安徽省阜阳市太和中学2020届高三下学期最后一模文科数学试卷及答案解析

2020届安徽省阜阳市高三教学质量统测数学（文科）试题一、单选题1．设集合{}2|,{|31420}1A x x B x x x =-<<-=--≤，则AB =（ ）A ．[)21--，B ．(21)--，C ．(16]-， D ．(31)--，2．已知复数2z i z =-,为z 的共轭复数，则()1. z z +=（ ） A ．5i +B ．5i -C ．7i -D ．7i +3．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．35B ．45C ．35-D ．45-4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%5．已知tan α=，则cos 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A．6B． CD6．若,x y 满足约束条件0210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的最大值为（ ）A ．5-B ．1-C ．5D ．67．已知双曲线()2222:10 ,0x y C a b a b -=>>的焦点到它的渐近线的距离为2，点2()P --是双曲线C 上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）AB．3C．2D．38．将函数()36f x sin x π=+⎛⎫⎪⎝⎭的图像向右平移()0m m >个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9π B ．29π C ．18π D ．24π9．已知:29p ln ln lna ⋅>，:q 函数()f x lnx a =-在4(0,]e 上有2个零点，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是 A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,112．已知函数()2x e f x t lnx x x x =-++⎛⎫⎪⎝⎭恰有一个极值点为1，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1,33e ⎛⎤⎧⎫-∞⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,23e ⎛⎤⎧⎫-∞⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差3d =，且138,,a a a 成等比数列，则10S =_________．14．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从1~5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为______．15．如图，圆锥VO 的母线长为l ，轴截面VAB 的顶角150AVB ∠=︒，则过此圆锥的项点作该圆锥的任意截面VCD ，则VCD 面积的最大值是___；此时VCD ∠=______.16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是______.三、解答题17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin sin sin A B a b b C c C +-+=，点D 为边BC的中点，且AD =（1）求A ；（2）若2b c =，求ABC ∆的面积. 18．已知数列{}n a 满足11a =，且113n n n a a a +-=+. (1)证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式. (2)若21nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .19．《中央广播电视总台2019主持人大赛》是中央人民广播电视总台成立后推出的第一个电视大赛，由撒贝宁担任主持人，康辉、董卿担任点评嘉宾，敬一丹、鲁健、朱迅、俞虹、李宏岩等17位担任专业评审.从2019年10月26日起，每周六20:00在中央电视台综合频道播出，某传媒大学为了解大学生对主持人大赛的关注情况，分别在大一和大二两个年级各随机抽取了100名大学生进行调查.下图是根据调查结果绘制的学生场均关注比赛的时间频率分布直方图和频数分布表，并将场均关注比赛的时间不低于80分钟的学生称为“赛迷”.大一学生场均关注比赛时间的频率分布直方图大二学生场均关注比赛时间的频数分布表(1)将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是“赛迷”的概率大，请说明理由； (2)已知抽到的100名大一学生中有男生50名，其中10名为“赛迷”.试完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“赛迷”与性别有关.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20．如图1，在等腰梯形12ABF F 中，两腰122AF BF ==，底边126,4,AB F F D C ==、是AB 的三等分点，E 是12F F 的中点.分别沿, CE DE 将四边形2BCEF 和2ADEF 折起，使12F F 、重合于点F ，得到如图2所示的几何体.在图2中，M N 、分别为CD EF 、的中点.(1)证明:MN ⊥平面ABCD (2)求几何体ABF DCE -的体积.21．已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左顶点为A ，右焦点为F ，斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且OB AB ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过点F 且与直线AB 平行的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若点P 满足3OP PM =，且NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，求||||NP PQ 的值. 22．设函数()1ln f x x t x x=--，其中()0,1,x t ∈为正实数. (1)若不等式()0f x <恒成立，求实数t 的取值范围；(2)当)1(0x ∈，时，证明211ln x x x e x x+--<.解析一、单选题1．设集合{}2|,{|31420}1A x x B x x x =-<<-=--≤，则AB =（ ）A ．[)21--，B ．(21)--，C ．(16]-， D ．(31)--，【答案】A【解析】先求出集合,A B ，再根据交集的运算即可求出A B ．【详解】因为{}31, 26|{|}A x x B x x =-<<-=-≤≤，所以 |}1{2A B x x ⋂=-≤<-. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查交集的运算以及一元二次不等式的的解法，属于基础题． 2．已知复数2z i z =-,为z 的共轭复数，则()1. z z +=（ ） A ．5i + B ．5i -C ．7i -D ．7i +【答案】D【解析】由共轭复数的定义求出z ，再根据复数代数形式的四则运算法则即可求出． 【详解】因为2z i =+，所以()()1327()z z i i i +⋅=-+=+． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则以及共轭复数的定义的应用，属于基础题． 3．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．35B ．45C ．35-D ．45-【答案】B【解析】由向量的模的坐标计算公式求出,a b ，利用数量积的坐标表示求出a b ⋅，再根据向量的夹角公式即可求出． 【详解】由()()2,1,2,4a b ==，得5,25a b ==.设向量a 与b 的夹角为θ，则84105cos θ===．故选：B ．【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A【解析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5．已知tan α=，则cos 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．6B ．C ．46+D ．46- 【答案】D【解析】利用三角恒等变换与同角三角函数的平方关系将cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭化简为关于tan α的式子，代入tan α=.