湖北省武汉市武昌区2012届高三三月调考试题数学

2023～2024学年度武汉市部分学校高三年级九月调研考试数学试卷武汉市教育科学研究院命制2023.9.5本试题卷共5页，22题，全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={xlx²-2x-8<0},B={-2,-1,0,1,2}, 则ANB=A.{-2,-1,0,1,2B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1D.{-2,-1,0,1}2.复数,则z-i=A B C. 口3.两个单位向量e₁与e₂满足e₁·e₂=0, 则向量e₁-√3e₂与e₂的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°数学试卷第1页(共5页)4.要得到函数的图象，可以将函数的图象A.向左平移 个单位B. 向 左 平 个单位C. 向 右 平 个单位D.向右平移个单位5.某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个 圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示(图中数据单位为cm), 则该 玻璃杯近似模型的体积(单位：cm³)为图1 图2B6.某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知 在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N(mg/L)与时间t(h) 的关系为N=N ₀e-“, 其 中N ₀ 为初始污染物的数量，k 为常数.若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染 物的30%,则可计算前6小时共能过滤掉污染物的A.49%B.51%C.65.7%D.72.9% 7.过双曲线)的左焦点F 作圆x²+y²=a²的一条切线，设切点为T,该切线与双曲线E 在第一象限交于点A,若FA=3 FT,则双曲线E 的离心率为A.√3B.√58.已知A,B,C,D 是半径为√5的球体表面上的四点，AB=2,∠ACB=90°,∠ADB=30°,则 平面CAB 与平面 DAB 的夹角的余弦值为B.C.数学试卷第2页(共5页)A口口口二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2011-2012学年湖北省武汉市部分学校高三（上）调考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合M ={x|x −2>0}，N ={x|(x −3)(x −1)<0}，则M ∩N =( ) A {x|2<x <3} B {x|x <1} C {x|x >3} D {x|1<x <2}2. 设直线ax +by +c =0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0，则a ，b 满足( ) A a +b =1 B a −b =1 C a +b =0 D a −b =03. 已知{a n }为等差数列，a 3=7，a 1+a 7=10，S n 为其前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 等于( )A 4B 5C 6D 74.已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ） A √23B √33C2√23 D 2√335. 图是函数y ＝Asin(ωx +φ)(x ∈R)在区间[−π6,5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sinx(x ∈R)的图象上所有的点（ ）A 向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B 向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C 向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 D 向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变6. （上海卷理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人将（ ）A 不能作出这样的三角形B 作出一个锐角三角形C 作出一个直角三角形D 作出一个钝角三角形7. 已知函数f(x)=(x −a)(x −b)（其中a >b ）的图象如图所示，则函数g(x)=a x +b 的图象是（ ）A B C D8. 如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A 25B 710C 45D 9109. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →=a →，BD →=b →，则AF →等于( ) A 14a →+12b →B 23a →+13b →C 12a →+14b →D 13a →+23b →10. 设函数f(x)的零点为x 1，函数g(x)=4x +2x −2的零点为x 2，若|x 1−x 2|>14，则f(x)可以是（ ）A f(x)=2x −12B f(x)=−x 2+x −14C f(x)=1−10xD f(x)=ln(8x −2)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写．填错位置，书写不清，模凌两可均不得分．11.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cosα=________．12. 已知向量a →，b →，c →满足a →−b →+2c →=0→，且a →⊥c →，|a →|=2，|c →|=1，则|b →|=________． 