中考数学复习指导：平移、旋转和对称“桃园三结义”
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平移平移、、旋转和对称“桃园三结义”
在日常生活中，我们经常看到一些美丽的图案，这些图案在同学们的生活和学习中形成了一道美丽的风景线，同时也给社会带来了美丽与和谐！你是否知道这些图案与我们学习的平移、旋转以及对称变换（轴对称、中心对称）有关。
一、平移变换平移变换
定义定义：：在同一平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．平移是继轴对称以后的又一个图形的基本变换，平移既可以来表示物体（图形）运动的过程，也可以表示物体（图形）运动后最终的位置与初始位置的关系．
平移不改变图形的形状和大小．
性质性质：：图形经过平移，平移后的图形与原来的图形对照：
（1）对应线段平行（或在同一直线上）
（2）对应线段相等
（3）对应角相等
（4）连结对应点的线段平行（或在同一直线上）
（5）连结对应点的线段相等，这条线段的长度就是平移的距离，线段的方向就是平移的方向．
二、旋转变换
定义定义：：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角，旋转不改变图形的大小和形状．
要理解好概念，要注意以下两点：
（1）图形的旋转是由旋转中心和旋转角所决定的；
（2）注意图形旋转的对应元素．
性质性质：：图形经过旋转，旋转后的图形与原来的图形对照：
（1）图形的旋转，图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度．
（2）对应点到对应中心的距离相等．
（3）经过旋转后，图形上的每一点都绕着旋转中心沿相同方向转动了相同的角度．
（4）旋转后的图形与原图形的对应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化．
三、轴对称变换
定义定义：：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段
性质：（1）关于某直线对称的两个图形是全等．
（2）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．
（3）两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或其延长线相交，则交点在对称轴上．
（4）若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称．
四、注意区分平移注意区分平移、、旋转旋转、、轴对称三种图形变换的异同
平移、旋转、轴对称是本单元探索图形关系以及作图中必须要了解及掌握的三个知识点，下面就这三个知识点的联系与区别以及作以分析．
1．三者概念上的区别
（1）在平面内，将一个图沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
（2）在平面内，将一个图形绕某一定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．
（3）把一个图形沿某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形叫做轴对称图形．
2．三者概念和性质上的相同点
（1）它们都是在平面内进行的图形变换．
（2）三种变换都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此，变换前后图形的对应边相等，对应角相等．
（3）它们都要借助尺规作图，运用全等三角形的知识作图．
3．三者性质的区别
（1）平移、旋转、轴对称的运动方式不同；
（2）平移、旋转、轴对称的对应线段、对应角之间的关系不同：
平移变换前后图形的对应线段平行，对应点所连的线段平行，对应角的两边分别平行，方向一致．
旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角．
轴对称的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；成轴对称的两个图形对应点连线被对称轴垂直平分．
（3）平移、旋转、轴对称作图所需的条件不同．
掌握了这三者的异同点，相信一定会帮助你学好本章数学内容，并将应用于实际作图之中．
五、典型考题回顾
例1. 如图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF ( )
A．把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B．把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C．把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D．把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位
【答案】D
【点评】平移过程中三角形的对应角相等，对应边相等。
三角形的形状不发生变化，只是位置发生了平行移动。
例2. 如图，正方形ABCD中，E是CD上一点，F在CB的延长线上，且DE＝BF．
(1)求证： △ADE ≌△ABF ；
(2)问：将△ADE 顺时针旋转多少度后与△ABF 重合，旋转中心是什么？
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形
∴AD ＝AB ，∠ADE ＝∠ABC ＝90°＝∠ABF
又∵DE ＝BF
∴△ADE ≌△ABF （SAS ）
（2）将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°后与△ABF 重合，旋转中心是点A ．
【点评】把一个图形绕旋转中心旋转一定(小于周角)角度后，所得图形能够与自身重合，这种图形称为旋转对称图形，关键也是抓两点：一是绕某一点旋转，二是与原图形重合。
例3． 下列各图是选自历届世博会会徽中的图案，其中是中心对称图形的是
【答案】由题意可知应选C
【点评】本题考查中心对称图形的概念，只要根据定义就可以判断.
例4、如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）作出△ABC 向左平移5格后的△A 1B 1C 1；
（2）作出△ABC 关于点O 中心对称的△A 2B 2C 2；
（3）求△ABC 的面积，
(A) (B) (C)
(D)
【答案】解：（1）（2）如图；
（3）111A B C S =△4×4－12×4×2－12×3×4－12
×1×2=5. 【点评】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，中心对称图形是特殊的旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形，区分的关键是看旋转角是否等于180°．区别轴对称图形要像折纸一样折叠能重合的是轴对称图形；中心对称图形只需把图形倒置，观察有无变化，没变的是中心对称图形．本题考查平移、中心对称、三角形的面积。
