1 成比例线段

1成比例线段知识点一：1.线段的比的定义2.成比例线段。

例1：如果,,,a b c d 成比例，且4,8,12a b c ===，则d = 例2：有两组线段，每组线段有4条，判断他们是否成比例线段(1)16,8,5,10a cm b cm c cm d cm ====(2)8,0.05,0.6,10a cm b m c dm d cm ==== 练习：1、 如果（x-y ）:y=1:2,那么x:y=;若3x-4y=0,则yyx +的值是，（x+y ）：（x-y ）的值为 2、 已知直角三角形的三边分别为a ，a+b ，a+2b ，其中a>0，b<0，则a 与b 的比为（ ）A 1：3B 1：4C 2：1D 3：1 3、已知线段4,16a b ==，线段c 是,a b 的比例中项，那么c = A 、10 B 、8 C 、8- D 、8± 知识点二：黄金分割1、在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和，如果AC BCAB AC=，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中：12AC AB = 例1：若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，则下列说法正确的有①AB AC =②AC AB = ③::AB AC AC BC =④0.618AC AB ≈变式：已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且1AB cm =，则AC 的长为例2、顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，其底和腰之比等于黄金比，如图，在⊿ABC 中，AB=AC=2,∠A=36°，BD 平分∠ABC,交AC 于D ，说明（1）⊿BDC 是黄金三角形 （2）点D 是线段AC 的黄金分割点【变式】如果一个矩形ABCD 中，215-=CB AB ,那么这个矩形称为黄金矩形，在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE, 试说明矩形ABFE 是黄金矩形知识点三：比例的性质 1、 基本性质： 2、 合比性质： 3、 等比性质:例1、若53b a a -=，则ba = 若3573ab b +=，则a b =若2(0)5b d b d a c ==+≠，则a c b d+=+ 若::3:2:5a b c =，则342a b ca b c-+=+-变式：1、a b a c b ck c b a +++===，则k =2、34a b =且21a b +=，则b a -=3、已知,,a b c 是三角形的三边长，满足438324a b c +++==，12a b c ++=. (1)求,,a b c 的值； (2)判断三角形的形状；例2（1）已知x z y +=y x z +=z yx +=k ，求k 的值。

【变式1】已知ba cc a b c b a k +=+=+=，试判断直线y=kx + k 一定经过哪些象限，并说明理由。

2．已知a ，b ，c 均为实数，且满足a b c a b c a b c c b a +--+-++==.求()()()a b b c c a abc+++的值．四、课堂达标练习5、若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，下列说法正确的有（ ）① ＡＢ＝215-ＡＣ ②ＡＣ＝253-；③ＡＢ：ＡＣ＝ＡＣ：ＢＣ；④ＡＣ≈０.６１８ＡＢ 6、点Ｐ在线段ＡＢ上，且AP AB ＝PBAP，若ＰＢ＝１，则ＡＢ等于（ ） Ａ、３+5 Ｂ、253+ Ｃ、253- Ｄ、252+ 7.（规律探究题）科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，•看起来最美．某成年女士身高为153cm ，下肢长为92cm ，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为______cm ．（结果精确到0.1cm ） 9、已知,,,275x y z y x z x y zA B C x y z y x++-=====++设，试比较A ，B ，C 的大小．10已知：△ABC 的三边a=2，b=4，c=3，那么三边上的高h a ：h b ：h c =_________．１1、已知C 是线段A 、B 上的点，D 是AB 延长线上的点，且AD:DB=AC:CB ，已知AB=6cm ，AC=3.6㎝，求AD 、BD 的长。

13. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且（a-c ）：（a+b ）：（c-b ）=（-2）：7：1，又a+b+c=24，求：（1）a ，b ，c 的值；（2）判断△ABC 的形状．１4、如图所示，已知：线段AB=2，点C 是AB 的黄金分割点，点D 在AB 上，且AD 2=BD ·AB ，求ACCD的值。

16．（巧题妙解题）若615325x y x y y x y x -==-则222245623x xy y x xy y -+-+的值是（）A ．92 B ．94 C ．5 D ．619、已知532zy x ==，且3x ＋2y －2z= 4，求x ，y ，z 的值。

