b a b ??
++=++
≥ ???
，当且仅当2b a =时等号成立，故命题q 为假；故q 、p q ∧、
p q ?∨（）为假，()p q ∧?为真，故选D. 6.【答案】A
【解析】不妨设1AE =，在△AME 中，由正弦定理，
00
sin 75sin 60
AE AM
=，解得326
2
AM -=
，则阴影部分面积为3262331222AME ANE S S ??+=?=，而
1
ABC
S
?
=，故所求概率
33
2
P
-
=，故选A.
7.【答案】C
【解析】作出该几何体
1111
ABCD A B C D
-的直观图，旋转一定的角度后，得到的图形如下
图所示，观察可知，
1
6
CA=，
1
5
A D=，
1
3
A B=，故选C.
8.【答案】B
【解析】依题意，不妨设点M（x,y）在第一象限，联立
225,
,
x y
b
y x
a
?+=
?
?
=
??
解得
5
,
5
,
a
x
c
b
y
c
?
=
??
?
?=
??
（其中2
2
2b
a
c+
=），可知四边形MNPQ为矩形，且根据双曲线的对称性，
55
2
a b
c c
?=，即2
25
c ab
=，解得
1
2
b
a
=（2
b
a
=舍去），故所求渐近线方程为
1
2
y x
=±，故选B.
9.【答案】B
【解析】依题意，函数()
f x为偶函数，故1
k=-，则()()
320
g k x g x
++-+=即为()()
132
g x g x
-++-=-，故函数()
g x的图象的对称中心为()
1,1-，故选B.
10.【答案】D
【解析】依题意，()sin3cos2sin
3
f x x x x
π
ωωω
??
=+=+
?
??
；当0
x=时，
33
x
ππ
ω+=；
令
32
x
ππ
ω+=，解得
6
x
π
ω
=；令
5
32
x
ππ
ω+=，解得
13
6
x
π
ω
=；令
9
32
x
ππ
ω+=，解得
256x πω=；则1316251,
6π
ω
πω
?≤????>??，解得132566ππω≤<，观察可知，选D. 11.【答案】A
【解析】设()00,M x y ，()11,N x y ，则直线MA 1的斜率为100
3
MA y k x -=，由11NA MA ⊥，所以直线NA 1的斜率为10
03
NA x k y =-
-．于是直线NA 1的方程为：0033x y x y =-+-．同理，NA 2的方
程为：0033
x y x y =--+．联立两直线方程，消去y ，得2
0109
y x x -=
． 因为()00,M x y 在椭圆2
21189y x +=上，所以22001189x y +=，从而2200
92
x y -=-．所以012x x =-． 所以1212012MA A NA A S x S x ??==，
故选A. 12.【答案】C
【解析】依题意，2
e e x
x
x mx m ->，故()21e x
x m x >+，即()21e x x m x >+，令()2
e
x x f x =，
故()()222'e e x x
x x
x x f x --==，故当(),0x ∈-∞时，()'0f x <，当()0,2x ∈时，()'0f x >，当()2,x ∈+∞时，()'0f x <，作出函数()f x 的图象如下所示，可知三个正整
数解为
1,2,3；令()2
e e
x
x
g x x mx m =--，则()3
3
393e e 0g m m =-->，
()444164e e 0g m m =--≤，解得
43
169
5e 4e
m ≤<，故选C.
13.【答案】326
2
-
【解析】依题意，2
2
3326
236a b ??=+= ??
14.【答案】5
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，当直线2
z x y
=-过点
55
,
33
A
??
-
?
??
时，2
z x y
=-取最大值，最大值为5.
15.【答案】
80
27
【解析】依题意，二项式展开式的通项为
6
622
166
22
33
r r
r r
r r r
r
T C x x C x-
-
+
????
=-=-
? ?
????
，令
64
2
r
-=，解得4
r=，故所求4x项的系数为
4
4
6
280
327
C
??
-=
?
??
.
16.【答案】
317
2
【解析】设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
依题意，
222
cos cos4
2
a c b
AB BC B ac B
+-
??===，
而32
BC BA AC b
-===，则2226
a c
+=，
而22222222
111
sin sin cos
222
ABC
S ac B a c B a c a c B
?
===-
2
22
22
11
1616
222
a c
a c
??
+
=-≤-=
?
??
317
2
，当且仅当a c
=时等号成立，故△ABC面积的最大值为
317
2
.
17.【解析】（1）依题意，设BD x
=，则3
AD x
=，3
BC x
=,
又,4
3
B AB
π
==.在△ABD中，由余弦定理得
3
cos
4
2
16
32
2
π
?
?
-
+
=x
x
x，
即2280x x +-=，解得2x =，或4-=x （舍去）. 则36BC x ==；（5分）
（2） 在△ ABC 中，设A,B,C 所对的边分别为a,b,c ， 由正弦定理
sin sin b c B C
=，得sin 3
sin c B C b ==
； 又AC b AB c =>=，所以B C >，则C 为锐角，所以6cos 3
C =；
则()3613323
sin sin sin cos cos sin 2BAC B C B C B C +∠=+=+==
.（10分） 18.【解析】（1）依题意，设数列{}n a 的公差为d ， 因为191019019S a ==，所以1010=a ，故105
1105
a a d -==-，故n a n =，
故()12
n n n
S +=
；（4分）
（2）依题意，
121n n b n b n ++=，∴()11112n n
b b n n n
+=≥+， ∴数列n b n ??
