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第3章 刚体的定轴转动刚体定轴转动所遵从的力学规律，实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。
重要的概念有转动惯量和力矩。
刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式，但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。
§1 刚体的运动一 刚体刚体是固体物件的理想化模型。
实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。
如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当做刚体处理。
这就是说，刚体是受力时不改变形状和体积的物体。
刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
既然是一个质点系。
所以关于质点系的基本定律就都可以应用。
当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。
二 刚体的运动形式刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。
如果刚体在运动中，连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动就叫平动。
在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。
因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。
定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
刚体不受任何限制的的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点（可任选）的平动，绕通过基点的瞬时轴的定点转动。
三 刚体定轴转动的运动学描述刚体的定轴转动是最简单的转动情况。
在这种运动中各质元均做圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴。
刚体绕某一固定转轴转动时，各质元作圆周运动的轨道半径不同，所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。
第三章刚体定轴转动本章前言◆本章学习目标理解刚体定轴转动定律和角动量定理的内容及其综合应用。
◆本章教学内容1、刚体绕固定轴的转动。
2、刚体的定轴转动定律。
3、刚体的角动量定理和角动量守恒定律。
◆本章重点刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量；力矩计算、转动定律的应用；刚体转动动能、转动时的角动量的计算。
◆本章难点力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
§3.1刚体及刚体运动3.1.1 刚体的概念物体的一些运动是与它的形状有关的，这时物体就不能看成质点了，其运动规律的讨论就必须考虑形状的因素。
有形物体的一般性讨论也是一个非常复杂的问题，全面的分析和研究是力学专业课程学习的内容。
在大学物理中，我们讨论有形物体的一种特殊的情况，那就是物体在运动时没有形变或形变可以忽略的情况。
如果物体在运动时没有形变或其形变可以忽略，我们就能抽象出一个有形状而无形变的物体模型，这模型叫做刚体。
刚体的更准确更定量的定义是：如果一个物体中任意的两个质点之间的距离在运动中都始终保持不变，则我们称之为刚体。
被认为是刚体的物体在任何外力作用下都不会发生形变。
实际物体在外力作用下总是有形变的，因此刚体是一个理想模型。
它是对有形物体运动的一个重要简化。
实际物体能否看成是刚体不是依据其材质是否坚硬，而是考察它在运动过程中是否有形变或其形变是否可以忽略。
正如质点中所讨论的那样，刚体也就是一个质点系，而且是一个较为特殊的刚性的质点系，它的运动规律较之于一个质点相对位置分布可以随时改变的一般质点系而言，要简单得多。
3.1.2 刚体运动及其分类刚体运动的基本形式有平动和转动，刚体任意的运动形式都可以看成是平动和转动的迭加。