13. 如图给出的是计算12+14+16+⋯+120的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是________．14. 设不等式组{x ≥0y ≥0y ≤−kx +4k在直角坐标系中所表示的区域的面积为S ，则当k >1时，ks k−1的最小值为________．15. 在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：注：油耗=加满油后已用油量加满油后已行驶距离，可继续行驶距离=汽车剩余油量当前油耗，平均油耗=指定时间内的用油量指定时间内的行驶距离．从上述信息可以推断在10:00−11:00这1小时内________ （填上所有正确判断的序号）． ①向前行驶的里程为80公里； ②向前行驶的里程不足80公里； ③平均油耗超过9.6升/100公里； ④平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤平均车速超过80公里/小时．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知c =2a ，C =π4． （1）求sinA 的值； （2）求cos(2A −π3)的值．17. 某网站就观众对2010年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如下表：（1）现用分层抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为n 的样本，已知从不喜欢小品的观众中抽取的人数为5人，则n 的值为多少？（2）在（1）的条件下，若抽取到的5名不喜欢小品的观众中有2名为女性，现将抽取到的5名不喜欢小品的观众看成一个总体，从中任选两名观众，求至少有一名为女性观众的概率．18. 已知四棱锥P −ABCD 的底面是菱形，PB =PD ，E 为PA 的中点．(1)求证：PC // 平面BDE ；(2)求证：平面PAC ⊥平面BDE ．19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =32a n −1(n ∈N ∗)．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）在数列{b n }中，b 1=5，b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式． 20. 在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线：x −√3y =4相切 （1）求圆O 的方程（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA →⋅PB →的取值范围．21. 已知函数f(x)=ax 2+bx +1（a ，b 为实数），x ∈R ，F(x)={f(x)(x >0)，−f(x)(x <0)，(1)若f(−1)=0，且函数f(x)的值域为[0, +∞)，求F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[−2, 2]时，g(x)=f(x)−kx 是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设m >0，n <0，m +n >0，a >0且f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)能否大于零？2011-2012学年湖北省武汉市部分学校高三（上）调考数学试卷答案1. A2. D3. C4. B5. A6. D7. A 8. C 9. B 10. C 11. −35 12. 2√2 13. i >10 14. 32 15. ②③16. 解：（1）因为c =2a ，C =π4，由正弦定理asinA=c sinC得：sinA =√24． （2）因为sinA =√24，c =2a 可知a <c ，A <π4．则cosA =√1−sin 2A =√144.sin2A =2sinAcosA =√74，cos2A =2cos 2A −1=34．则cos(2A −π3)=cos2Acos π3+sin2Asin π3=3+√218．17. 解：（1）采有分层抽样的方法，样本容量与总体容量的比为：n:1000 则不喜爱小品观众应抽取n1000×200=5人∴ n =25．（2）由题意得，女性观众抽取2人，男性观众抽取3人， 设女性观众为a 1，a 2，男性观众为b 1，b 2，b 3则从5位不喜爱小品的观众中抽取两名观众有10种可能：(a 1, a 2)，(a 1, b 1)，(a 1, b 2)，(a 1, b 3)，(a 2, b 1)，(a 2, b 2)，(a 2, b 3)， (b 1, b 2)，(b 1, b 3)，(b 2, b 3)，其中抽取两名观众中至少有一名为女性观众有7种可能：(a 1, a 2)，(a 1, b 1)，(a 1, b 2)，(a 1, b 3)，(a 2, b 1)，(a 2, b 2)，(a 2, b 3)，∴ 从5位不喜爱小品的观众中抽取两名观众，至少有一名为女性观众的概率为710 18. 证明：(1)如图，设O 为AC 、BD 的交点，连接EO ， ∵ E ，O 分别为PA ，AC 的中点， ∴ EO // PC ．∵ EO⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，∴ PC // 平面BDE．(2)如图，连接OP∵ PB=PD，O为BD的中点∴ OP⊥BD．又∵ 在菱形ABCD中，BD⊥AC且OP∩AC=O∴ BD⊥平面PAC∵ BD⊂平面BDE∴ 平面PAC⊥平面BDE．19. 解：（1）当n=1时，a1=32a1−1，∴ a1=2．