数值分析考试大纲

华中科技大学博士研究生入学考试《数值分析》考试大纲第一部分考试说明一、考试性质数值分析考试科目是为招收我校动力机械及工程专业博士研究生而设置的。

它的评价标准是高等学校动力机械及工程专业或相近专业优秀硕士毕业生能达到的水平,以保证被录取者具有较好的数值分析理论与应用基础。

二、考试形式与试卷结构(一) 答卷方式：闭卷，笔试；(二) 答题时间：180分钟；(三) 各部分内容的考查比例(满分为100分)误差分析约10%插值法, 函数逼近与计算约30%数值积分与数值微分约20%常微分方程数值解法, 方程求根约20%解线性方程组的直接方法, 解线性方程组的迭代法约20%(四) 题型比例概念题约10%证明题约10%计算题约80%第二部分考查要点一、误差分析1.误差来源2.误差的基本概念3.误差分析的若干原则二、插值法1. 拉格朗日插值2. 均差与牛顿插值公式3. 差分及其性质4.分段线性插值公式5.分段三次埃米尔特插值6.三次样条插值三、函数逼近与计算1. 最佳一致逼近多项式2. 切比雪夫多项式3. 最佳平方逼近4. 正交多项式5. 曲线拟合的最小二乘法6. 离散富氏变换及其快速算法四、数值积分与数值微分1. 牛顿-柯特斯求积公式2. 龙贝格求积算法3. 高斯求积公式4. 数值微分五、常微分方程数值解法1. 尤拉方法2. 龙格-库塔方法3. 单步法的收敛性和稳步性4. 线性多步法5. 方程组与高阶方程的情形6. 边值问题的数值解法六、方程求根1. 牛顿法2. 弦截法与抛物线法3. 代数方程求根七、解线性方程组的直接方法1. 高斯消去法2.高斯主元素3.追赶法4.向量和矩阵的范数5.误差分析八、解线性方程组的迭代法1. 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法2. 迭代法的收敛性3. 解线性方程组的松弛迭代法第三部分考试样题（略）。

数值分析考试科目大纲
一、考试性质
数值分析是硕士研究生入学考试科目之一，是硕士研究生招生学校自行命题的选拔性考试。

要求考生理解数值计算的基本概念，基本理论，熟练掌握数值计算的基本方法；要求考生理解同一种问题多种数值计算方法的差异；要求考生具有综合运用所学数值计算方法解决实际问题的能力。

二、考试形式和试卷结构
（一）试卷满分及考试时间
试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

（二）答题方式
答题方式为闭卷，笔试，可携带计算器。

试卷由试题和答题纸组成。

答案必须写在答题纸相应的位置上。

（三）试卷题型结构
1. 填空题：5小题，每小题3分，共15分。

2. 计算题：6-8小题，共112-123分。

3. 简答题：2-4小题，共4-8分。

4. 证明题：1-2题，共8-15分。

三、考试内容
（一）误差分析
1。

第1-3章 习题课 (绪论、插值、逼近)一、基本内容及基本要求 第一章、绪论1. 了解数值分析的研究对象与特点。

2. 了解误差来源与分类,会求有效数字;会简单误差估计。

3. 了解误差的定性分析及避免误差危害 第二章、插值法1. 了解插值的概念。

2. 掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。

3. 了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。

4. 了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。

5. 会埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。

6. 知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。

7. 会三次样条插值,知道其误差和收敛性。

第三章、函数逼近与曲线拟合1. 了解函数逼近的基本概念,了解范数和内积空间。

2. 了解正交多项式的概念,了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质,知道其他常用正交多项式。