【详解】因为tan α=cos 2cos 2sin 2422πααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭()22cos sin cos 2αααα=-+)()222222cos sin cos cos sin 2cos sin αααααααα-=+++)()2221tan 1tan 21tan αααα-=+++24636=-+=. 故选：D 【点睛】本题考查三角恒等变换，同角三角函数的平方关系，注意“1”在化简中的妙用，属于基础题.6．若,x y 满足约束条件0210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的最大值为（ ）A ．5-B ．1-C ．5D ．6【答案】C【解析】作出可行域，根据平移法即可求出4z x y =+的最大值． 【详解】画出可行域，如图所示：由图可知，当直线4z x y =+经过点()1,1时，z 取最大值5. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法，属于基础题．7．已知双曲线()2222:10 ,0x y C a b a b-=>>的焦点到它的渐近线的距离为2，点2()P --是双曲线C 上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．3C ．2D ．3【答案】D【解析】根据题意可知，2b =，221841a b-=，222+c b a =，解出,a c ，即可求出． 【详解】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到它的渐近线的距离为2，所以2b =，把点()2P --的坐标代入方程22214x y a -=，得218414a -=，29a =，22213c a b =+=，即3,a c ==c e a ==故选：D ． 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 8．将函数()36f x sin x π=+⎛⎫⎪⎝⎭的图像向右平移()0m m >个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9π B ．29π C ．18π D ．24π【答案】C【解析】根据平移法则可知， ()3()36g x sin x m π=-+，再根据()g x 为奇函数，即可得到3,6m k k Z ππ-+=∈，由此解出．【详解】由题意知()3()36g x sin x m π=-+，因为()g x 是奇函数，所以3,6m k k Z ππ-+=∈.解得,183k m k Z ππ=-∈，因为0m >，所以m 的最小值为18π.故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换以及函数()sin y A ωx φ=+的性质应用，属于基础题．9．已知:29p ln ln lna ⋅>，:q 函数()f x lnx a =-在4(0,]e 上有2个零点，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先分别求出,p q 对应的a 的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断． 【详解】对p，192232ln lna ln ln >⇔⨯13ln 042ln a a >⋅⇔<<； 对q ， 函数()f x lnx a =-在(40,e ⎤⎦上有2个零点，即函数()40y lnx x e =<≤与y a =的图象有两个交点，因为44lne =，画出它们的图象，可知04a <≤，所以,p q q p ⇒⇒，即p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的判断，对数运算性质和对数函数单调性的应用，根据函数零点个数求参数的取值范围，意在考查学生的转化能力，属于中档题． 10．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D【答案】B【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解. 【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为222r h π.因为221122r h r h ππ=，所以21221h r h r ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是 A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x -≤≤-，求得3x-的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =- ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤- 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立 31a x x∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.12．已知函数()2x e f x t lnx x x x =-++⎛⎫⎪⎝⎭恰有一个极值点为1，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1,33e ⎛⎤⎧⎫-∞⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,23e ⎛⎤⎧⎫-∞⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【答案】C【解析】根据题意可知，()()()21220x e x x t x f x x ⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭'==有且只有一个解1x =，因为1x =是它的唯一解，所以方程20xe t x -+=在()0,∞+上无解，利用导数判断函数()2xg x e x =+在()0,∞+上的单调性，即可求出． 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()22112'1x x e f x t x xx -⎛⎫=-+-=⎪⎝⎭()()()()2211222x x e x x t t x x e x x x ⎛⎫-+- ⎪⎡⎤+⎦⎝-⎣⎭+=-因为()f x 恰有一个极值点为1，所以()'0f x =有且只有一个解，即1x =是它的唯一解，也就是说另一个方程20xe t x -+=无解.令()()20x e x g x x +=>，则()()()21'02x x e g x x +=>+，所以函数()g x 在(0,)+∞上单增，从而()()102g x g >=，所以，当12t ≤时，20xe t x -+=无解，()2x ef x t lnx x x x =-++⎛⎫ ⎪⎝⎭恰有一个极值点，所以实数t 的取值范围是12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查极值点的存在条件应用，以及利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力，属于中档题．二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差3d =，且138,,a a a 成等比数列，则10S =_________．【答案】175【解析】根据等差数列{}n a 的通项公式表示出138,,a a a ，列式即可求出首项1a ，从而得到{}n a 的通项公式，再根据等差数列前n 项和公式即可求出． 【详解】因为138,,a a a 成等比数列，所以()()21112373a a a +⨯=+⨯，解得14a =，从而31n a n =+，所以1910910431752S ⨯=⨯+⨯=. 故答案为：175． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，以及等比中项的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．14．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从1~5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为______．【答案】110【解析】根据古典概型的概率计算公式即可求出． 【详解】从这5个数中随机抽取3个整数，所有基本事件个数为10，其中的勾股数为()3,4,5，共1个，故概率110P =. 故答案为：110． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题．15．如图，圆锥VO 的母线长为l ，轴截面VAB 的顶角150AVB ∠=︒，则过此圆锥的项点作该圆锥的任意截面VCD ，则VCD 面积的最大值是___；此时VCD ∠=______.