当n≥2时，∵ S n=32a n−1①S n−1=32a n−1−1(n≥2)②①-②得：a n=(32a n−1)−(32a n−1−1)，即a n=3a n−1，∴ 数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列．∴ a n=2×3n−1．（2）∵ b n+1=b n+a n，∴ 当n≥2时，b n=b n−1+2⋅3n−2，b3=b2+2×3，b2=b1+2×30，相加得b n=b1+2×(3n−2+...+3+30)=5+1−3n−11−3=3n−1+4．（相加，求和，结果1分）当n=1时，31−1+4=5=b1，∴ b n=3n−1+4．20. 解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x−√3y=4的距离，即r=√1+3=2．得圆O的方程为x2+y2=4．（2）不妨设A(x1, 0)，B(x2, 0)，x1<x2．由x2=4即得A(−2, 0)，B(2, 0)．设P(x, y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得√(x+2)2+y2⋅√(x−2)2+y2=x2+y2，即x 2−y 2=2.PA →⋅PB →=(−2−x,−y)⋅(2−x,−y)=x 2−4+y 2=2(y 2−1)． 由于点P 在圆O 内，故{x 2+y 2<4x 2−y 2=2.由此得y 2<1．所以PA →⋅PB →的取值范围为[−2, 0)． 21. 解：(1)∵ f(−1)=0， ∴ a −b +1=0①.又函数f(x)的值域为[0, +∞)， 所以a ≠0， 且由y =a(x +b 2a)2+4a−b 24a知，4a−b 24a=0，即4a −b 2=0②，由①②得a =1，b =2，∴ f(x)=x 2+2x +1=(x +1)2，∴ F(x)={(x +1)2(x >0)，−(x +1)2(x <0).(2)由(1)有g(x)=f(x)−kx =x 2+2x +1−kx =x 2+(2−k)x +1 =(x +2−k 2)2+1−(2−k)24，当k−22≥2或k−22≤−2时，即k ≥6或k ≤−2时，g(x)是具有单调性．(3)∵ f(x)是偶函数， ∴ f(x)=ax 2+1，∴ F(x)={ax 2+1(x >0)，−ax 2−1(x <0).∵ m >0，n <0，则m >n ，则n <0， 又m +n >0，m >−n >0， ∴ |m|>|n|，∴ F(m)+F(n)=f(m)−f(n) =(am 2+1)−an 2−1 =a(m 2−n 2)>0，∴ F(m)+F(n)能大于零．。

2011年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数y =√−x 2−3x+4x的定义域为（ ）A [−4, 1]B [−4, 0)C (0, 1]D [−4, 0)∪(0, 1]2. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，若4a 1，2a 2，a 3成等差数列．则S 4=( ) A 7 B 8 C 16 D 153. 已知集合A ={y|y =log 2x, x >1}，B ={y|y =(12)x , x >1}，则A ∪B 等于（ ） A {y|0<y <12} B {y|y >0} C ⌀ D R4. 将函数y =sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）A y =2cos 2xB y =2sin 2xC y =1+sin(2x +π4) D y =cos2x5. 设非零向量a →，b →满足|a →|=|b →|=|a →+b →|，则a →与a →−b →的夹角为（ ） A 30∘ B 60∘ C 120∘ D 150∘6. 设x ，y 满足{2x +y ≥4x −y ≥−1x −2y ≤2，则z ＝x +y( )A 有最小值2，最大值3B 有最小值2，无最大值C 有最大值3，无最小值D 既无最小值，也无最大值7. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件8. (√x +√x 3)12的展开式中有理项共有（ ） A 1项 B 2项 C 3项 D 4项9. 直线y =k(x −2)交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为3，则弦AB 的长为（ ）A 6B 10C 2√15D 1610. 如图，已知点P 是圆上C:x 2+(y −2√2)2=1的一个动点，点Q 是直线l:x −y =0上的一个动点，O 为坐标原点，则向量OP →在向量OQ →上的投影的最大值是（ ） A 3 B 2+√22C 3√2D 1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上，一题两空的题，其答案按先后次序填写．11. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y 万元与营运年数x(x ∈N)的关系为y =−x 2+12x −25，则每辆客车营运________年可使营运年利润最大，最大值为________万元．12. 已知样本2，3，4，x ，y 的平均数是2，方差是3，则xy =________．13. 如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，∠ABC ＝90∘，BA ＝BC ，球心O 到平面ABC 的距离是3√22，则B 、C 两点的球面距离是________．14. 有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有________种． 15. 已知定义域为(0, +∞)的函数f(x)满足：(1)对任意x ∈(0, +∞)，恒有f(3x)=3f(x)成立；(2)当x ∈(1, 3]时，f(x)=3−x ．给出如下结论： ①对任意m ∈Z ，有f(3m )=0； ②函数f(x)的值域为[0, +∞)；③存在n ∈Z ，使得f(3n +1)=9． 