CAB课后作业2．在某幅地图上，AB两地距离8.5cm，实际距离为170km，则比例尺为A、1:20 B、1:20000 C、1:200000 D、1:20000003、如果四条线段,,,a b c d构成a cb d=，0m>，则下列式子中，成立的是A、a cb d= B、a c mb d m+=+C、a b d cb d--= D、a c cb c d+=+4、美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为A、6cmB、10cmC、4cmD、8cm4、已知a cb d=，下列式子中恒成立的是：①11a cb d++=②a b c db d--=③22a cb d=④a c ab d b+=+⑤2222a bc d=8、已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为2厘米，则最短线段BD的长是厘米．9、已知：23a c eb d f===，求值：（1）a cb c++；（2）2323a c eb d f-+-+．10、三角形的三边分别为,,a b c，且a b b c c ab a a---==，判断三角形的形状；ABCDEEDC BA2 平行线分线段成比例1知识点一：平行线分线段成比例定理及其推论 1、 平行线分线段成比例定理文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例； 数学语言：如下图，2.平行线分线段成比例定理的推论文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例； 数学语言：如图，在三角形中，3、三角形一边平行线判定定理一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边； 数学语言：4、 平行于三角形一边的性质定理（三角形相似的预备定理）板块一、基础掌握例1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线的交点为O ，CE ∥AB 交BD 的延长线于E ，若OB=6，OD=4，求DE.l 3l 2l 1FE D CB A AB CDEEDC B A ABCDEEDC BA例2、已知//,//DE BC EF AB ,5AD =,3BD =,2CF =,求BF例3、已知：//,//ED BC EF CD ，求证：::AF FD AD DB =例4：已知////AB EF CD ，求证：111AB CD EF+=板块二、解决求证比例式或乘积式成立的题型.1、如图，E 为平行四边形ABCD 边CD 延长线的一点，连结BE 交AC 于O ， 求证：BO ²= OF ·OE.观察：A D ∥BC,有字形和字形。

AB ∥CD ，有字形。

2、 如图1-3-10，AB ⊥BD 于B ，CD ⊥BD 于D ，连结AD 、BC ，它们交于E ，EF ⊥BD 于F ，求证：1AB + 1CD = 1EF变式练习：图-1-3-51、 已知如图①，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D 、AD 和BC 相交于点E ，EF ⊥BD 于F ，我们可以证明1AB+1CD = 1EF成立。

若将图①中的垂直改为斜交，如图②，AB ∥CD ，AD 、BC 相交于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交BD 于点F ，则（1）1AB + 1CD = 1EF 还成立吗？如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由；（2）请找出S △ABC 、S △BED 、S △BDC 间的关系式，并给出证明.板块三：合理运用过渡比例1、（1）阅读下列材料，补全证明过程；如图1-3-13，矩形ABCD 中，AC 、BD 交于O 点，OE ⊥BC 于E ，连结ED 交OC 于F ，作FG ⊥BC 于G ，求证：点G 是线段BC 的一个三等分点.变式练习1、如图1-3-24，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，求证：BD ：DF= AD ：AF.课堂练习：①图-1-3-13②1、已知：如图,////AE ED DC EF MD BC ==，FD 的延长线交BC 的延长线于N ，则EFBN=、如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果AD=6，DF=3，BC=5，那么BE=3、在平行四边形中，E 为AD 的三等分点，23AE AD =,12AC =,AF = 4、如图所示，//EF AB ,//DE BC ，下列比例式正确的是A 、AD ED DB BC = B 、 C 、AE BF EC FC = D 、EF DEAB BC=5、在平行四边形ABCD 中，BG 顺次交AC ，AD 及CD 的延长线与E 、F 、G ，6,2BE EF ==则FG =1、如图的平行四边形ABCD 中，M 、N 为BD 的三等分点，连结CM 并延长交AB 于E 点，连结EN 并延长交CD 于F 点，则DF ：AB 等于（）.A 、1:3B 、1:4C 、2:5D 、3:84、如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AF 与DE 交于点M ，BE 与DF 交于N ，求证：MN ∥AB.3 平行线分线段成比例2知识点1基本型中辅助线的添法：例1、如图，已知在△ABC 中，::1:3AE EB CD CB ==，,AD CE 相交于点H ，求EHHC的值．例2、已知如图D 是BC 的中点，点E 在AD 上，12AE ED =，BE 的延长线交AC 于点F ，求AFFC例3、如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P 。