导数的求导法则

四、根本求导法那么与导数公式

１. 根本初等函数的导数公式和求导法那么

根本初等函数的求导公式和上述求导法那么，在初等函数的根本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法那么归纳如下：

根本初等函数求导公式

(1) 0)(C (2) 1)(xx

(3) xxcos)(sin (4) xxsin)(cos

(5) xx2sec)(tan (6) xx2csc)(cot

(7) xxxtansec)(sec (8) xxxcotcsc)(csc

(9) aaaxxln)( (10) (e)exx

(11) axxaln1)(log (12) xx1)(ln，

(13) 211)(arcsinxx (14) 211)(arccosxx

(15) 21(arctan)1xx (16) 21(arccot)1xx

函数的和、差、积、商的求导法那么

设)(xuu，)(xvv都可导，那么

〔1〕 vuvu)( 〔2〕 uCCu)(〔C是常数〕

〔3〕 vuvuuv)(

〔4〕 2vvuvuvu

反函数求导法那么

假设函数)(yx在某区间yI内可导、单调且0)(y，那么它的反函数)(xfy在对应区间xI内也可导，且 )(1)(yxf 或 dydxdxdy1

复合函数求导法那么

设)(ufy，而)(xu且)(uf及)(x都可导，那么复合函数)]([xfy的导数为

dydydudxdudx或()()yfux

上述表中所列公式与法那么是求导运算的依据，请读者熟记．

§3.1 导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x 5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2 (g(x)≠0)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

导数公式：

基本积分表：

...590457182818284.2)11(lim1sinlim0exxxxxx axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin2222222222222222222220201. 推导余切函数及余割函数的导数公式:

(cot x)′=−csc2x ; (csc x)′= −csc xcot x .

1 一、常用的导数公式：

1、()0c，c是常数；

2、1()xx， 特别的：221111,()2,(),(),...2xxxxxxx ；

3、()xxee, ()lnxxaaa；

4、1(ln)xx， 1(log)lnaxxa；

5、(sin)cosxx， (cos)sinxx；

6、21(arcsin)1xx， 21(arccos)1xx.

二、导数的运算法则：

1、[()()]()()fxgxfxgx；

2、[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx， 特别的：(())()cfxcfx，c是常数；

3、2()()()()()[]()()fxfxgxfxgxgxgx.

三、复合函数的导数：

若()yfu在点u可导，()ugx在点x可导，则复合函数(())yfgx在点x可导，且有关系式dydydudxdudx；（这就是说，复合函数的导数等于它对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积）

2 四、最简单的不定积分公式：

1、0dxC，C是常数；

2、kdxkxC，,kC是常数；

3、111nnxdxxCn，,nC是常数且1n；

4、1ln||dxxCx，C是常数；

5、xxedxeC，lnxxaadxCa，C是常数；

6、sincosxdxxC，cossinxdxxC，C是常数.

五、最简单的积分法则：

1、()()kfxdxkfxdx，k是常数；

2、[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx；

3、若()()ftdtFtC，则1()()faxbdxFaxbCa.

特别的 2231cossincoscoscos3xxdxxdxxC，