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诚信应考，考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末试卷《概率论与数理统计》试卷A卷（2学分用）（注：此份试卷初认为是07年1月考，2005级）注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；2.解答就答在试卷上；3.考试形式：闭卷；4.本试卷共八大题，满分100分，考试时间120分钟。
注：标准正态分布的分布函数值Φ（2.33）=0.9901；Φ（2.48）=0.9934；Φ（1.67）=0.9525选择题（每题3分，共18分）1.设A 、B 均为非零概率事件，且A ⊂B 成立，则（ C ） A.P(A ⋃B)=P(A)+P(B) B.P(AB)=P(A)P(B) C.P(A ︱B)=)()(B P A P D.P(A-B)=P(A)-P(B)2.掷三枚均匀硬币，若A={两个正面，一个反面}，则有P(A)=( )C A.1/2 B.1/4 C.3/8 D.1/83.对于任意两个随机变量ξ和η，若E(ξη)=E ξE η,则有（B ） A.D(ξη)=D ξD η B.D(ξ+η)=D ξ+D η C. ξ和η独立 D. ξ和η不独立4.设P(x)=⎩⎨⎧∉∈],0[,0],0[,sin 2ππA x A x x 。
若P(x)是某随机变量的密度函数，则常数A=（B ）A.1/2B.1/3C.1D.3/25.若ξ1，ξ2，…，ξ6相互独立，分布都服从N(u,2σ),则Z=∑=-6122)(1i iu ξσ的密度函数最可能是（）A.f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,00,1612/2z z e z z B.f(z)=+∞<<-∞z e z ,12112/2π C.f(z)=+∞<<-∞-z ez ,12112/2πD.f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0,00,1612/2z z ez z6.设（ξ，η）服从二维正态分布，则下列说法中错误的是（B ） A.（ξ，η）的边际分布仍然是正态分布B.由（ξ，η）的边际分布可完全确定（ξ，η）的联合分布C. （ξ，η）为二维连续性随机变量D. ξ与η相互独立的充要条件为ξ与η的相关系数为0二、填空题（每空3分，共27分）1.设随机变量X 服从普阿松分布，且P(X=3)=234-e ，则EX= 2 。
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷A 卷1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 可使用计算器，解答就答在试卷上； ．考试形式：闭卷；本试卷共八大题，满分100分。
考试时间120分钟。
5. 本试卷的七、八大题，有不同学分的要求，请小心阅题。
标准正态分布的分布函数值：99.0)33.2(=Φ（10分）甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷n+1次，乙掷n 次。
求“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”这一事件的概率。
（14分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。
三、（试求：(1) a ；(2) P （X+Y<1）；(3) E(XY)四、（15分）设的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他020,10)(),(y x y x A y x f求：(1) A ；(2) E(X), cov(X,Y)，X 和Y 的相关系数；(3)(X,Y)落入区域},10{2x y x D ≥≤≤=的概率。
五、（12分）某学院有1000名学生，每人有80％的概率去大礼堂听讲座，问礼堂至少要有多少座位才能以99％的概率保证去听讲座的同学有座位？六、（10分）设随机变量ξ与η独立，并有相同的分布),(2σa N 。
试证：()[]πσηξ+=a E ,max七1、（2学分做）（12分）设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧>=⎩⎨⎧≤≤=-.,0)(.0,101)(其他其他y e y f x x f yY X已知X,Y 的函数⎩⎨⎧>≤==.0,1),(Y X Y X Y X g Z试求EZ ，DZ 。
八1、（2学分做）（12分）设随机变量),(ηξ在单位园(){}1|,22≤+=y x y x D 上服从均匀分布，求：⑴ ),(ηξ的联合概率密度),(y x ϕ； ⑵ 边际密度函数)(x ξϕ，)(y ηϕ； ⑶ ξ与η是否相关，是否独立？。
二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。
一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J=11、Q=12、K=13、A=14），求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。
三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。
假设过关人中有96%是非危险人物。