3. 理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理,掌握最佳一次一致逼近多项式的求法。

4. 理解最佳平方逼近的概念,掌握最佳平方逼近多项式的求法,了解用正交多项式做最佳平方逼近的方法。

5. 了解曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多项式做最小二乘拟合。

6. 了解最小二乘三角逼近与快速傅里叶变换*。

二、练习.7321.1 ,7320.1 ,732.1 ,73.173********.131各有几位有效数字，问近似值、设 ==A .5,4,4,3 答：.1118 .01118 22准确无初始误差和假定系数、解二次方程=+-x x .6,992.117992.5859348059 1位有效数字有答：=+≈+=x ?008.0992.58592=-=x.1021,992.1171 )992.117(992.1171992.1171992.11711711212-⨯≤+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+==εεηηη x x .102.0 ,008475.0992.1171622-⨯≤+=εε.1021 ,008475.01621212112-⨯≤+≤+++==∴εεεεεεx x .008475.0112，有四位有效数字≈=⇒x x 说明什么？位数字求解，计算结果再用准确解位数字解方程组、用十进制6 )1,1( .127.0330.0457.0,217.0563.0780.0 33-==⎩⎨⎧=+=+y x y x y x.586.0217.0127.0)586.0563.0330.0( ,217.0563.0780.0 (1)⎩⎨⎧⨯-=⨯-=+y y x 解： .00 ,217.0563.0780.0 ⎩⎨⎧==+y y x..585897.0217.0127.0)585897.0563.0330.0( ,217.0563.0780.0 (2)⎩⎨⎧⨯-=⨯-=+y y x .00014.000014.0-=y ,127140.0127.0)329860.0330.0(-=-y 00000.1,00000.1=-=x y ).30()30( )1ln()( *42-++=f f x x x f 和计算，试用六位函数表设反双曲正弦、P19, 5,9..3)()()(*)()(,34)(3p C R V R V R R R R V R V R V R R V =='≈∆-=π %.3.0%33.0≤∆≤∆RRR R ，或只需%.1%,1)(*)()(≤∆-∴RRC R V R V R V V p 只需为的相对误差限要使,)()( 5M x f h x f ≤''在节点上造表，且有以等距假设对、;:)1( 21Mh 性插值误差不超过任意相邻两节点上的线证明.10,sin )()2( 621-⨯≤=差取多大能使线性插值误问设h x x f .102 ),2(5 3-⨯≤h 答：.,2),(21 0.5 1 0 12)( 63.02并估计误差的近似值用以求建立二次插值多项式：：的函数表试由、x p y x x f x -=;2475.1)3.0(2 ;175.025.0)( 23.02 2=≈++=p x x x p or 牛拉答：.03030.0)13.0)(03.0)(13.0()3.0(2 !36660.023.0=--+≤-p6660.0)2(ln 2)(max 311=='''≤≤-x f x保证两位有效数字∴P59, 6,8.7、P59, 4.].2,,2,2[]2,,2,2[,13)( 871061046 f f x x x x f 和求设、+++=.0 )2( ,1 )1( 答：).()12(3);()(2)()(2);()]([1)( 922x T x T x T x T x T x T x T x T T k x T n n n m n m n m mn n m k =-=+=-+）（）（）（明次切比雪夫多项式，证是设、.[-1,1]53)( 102多项式上的线性最佳一致逼近在求、-+=x x x f .293)(21)()( )(21)()(解2*12*1-=-==-x x T x f x p x T x p x f ，：).7([-1,1]arcsin )( 11==n x x f 上的切比雪夫级数在求、[-1,1],,)(2)( 7107∈+=∑=x x T a a x p j j j 解：0,d 1arcsin )(211222奇其中=-=⎰-x xxx T a k k πxxxx T a k k d 1arcsin )(21121212⎰-++-=πθθθθπθππd )sin (sin )2]()12(cos[2 0⎰--+=k .)12(4d 1)sin(2k )12(2 2+=++=⎰k k πθθππ[-1,1].,)(491)(251)(91)(4)( 75317∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=x x T x T x T x T x p πP115,1,4(2),6,8,13,15,17(1),19，按基本方法即可，[-1,1].,4964175288315248105764)( 7537∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=x x x x x x p