????
是以111b =为首项，12为公比的等比数列，1
12n n b n -??= ?
??，从而1
2n n n
b -=
， 0
12211231222
22n n n n n T ---=
++++
+，231
11231222222
n n n n n
T --=+++++， ∴2
111111122121222222212
n
n n n n n
n n n T --+=+
+++-=-=--， 所以1
2
42
n n n T -+=-
.（12分） 19.【解析】（1）依题意 ，所求平均数为20.260.36100.28140.12180.04?+?+?+?+? 0.4 2.16 2.8 1.680.727.76=++++=；（3分） （2）依题意，完善表中的数据如下所示：
愿意购买该款电视机
不愿意购买该款电视机
总计 40岁以上 800 200 1000 40岁以下 400 600 1000 总计
1200
800
2000
故()2
2
2000800600200400333.3310.828100010001200800
K ??-?=≈>???；
故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；（7分） （3）依题意，44,5X
B ?? ???
， 故()4
1105625P X ??=== ???，()3
141416155625P X C ????=== ? ?
????， ()2
2
24
1496255625P X C ????=== ? ?????，()3
3414256355625
P X C ????=== ???????， ()4
4256
45625
P X ??===
???； 故X 的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
1625 16625 96625 256625 256625
故()416
455
E X =?
=.（12分） 20.【解析】（1）证明： 不妨设2BD =，则1AD =；
由0
90BAD ∠=，得3AB =，则0
60CBD ∠=，从而BCD ?是等边三角形， 可得2,3
DC BCD π
=∠=
，故BD 平分ADC ∠；
∵E 为CD 的中点，1DE AD ==，∴BD AE ⊥， 又∵,SB AE SB
BD B ⊥=，SB ?平面SBD ，BD ?平面SBD ，∴AE ⊥平面SBD ；
（4分） （2）作SO BD ⊥于O ,连OC ,
由（1）易知平面SBD ⊥平面ABCD ,平面SBD 平面ABCD BD =，∴SO ⊥平面ABCD ， ∴SCO ∠为SC 与平面ABCD 所成的角，4
SCO π
∠=，
又∵∠SBD =∠SDB , ∴SB SD =,
∴O 为BD 的中点,,3OC BD OS OC ⊥==同（1）设AD=1，则 以,,OB OC OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
则()()()(1,0,0,3,0,1,0,0,3B C D S -，∴(1,0,3SB =，
()()
0,3,3,1,0,3
SC SD
=-=--，
设平面SCD的一个法向量为()
,,
n x y z
=，由
0,
0,
n SC
n SD
??=
?
?
?=
??
得
330
30
y z
x z
?-=
?
?
+=
??
，
令1
z=得()
3,1,1
n=-，
设直线SB与平面SCD所成角为θ，则
15
sin
5
SB n
SB n
θ
?
==.（12分）
21.【解析】（1）依题意，直线l：28
y x
=+，联立
22,
28,
x y
y x
?=
?
=+
?
故24160
x x
--=，
设
11
(,)
M x y，
22
(,)
N x y，则
12
4
x x
+=，
12
16
x x=-，
故()2
22
121212
11420
MN k x x k x x x x
=+-=++-=；（5分）
（2）联立
0,
40,
x y
x y
-=
?
?
+-=
?
解得2
x y
==，故()
2,2
A，
设直线l的方程为：4(2)
y k x
-=+，
11
(,)
M x y，
22
(,)
N x y，
则11
11
2(2)2
22
AM
y k x
k
x x
-++
==
--
，22
22
2(2)2
22
AN
y k x
k
x x
-++
==
--
，
2
12121212
121212
[(2)2][(2)2][2()4]2(4)4
(2)(2)2()4
AM AN
k x k x k x x x x k x x
k k
x x x x x x
+++++++++++ ==
---++
，联立抛物线22
x y
=与直线4(2)
y k x
-=+的方程消去y得22480
x kx k
---=，
可得
12
2
x x k
+=，
12
48
x x k
=--，代入
AM AN
k k?可得1
AM AN
k k?=-.（12分）
22.【解析】（1）依题意，()
1
sin ln1
2
f x x x x
=-++，
而()11'1cos 2f x x x =-
+，故()1
'12cos12
f =-， 即曲线)(x f y =在点（)1(,1f ）处的切线的斜率为1cos 2
1
2-；
（3分） （2）依题意，不妨设120x x <<，令
2
1
x t x =，则1t >． 令()sin ,0,y x x x =-∈+∞，故'1cos 0y x =-≥，故函数sin y x x =-在()0,+∞上单调递增， 所以2211sin sin x x x x ->-，从而2121sin sin x x x x ->-；
因为()()12f x f x =，所以11122211sin ln 1sin ln 122
x x m x x x m x -++=-++，
所以()()()2121212111ln ln sin sin 22m x x x x x x x x --=--->-，所以21
2120ln ln x x m x x -->>-；
下面证明
21
1221ln ln x x x x x x --1ln t t t ->()1ln 0t t t
-<*．
设()()1ln 1t h t t t t
-=>，所以()2
102t h t t t
-
'=
<在()1+∞，恒成立．
所以()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证． 所以122m x x ->， 即
12
2
14x x m <．
（12分）