问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？四、（8分）随机变量X 服从),(2σμN ，求)0( >=a a Y X 的密度函数五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为：已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。
六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。
决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。
设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？七、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域：{}b y a x <<<<0,0上服从均匀分布。
（1）求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知36,12==DY DX ，求参数a 、b ；（3）判断随机变量X 与Y 是否相互独立？八、（8分）证明：对连续型随机变量ξ，如果c E =3||ξ存在，则0>∀t ，3)|(|t ct P ≤>ξ。
九、（12分）设（X ，Y ）的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他010,10,),(y x Axy y x f 求（1）常数A ；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）sY tX Ee +；（4）EX ，DX ，Cov(X ，Y)。
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _⋯⋯⋯⋯试卷精品⋯号⋯诚信应考 , 考试作弊将带来严重后果！⋯位⋯座⋯华南理工大学期末考试⋯⋯A 卷⋯《概率论与数理统计》试卷⋯⋯ 1.2.⋯3⋯4.100120。
⋯八⋯ 5.⋯题号一二三四五六七八总分业⋯⋯得分专⋯⋯评卷人⋯⋯⋯⋯可能用到的分位点：⋯)⋯22.722(9) 192(10)20.50.975 (9)0.975 (10) 3.250.0250.025⋯t0.02582.31t0. 0259 2.26t0.025102.23t0.0591.83t0.05101.812⋯院⋯(1)0.8413,(1.645)0.95,(1.96)0.975,(2)0.9772⋯学⋯⋯一、(10 分)已知 P( A) P(B)P(C)1P(BC )1(AC) 0⋯P(AB)P⋯416 (⋯求： P(A BC )⋯⋯解： P( ABC)P( A B C )⋯=1- P( A B C)⋯⋯=1-（ P( A)P(B)P(C)P( AB) P(AC)P(BC)P(ABC) ）⋯=3⋯⋯8⋯（ P(AC) 0,P( ABC)0）⋯号⋯学⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯⋯姓⋯⋯⋯⋯⋯试卷精品二、 (15 分) 袋中有 15 个球， 10 个红球， 5 个黄球。
不放回地分两次从袋中将球逐个取出，第一次取 5 个球，第二次取 6 个球。
求以下事件的概率：(1)第二次 6 个球中的第 5 个是红球；(2)第一次 5 个球中有 2 个黄球且第二次 6 个球中有 4 个红球；(3)第一次 5 个球中有 3 个红球或第二次 6 个球中有 2 个黄球；解：(1) 设 A ：第二次 6 个球中的第 5 个是红球P( A)10 215 3(2)设 A ：第一次 5 个球中有 2 个黄球B：第二次 6 个球中有 4 个红球原问题转换为求 P(AB)①: Ω: C155AB:C52 C62 C41C52C62C412000.2P(AB)C1551001P(AB) P(A) * P(B A)②:2324200 C5C10C3 C 7C155C1060.21001(3)设 A ：第一次 5 个球中有 3 个红球设 B：第二次 6 个球中有 2 个黄球原问题转换为求 P(A∪B)P( A)C52 C103, P(B)C52 C104C62 C93C155C156C155 P( AB)C52C62C14C155P(A∪B)= P( A) P(B) P(AB) = 6200.62 1001试卷精品三、 (15 分)随机变量服从N(0,4)，=2。
华东理工大学概率论与数理统计作业簿(第五册)学院______________ 专业_______________ 班级 ________________学号____________ 姓名_____________ 任课教师 ____________第十九次作业一.填空题：1.在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度(单位:mm)如下：1.23, 1.24, 1.26, 1.29, 1.20, 1.32, 1.23, 1.23, 1.29, 1.28 用矩估计法得到这批垫圈的数学期望“的估计值//=_x = l .257 —,标准差cr的估计值$= s”_[ = 0.037_。
二.计算题：1.设总体X服从泊松分布P(2), (X】，X»…,X”)为样本，分别用矩估计法和极大似然法求参数2的估计量/。
解：矩估计法，因为X ~ P(2),所以总体平均值EX = 2 ,一 1 n_ 1 n而样本平均值x所以2 = x=-yx,；n ,=i n ,=i极大似然法，设(X],X2,…,X”)的一组观测值为(“2,…,X”)，似然函数L(2) = FT P(x = X,.) = FT —取对数，得In 厶(2) = -nA. + (x; In 2 - In x;!),i=l令气◎_” + ]£廿0,解得：i = l£x.=-；da2幺n幺故＜9的极大似然估计量为：i = x o^)=fl/(x,) = ^flx,^ i=l i=l2. 设总体歹服从几何分布P(X =x) = p(l-pY-1 (x = l,2,…),(X”X2,…,X”)为 X 的样本。