π一、数值积分与数值微分第4-5章 习题课(数值积分和数值微分,解线性方程组的直接法).d )( :0∑⎰=≈nk k k baf w x x f 求积公式.,1, m次代数精度称该求积公式具有则成立次的多项式等式不准确而对于某一个成立的多项式都准确对于所有次数不超过若一个求积公式+m m.d )( ,d )( )( )( 0称为插值型求积公式，其中，得到求积公式由拉格朗日插值⎰∑⎰∑=≈===bak k nk k k bak nk k n x x l w f w x x f f x l x L [].d )()!1()(d )()(][ :0)1(x x x n f x x L x f f R banj j n b an ⎰∏⎰=+-+=-=ξ余项.d )( 0它是插值型求积公式次代数精度至少具有求积公式⇔≈∑⎰=n f w x x f nk k k ba定理.C ,C )(d )(,],[)(0)(Cotes系数Cotes公式-Newton 称为，称为上的插值型求积公式在等距节点等分，步长做将求积区间n k nk k n k bak f a b x x f kh a x nab h n b a ∑⎰=-≈+=-= .d )()!(!)1(d C0000)(⎰∏⎰∏≠=-≠=---=---=+=n n kj j kn n n kj j n kt j t k n nk t j k j t a b h th a x ，则有作变换 )],()([2d )( ,1n b f a f ab T x x f ba +-=≈=⎰得到梯形公式时当(2.3) )]()2(4)([6d )( , ,2n ，也称为得到抛物线公式时当b f ba f a f ab S x x f b a+++-=≈=⎰n)公式辛普森(Simpso )4.2( .4,)],(7)(32)(12)(32)(7[90,443210ab h kh a x x f x f x f x f x f ab C n k -=+=++++-==其中得到时当公式柯特斯(cotes).,C 8)(公式不稳定出现负值时柯特斯系数表C N n n k -≥ .].,[ ),(12)(][ ],[)(3b a f a b T I f R b a x f T ∈''--=-=''ηη则梯形公式的余项为 上连续,在若 ].,[),(2 180 )]()2(4)([6d )(][ 辛普森 ,],[)()4(4)4(b a f a b a b b f ba f a f ab x x f S I f R b a x f baS ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+++--=-=⎰ηη公式的余项为则上连续在若.)]()(2)([2)]()([2 1101∑∑-=-=+++=+=n i i n i i i n b f x f a f hx f x f h T ).(12)(12)](121[2313ηηηf h a b f h n f h T I n i i n ''--=''-=''-=-∑-=)].()(2)(4)([6101121b f x f x f a f hS n i n i i i n +++=∑∑-=-=+).,( ),(8802)(2180)4(410)4(4b a f h a b f h h S I n i i n ∈--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑-=ηηη)].()([2)1(1b f a f ab T +-=初值.)(221 ),2,1,0( 2)2(1221∑-=++==-=n i i n n i x f h T T i ab h 计算，令 .63/ ,15/C ,3/ )3(222222）（）（）（求加速值n n n n n n n n n n n n C C C R S S S T T T S -+=-+=-+=).2( )4(否则，转满足精度要求；., ,12,)(d )()( ,010 高斯求积公式高斯点求积公式为并称此则称此组节点为次代数精度具有使插值型求积公式若一组节点+≈≤<<<≤∑⎰=n x f w x x f x b x x x a ni i i ban ρ0.d )()()( ,)()()())(()( 110110=---=⇔≤<<<≤⎰++ba n n n n x x P x x x x P n x x x x x x xb x x x a ωρρω即正交带权的多项式不超过与任何次数高斯点是插值型求积公式的节点 定理 .],[ ,d )()()!22()( ][21)22(b a x x x n f f R b a n n n ∈+=⎰++ηρωη[]),(2)()(1)(010ξf h x f x f h x f ''--='[]).(2)()(1)(011ξf hx f x f h x f ''+-='),(3)]()(4)(3[21)(22100ξf h x f x f x f h x f '''+-+-='),(6)]()([21)(2201ξf h x f x f h x f '''-+-=').(3)](3)(4)([21)(22102ξf h x f x f x f h x f '''++-=').(12)]()(2)([1)()4(221021ξf h x f x f x f h x f -+-=''基本内容及基本要求1. 了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。