其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a 2+c 2−a 2=bc ． （1）求∠A 的大小；（2）求y =2cos 2B +sin(2B −π6)的最大值．17. 袋中装有形状大小完全相同的2个白球和3个黑球．（1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（2）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求至少摸出1个白球的概率．18. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA =√2AB ，点M 在侧棱PC 上，且CM =2MP ． （1）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值； （2）求二面角A −PC −D 的余弦值．19. 已知点P(x, y)与点A(−√2，0)，B(√2,0)连线的斜率之积为1，点C 的坐标为(1, 0)． （1）求点P 的轨迹方程；（2）过点Q(2, 0)的直线与点P 的轨迹交于E 、F 两点，求证CE →⋅CF →为常数．20. 已知各项均为正实数的数列{a n }的前n 项和为S n ，4S n =a n 2+2a n −3对于一切n ∈N ∗成立．（1）求a1；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=√2a n−1，T n为数列{a nb n}的前n项和，求证T n<5．21. 设函数f(x)=2x3−3(a+3)x2+18ax−8a，x∈R．(I)当a=−1时，求函数f(x)的极值；(II)若函数f(x)在区间[1, 2]上为减函数，求实数a的取值范围；(III)当方程f(x)=0有三个不等的正实数解时，求实数a的取值范围．2011年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷（文科）答案1. D2. D3. B4. A5. A6. B7. B8. C9. B10. A11. 5,212. −5213. π14. 7215. ①②16. 解：（1）∵ b2+c2−a2=bc，∴ cosA=b2+c2−a22bc =12，又A为三角形的内角，∴ A=π3；（2）y=2cos2B+sin(2B−π6)=(1+cos2B)+sin2Bcos π6−cos2Bsinπ6=√32sin2B+12cos2B+1=sin(2B+π6)+1，当2B+π6=π2，即B=π6时，sin(2B+π6)取得最大值1，此时y取得最大值2．17. 两球颜色不同的概率是1225，（2）第一次摸球时，袋中有2个白球和3个黑球，摸出黑球的概率为35，第二次摸球时，袋中有2个白球和2个黑球，摸出黑球的概率为24，摸出的两球均为黑球的概率为35×24=310，所以至少摸出1个白球的概率为1−310=710，答：至少摸出1个白球的概率710．18. 解：设PA=√2AB=√2．（1）过M作MN⊥AC于N，则MN // PA．∵ 侧棱PA⊥底面ABCD∴ MN⊥底面ABCD．则∠MAN为直线AM与平面ABCD所成的角．…∵ CM=2MP，CN=2NA．∴ AC=√2∴ AN=√23．又MNPA =23，∴ MN=2√23．在Rt△AMN中，得tan∠MAN=MNAN=2．所以，直线AM与平面ABCD所成的角正切值为2．…（2）过A作AE⊥PD于E．∵ 侧棱PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD∴ PA⊥CD．∵ CD⊥AD，PA∩AD=A∴ CD⊥面PAD．∵ AE⊂面PAD∴ CD⊥AE∵ PD∩CD=D∴ AE⊥面PCD．过A作AF⊥PC于F，连接EF．则∠AFE为二面角A−PC−D的平面角．…∵ AE=√2√3，AF=1．∴ 在Rt △AEF 中，得sin∠AFE =AE AF=√63． ∴ cos∠AFE =√33所以，所求二面角的余弦值为√33．… 19. （本题满分12分）解：（1）直线PA 和PB 的斜率分别为x+√2与x−√2，(x ≠±√2)，…∵ 点P(x, y)与点A(−√2，0)，B(√2,0)连线的斜率之积为1， ∴ x+√2x−√2=1，即y 2=x 2−2，…所求点P 的轨迹方程为x 2−y 2=2，(x ≠±√2)．… （2）设E(x 1, y 1)，F(x 2, y 2)，设过点Q(2, 0)的直线为y =k(x −2)，… 将它代入x 2−y 2=2，得(k 2−1)x 2−4k 2x +4k 2+2=0．… 由韦达定理，得{x 1+x 2=4k 2k 2−1x 1x 2=4k 2+2k 2−1，… ∴ CE →⋅CF →=(x 1−1,y 1)⋅(x 2−1,y 2)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2=x 1x 2−(x 1+x 2)+1+k 2(x 1−2)⋅(x 2−2) =(1+k 2)x 1x 2−(1+2k 2)(x 1+x 2)+1+4k 2 =(1+k 2)⋅4k 2+2k 2−1−(1+2k 2)⋅4k 2k 2−1+1+4k 2=−1． …当直线斜率不存在时，{x 2−y 2=2x =2，解得E(2, √2)，F(2, −√2)，此时CE →⋅CF →=(1,√2)⋅(1,−√2)=−1． … 故CE →⋅CF →=−1． 所以CE →⋅CF →为常数−1．…20. 解：（1）当n =1时，4S 1=4a 1=a 12+2a 1−3，，得a 12−4a 1−3=0， a 1=3或a 1=−1，由条件a n >0，所以a 1=3． …（2）当n ≥2时，4S n =a n 2+2a n −3，4s n−1=a n−12+2a n−1−3；则4S n −4S n−1=a n 2+2a n −3−a n−12−2a n−1+3，所以4a n =a n 2+2a n −a n−12−2a n−1，a n 2−2a n −a n−12−2a n−1=0， (a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0，…由条件a n+a n−1>0，所以a n−a n−1=2，…故正数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，所以a n=2n+1．