(1) 求未知参数p 的矩法估计；(2)求未知参数p 的极大似然估计。
解： ⑴由于g 〜Ge(p),因此砖=丄，由矩法原则可知E^ = X,故p-X. PX(2) 设样本(X 1,X 2,---,X n )的一组观测值为01，勺,…,x”),由于总体为离散型, 因此似然函数 L(p) = Y[P(X i =x .) = p n (l-p^X!~n ,Z = 1取对数，得In L(p) = nlnp + (工二%, -njln(l-p),上式两端关于p 求导，令di"厶(卩)=工+工日兀—”=0, dp p 1-p 解上式，得丄+ ― p =~^ O p 1- p X3. 设总体总体X 的密度函数为/Xx) JP + D 汽其中<9>-1是0, 其他未知参数，(X],X2,…，X”)是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然法求 9的估计量。
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷(A )1. 考前请将密封线内填写清楚；允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；(1.298)=0.9032, 错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
, !未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
10分）已知在10件相同的玩具中有2件次品，从中随机取出两件，求以下事件的概率：（1） 两件都是正品（2） 一件是正品，一件是次品解： (1)取出两件玩具的样本数是错误!未找到引用源。
两件都是正品的概率错误!未找到引用源。
5分 (2)一件正品一件次品的概率错误!未找到引用源。
10分12分）今有两口箱子，第一箱装有2个红球1个白球，第二箱装有3个红球2个白球。
现1） 求第一次取到红球的概率；2） 在第一次取到红球的条件下，求第二次取到红球的概率；解：记{}(){})2,1（箱取到第;2,1次取到红球第A ====j j B i i j i533018)(,32)(,21)()(211121=====B A p B A p B p B p 4分 3019)()()()()(2211111=+=B p B A p B p B A p A p 6分（2）6019)()()()(222112121=+=B p B A A p B A A p A A p 10分21)()()(12112==A p A A p A A p 12分10分）某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分5%,4%和2%.产品混在一起,求：（1） 总的废品率（2）抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率.解：设1A ={产品由甲厂生产}, 2A ={产品由乙厂生产}, 3A ={产品由丙厂生产},B ={产品是废品},由题意%40)(%,35)(%,25)(321===A P A P A P ； %5)|(1=A B P , %4)|(2=A B P , %2)|(3=A B P . 3分 由全概率公式,∑==⨯+⨯+⨯==310345.002.040.004.035.005.025.0)|()()(i i i A B P A P B P ,5分从而由贝叶斯公式,36.00345.005.025.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P . 10分四（12分）设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参数μ之值）为72分，96分以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y 的分布列.（2）EY 和DY.解：)1( Y ～B （100，p ），其中p=-72-84）8460(⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=≤<σX P 1-12272-60⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ由0.023=)24(172961)96(σσΦ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=>X p 4分 得112，故224即,997.024===⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φσσσ 5分 所以6826.01-）1(2=Φ=p 6分 故Y 的分布列为kk k C k Y p -==100100)3174.0()6826.0()( 8分（2）,26.686826.0100=⨯=EY 6657.213174.026.68=⨯=DY 12分五(12分)设ξ,η是两个随机变量，其联合概率密度为求：（1）求ξ,η边缘密度函数；错误!未找到引用源。