一、刚体的平动1、平动的定义如果在一个运动过程中刚体内部任意两个质点之间的连线的方向都始终不发生改变，则我们称刚体的运动为平动。
平动的示意图如下。
电梯的上下运动，缆车的运动都可看成刚体平动。
刚体的平动2、平动的特点刚体平动的一个明显特点是，在平动过程中刚体上每个质点的位移、速度和加速度相同。
这意味着，如果我们要研究刚体的平动，只需要研究某一个质点，例如质心的运动就行了。
因为这一个质点的运动规律就代表了刚体所有质点的运动规律，也即刚体的运动规律。
在这个意义上我们可以说，刚体平动的运动学属于质点运动学，可以使用质点模型。
刚体平动的动力学也可以使用质点模型，通过质点动力学来解决。
这实际上并不是新问题，如牛顿运动定律的多数题目中出现的都是有形状的物体，但只要它是在平动，我们就仍可以用牛顿运动定律来正确地处理它们。
实际上，这时我们用牛顿运动定律求出来的是质心的加速度，但是由于在平动中刚体上每个质点的加速度相同，所以质心的加速度也就代表了所有质点的加速度。
综上所述我们知道，刚体平动可以使用质点模型，我们可以用前面质点力学中的知识去分析和处理它们。
二、刚体的定轴转动1、转动的定义如果在一个运动过程中，刚体上所有的质点均绕同一直线作圆周运动，则我们称刚体在转动，该直线称为转轴。
如火车车轮的运动、飞机螺旋浆的运动都是转动。
如果转轴是固定不动的，则称为定轴转动，如车床齿轮的运动、吊扇扇页的运动均属于定轴转动。
转动是否是定轴的，取决于参照系的选择。
刚体的定轴转动2、定轴转动的特点定轴转动中刚体上的任一质点p都绕一个固定轴作圆周运动，见上图，习惯上常把转轴设为z轴，圆周所在平面M称为质点的转动平面，转动平面与转轴垂直。
质点作圆周运动的圆心O叫做质点的转心，质点对于转心的位矢r叫做质点的矢径。
定轴转动显著的特点是：转动过程中刚体上所有质点的角位移、角速度和角加速度相同，我们称之为刚体转动的角位移、角速度和角加速度。
3.1.3 描述刚体定轴转动的物理量刚体定轴转动最佳的描写方法是角量描写。
物体转动的角速度和角加速度是有方向的，我们常说某物体转动的角速度是逆时针方向或顺时针方向，就是在描述角速度的方向。
对于刚体定轴转动，转动方向的描述与观察方向有关，在下图中逆着z轴从上向下看和沿着z轴从下向上看得到的结论正好相反。
为了准确描述角速度和角加速度的方向，我们把角速度和角加速度定义为矢量。
角速度和角加速度已经有了大小的定义，现在要赋予它们方向。
一、角速度矢量我们规定，物体的角速度矢量的方向与直观的转动方向构成右手螺旋关系：当我们伸直大姆指并弯曲其余的四个手指，使四个手指指向直观的转动方向时，大姆指所指的方向即为角速度矢量的方向。
在上图（a）中，刚体的转动是逆时针方向的，按右手螺旋法则，我们说它的角速度沿z轴向上；在上图（b）中，刚体的转动是顺时针方向的，我们说它的角速度向下。
角速度矢量还可以使用如下的数学表达式来表示：（1）式中n表示转动方向，ω表示角速度的大小。
二、角加速度矢量角加速度矢量定义为（2）显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图（a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见下图（b），则角速度在减小。
从图（a）、（b）中不难验证，角加速度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。
既当四个手指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方向。
角加速度矢量显然，在刚体的定轴转动中，角速度和角加速度矢量的方向只有沿着z轴和逆着z轴两个方向。
可以把沿z轴的角速度叫做正角速度，逆着z轴的角速度叫做负角速度，这是角速度的标量表述。
对角加速度也可作同样的标量表述，读者可自行推广。
三、定轴转动的线量当刚体作定轴转动时，刚体上的各个质点都有速度和加速度。
这些质点的速度和加速度与刚体的角速度和角加速度矢量有什么关系呢？在矢量描述中，刚体定轴转动的角量与线量的关系将包含方向之间的关系而表现得更加完整。
若考察刚体上的一个质点对z轴的径矢为r，则其速度、切向加速度和法向加速度和角速度与角加速度的矢量关系为：(3)这个式子大家可以自己推导。
其意义可以由下图看出。
刚体定轴转动中角量与线量的矢量关系在后面的讨论中，角速度和角加速度的矢量表述和标量表述都会用到，这主要取决于具体问题中用什么描述方法更为方便。
§3.2转动定律3.2.1 刚体转动惯量转动是具有惯性的。
例如，飞轮高速转动后要使其停下来就必须施加外力矩，静止的飞轮要转动起来也必须外力矩的作用。
这说明了转动确实具有惯性。
转动惯性的大小用什么物理量来描写呢？对定轴转动的刚体而言可以使用所谓的转动惯量来描写它转动惯性的大小。
更复杂的刚体运动需要使用惯量张量来描写。
一、刚体转动惯量的定义使用离散方法，刚体可以看成是由很多质点组成的，则刚体的转动惯量定义为：（1）式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。
【例1】如图所示，一正方形边长为l，它的四个顶点各有一个质量为m的质点，求此系统对（1）z1轴；（2）z2轴；（3）z3轴的转动惯量。
【解】(1)对z1轴，四个质点的转动惯量均为，故(2)对z2轴，a、d两质点的转动惯量为零，而b、c两质点的转动惯量均为ml2，故(3)对z3轴对于质量连续分布的物体，定义中的求和要通过积分来进行。
可在刚体中取一质元，若质元质量为dm，到转轴的距离为r，则质元对轴的转动惯量，而刚体的转动惯量应为各质元转动惯量之和即积分(2)积分域为刚体的全部质量。
质量分布通常用质量密度来描述，如果质量在空间构成体分布，则空间任一点的质量体密度定义为该点附近单位体积内的质量如果式（2）中的质元的体积为，而该点的质量体密度为，则质元的质量把此式代入（2）式，积分即为体积分。
如果质量构成面分布，则质量面密度定义为该处单位面积内的质量如果所取质元的面积为，而该点的质量面密度为，则质元的质量把此式代入（2）式，积分为面积分。
对于线分布，质量线密度定义为单位长度内的质量如果质元的长度为，该点的质量面密度为，则质元的质量把此式代入（2）式，积分为线积分。
【例2】有一匀质细杆长度为l，质量为m。
求细杆对于与杆垂直的转轴的转动惯量，(1)轴在杆的一端；(2)轴在杆的中心。
【解】(1)细杆的质量线密度，如图所示，在距轴r处取一线元dr。
线元的质量为，线元的转动惯量，故细杆的转动惯量为(2)若轴在杆中心，可以把杆从中心分为两个部分，两个部分的转动惯量相等，而且每一部分的转动惯量都可以用问题（1）中的结论来表示。
只是每部分的长度只有，质量也只有。
【例3】如下图所示，有一质量均匀分布的细圆环，半径为r，质量为m，求圆环对过圆心并与环面垂直的转轴的转动惯量。
【解】在环上取一质量为dm的质元，它对轴的转动惯量，故圆环的转动惯量为【例4】如下图所示，有一质量均匀分布的圆盘，半径为R，质量为m，求圆盘对过圆心并与圆盘垂直的转轴的转动惯量。
【解】盘的质量面密度为，在盘上取一半径为r，宽度为dr的圆环，圆环面积，圆环的质量为，利用上一题的结论，圆环的转动惯量为故圆盘的转动惯量为二、常见刚体的转动惯量常见刚体的转动惯量见下表。
常见刚体的转动惯量在刚体对定轴的角动量的定义中出现一个新的物理量：转动惯量。
按（1）式，转动惯量定义为。
它取决于刚体对轴的质量分布。
对通常质量密度均匀的刚体，它取决于刚体的质量、形状和转轴位置三个因素。
转动惯量的定义表明，一个质点对定轴的转动惯量是，而刚体的转动惯量就是刚体中的所有质点转动惯量之和。
这也意味着一个刚体整体的转动惯量应等于其各部分的转动惯量之和。
四、平行轴定理平行轴定理常用于求转动惯量。
如图所示，可以证明，若刚体对过质心C的轴ZC的转动惯量为JC，则刚体对另一与ZC平行的轴Z的转动惯量为平行轴定理其中m为刚体的质量，d为两轴之间的距离。
这就是平行轴定理，定理的证明读者可以参阅书后列出的有关参考书。
3.2.2 转动定律一、对定轴的力矩在力矩知识点中我们讨论了对定点的力矩，也简单介绍了对轴的力矩。
在此处我们进一步详细讨论对定轴的力矩。
如下图所示，一刚体绕定轴z转动（只画出了刚体一部分），力F作用在刚体上p点，且力的方向在p点的转动平面M内。
如果力不在转动平面内，可以把F分解为沿轴z方向的分力和在转动平面内的分力。
轴向分力是要改变轴的方向，在定轴转动中会被定轴的支撑力矩抵消而不起作用，所以我们可以只考虑在转动平面内分力的作用，以后我们也只讨论力在转动平面内的情况。
设p点的转心为O，径矢为r。
通常把力F对定轴z的力矩定义为一个矢量（1）它的大小为（2）或（3）其中称为力F对轴的力臂，为力F的切向分量。
由（5-3）式可知，力矩矢量的方向是矢径r和力F矢积的方向。
图中的力矩矢量的方向向上。
在刚体的定轴转动中，力矩矢量的方向只有沿着z轴和逆着z轴两个方向。
我们把沿z轴的力矩叫做正力矩，逆着z轴的力矩叫做负力矩，这是力矩的标量表述。
对定轴的力矩可以证明，力对定轴z的力矩不过是力对轴上任一定点的力矩在z轴方向的分量，所以它们的讨论和表示方式才如此相似。