【答案】212l 45 【解析】设顶角CVD α∠=，表示出截面VCD 的面积为211sin 2S l α=，可知当sin 1α=时，VCD 面积的最大值为2112S l =，因为VCD 为等腰直角三角形，即可求出VCD ∠=45． 【详解】设顶角CVD α∠=，则轴截面VAB 的面积221115024S l sin l =︒=，截面VCD 的面积为211sin 2S l α=．在三角形VAB 和三角形VCD 中，CD AB ≤，所以150a ≤．所以当90a =︒时2112S l =，.因此截面面积的最大值是212l ，此时，因为VC VD =，所以1180)92(045VCD ∠=︒-︒=︒．故答案为：212l ；45．【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用，以及圆锥的结构特征的应用，属于基础题． 16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是______. 【答案】4【解析】先求出直线PA ，PB 的方程，联立解得122P x x x +=，由点P 是两切线的公共点求得AB 的方程为12Px x y ⋅=+，表示出A ，B 两点到准线的距离之和并化简为()21244x x ++，从而求得最小值.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线PA ，PB 的方程分别为21124x x y x =-，22224x x y x =-，联立解得122P x x x +=，124P x x y ⋅=.又直线PA ，PB 的方程分别可表示为112x y x y =-，222x y x y =-，将P 点坐标代入两方程，得1122,2,2P P P P x x y y x x y y ⋅⎧=-⎪⎪⎨⋅⎪=-⎪⎩所以直线AB 的方程为12P x x y ⋅-=-，即12Px x y ⋅=+， 所以A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和为1212211222P P x x y y x x ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2121244424P x x x x x +=++=+…. 故答案为：4 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系应用，属于较难题.三、解答题17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin sin sin A B a b b C c C +-+=，点D 为边BC的中点，且AD =（1）求A ；（2）若2b c =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3A π=（2）【解析】(1)化简等式代入余弦定理即可求得A ； (2)由AD 为ABC ∆的中线得2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，同时平方可得2228c b bc =++，与2b c =联立解出b ，c 的值，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】解：（1）由()()sin sin sin sin A B a b b C c C +-+=， 可得222a b bc c -+=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==， 所以3A π=.（2）因为AD 为ABC ∆的中线，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r， 两边同时平方可得22242cos AD AB AC AB AC A =++⋅， 故2228c b bc =++.因为2b c =，所以2c=，4b =. 所以ABC ∆的面积1sin 2ABC S bc A ∆==. 【点睛】本题考查余弦定理，三角形中线的向量表示及三角形面积公式，属于中档题. 18．已知数列{}n a 满足11a =，且113n n n a a a +-=+. (1)证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式. (2)若21nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）见解析，12n na =-（2）()121n n S n =-+ 【解析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并通过数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式得到数列{}n a 的通项公式； (2)因为1221nn n n b n a -==⋅+，根据错位相减法即可求出数列{}n b 的前n 项和n S ． 【详解】(1)因为113n n n a a a +-=+ 两边都加上1，得()12113n n n a a a +++=+所以111211112121n n n a a a +⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭，即1111112n n a a +-=++， 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为公差，首项为11112a =+的等差数列． 所以112n n a =+，即12n n a =-．(2)因为1221nn n n b n a -==⋅+，所以数列{}n b 的前n 项和，121112232...2n n S n -=⨯+⨯+⨯++⋅①则1232122232...2nn S n =⨯+⨯+⨯++⋅，②由-①②，得()121111212122121n n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅=---，所以()121nn S n =-⋅+．【点睛】本题主要考查等差数列的证明，等差数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．19．《中央广播电视总台2019主持人大赛》是中央人民广播电视总台成立后推出的第一个电视大赛，由撒贝宁担任主持人，康辉、董卿担任点评嘉宾，敬一丹、鲁健、朱迅、俞虹、李宏岩等17位担任专业评审.从2019年10月26日起，每周六20:00在中央电视台综合频道播出，某传媒大学为了解大学生对主持人大赛的关注情况，分别在大一和大二两个年级各随机抽取了100名大学生进行调查.下图是根据调查结果绘制的学生场均关注比赛的时间频率分布直方图和频数分布表，并将场均关注比赛的时间不低于80分钟的学生称为“赛迷”.大一学生场均关注比赛时间的频率分布直方图大二学生场均关注比赛时间的频数分布表(1)将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是“赛迷”的概率大，请说明理由；(2)已知抽到的100名大一学生中有男生50名，其中10名为“赛迷”.试完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“赛迷”与性别有关.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）大一学生是“赛迷”的概率大.（2）表见解析，没有90%的把握认为“赛迷”与性别有关.【解析】(1)根据频率分布直方图可求出大一学生是“赛迷”的概率为0.25，由频数分布表可求出大二学生是“赛迷”的概率为0.22,所以大一学生是“赛迷”的概率大；(2)根据(1)中结论，可知“赛迷”有25人，非“赛迷”有75人，即可完成22⨯列联表，计算出2K 的观测值，与临界值2.706比较，即可判断是否有90%把握． 【详解】(1)由频率分布直方图可知，大一学生是“赛迷”的概率()10.00250.010200.25P =+⨯=，由频数分布表可知，大二学生是“赛迷”的概率21660.22100P +==， 因为12P P >，所以大一学生是“赛迷”的概率大. (2)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中， “赛迷”有()0.00250.010*******+⨯⨯=(人)， 非“赛迷”有1002575-=(人)，22⨯列联表如下:则21004015351041.333,752550503()K ⨯⨯⨯==≈⨯⨯⨯-因为1.333 2.706<，所以没有90%的把握认为“赛迷”与性别有关. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图以及频数分布表的应用，填写22⨯列联表，以及独立性检验的基本思想的应用，意在考查学生的数据处理和数学运算能力，属于基础题． 20．如图1，在等腰梯形12ABF F 中，两腰122AF BF ==，底边126,4,AB F F D C ==、是AB 的三等分点，E 是12F F 的中点.分别沿, CE DE 将四边形2BCEF 和2ADEF 折起，使12F F 、重合于点F ，得到如图2所示的几何体.