东华大学研究生《数值分析》实验考试大纲教材：«数值分析及其MA TLAB实验»姜健飞胡良剑唐俭编考试规则领座试卷不同，开卷，解答全部用笔写在考卷上，作图题只需手画草图。

开考前可将准备程序Copy到硬盘, 但是开考后不允许用软盘，也不允许上网。

评分原则满分20。

对一题得6分, 对两题得11分, 对三题得15分. 对四题得18分. 基本正确题酌情给分。

类型1：使用Matlab命令的计算题共3题主要使用如下MA TLAB命令解题：第二章（1）用矩阵除法解线性方程组；（2）行列式det、逆inv；（3）特征值、特征向量eig；（4）范数和条件数；第三章（1）用roots求多项式的根；（2）用fzero解非线性方程；（3）用fsolve解非线性方程组；第四章（1）多项式插值和拟合polyfit(2) 线性插值interp1(3) 样条插值spline, csape（4）最小二乘拟合lsqcurvefit第五章（1）用diff或gradiet求导数（2）用trapz、quad或quadl求积分；（3）用dblquad或triplequad求重积分；第六章（1）用ode45求解微分方程；（2）用ode45求解微分方程组；（3）用ode45求解高阶微分方程；类型2：使用课本程序的计算题共1题（不必将课本程序部分写在考卷上）第二章nagauss nagauss2 nalu nalupad第三章nabisect nanewton nags naspgs nasor第四章nalagr naspline nafit naorthfit第五章natrapz nagsint naromberg naadapt dblquad2第六章naeuler naeulerb naeuler2 nark4 nark4v naeuler2s类型3：编程题共1题(必须将程序写在考卷上）要求使用MA TLAB控制流语句编程，主要涉及for, while, if等语句以及关系与逻辑运算，M 函数编写。

研究生数值分析考试提纲
注：*为须记的计算公式; 笔试要带计算器！
第一章
1 舍入误差和截断误差的概念和估计方法；
2 误差限，相对误差限，准确位数，有效数字。

第二章
1 Gauss消去法和选列主元的Gauss消去法；
2 三对角方程组的追赶法；
3 LU分解法；
4 平方根法和改进的平方根法；
5 范数和条件数；
6 数据扰动分析。

第三章
1 二分法；
2 迭代法及其收敛性条件，收敛阶；
3 Newton迭代法*；
4 迭代加速法；(删)
5 解方程组的Jacobi法和G-S法；
6 解方程组迭代法的收敛性条件。

第四章
1 低阶Lagrange插值公式*及余项公式(推导和计算)；
2 Hermite插值公式及余项公式(推导)；
3 Newton插值法(删)；
4 分段线性插值和分段Hermite插值：余项及步长选取；
5 三阶样条插值的概念和求法；
6 最小二乘拟合的基本原理和法方程组；
7 正交最小二乘拟合。

(删)
第五章
1 用插值推导求积公式；
2 用代数精度推导求积公式；；
3 数值积分余项公式推导；
4 复化梯形法*和复化Simpson法*：计算、余项及步长选取；
5 用插值推导数值微分公式及余项。

第六章
1 Euler法*、隐式Euler法*和改进Euler法*计算；
2 分别用数值微分法和数值积分法推导差分格式；
3 预报-校正格式的构造；
4 局部截断误差和二阶R-K法的构造；
5 差分格式收敛性定理和稳定区域分析；(删)
6 微分方程组的差分法和高阶微分方程的处理。

《数值分析》考试大纲科目代码：基本内容与要求：1.数值分析的研究对象和内容2.误差知识与算法知识3.向量范数和矩阵范数一、线性方程组的解法1.消元法，包括：顺序消元法、选列主元消元法；2.矩阵三角分解法. 包括：直接三角分解法、选主元的分解、稀疏方程组的解法；3.病态方程组。