…（3）由（1）b n=√2a n−1=√22n+1−1=2n，a nb n =2n+12n，…∴ T n=32+522+...+2n−12n−1+2n+12n，①…将上式两边同乘以12，得1 2T n=322+523+...+2n−12n+2n+12n+1②…①-②，得1 2T n=32+222+223+...+22n−2n+12n+1=52−2n+52n+1，即T n=5−2n+52n．…∵ n∈N∗，∴ 2n+52n>0∴ T n<5．…21. 解：由题得：f′(x)=6x2−6(a+3)x+18a=6(x−3)(x−a)．(I)当a=−1时，f′(x)=6(x−3)(x+1)．…令f′(x)>0，得x<−1或x>3．所以f(x)在(−∞, −1)或(3, +∞)上单调递增，在(−1, 3)上单调递减．当x=−1时，f(x)的最大值为f(−1)=18．当x=3时，f(x)的最小值为f(3)=−46．…(II)依题意：f′(x)=6(x−3)(x−a)≤0在x∈[1, 2]恒成立．…因x∈[1, 2]，(3−x)>0，故a≤3x−x 23−x=x在x∈[1, 2]恒成立，所以a≤x min=1．…(III)显然，x=3，x=a是极值点．依题意，当方程f(x)=0有三个不等的正实数解时，有：{a>0f(a)f(3)<0即{a>0(19a−27)(−a)(a−1)(a−8)<0…所以：1<a<2719或a>8为所求．…。

武昌区2012届高三年级五月调研考试文 科 数 学 试 卷本试卷共4页，共22题。

满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利注意事项：1．本卷1-10题为选择题，共50分；11-22题为非选择题，共100分，全卷共4页，考试结束，监考人员将试题卷和答题卷一并收回．2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置．3．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效．4．非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内．答在指定区域外无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1.已知i 是虚数单位，复数ii i z -+++-=12221，则=z A.1 B. 2 C.5 D. 222.已知,a b 为实数，“100=ab ”是“2lg lg =+b a ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．已知程序框图如右，则输出的i 为 A ．7 B ．8 C ．9 D ．104.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是等腰梯形，那么该几何体的体积是 A.12 B.28 C.36 D.845.已知O 为坐标原点，点M 的坐标是()3,2，点()y x P ,在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+≥+62,62,3y x y x y x 所确定的区域内(包括边界)运动，则OP OM ⋅的取 值范围是A.[]10,4B.[]9,6C.[]10,6D.[]10,9正视图 侧视图俯视图6.设函数()x x x f cos sin +=，函数()()()x f x f x h /=，下列说法正确的是A.()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图象关于直线4π=x 对称 B.()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图象关于直线2π=x 对称C.()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图象关于直线4π=x 对称D.()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图象关于直线2π=x 对称7.已知E 、F 分别是正方体1111D C B A ABCD -的棱BB 1、AD 的中点， 则直线EF 和直线AB 所成角的正弦值是 A.32 B.33 C.31 D.368．如果方程122=+-q y p x 表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是A. 1222=++q y p q xB. 1222-=++p y p q xC. 1222=++q y q p xD. 1222-=++py q p x9.如图，已知直角三角形ABC ∆的三边AC BA CB ,,的长度成等差数列，点E 为直角边AB 的中点，点D 在斜边AC 上，且λ=.若BD CE ⊥，则=λ A.177 B. 178 C. 179 D. 1710 10.已知点P 在半径为1的半圆周上沿着A →P →B 路径运动，设AP ⌒ 的长度为x ，弓形面积为()x f （如 图所示的阴影部分），则关于函数()x f y =有如下结论：①函数()x f y =的解析式为()()x x f cos 141-=π； ②函数()x f y =的解析式为()()x x x f sin 21-=；③函数()x f y =的定义域和值域都是[]π,0； ④函数()x f y =在区间[]π,0上是单调递增函数.ABC D AB CDFECAB ED文科数学试卷 第 3 页 （共 4 页）以上结论正确的个数是A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结 果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为 h.12.