函数的求导法则(2)

模块基本信息

一级模块名称 微分学 二级模块名称 计算模块

三级模块名称 反函数的求导法则 模块编号 2-5

先行知识 导数的定义 模块编号 2-2

导数的四则运算法则 2-4

知识内容 教学要求 掌握程度

1、反函数求导的证明 1、了解反函数求导的证明 理解

2、反函数的求导法则求导 2、会用反函数的求导法则求导

能力目标 培养学生解决问题的能力

时间分配 15分钟 编撰 陈亮 校对 方玲玲 审核 危子青

修订 肖莉娜 二审 危子青

一、正文编写思路及特点

思路：通过引例引出反函数的求导问题，接着解决问题，并由此导出反函数的求导法则，最后把所得结论运用到其他反函数的求导上。

特点：通过问题引导学生思考，并从中推导出一些常见反函数导数计算方法，培养学生解决问题的能力。

二、授课部分

（一）、预备知识

1、导数的定义

2、导数的四则运算法则

（二）、新课讲授

1、引例：?)(arcsinx

如果令arcsinyx得sinxy

提问： dydx与dxdy有什么关系？

2、反函数的求导法则

如果函数)(yfx在某区间yI内单调、可导且()0fy  那它的反函数1()yfx在对应区间{|(),}xyIxxfyyI内也可导 并且

11[()]()fxfy 或1dydxdxdy

简要证明 由于()xfy在yI内单调、可导(从而连续)

所以)(yfx 的反函数1()yfx存在 且1()fx在xI内也单调、连续

任取xIx  给x以增量x(x0 xxxI) 由1()fx的单调性可知

11()()0yfxxfx

于是

yxxy1

因为1()fx连续 故

0lim0xy

函数求导公式大全法则

基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

导数的求导法则

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

导数的计算口诀

常为零，幂降次

对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna）

指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）

正变余，余变正

切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方）

割乘切，反分式 三角函数求导公式

(sinx)'=cosx

(cosx)'=-sinx

(tanx)'=sec²x=1+tan²x

(cotx)'=-csc²x

(secx)'=tanx·secx

(cscx)'=-cotx·cscx.

(tanx)'=(sinx/cosx)'=[cosx·cosx-sinx·(-sinx)]/cos²x=sec²x

模块基本信息

一级模块名称 微分学 二级模块名称 计算模块

三级模块名称 复合函数的求导法则（链式法则） 模块编号 2-6

先行知识 导数的四则运算 模块编号 2-4

复合函数 1-2

知识内容 教学要求 掌握程度

1、复合函数的求导法则的证明 1、了解复合函数的求导法则的证明 熟练掌握

2、复合函数的求导法则（链式法则） 2、掌握复合函数的求导法则（链式法则）

能力目标 1、培养学生的计算能力

2、知识拓展的能力

时间分配 45分钟 编撰 陈亮 校对 方玲玲 审核 危子青

修订 肖莉娜 二审 危子青

一、正文编写思路及特点

思路：先让学生犯错，目的的是让学生记忆深刻，然后解决错误，在解决错误的过程中使得学生理解复合函数求导法则，最后通过例题由浅到深逐步理解复合函数的求导法则。

特点：通过犯错让学生记忆深刻。

二、授课部分

（一）、预备知识

1、导数的四则运算

2、复合函数

简单介绍复合函数的定义(由多个初等函数复合而成的函数称为复合函数)

复合函数的分解，重点介绍复合函数的分解。

sin2yx 分解成 sin;2yuux

lnsinyx 分解成 ln;sinyuux

lncosxye 分解成 ln;cos;xyuuvve

1sinxye 分解成 1;sin;uyeuvvx 2arcsin2xy 分解成 2;sin;2xyuuarcvv

课堂练习：

41arctan23arccosxyeyxyx

lntanlnlnln2xyyxyxxx

（二）、新课讲授

1、新课导入

提问： (sin2)?x（目的是让学生犯错）

解决错误：(sin2)2sincosxxx

222sincos2sincos2cossin2cos2xxxxxxx

§2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则

一、反函数的导数

设)(yx是直接函数，)(xfy是它的反函数，假定)(yx在Iy内单调、可导，而且0)(y，则反函数)(xfy在间},)(|{yxIyyxxI内也是单调、可导的，而且

)(1)(yxf

(1)

证明： xIx，给x以增量x),0(xIxxx

由 )(xfy 在 Ix 上的单调性可知

0)()(xfxxfy

于是 yxxy1

因直接函数)(yx在Iy上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(xfy在Ix上也是连续的，当0x时，必有0y

)(11limlim00yyxxyyx

即：)(1)(yxf

【例1】试证明下列基本导数公式

().(arcsin)().()().(log)ln1112113122xxarctgxxaxax 证1、设yxsin为直接函数，xyarcsin是它的反函数

函数 yxsin在 )2,2(yI上单调、可导，且 xycos0

因此，在 )1,1(xI上， 有

yxcos1)arcsin(

注意到，当)2,2(y时，0cosy，221sin1cosxyy

因此， 211)arcsin(xx

证2 设xtgy，)2,2(yI

则yarctgx，Ix(,)

tgyx 在 Iy上单调、可导且 0cos12yx

故 2221111cos)(1)(xytgytgyarctgx

证3 axaaaayyxln1ln1)(1)log(

类似地，我们可以证明下列导数公式：

(arccos)()(ln)xxarcctgxxxx1111122