包括：矩阵条件数与方程组的性态、病态线性方程组的处理；4.迭代解法。

包括：简单迭代法及其收敛性、迭代法、－迭代法、迭代法。

二、矩阵特征值与特征向量的计算1.幂法和反幂法2.矩阵的分解三、非线性方程与方程组的迭代解法1.非线性方程的迭代法。

包括：简单迭代法的收敛性及收敛速度、迭代法2.非线性方程组的迭代法。

包括：简单迭代法及收敛性、迭代法和离散迭代法四、插值与逼近1.代数插值。

包括：一元函数的插值和插值、插值余项、分段低次插值2.插值。

包括：插值多项式的构造、余项估计和分段三次插值。

3.样条插值。

包括：样条插值的概念、三次样条插值的三弯矩方法4.正交多项式。

包括：正交多项式的定义、性质5.函数的最佳平方逼近及最小二乘拟合。

包括：最佳平方逼进的基本理论、正交多项式系在最佳平方逼近中的应用、曲线拟合、离散型正交函数系在最小二乘拟合中的应用6.曲面插值和拟合五、数值积分1.数值积分的基本概念2.插值型求积公式3.求积公式的收敛性及数值稳定性4.复化求积公式5.型求积公式六、常微分方程初值问题的数值解法1.显式单步法。

包括：显式单步法的一般形式、－法及其相容性、收敛性和稳定性分析。

2.线性多步法。

包括：线性多步法的一般形式、预估－校正法、相容性、收敛性和稳定性分析。

3.常微分方程初值问题的数值解法。

包括：算法的计算公式、稳定性分析。

4.。

博士研究生入学《矩阵分析》考试大纲第一章线性空间和线性映射1.1线性空间；1.2基变换与坐标变换；1.3线性子空间（概念，子空间的交，和，子空间的直和，补子空间）；1.4线性映射（概念，线性映射的矩阵表示）；1.5线性映射的值域，核；1.6线性变换的不变子空间；1.7特征值与特征向量；1.8 矩阵的相似对角形；第二章λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形2.1λ-矩阵及标准形；2.2初等因子与相似条件；2.3矩阵的Jordan标准形；第三章内积空间，正规矩阵，Hermite矩阵3.1欧式空间，酉空间；3.2标准正交基，Schmidt方法；3.3酉变换和正交变换；3.4幂等矩阵，正交投影；3.5正规矩阵，Schur引理；3.6Hermite矩阵, Hermitee二次齐式；3.7正定二次齐式，正定Hermite矩阵；3.8Hermite矩阵偶在复相合下的标准形；3.9 Rayleigh商；第四章矩阵分解4.1矩阵的满秩分解；4.2矩阵的正交三角分解（UR，QR分解）；4.3矩阵的奇异值分解；4.4矩阵的极分解；4.5矩阵的谱分解；第五章向量与矩阵范数5.1向量范数；5.2矩阵范数；5.3诱导范数；5.4矩阵序列与极限；5.5矩阵幂级数；第六章矩阵函数6.1矩阵多项式，最小多项式；6.2矩阵函数及计算；6.3矩阵函数的幂级数表示；6.4矩阵指数函数与矩阵三角函数；第七章函数矩阵与矩阵微分方程7.1函数矩阵；7.2函数矩阵对纯量的导数与积分；7.3函数向量的线性相关性；7.4矩阵微分方程()()() dX tA t X tdt=；7.5线性向量微分方程()()()() dX tA t X t f tdt=+；第八章矩阵的广义逆8.1广义逆矩阵；8.2自反广义逆；8.3伪逆矩阵；8.4广义逆与线性方程组参考书目：1 《矩阵分析》，史容昌，北京理工大学出版社2 《矩阵分析引论》，陈祖明，北京航空航天大学出版社。

湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲考试科目代码：[ ] 考试科目名称：数值分析一、试卷结构1) 试卷成绩及考试时间本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。

2)答题方式：闭卷、笔试3)试卷内容结构数值分析100%4)题型结构a: 计算题，约40分b: 证明题，约30分c: 综合题，约30分二、考试内容与考试要求1、绪论考试内容绝对误差绝对误差限相对误差相对误差限有效数字误差传播算法稳定性减少误差传播的途径。