在图2中，M N 、分别为CD EF 、的中点.(1)证明:MN ⊥平面ABCD (2)求几何体ABF DCE -的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)根据线面垂直的判定定理，可证BC ⊥平面CDN ，所以平面CDN ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的性质定理，证出MN CD ⊥，即可证出MN ⊥平面ABCD ； (2)由题可知，几何体 ABF DCE -为三棱柱，它的体积与以CDN △为底面，以EF 为高的三棱柱的体积相等，即可求出． 【详解】(1)证明:连接,CF DN ，由图1知，四边形BCEF 为菱形，且 60CEF ∠=︒，所以CEF △是正三角形，从而CN EF ⊥. 同理可证，DN EF ⊥ 所以EF ⊥平面CDN .又// EF BC ，所以BC ⊥平面CDN ， 因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面CDN ⊥平面ABCD .易知CN DN =，且M 为CD 的中点，所以MN CD ⊥， 所以MN ⊥平面ABCD .(2)由(1)可知，几何体 ABF DCE -为三棱柱，它的体积与以CDN △为底面，以EF 为高的三棱柱的体积相等.因为CN DN MN ====.所以122CDNS =⨯=所以2ABF CDECDNVSEF -=⋅==【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理和性质定理的应用，以及棱柱的体积求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和转化能力，属于中档题．21．已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左顶点为A ，右焦点为F ，斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且OB AB ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过点F 且与直线AB 平行的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若点P 满足3OP PM =，且NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，求||||NP PQ 的值. 【答案】（1）2213x y += （2）257【解析】(1)由题意知ABO ∆是以AO 为斜边的等腰直角三角形，从而求得B 点坐标，代入椭圆方程求出a ，即可得解；(2)设点()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，直线MN 的方程与椭圆方程联立求出12x x +=，1234x x =，1214y y =-，利用计算出点Q 的坐标, 因为点Q 在椭圆C 上，所以223313x y +=，整理得()()2222211221212222913111111163323m m x y x y x x y y m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1212103x x y y +=， 221113x y +=，222213x y +=，方程解得257m =，即||25||7NP PQ =. 【详解】解：（1）因为直线AB 的斜率为1，且OB AB ⊥， 所以ABO ∆是以AO 为斜边的等腰直角三角形， 从而有,22a a B ⎛⎫-⎪⎝⎭， 代人椭圆C 的方程，得21144a +=，解得23a =，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）由（1）得)F，所以直线MN的方程为y x =设点()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，将y x =-2213x y +=，得2430x -+=，所以122x x +=，1234x x =，所以(121214y y x x=-=-. 因为3OP PM =，所以34OP OM =，所以1133,44P x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设||||NP m PQ =，则NP mPQ =，121231313333,,4444x x y y m x x y y ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3123123(1)1,43(1)1.4m x x x m mm y y y m m +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以223313x y +=，所以()()22121231*********m m x x y y m m m m ++⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得，()()2222211*********913111111163323m m x y x y x x y y m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由上得1212103x x y y +=，且可知221113x y +=，222213x y +=，所以()222911116m m m ++=，整理得2718250m m --=， 解得257m =或1m =-（舍去），即||25||7NP PQ =. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，向量共线的坐标表示，属于难题.22．设函数()1ln f x x t x x=--，其中()0,1,x t ∈为正实数. (1)若不等式()0f x <恒成立，求实数t 的取值范围；(2)当)1(0x ∈，时，证明211ln x x x e x x+--<. 【答案】（1）(]0,2（2）见解析 【解析】(1)讨论研究函数()1ln f x x t x x=--的单调性，求出函数()f x 在()0,1x ∈上的最大值．要不等式()0f x <恒成立，只需最大值小于零，即可求出．(2)将原不等式等价变形为21ln 1x x e x x x ->+，由(1)可知212ln x x x ->，试证21xe x <+在)1(0x ∈，时恒成立，即可由不等式性质证出211ln x x x e x x+--<． 【详解】（1）由题意得()22211'1t x tx f x x x x -+=+-=设()()2101h x x tx x =-+<<，则24,0t t =->，①当240t -≤时，即02t <≤时，()0f x '≥ ，所以函数()f x 在()0,1上单调递增，()()10f x f <=，满足题意；②当240t ->时，即2t >时，则()h x 的图象的对称轴12tx => 因为()()01,120h h t ==-<，所以()h x 在()0,1上存在唯一实根，设为1x ，则当()10,x x ∈时，()()0,'0h x f x >>，当()1,1x x ∈时，()()0,'0h x f x <<，所以()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,1x 上单调递减， 此时()()1max 10x f f f =>=，不合题意． 综上可得，实数t 的取值范围是(]0,2．（2）321ln xx x x e x x +--<等价于()()211ln x x x e x x-+<因为()0,1x ∈，所以0lnx <，所以原不等式等价于21ln 1xx e x x x ->+， 由(1)知当2t =时，120x lnx x --<在()0,1x ∈上恒成立，整理得212ln x x x->令()()011xe m x x x =<<+，则()()2'01x xe m x x =>+，所以函数()m x 在区间()0,1上单调递增，所以()()21221ln x e m x x m x -<=<<，即21ln 1xx e x x x ->+在()0,1上恒成立. 所以，当()0,1x ∈时，恒有211ln x x x e x x+--<， 【点睛】本题主要考查利用导数解决函数不等式恒成立问题，涉及分类讨论思想，转化思想的应用，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于较难题．。