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷(A )1. 考前请将密封线内填写清楚；允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；(1.298)=0.9032, 错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
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，错误!未找到引用源。
10分）已知在10件相同的玩具中有2件次品，从中随机取出两件，求以下事件的概率：（1） 两件都是正品（2） 一件是正品，一件是次品解： (1)取出两件玩具的样本数是错误!未找到引用源。
两件都是正品的概率错误!未找到引用源。
5分 (2)一件正品一件次品的概率错误!未找到引用源。
10分12分）今有两口箱子，第一箱装有2个红球1个白球，第二箱装有3个红球2个白球。
现1） 求第一次取到红球的概率；2） 在第一次取到红球的条件下，求第二次取到红球的概率；解：记{}(){})2,1（箱取到第;2,1次取到红球第A ====j j B i i j i 533018)(,32)(,21)()(211121=====B A p B A p B p B p 4分 3019)()()()()(2211111=+=B p B A p B p B A p A p 6分（2）6019)()()()(222112121=+=B p B A A p B A A p A A p 10分21)()()(12112==A p A A p A A p 12分10分）某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分5%,4%和2%.产品混在一起,求：（1） 总的废品率（2）抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率.解：设1A ={产品由甲厂生产}, 2A ={产品由乙厂生产}, 3A ={产品由丙厂生产},B ={产品是废品},由题意%40)(%,35)(%,25)(321===A P A P A P ；%5)|(1=A B P , %4)|(2=A B P , %2)|(3=A B P . 3分 由全概率公式,∑==⨯+⨯+⨯==310345.002.040.004.035.005.025.0)|()()(i i i A B P A P B P ,5分从而由贝叶斯公式,36.00345.005.025.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P . 10分四（12分）设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参数μ之值）为72分，96分以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y 的分布列.（2）EY 和DY.解：)1( Y ～B （100，p ），其中p=-72-84）8460(⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=≤<σX P 1-12272-60⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ由0.023=)24(172961)96(σσΦ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=>X p 4分 得112，故224即,997.024===⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φσσσ 5分 所以6826.01-）1(2=Φ=p 6分 故Y 的分布列为kk k C k Y p -==100100)3174.0()6826.0()( 8分（2）,26.686826.0100=⨯=EY 6657.213174.026.68=⨯=DY 12分五(12分)设ξ,η是两个随机变量，其联合概率密度为求：（1）求ξ,η边缘密度函数；错误!未找到引用源。
(2)判断ξ,η是否相互独立，并求随机变量ζ=ξ+η错误!未找到引用源。
的概率密度函数。
解：（1）已知错误!未找到引用源。
则有错误!未找到引用源。
所以错误!未找到引用源。
3分错误!未找到引用源。
所以错误!未找到引用源。
6分（2）因为错误!未找到引用源。
所以X Y 相互独立。
7分 错误!未找到引用源。
8分此时应满足错误!未找到引用源。
既错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
10分既有错误!未找到引用源。
12分六（10分）学校食堂出售盒饭，共有三种价格4元，4.5元，5元。
出售哪一种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分别为0.3，0.2，0.5。
已知某天共售出200盒，试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率。
解：设i X 为第i 盒的价格(1,2,,200.)i =，则总价2001i i X X ==∑ 1分() 4.6,()0.19i i E X D X == 3分2001()()200 4.6920ii E X E X ===⨯=∑. 4分2001()()2000.1938ii D X D X ===⨯=∑. 5分910920()930920(910930)()38()38102()12(1.622)120.947410.894838X E X P X P D X ---≤≤=≤≤≈Φ-=Φ-=⨯-= 9分[ 8064.01)298.1(2)928912(=-Φ≈≤≤X P ] 10分七（2学分）（12分）设),(Y X 的联合密度为x y x x Ay y x f ≤≤≤≤-=0,10),1(),(， （1）求系数A ；（2）求),(Y X 的联合分布函数。