考试要求（1）了解科学研究的三种主要方法：实验，理论，科学计算；（2）了解三大误差；（3）理解算法存在数值稳定性问题；（4）了解几种误差，误差运算法则，数值计算的若干原则。

2、插值逼近考试内容Lagrange插值 Newton插值误差估计差分差分表均差表 Hermite插值样条函数插值分段低次多项式插值。

考试要求（1）掌握拉格朗日插值多项式的构造方法、唯一性、余项及唯一性和余项表达式的证明；（2）理解差商的概念，掌握牛顿插值多项式、余项及余项表达式的证明；（3）了解差分概念及等距节点插值多项式的有关知识；（4）掌握埃尔米特插值多项式的构造方法、余项及余项表达式的证明；（5）了解插值多项式之间的改进关系从而掌握该思想方法。

3、最佳逼近考试内容离散最小二乘逼近最佳平方逼近正规方程组正交多项式最佳平方逼近最佳一致逼近基本原理。

考试要求（1）掌握离散最小二乘逼近、最佳平方逼近的基本原理，正规方程组的形成以及求解；（2）掌握正交多项式的基本性质及与最佳平方逼近的关系；（3）掌握几类基本的正交多项式及正交化手续；（4）了解最佳一致逼近的基本原理及某些简单的最佳一致逼近问题；4、数值微积分考试内容数值求积代数精度插值型求积公式 Newton-Cotes求积公式复化求积公式 Romberg算法 Gauss求积公式复化梯形公式复化Simpson公式截断误差误差公式两点数值微分公式三点数值微分公式误差阶插值型求导公式。

博士研究生入学考试《数值分析（机电院）》考试大纲第一部分考试形式和试卷结构一、考试方式：考试采用闭卷笔试方式，试卷满分为100分。

二、考试时间：180分钟。

三、试卷内容结构：约占 60%，主观题约占 40%。

四、试卷题型结构：试卷由三部分组成：选择/判断、填空、分析/计算。

其中：1、选择/判断题，约占20%。

测试考生对本课程基本概念、基本知识和数值计算常用算法设计与分析方法的掌握程度。

2、填空题，约占40%。

测试考生运用数值计算相关基础知识和基本方法，开展计算、简要分析以及求解实际问题的能力。

3、分析、计算题，约占40%。

测试考生综合运用数值计算理论、典型方法解决综合问题，并开展相关计算方法收敛性以及误差分析等能力。

第二部分考察的知识及范围1.误差度量与数值算法设计误差基本概念：误差来源与分类，截断误差、舍入误差、绝对误差、相对误差，有效数字以及数值稳定性。

函数计算误差分析：一元函数误差估计，四则运算误差估计。

数值算法设计原则：简化计算步骤以节省计算量（秦九韶算法）、减少有效数字损失，选择数值稳定的算法。

2.函数的插值方法以及误差估计插值问题的基本概念：插值问题的描述，插值多项式的存在和唯一性，差商、差分的概念以及性质。

拉格朗日插值：线性插值与抛物插值，n次拉格朗日插值，插值余项公式。

牛顿插值：均差的概念与性质，牛顿插值公式及其余项，差分的概念与性质。

埃尔米特插值：两点三次埃尔米特插值及其余项，n点埃尔米特插值，非标准埃尔米特插值及其余项。

分段低次插值：分段线性插值，分段三次埃尔米特插值。

三次样条插值：三次样条函数建立，三次样条插值方法。

3.函数逼近与曲线拟合正交多项式：函数内积、欧几里德范数，正交函数序列，正交多项式，勒德让多项式，切比雪夫多项式。

最佳平方逼近：最佳平方逼近问题及解法，基于正交函数、勒德让多项式、切比雪夫多项式的最佳平方逼近。

最小二乘法：最小二乘曲线拟合问题的提出和解法，最小二乘计算，最小二乘法的应用（算术平均、超定方程组）。