阜阳市2023-2024学年度高三教学质量统测试卷数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{1S x x =<-或}5x >，集合{}8T x a x a =<<+，且R S T = ，则实数a 的取值范围为（）A.()(),31,-∞--+∞ B.()3,1--C.(][),31,-∞--+∞ D.[]3,1--【答案】B 【解析】【分析】根据并集的定义列出不等式，进而可得出答案.【详解】因为{1S x x =<-或}5x >，{}8T x a x a =<<+，且R S T = ，所以185a a <-⎧⎨+>⎩，解得31a -<<-，即实数a 的取值范围为()3,1--.故选：B ．2.设复数z 满足()1i 1i z +=-，则1z +=（）A.1 B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数除法法则计算出i z=-，进而根据共轭复数和模长公式计算即可.【详解】()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2z ---+====-++-，故i z =，i 11z +=+=.故选：B3.设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示．则有A.1212,μμσσ<<B.1212,μμσσ<>C.1212,μμσσ><D.1212,μμσσ>>【答案】A 【解析】【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．4.已知数列{}n a 满足()22n a n n λλ=+∈R ，则“{}n a 为递增数列”是“0λ≥”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由{}n a 为递增数列得6λ>-，再由充分条件与必要条件的定义进行判断即可.【详解】由{}n a 为递增数列得，()()2212(1)12420,n n a a n n n n n n λλλ++⎡⎤-=+++-+=++>∈⎣⎦N ，则()42n λ>-+对于n +∈N 恒成立，得6λ>-．可得06λλ≥⇒>-，反之不行，故选：C ．5.降水量是指水平地面上单位面积的降水深度（单位：mm ）．气象学中，把24小时内的降水量叫作日降雨量，等级划分如下：降水量/mm0.19.9~1024.9~2549.9~5099.9~等级小雨中雨大雨曝雨某数学建模小组为了测量当地某日的降水量，制作了一个上口直径为20cm ，底面直径为8cm ，深度为20cm 的圆台形水桶（轴截面如图所示）．若在一次降水过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的12，则当日的降雨所属等级是（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由圆台的体积公式代入计算，即可得到结果.【详解】设上口半径为R ，下口半径为r ，桶深为h ，水面半径为1r ，则17cm 2R rr +==，降水量的体积()()222231111110ππππ310πcm 323h V r r rr r r rr =++⋅=++=，降水深度为2310π3.1cm 31mm π100πV R ===，属于大雨等级.故选：C ．6.已知圆22:46120C x y x y +--+=与直线:10l x y +-=，P ，Q 分别是圆C 和直线l 上的点且直线PQ 与圆C 恰有1个公共点，则PQ 的最小值是（）A.B. C.1- D.1【分析】PQ ==，CQ 的最小值为圆心()2,3C 到直线的距离，可求PQ 的最小值.【详解】圆22:46120C x y x y +--+=化为标准方程为()()22:231C x y -+-=，则圆C 的圆心为()2,3C ，半径1r =，则1CP =，直线PQ 与圆C相切，有PQ ==，因为点Q 在直线l上，所以CQ ≥=，则PQ ≥．即PQ.故选：A7.设28log 3,log 12,lg15a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.c b a<<【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由对数的运算化简，再由对数函数的单调性即可得到结果.【详解】22232331log 3log 21log 122log 2a ⎛⎫==⨯=+=+⎪⎝⎭，88832331log 12log 81log 122log 8b ⎛⎫==⨯=+=+⎪⎝⎭，101032331lg15log 101log 122log 10c ⎛⎫==⨯=+=+⎪⎝⎭，3332220log 2log 8log 10,a b c <<<∴>> .故选：D ．8.已知函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=+-，()14f =且当0x >时，()2f x >，若存在[]1,2x ∈，使得()()2421f ax x f x -+=，则a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.52,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的单调性，再结合赋值法求出3()12f -=-，并由单调性脱去法则，转化为二次方程在[1,2]上有解即得.【详解】任取12,x x ，且12x x <，则210x x ->，而当0x >时，()2f x >，于是21()2f x x ->，又()()()2f x y f x f y +=+-，因此21211211()[()]()()2()f x f x x x f x f x x f x =+-=+-->，则函数()f x 是增函数，而222(4)(2)[(4)2]2(2)21f ax x f x f ax x x f ax x -+=-++=-+=，于是2(2)1f ax x -=-，令0x y ==，得(0)2f =，令1,1x y ==-，得(1)0f -=，令1,1x y =-=-，得(2)2f -=-，令2,1x y =-=-，得(3)4f -=-，令3x y 2==-，得3(12f -=-，即有23(2)()2f ax x f -=-，因此2322ax x -=-，原问题即2432x a x -=在[]1,2有解，令11[,1]2t x =∈，则22242343()33a t t t =-+=--+在1[,1]2t ∈时有解，从而42[1,]3a ∈，12[,]23a ∈，所以a 的取值范围是12[,]23.故选：D【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于一组样本数据的平均数、中位数、众数，频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（）A.改变其中一个数据，平均数和众数都会发生改变B.频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等C.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数D.样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小【答案】BCD 【解析】【分析】根据平均数、中位数、频率分布直方图和方差的性质，逐一分析选项，即可求解.【详解】对于A 中，例如：数据1，3，3，将数据改成2，3，3，数据的众数未改变，仍为3，所以A 错误；对于B 中，根据频率分布直方图中中位数的求法，频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，所以B 正确；对于C 中，根据频率分布直方图可得，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数，所以C 正确；对于D ．样本数据方差越小，数据越稳定，离散程度越小，所以D 正确故选：BCD ．10.已知O 为坐标原点，椭圆22:162x y C +=的左、右焦点分别为12,.,F F A B 两点都在C 上，A ，,O B 三点共线，P （不与,A B 重合）为上顶点，则（）A.AB 的最小值为4B.11AF BF +为定值C.存在点A ，使得12AF AF ⊥D.13PA PB k k ⋅=-【答案】BCD 【解析】【分析】求出AB >可判断A ；由椭圆的对称性可判断B ；因为2>c ，所以以12F F 为直径的圆与椭圆有交点可判断C ；求出13PA PB k k ⋅=-可判断D .【详解】对于A ，由椭圆的方程可知2a b c ===，所以焦点()()122,0,2,0F F -，设()11,A x y ，则()11,B x y --，(P ，因为()11,A x y 在椭圆上，所以2211216x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2AB AO ====≥即AB >，A 错误；对于B ，由椭圆的对称性可知，1112AF BF AF AF +=+=B 正确；对于C ，因为c b >，所以以12F F 为直径的圆与椭圆有交点，则存在点A ，使得12AF AF ⊥，故C 正确；对于D ，设()11,A x y ，则()11,B x y --(,P 2c =，则2121112211112126213PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭⋅=⋅===--，故D正确．故选:BCD ．11.