等比数列{}n a 中，142,16a a ==.若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第4项和第16项，则数列{}n b 的前n 项和n S = .13.圆422=+y x 上的点到直线01234:=-+y x l 的距离的最小值是 .14.已知集合{}R ∈≤-=x x x A ,132，集合{}R ∈≤-=x x ax x B ,022，若 A （∁B U ）φ=，则实数a 的取值范围是 .15.如果复数θθsin cos i z +=，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ，记()*∈N n n 个z 的积为n z ，通过验证 ,4,3,2===n n n 的结果nz ，推测=nz .（结果用i n ,,θ表示）16．如果一个三角形的三边长度是三个连续的自然数，且最大角是最小角的两倍，该三角形的周长 是 ．17.已知,,R ∈a x 1>a ，直线x y =与函数()x x f a log =有且仅有一个公共点，则=a ；公共 点的坐标是 .三、解答题：本大题共5小题，共65分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18.（本题满分12分）武汉地区春天的温度变化曲线近似地满足函数()b x A y ++=ϕωsin （如图所示，单位:摄氏温度,πϕω<<>>0,0,0A ）.（Ⅰ）写出这段曲线的函数解析式；（Ⅱ）求出一天（[]24,0∈x ，单位小时）温度变化在[]25,20 的时间.19.（本题满分12分）h某科研所研究人员都具有本科和研究生两类学历，年龄段和学历如下表，从该科研所任选一名研究人 员，是本科生概率是32，是35岁以下的研究生概率是61. （Ⅰ）求出表格中的x 和y 的值；（Ⅱ）设“从科研所任选本科和研究生学历的研究员各一名，其中50岁以上本科生和35岁以下的研究 生不全选中” 的事件为A ，求事件A 的概率()A P .20. （本小题满分13分）已知平面⊥PAD 平面ABCD ,,2==PD PA 矩形ABCD 的边长2==DC AB ，22==BC AD . （Ⅰ）证明：直线//AD 平面PBC ；（Ⅱ）求直线PC 和底面ABCD 所成角的大小.21. （本题满分14分）已知函数()()R ∈-+=b a x bx ax x f ,323在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ． （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）若对于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有c x f x f ≤-|)()(|21，求实数c 的最小值； （Ⅲ）若过点)2)(,2(≠m m M 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围．22.（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为21，点(2,3)M ，(2,3)N -为C 上两点，斜率为1的直线与椭圆C 交于点A ，B （A ，B 在直线MN 的两侧）两点．（I ）求四边形MANB 面积的最大值；（II ）设直线AM ，BM 的斜率分别为21,k k ，试判断21k k +若是，求出这个定值；若不是，说明理由．武昌区2012届高三5月供题训练ABCDP文科数学试卷 第 5 页 （共 4 页）文科数学参考答案及评分细则一、选择题：1. C.2.B. 3．C. 4．B. 5. C. 6. D. 7. B. 8. D. 9．B 10.B.二、填空题：． 11．6.4 12. n n +2. 13.52. 14. (]1,∞- 15.θθn i n z nsin cos +=. 16．15. 17. ee a 1=，()e e ,.三、解答题：18.（本题满分12分）解：（Ⅰ）由条件可知⎩⎨⎧=-=+.10,30b A b A 解得⎩⎨⎧==.20,10b A 因为614221-=⨯ωπ，所以8πω=. 所以208sin 10+⎪⎭⎫⎝⎛+=ϕπx y . 将点()10,6代入上式，得43πϕ=. 从而解析式是20438sin 10+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππx y .………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），令2520438sin 1020≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤ππx ，得21438sin 0≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤ππx .所以624382πππππ+≤+≤k x k ，………………………………① 或ππππππ+≤+≤+k x k 2438652………………………………② 由①，得34616616+-≤≤-k x k .取1=k ，得311110+≤≤x .由②，得2163216+≤≤+k x k .取0=k ，得232≤≤x ；取1=k ，得183216≤≤+x . 即一天温度的变化在[]25,20时的时间是00:2~40:0，20:11~00:10，00:18~40:16三个时间段，共4小时..……………………………………………………………………………………（12分）19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）从科研所任选一名研究人员，是本科生概率是32，是35岁以下的研究生概率是61. 