“幂函数”教学设计

中国数学教育·下半月（高中版）2020年第12期（总第228期）

一、内容和内容解析

1.内容

幂函数的定义，y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y=x12

五个幂函数的图象与性质.2.内容解析

幂函数是一类重要的基本初等函数，实际生产生

活及科学研究中涉及的很多函数都是由幂函数及其他

基本初等函数进行运算、复合得到的.

学生初中学习过的一次函数、二次函数和反比例

函数都是由幂函数y=x0，y=x，y=x2，y=x-1经过运

算得到的，幂函数y=x，y=x2，y=x-1也是最基本的

一次函数、二次函数和反比例函数，学生对他们的图

象和性质都非常熟悉.从这个角度来说，幂函数的学

习是在此基础上的自然延伸.

在教材中，幂函数这一部分的学习被安排在函数

的概念及其表示和函数的基本性质之后，指数函数与

对数函数之前.一方面，在学生系统学习了一般函数的

概念、表示法和基本性质之后，幂函数作为一类最基本

的函数，承载着从一般到特殊应用所学知识来研究和

表达具体函数的功能；另一方面，幂函数作为高中阶

段学生研究的第一类具体函数，在研究内容、方法和

路径上对后续学习其他函数起着一定的示范性作用.基于以上分析，本节课的教学重点是幂函数的图象与性质.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）了解幂函数的定义，会作出函数y=x，y=x2，

y=x3，y=x-1，y=x12的图象，理解它们的性质并能进

行简单应用.（2）通过对幂函数的研究，体会研究一种具体函数的内容和方法.（3）在对具体函数的图象与性质的探究过程中，理解函数图象与性质的探究方法，感受数与形的相辅相成，体会数形结合的思想方法，发展直观想象、逻辑推理和数学运算素养.2.目标解析

达成以上目标的标志如下.（1）能从几个具体的幂函数解析式的共性中抽象出幂函数的一般形式；会作出函数y=x，y=x2，y=x3，

y=x-1，y=x12的草图，并根据图象得到它们的性质；

能应用幂函数的性质解决一些简单问题.（2）在研究幂函数之前，先根据初中研究函数的经验制定出探究方案，确定探究内容和方法，进而依

收稿日期：2020-11-02作者简介：王琦（1983—），女，中学一级教师，主要从事中学数学教学研究.“幂函数”教学设计

王

摘要：幂函数是一类重要的基本初等函数．本节课在回顾初中研究函数的经验的基础上，梳理

研究一般函数的内容、方法和路径，进而按照这样的路径对幂函数展开研究.学生经历函数图象与性质的多种探究方式，体会数与形的紧密联系.幂函数的研究过程既是对高中所学的函数概念、表示法和基本性质的进一步理解和应用，也为后续其他函数的研究做出了示范．关键词：幂函数；图象与性质；数形结合

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照方案实施研究，并在过程中对实施细节进行合理调

整，经历研究函数的完整过程.

（3）在对y=x3和y=x12的图象和性质进行研究的

过程中，体验不同的研究方式，感受形的直观、数的精

确，以及数与形的紧密联系、对立统一.在运用定义判

断函数y=x12的单调性的过程中，发展数学运算素养.

三、教学问题诊断分析

学生在初中阶段学习过一次函数、二次函数和反

比例函数，对于函数的研究积累了一定的经验，但缺

乏方法的梳理和总结.本节课先引导学生对经验进行

梳理，总结出函数的研究内容、方法和路径，这既为

本节课的研究提供了方案，也为后续其他函数的研究

提供了模板.

初中阶段，学生基本都是通过列表、描点作出函

数的图象，再根据图象直观感知函数的性质.经过本

章前一阶段的学习，学生掌握了用符号语言精确刻画

函数单调性和奇偶性的方法，可以直接通过解析式分

析函数的单调性和奇偶性，这使得函数图象与性质的

探究方式有了更多的可能.本节课中，教师引导学生

体验这些探究方式，使学生在探究过程中感受数与形

的相互转化和紧密联系.

基于以上分析，确定本节课的教学难点在于幂函

数图象与性质的探究.

四、教学过程设计

1.从实际情境中抽象出幂函数的定义

问题1：回答下列问题.

（1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜

wkg，那么她需要支付的价钱p是多少元？这里p是

w的函数吗？

（2）如果正方体的边长为a，那么正方形的面积S

是多少？这里S是a的函数吗？

（3）如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V

是多少？这里V是b的函数吗？

（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个

正方形的边长c是多少？这里c是S的函数吗？（5）如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v是多少？这里v是t的函数吗？师生活动：教师给出实际情境，学生思考后得出五种情境所对应的函数解析式.其中，对于（4）中的c=

S，教师须告知学生S也可以记作S12；对于（5）中

的v=1t，教师应引导学生将其表达为v=t-1.