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数()()*πsin ,,3f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈< ⎪⎝⎭N 的图像，而破碎的涌潮的图像近似()f x '（()f x '是函数()f x 的导函数）的图像．已知当2πx =时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）A.2ω=B.π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.π4f x ⎛⎫'-⎪⎝⎭是偶函数 D.()f x '在区间π,03⎛⎫-⎪⎝⎭上单调【答案】BC 【解析】【分析】由()f x ，求得()f x '，由题意得()(2ππ)2f f '=，由*N ω∈，π3ϕ<，解出,ϕω，由破碎的涌潮的波谷为-4，解得A ，得到()f x 和()f x '解析式，逐个判断选项.【详解】()()sin f x A x =+ωϕ，则()()cos f x A x ωωϕ'=+，由题意得()(2ππ)2f f '=，即sin cos A A ϕωϕ=，故tan ϕω=，因为*N ω∈，π3ϕ<，所以tan ϕω=<，所以π,14ϕω==，则选项A 错误；因为破碎的涌潮的波谷为4-，所以()f x '的最小值为4-，即4A ω-=-，得4A =，所以()π4sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则πππππππ14sin 4sin cos cos sin 433434342222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项B 正确；因为()π4sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，所以π4cos 4f x x ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭为偶函数，则选项C正确；()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，由π03x -<<，得πππ1244x -<+<，因为函数4cos y x =在π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x '在区间π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则选项D 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置．12.如图，在四边形ABCD 中，,E F 分别为,AD BC 的中点，22CD AB ==，则()AB CD FE +⋅=______．【答案】32##1.5【解析】【分析】连接AF 、DF ，根据平面向量线性运算法则得到()12FE BA CD =+，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】连接AF 、DF ，所以FA FB BA =+ ，FD FC CD =+，又E 、F 分别为AD 、BC 的中点，所以()()()111222FE FA FD FB BA FC CD BA CD =+=+++=+，所以()()()12AB CD FE AB CD BA CD +⋅=+⋅+()()12AB CD CD AB =+⋅-()221413222CD AB -=-== ．故答案为：3213.抛物线21:2C y px =绕其顶点逆时针旋转02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭之后，得到抛物线2C ，其准线方程为340x y ++=，则抛物线1C 的焦点坐标为______．【答案】()2,0【解析】【分析】利用旋转后抛物线的顶点到准线的距离等于顶点到其焦点的距离，求出4p =，进而得到结果.【详解】由于抛物线21:2C y px =绕其顶点逆时针旋转02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭之后，抛物线2C ()24231=+且可知0p >，则4222p ==，则4p =，所以抛物线1C 的焦点坐标为()2,0．故答案为：()2,0.14.已知()sin sin ,cos cos 0a b ab αβαβ+=+=≠，则()cos αβ-=______，()sin αβ+=______.【答案】①.2222a b +-②.222ab a b +【解析】【分析】第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式即可求解；第二空，利用三角函数的和差公式得到tan2αβ+，再利用倍角公式化简转化即可得解.【详解】由sin sin a αβ+=可得()22sin sin a αβ+=，即222sin sin 2sin sin a αβαβ++=，由cos cos b αβ+=可得()22cos cos b αβ+=，即222cos cos 2cos cos b αβαβ++=，两式相加可得()2222sin sin cos cos a b αβαβ++=+，即()2222cos a b αβ+-=+，解得()222cos 2a b αβ+--=；因为sin sin sin sin 2222αβαβαβαβαβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos 22a αβαβ+-==，cos cos cos cos 2222αβαβαβαβαβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2coscos 22b αβαβ+-==，所以2sin cos22tan22cos cos 22a b αβαβαβαβαβ+-+==+-，所以()22222222sincos 2tan 2222sin sin cos tan 11222a ab b a b a b αβαβαβαβαβαβαβ+++⨯+====++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭．故答案为：2222a b +-；222ab a b +.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握三角函数半角公式的转化，从而得解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c，且sin cos sin cos cos a A B b A A C +=．（1）求角C 的大小；（2）若3a =，且1AB AC ⋅=，求ABC 的面积．【答案】15.π316.2【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理边化角，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】因为sin cos sin cos cos a A B b A A C +=，所以根据正弦定理得sin sin cos sin sin cos cos A A B A B A A C +=，因为sin 0A ≠，所以sin cos sin cos A B B A C +=，即()sin A B C +=，即sin C C =．因为cos 0C ≠，所以tan C =．因为0πC <<，所以π3C =．【小问2详解】cos 1AB AC bc A ⋅== ．因为2222cos a b c bc A =+-，所以2292cos 11b c bc A +=+=①．因为2222cos c a b ab C =+-，所以2222π2cos 23cos 3393b c ab C a b b -=-=⨯⨯⨯-=-②．联立①②可得22320b b --=，解得2b =（负根舍去），故ABC 的面积为11sin 322222ab C =⨯⨯⨯=．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是正方形，PAB 是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是棱PC ，AB 的中点.（1）证明://BE 平面PDF .（2）求平面PBC 与平面PDF 夹角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理结合条件可得PF ⊥平面ABCD ，然后利用坐标法，可得平面PDF 的法向量，进而即得；（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.