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++++.618,32833y x y y x x 解得2,2==y x . 因此该科研所的研究人员共有12名，其中50岁以上的具有本科学历的2名，35岁以下具有研究生学历的2名. ……………………（4分）（Ⅱ）设具有本科学历的研究人员分别标记为87654321,,,,,,,B B B B B B B B ，其中87,B B 是50岁以上本科生，研究生分别标记为4321,,,Y Y Y Y ,35岁以下的研究生分别标记为21,Y Y ，事件A 的基本事件是共有32种：()11,Y B ，()12,Y B ，()13,Y B ，()14,Y B ，()15,Y B ，()16,Y B ，()17,Y B ，()18,Y B ，()21,Y B ，()22,Y B ，()23,Y B ，()24,Y B ，()25,Y B ，()26,Y B ，()27,Y B ，()28,Y B ，()31,Y B ，()32,Y B ，()33,Y B ，()34,Y B ，()35,Y B ，()36,Y B ，()37,Y B ，()38,Y B ， ()41,Y B ，()42,Y B ，()43,Y B ，()44,Y B ，()45,Y B ，()46,Y B ，()47,Y B ，()48,Y B ，50岁以上的具有本科学历和35岁以下具有研究生学历的研究人员全部被选上的有()17,Y B ，()18,Y B ，()27,Y B ，()28,Y B 有4种.所以()873241=-=A P .………………………………（12分）20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是矩形，BC AD //. 又⊂BC 平面PBC ，⊄AD 平面PBC ，所以直线//AD 平面PBC . ………………………（6分）（Ⅱ）由条件平面⊥PAD 平面ABCD ，平面 PAD 平面AD ABCD =， 过点P 作AD PE ⊥，又因为AD CD ⊥，根据平面和平面垂直的性质定理，得⊥PE 平面ABCD ,⊥CD 平面PAD .所以，直线EC 是直线PC 在平面 ABCD 内的射影，PCE ∠直线PC 和底面ABCD 所成角.且⊥CD PD . 在PCD Rt ∆中，2222=+=CD PD PC .因为,2==PD PA所以222=-=ED PD PE .在PCE Rt ∆中，21222sin ===∠PC PE PCE ，030=∠PCE .所以直线PC 和底面ABCD 所成角的大小为030. ………………………………（13分）21. （本题满分14分）解：（Ⅰ）323)(2-+='bx ax x f . 根据题意，得⎩⎨⎧='-=,0)1(,2)1(f f 即⎩⎨⎧=-+-=-+,0323,23b a b a 解得⎩⎨⎧==.0,1b a.3)(3x x x f -=∴ ……………………………………………………………（3分）（Ⅱ）令33)(2-='x x f 0=，解得1±=x .(1)2,(1)2f f -==-，2)2(,2)2(=-=-f f . [2,2]x ∴∈-当时，max min ()2,() 2.f x f x ==- 则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值12,x x ，都有 12max min |()()||()()|4f x f x f x f x -≤-=.所以 4.c ≥所以c 的最小值为4. …………（7分）（Ⅲ）设切点为300000(,),3x y y x x =-则, 200()33f x x '=-，∴切线的斜率为203 3.x -则3200003332x x m x x ---=- 即32002660x x m -++=. 因为过点(2,)(2)M m m ≠，可作曲线()y f x =的三条切线，所以方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解，即函数32()266g x x x m =-++有三 个不同的零点，则2' 令'⎩⎨⎧<∴0)2(g 即⎩⎨⎧<-02m ，∴26<<-m . …………………（14分） ABCD P E文科数学试卷 第 7 页 （共 4 页）21.（本小题满分14分）解：（I ）21=e ，设椭圆1342222=+cy c x ，将点)3,2(M 代入椭圆，得2=c ，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=. 设直线的方程为12y x m =+()m R ∈，),(),,(2211x x B y x A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+.21,1121622m x y y x 得01222=-++m mx x . 则m x x -=+21,12221-=m x x ..又1211||||||22MANB S MN x x MN =⋅-=2348621m -⨯⨯.显然当0m =时,MANB S= ………（6分）（II ）易知2323221121--+--=+x y x y k k . 将m x y +=1121，m x y +=2221代入上式，化简得 ()()()4212442121212121++-+-+-+=+x x x x m x x m x x k k . 由（I ）知，m x x -=+21,12221-=m x x ，代入上式，化简得021=+k k 为定值. ………………（14分）。