【设计意图】函数是描述客观世界中变量关系和规律的最基本的数学语言和工具.从这一系列实际问题中，学生可以感受到客观世界中很多变量关系可以用幂函数表示，从而体会到研究幂函数的必要性和幂函数的应用价值.中学阶段学习的几种函数都有着它们的实际背景.幂函数是高中阶段学习的第一类具体函数，从实际背景中抽象出幂函数的概念，对高中阶段其他函数的研究具有示范作用.同时，对实际问题进行抽象也是很多数学概念和问题产生的方式.问题2：这些函数在解析式的结构上有什么共同特征？师生活动：教师引导学生抛开现实意义，关注几个函数解析式的结构.通过观察，学生发现这些函数的函数值都是自变量的若干次方.教师引导学生将几个函数中的自变量都用x表示，函数值都用y表示.

学生发现这几个函数的解析式都具有y=xα的形式，

其中x是自变量，α是常数.由xα的运算结果叫做幂，引出幂函数的名称，从而点明课题并板书幂函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自

变量，α是常数.

【设计意图】从实际背景中抽象出数学模型是一个较难的思维过程，需要教师引导进行.学生经历并体会这个从众多事物中抽取出共同的、本质性的特征，舍弃非本质性特征的抽象过程，提升数学抽象素养.追问：根据定义，你能再列举出几个幂函数吗？师生活动：学生根据定义进行举例，认识幂函数解析式的结构特征.教师引导学生将α取不同类型的常数，并指出当α取其他实数时，幂的含义会在后续课程中学习.

【设计意图】根据定义进行举例，需要学生在理解定义的基础上，整合现有知识，举出例子并进行判断，是一个综合的思维过程.这个过程可以培养学生

提出问题、分析问题的能力.

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2.探究幂函数的图象和性质

环节1：梳理研究路径，明确研究内容.

问题3：结合以往学习函数的经验，我们应该如

何研究幂函数？

师生活动：教师引导学生回忆初中研究一次函数、

二次函数和反比例函数的内容、过程和方法.学生总

结经验，归纳出研究具体函数的基本路径：定义—图

象—性质—应用.

【设计意图】学生初中阶段学习过一次函数、二次

函数和反比例函数，初步积累了研究函数的基本活动

经验.调动学生回忆初中研究函数的内容、过程和方

法，不仅可以通过对这些基本活动经验的梳理规划幂

函数的研究路径，也可以为后续课程中其他函数的研

究做出示范.追问1：如何作出幂函数y=xα的图象？

师生活动：学生发现幂函数y=xα是一类函数，

指数α的取值不同，函数就不同，图象也是不一样的.

教师引导学生回忆初中探究正比例函数、一次函数、

二次函数、反比例函数的图象和性质时对参数的处理

方式.学生根据初中研究函数的经验想到从特殊到一

般，对α取一些特殊值进行研究，考查图象是否存在

规律性.教师提议本节课抛砖引玉，只从α为正整数

的情况中选取三个较简单的，即y=x，y=x2，y=x3，

从α为负整数的情况中选取一个较简单的，即y=x-1，

从α为分数的情况中选取一个较简单的，即y=x12=x

进行研究.掌握研究方法后，对于其他幂函数的图象，

可以让学生课后自行探究.

【设计意图】引导学生借助初中研究函数的经验，

找到处理幂函数中参数的方法，确定从特殊到一般的

研究思路.追问2：在研究它们的图象和性质之前，我们应

该先明确什么？

师生活动：学生回答“定义域”，并求出这五个幂

函数的定义域.教师关注学生是否注意到了定义域应

写成集合的形式.

【设计意图】研究一个函数首先要明确其定义域，

设计这个问题正是为了帮助学生强化这一认识.追问3：作出函数图象后可以研究哪些内容？

师生活动：学生回忆本章所学内容，提出值域、单调性、奇偶性等，教师板书列表呈现研究内容，如

表1所示.

表1

y=xy=x2

y=x3

y=x-1

y=x12定义域RRR{}x|x≠0

[)0，+∞图象值域奇偶性单调性

【设计意图】梳理一个具体函数的研究内容并用表

格呈现出来，这为本节课后面的研究搭建了框架，有

助于学生建立研究具体函数的一般思路.此外，将研

究结论通过表格形式呈现，便于学生将几种函数的图

象和性质进行对比，发现规律.环节2：探究五个幂函数各自的图象和性质.

问题4：将函数y=x，y=x2，y=x-1的图象和性质

填入表格相应位置.

师生活动：根据初中所学相应结论，学生代表将

黑板上函数y=x，y=x2，y=x-1的对应表格补充完

整，其余学生在笔记本上完成.教师针对黑板上表格

的填写情况进行适当点评，如定义域、值域要写成集

合形式，y=x-1单调区间的写法等，如表2所示.

表2

y=x

y=x2

y=x3

y=x-1

y=x12定义域

R

R

R

{}x|x≠0

[)0，+∞图象

xy

O

y

xOy

xO

y

Ox

y

Ox值域

R

[)0，+∞

R

{}y|y≠0

[)0，+∞奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

奇函数

非奇非偶函数单调性

增函数

减：(]-∞，0增：[)0，+∞

增函数

减：()-∞，0，()0，+∞

增函数

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