【小问1详解】因为PAB 是等边三角形，F 是AB 的中点，所以PF AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PF ⊂平面PAB ，所以PF ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，如图，以F 为原点建立空间直角坐标系，不妨令2AB =，则()()()()(0,0,0,0,1,0,2,1,0,2,1,0,F B C D P --，所以11,,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，11,,22BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()(2,1,0,FD FP == ，设平面PDF 的法向量为(),,m x y z =，则200m FD x y m FP ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，可得()1,2,0m =- ，所以111202BE m ⋅=⨯-⨯= ，即BE m ⊥ ，又BE ⊄平面PDF ，所以//BE 平面PDF ；【小问2详解】因为()()(0,1,0,2,1,0,B C P --，所以()(2,0,0,BC BP == ，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z '''= ，则200n BC x n BP y ⎧⋅==⎪⎨⋅='''+=⎪⎩ ，令1z '=，可得()0,n = ，又平面PDF 的一个法向量为()1,2,0m =- ，所以cos ,5m n m n m n ⋅===⋅ ，所以平面PBC 与平面PDF夹角的余弦值为5.17.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为()()1,0,1,0A B -，动直线l 过点()2,0M ，当直线l 与双曲线C 有且仅有一个公共点时，点B 到直线l的距离为2．（1）求双曲线C 的标准方程．（2）当直线l 与双曲线C 交于异于,A B 的两点,P Q 时，记直线AP 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ．是否存在实数λ，使得21k k λ=成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）221x y -=（2）存在，3λ=-【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式即可求解，（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而可得()121234my y y y =-+，根据两点斜率公式表达斜率，进而代入化简即可求解.【小问1详解】2221,1y a x b =∴-= ，故当直线l 过()2,0且与双曲线C 有且仅有一个公共点时，l 与C 的渐近线平行．设直线():2l y b x =±-，则点()1,0B 到直线l,12b =∴=，所以双曲线C 的标准方程为221x y -=．【小问2详解】由题可知，直线l 的斜率不为0，设直线()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，由221,2,x y x my ⎧-=⎨=+⎩得()()222143010m y my m -++=-≠．2Δ4120m =+>成立，则12122243,11m y y y y m m -+==--，()121234my y y y ∴=-+．121212,11y y k k x x ==+- ，()()()()221212212211121212111313111y y x y my k x my y y y k y x y my my y y x λ++-+∴=====-+++()()122121211233934443313444y y y y y y y y y y -++-+===--++-．故存在实数3λ=-，使得21k k λ=成立．【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线相交的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18.已知函数()3ln f x x ax =-．（1）讨论()f x 的单调性．（2）已知12,x x 是函数()f x 的两个零点()12x x <．（ⅰ）求实数a 的取值范围．（ⅱ）()10,,2f x λ⎛⎫∈ ⎪'⎝⎭是()f x 的导函数．证明：()1210f x x λλ'+-<⎡⎤⎣⎦．【答案】（1）答案见解析（2）（ⅰ）30,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，对a 进行分类讨论()f x 的单调性；（2）利用方程组113ln x ax =，223ln x ax =得到21213lnx x a x x =-，问题转化为()()21212133ln 01x x x x x x λλ--<+-恒成立，换元后构造函数求出函数单调性及最值，从而得到证明.【小问1详解】()()30ax f x x x-'=>．①当0a ≤时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增．②当0a >时，令()0f x '>得30x a <<，即()f x 在30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；同理，令()0f x '<得3x a >，即()f x 在3,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减．【小问2详解】（ⅰ）由（1）可知当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，不可能有两个零点．当0a >时，()f x 在30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，若使()f x 有两个零点，则30f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即33ln 30a ->，解得30e a <<，且()10f a =-<，当x →+∞时，()f x ∞→-，则有12331,,,x x a a ∞⎛⎫⎛⎫∈∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a 的取值范围为30,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（ⅱ）12,x x 是函数()f x 的两个零点，则有113ln x ax =①，223ln x ax =②，①-②得()()21213ln ln x x a x x -=-，即21213lnx x a x x =-，()()()()21121212213ln33111x x f x x a x x x x x x λλλλλλ+-=-=-+-'+--，因为()f x 有两个零点，所以()f x 不单调，因为12x x <，得2130x x a<<<，所以()21120,10x x x x λλ->+->．若要证明()()1210f x x λλ-'+<成立，只需证()()21212133ln 01x x x x x x λλ--<+-，即证()2122111ln 01x x x x x x λλ--<+-，令21x t x =，则1t >，则不等式只需证()1ln 01t t tλλ--<+-，即证()11ln 0t t t λλ⎡⎤--+-<⎣⎦，令()()11ln ,1h t t t t t λλ⎡⎤=--+->⎣⎦，()()11ln 1h t t t λλ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭'，令'1()()(1)ln (1l t h t λt λt ==-+-，()()21t l t t λλ-'+=令()()1t t ϕλλ=-+，因为10,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()t ϕ在()1,∞+上单调递减，得()()1210t ϕϕλ<=-<，得()0l t '<，即()h t '在()1,∞+上单调递减，得()()10h t h ''<=，得()0h t '<，即()h t 在()1,∞+上单调递减，所以有()()10h t h <=，故有()11ln 0t t t λλ⎡⎤--+-<⎣⎦，不等式得证．【点睛】关键点点睛：对于双变量问题，要转化为单变量问题，通常情况下利用对数的运算性质进行转化，转化后利用构造新函数及最值进行求解证明.19.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）41257p =.【解析】【分析】（1）首先确定X 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i ）求解出,,a b c 的取值，可得()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii ）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合8p 和0p 的值可求得1p ；再次利用累加法可求出4p .