2012-2013学年湖北省武汉市部分学校高三（上）起点调研数学试卷（理科）一、选择题（50分）1. 设集合A ={x|1<x <4}，集合B ={x|x 2−2x −3≤0}，则A ∩(∁R B)=( ) A (1, 4) B (3, 4) C (1, 3) D (1, 2)∪(3, 4)2. 下列命题中，真命题是（ ）A ∃x 0∈R ，e x 0≤0B ∀x ∈R ，2x >x 2C a +b =0的充要条件是ab =−1 D a >1，b >1是ab >1的充分条件3. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤1x −y ≤1x +1≥0，则z =x +2y 的最小值为（ ）A 3B 1C −5D −64. 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）A 3B 2C √3D √25. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A 16B 24C 34D 486. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）A −3B −12 C 13 D 27. 如图是甲、乙两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图，设甲、乙两组数据的平均数依次为x 1¯，x 2¯，标准差为x 1，x 2，则（ ）A x 1¯>x 2¯，x 1>x 2 B x 1¯>x 2¯，x 1<x 2 C x 1¯<x 2¯，x 1<x 2 D x 1¯<x 2¯，x 1>x 2 8. 已知函数y =sinax +b(a >0)的图象如图所示，则函数y =log a (x +b)的图象可能是( )A BCD9. 已知A 、B 、C 是圆O:x 2+y 2=1上的三点，OA →+OB →=OC →，AB →⋅OA →=( ) A 32 B −√32 C −32 D 1210. 设函数f(x)(x ∈R)满足f(−x)＝f(x)，f(x)＝f(2−x)，且当x ∈[0, 1]时，f(x)＝x 3．又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数ℎ(x)＝g(x)−f(x)在[−12,32]上的零点个数为（ ）A 5B 6C 7D 8二、填空题（25分） 11. 设a ，b ∈R ，a +bi =11−7i 1−2i（i 为虚数单位），则a +b 的值为________．12. 已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V 圆柱:V 球=________（用数值作答）．13. 某地教育部门欲派5名工作人员到3所学校进行地震安全教育，每所学校至少1人，至多派2人，则不同的安排方案共有________种．（用数字作答）14. 已知等差数列{a n }的首项及公差均为正数，令b n =√a n +√a 2012−n (n ∈N ∗,n <2012)．当b k 是数列{b n }的最大项时，k =________．15. 已知△FAB ，点F 的坐标为(1, 0)，点A 、B 分别在图中抛物线y 2=4x 及圆(x−1)2+y2=4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值范围为________．三、解答题（75分）16. 已知函数f(x)=√3sinxcosx−cos2x+m(m∈R)的图象过点M(π12, 0)．（1）求m的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosB+bcosC＝2acosB，求f(A)的取值范围．17. 空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5日均浓度0∼3535∼7575∼115115∼150150∼250>250某市2012年3月8日−4月7日（30天）对空气质量指数PM2.5进行监测，获得数据后得到如条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）在上述30个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优的天数，求X的分布列．18. 已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{1a n×a n+1}的前n项和，若T n≤λa n+1对∀n∈N∗恒成立，求实数λ的最小值．19. 在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为AD中点，F为CC1中点．（1）求证：AD⊥D1F；（2）求证：CE // 平面AD1F；（3）求平面AD1F与底面ABCD所成二面角的余弦值．20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1, 0)，且点(−1, √22)在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得QA →⋅QB →=−716恒成立？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 21. 设函数f(x)=1−a 2x 2+ax −lnx (a ∈R).(1)当a =1时，求函数f(x)的极值； (2)当a >1时，讨论函数f(x)的单调性；(3)若对任意a ∈(2, 3)及任意x 1，x 2∈[1, 2]，恒有ma +ln2>|f(x 1)−f(x 2)|成立，求实数m 的取值范围．2012-2013学年湖北省武汉市部分学校高三（上）起点调研数学试卷（理科）答案1. B2. D3. C4. B5. A6. B7. C8. A9. C 10. B 11. 8 12. 3413. 90 14. 1006 15. (4, 6)16. ∵ sinxcosx =12sin2x ，cos 2x =12(1+cos2x)∴ f(x)=√3sinxcosx −cos 2x +m =√32sin2x −12(1+cos2x)+m=√32sin2x −12cos2x −12+m ＝sin(2x −π6)−12+m∵ 函数y ＝fx)图象过点M(π12, 0)， ