函数的求导法则

求导的法则

求导是微积分中的一项重要内容，它可以用于研究曲线的变化率、

极值、曲率等问题。在求导的过程中，我们需要遵循一定的法则来求

出函数的导数。本文将详细介绍求导的法则，帮助读者掌握求导的方

法和技巧。

一、导函数的定义

在介绍求导的法则之前，我们首先会了解导函数的定义。

若函数y=f(x)在某一点x处可导，那么其导函数f'(x)定义为：

f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h

其中，h为极限的趋近值。

二、常数法则

常数法则是求导的最基本法则之一。根据常数法则，对于常数c，

其导数为0。

即，若y=c，则dy/dx = 0。

假设有函数y=3。根据常数法则，求导后得到dy/dx = 0。

幂法则是求导的重要法则之一。根据幂法则，对于幂函数y=x^n，

其中n为实数，其导数为：

dy/dx = nx^(n-1)

1. 假设有函数y=x^3。根据幂法则，求导后得到dy/dx = 3x^2。

2. 假设有函数y=x^(-2)。根据幂法则，求导后得到dy/dx = -

2x^(-3)。

四、和差法则

和差法则是求导的常用法则之一。根据和差法则，对于函数

y=u(x)±v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，其导数为：

d(u±v) / dx = du/dx ± dv/dx

假设有函数y=x^2 + 3x。根据和差法则，求导后得到dy/dx = 2x

+ 3。

五、乘积法则 乘积法则是求导的常用法则之一。根据乘积法则，对于函数

y=u(x)·v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，其导数为：

d(uv) / dx = u·dv/dx + v·du/dx

假设有函数y=x^2 · sin(x)。根据乘积法则，求导后得到dy/dx

= 2x·sin(x) + x^2 · cos(x)。

六、商积法则

商积法则是求导的常用法则之一。根据商积法则，对于函数y=u(x)

求导法则与导数公式

求导法则和导数公式是微积分中的重要工具，用于求取函数的导数。在微积分的学习中，熟练掌握这些法则和公式对于解题和理解概念有着重要的作用。下面将介绍一些常见的求导法则和导数公式。

1.基本导数公式

-常数函数导数公式：如果f(x)是一个常数函数，那么它的导数为0，即f'(x)=0。

- 幂函数导数公式：如果f(x) = x^n, 其中n是实数，并且n不等于0，那么它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。

2.利用基本导数公式求导的法则

-常数乘以函数：如果f(x)是可导函数且c是一个常数，那么(c*f(x))'=c*f'(x)，即常数乘以函数的导数等于常数乘以函数导数。

-两个函数相加：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)，即两个函数相加的导数等于两个函数的导数之和。

-两个函数相乘：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)，即两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

-一个函数除以另一个函数：如果f(x)和g(x)都是可导函数，并且g(x)不等于0，那么(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/[g(x)]^2，即一个函数除以另一个函数的导数等于分子的导数乘以分母再减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。 3.特殊函数的导数公式

- 正弦函数和余弦函数的导数：d(sin(x))/dx = cos(x)和d(cos(x))/dx = -sin(x)。

- 指数函数的导数：d(e^x)/dx = e^x。

- 对数函数的导数：d(ln(x))/dx = 1/x。

- 反正弦函数的导数：d(arcsin(x))/dx = 1/√(1-x^2)。

- 反余弦函数的导数：d(arccos(x))/dx = -1/√(1-x^2)。

课题序号 21 教学班级 1305

教学课时 1 教学形式 新授

课 题

名 称 函数商的求导法则

使用教具 板书、投影、音响

教学目的 使学生掌握函数商的求导法则

教学重点 函数商的求导法则

教学难点 函数商的求导法则

更新、补充、删节内容

课前准备

课外作业 51P 1

板

书

设

计

教

学

感

想

课 堂 教 学 安 排

教学环节 主 要 教 学 内 容 教学手段与方式

导入

新授

一 探究

设函数32,,uxvx其中x0.

（1） 计算2(),;uuvuvvv

（2） 判断2()uuvuvvv与的关系。

二 新授

一般的，

2()=uuvuvvv

其中v=()0vx

法则3 两个可导函数之商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平房。

特别的，若u=c（c为常数），有2()ccvvv。

例5 求函数y=2cosxx的导数。

解 2222(cos)cos()()xxxxyx

24sincos2xxxxx

3sin2cosxxxx

例6 已知函数221()1xfxx，求(1)f。

222222(1)(1)(1)(1)()(1)xxxxfxx

思考

课 堂 教 学 安 排

教学环节 主 要 教 学 内 容 教学手段与方式

22222(1)(1)2(1)xxxxx

=224(1)xx

从而(1)1f

三 练习

1 填空： 21()lnxx= 22()ln(1)()(ln)xxx

2 求下列函数的导数

（1） y= sinxx (2)y= 1xx

3 已知f（x）= 11xx,求f（0）

四 小结

本节课主要讲了函数商的求导法则。

五 作业

51P 1

思考

函数求导习题

一 函数全导

tzdtdvvzdtduuzdtdzdtdwwzdtdvvzdtduuzdtdztwwtvvtuuwvufzdtdvvzdtduuzdtdztvvtuuvufz，公式简化为特别tw)(),(),(),,,()(),(),,(

ttetettuvetzdtdvvzdtduuzdtdzdtdztveutuvzttttcossincoscos)sin(,cos,,sin1解：求全导例

tLnttttxyxyxyxyxytetLnttttLntttLnttLntttyzyetyzzeyzyetyzyedtdzzudtdyyudtdxxudtdudtdutztLnytxyzeu1121212)sincos)(cos(cos)1)(sin(cos)sin)(cos(1))cos()sin(()1)(sin(,cos),(,1),sin(2此处注意解：求全导例

下面给出一个抽象函数的例子

])()()()()(2[])()()()()()()([2)()()(1)(1)()(,,,,)(),(),,(32```22```1`2```2`2`122ttttttfttttttttfdtduttyxtytqdtdyyqdtdxxqdtdqxytxttxyttpdtdyypdtdxxpdtdpfqufpudtdqqudtdppudtduyxtqxytpdtduftytxyxtxytfu代入解：令均可微求全导其中设例二 求偏导

`2`3`2`1`3`122222`32`22`222),(,)),(,,()2()()())(()()(:)(14fyfdxdwwzdxdvvzdxduuzyzxffdxdwwzdxdvvzdxduuzxzyxwyvxuyxyxfzxyfxyxyyfxyfxyxyfxyxzxyxyfz，解：令解）（，假设所有函数均可微求下列函数的的偏导数例