【详解】（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==-则X 的分布列如下：X1-01P ()1αβ-()()11αβαβ+--()1αβ-（2）0.5α= ，0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=（i ）()111,2,,7ii i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅ 即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅整理可得：()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅是以10p p -为首项，4为公比的等比数列（ii ）由（i ）知：()110144i i i i p p p p p +-=-⋅=⋅78714p p p ∴-=⋅，67614p p p -=⋅，……，01014p p p -=⋅作和可得：()880178011114414441143p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===-18341p ∴=-()4401234401184144131144441434141257p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==--+4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.。

2020年安徽省阜阳市太和蔡庙中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合A={（x,y）|x,y为实数，且x2+y2=1},B={（x,y）|x,y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1参考答案：C略2. 已知，则下列关系中正确的是A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>bD．c>a>b参考答案：A3. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（）A.2B.3C.D.参考答案：A略4. 对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:当都为正偶数或正奇数时,※=;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※=．则在此定义下,集合※中的元素个数是A．10 B．15个 C．16个 D．18个参考答案：B5. 等差数列的前项和为，且=，=，则公差等于A． B． C． D ．参考答案：CA6. 若实数，满足不等式组，则的最大值为（）A. 9B.C. 1D.参考答案：A略7. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时： =R2，∴R=，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：==．故选：A．8. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A． B．C．D．参考答案：C9. 函数为奇函数，且在上为减函数的值可以是A． B． C． D．参考答案：D略10. 下列4个命题:（1）若，则；（2）“”是“对任意的实数，成立”的充要条件；（3）命题“，”的否定是：“，”；（4）函数的值域为.其中正确的命题个数是（）A、1B、2C、3 D、0参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，是圆外的一点，为切线，为切点，割线经过圆心，，则．参考答案：12. 求函数在上的值域是_________参考答案：略13. 已知满足，且则▲ .参考答案：14.参考答案：略15. 已知抛物线y2=﹣8x的准线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为．参考答案：2考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线y2=﹣8x的准线为 x=2，故有c2=m+3=4，求得c值，即得双曲线的离心率的值．解答：解：抛物线的焦点坐标为（﹣2，0）），准线方程为x=2．则c=2．所以c2=m+3=4，解得m=1，所以双曲线的离心率为e==2，故答案为：2．点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到c2=m+3=4，求出c值，是解题的关键．16.已知向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是．参考答案：答案：17. 若方程参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

安徽省名校联盟2020年高考最后一卷：数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》卷第六《均输》中，有问题“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间．．二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变小．在这个问题中的中间．．两节容量和是（）A．61 1 66升B．2升C．3222升D．3升2．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．201520172⨯B．201420172⨯C．201520162⨯D．201420162⨯3．下列命题中，真命题的是（）A．0,0xx R e∃∈≤B．2,2xx R x∀∈>C．0a b+=的充要条件是1ab=-D．若,x y R∈，且2x y+>，则,x y中至少有一个大于14．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin5BAC∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图的数学风车，若在该数学风车内随机取一点，则该点恰好取自“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的概率为（）A．2543B．1843C．2549D．24495．设x，y满足约束条件239030x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值是（）A．92-B．3C．6D．86．若函数()(0x xf x a a a-=->且1)a≠在R上为减函数，则函数log(||1)ay x=-的图象可以是( ) A．B．C．D．7．将函数()()sin08,2f x xπωϕωϕ⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭的图象向左平移1148π个单位后得到函数()g x的图象，且函数()f x满足31121616f fππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列命题中正确的是（）A．函数()g x图象的两条相邻对称轴之间距离为2πB．函数()g x图象关于点5,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称C．函数()g x图象关于直线712xπ=对称D．函数()g x在区间50,24π⎛⎫⎪⎝⎭内为单调递减函数8．如图，在平面直角坐标系xOy中，质点M N，间隔3分钟先后从点P，绕原点按逆时针方向作角速度为6π弧度/分钟的匀速圆周运动，则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间为（）A．37.5分钟 B．40.5分钟 C．49.5分钟 D．52.5分钟9．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足132a =，1233(*)n n a S n N ++=∈，若2n nS M S +≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数M 的最小值为（ ）A ．22B ．176C ．4112 D ．410．已知平面向量，满足，，且，则向量，的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33212．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为na ，则132931242830a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值为（ ）A ．165 B ．1615 C ．1629 D ．1631二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。