解：（1）由错误!未找到引用源。
有所以可得：A=24 6分（2）根据错误!未找到引用源。
可得：4322432340003812(/2)010(,)3861014301111x y y y x x y x y x F x y y y y x y x x x x y x y <<⎧⎪-+-≤<≤<⎪⎪=++≥≤<⎨⎪-≤<≤⎪≥≥⎪⎩或 6分八、（2学分）(10分)若连续型随机变量X 的密度函数为201()0ax bx c x f x ⎧++<<=⎨⎩当其他已知12EX=，320DX =，求系数a b c 、、. 解： 由于()1f x dx +∞-∞=⎰，所以120()1ax bx c dx ++=⎰，即11132a b c ++= （1） 已知12EX=，所以有1201()2x ax bx c dx ++=⎰，即11114322a b c ++= （2） 由22()DX EX EX =-知225EX =，所以12202()5x ax bx c dx ++=⎰，即 11125435a b c ++= （3） 联立式（1）（2）（3），解得12,12,3ab c ==-=.(九) （2学分）（12分） 今有两封信投入编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个邮筒，设X Y 、分别表示投入第Ⅰ号和第Ⅱ号邮筒信的数目，试求：（1）(,)X Y 的联合分布；（2）X Y 和是否独立；（3）随机变量max(,)U X Y =及min(,)V X Y =的分布律.（1）(,)X Y 的联合分布列为Y 0 1 2X0 1/9 2/9 1/9 1 2/9 2/9 0 2 1/9 0 04分（2）Y 0 1 21 4/9 4/9 1/9X 0 1 21 4/9 4/9 1/9因P(X=0)*P(Y=0)≠P(X=0,Y=0)X Y 与不相互独立. 8分（3）U V 、的分布列分别为U 0 1 2 V 0 1 2 P 1/9 6/9 2/9 P 7/9 2/9 012分（七）（3、4学分）(10分)某糖厂用自动打印机装糖，已知每袋糖的质量（单位：kg ）服从正态分布错误!未找到引用源。
现随机地抽取9袋，并称出它们的质量，计算得样本均值错误!未找到引用源。
，样本标准差S ＝2.5，在下列两种情形下，分别检验错误!未找到引用源。
取显著性水平α＝0.05。
（1）已知错误!未找到引用源。
（2）错误!未找到引用源。
未知。
解：(1)①提出假设00:50H μμ==. 1分②找统计量.()~0,1X u N =. 2分③求临界值.对给定的0.05α=,查表得0.025 1.96u =. 3分 ④求观察值. 2.25u =. 4分 ⑤作出判断.当0.05α=时, 2.25 1.96u =>,所以拒绝0H . 5分 (2)①提出假设00:50H μμ==. 6分②找统计量.()~1X t t n =-. 7分③求临界值.对给定的0.05α=,查表得()0.0258 2.31t =. 8分 ④求观察值.48.5, 2.5, 1.8X S t ===-. 9分 ⑤作出判断.当0.05α=时, 1.8 2.31t =<,所以接受0H . 10分（八）（3、4学分）（12分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈+=)1,0(,0)1,0(,)1(),(x x x x f θθθ 1θ>-为未知参数.已知12,,,n X X X 是取自总体X 的一个样本。
求：(1) 未知参数θ的矩估计量；(2) 未知参数θ的极大似然估计量； (3) )(X E 的极大似然估计量.解：（1） 矩估计量 12ˆ1X X θ-=- [ ˆ1XXθ=- ] 4分 （2） 极大似然估计量 11ˆ11ln ni i X n θ==--∑ [11ˆ1ln ni i X n θ==-∑] 8分（3） )(X E 的极大似然估计量∑=-=++=n i i n X X E 11ln 112ˆ1ˆ)(ˆθθ [ 1ln 11ˆˆ)(ˆ11-=+=∑=ni inXX E θθ ] 12分（九）（3、4学分）（12分）设某种油漆的9个样本,其干燥时间(单位:h)分别为:6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0.设干燥时间总体服从正态分布()2,N μσ,求μ的置信度为95%的置信区间: (1)若由以往知0.6h σ=; (2)若σ未知.解：(1)当方差2σ已知时,μ的置信度为0.95的置信区间为/2/2,X X αα⎛⎫⎪⎝⎭ 2分已知 10.95,0.05,/20.025,9,0.6n ααασ-=====()16.0 5.7 5.069X =+++= 4分查表得/20.025 1.96Z Z α==,将这些值代入上面的区间得()5.608,6.392. 6分 (2)当方差2σ未知时,μ的置信度为0.95的置信区间为()()/2/21,1X n X n αα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 8分已知 10.95,0.05,/20.025,18n ααα-===-=()221116.0 5.7 5.06, ()0.3391ni i X S x x n ==+++==-=-∑ 10分查表得()()/20.02518 2.3060t n t α-==,将这些值代入上面的区间得()5.558,6.442. 12分 分。
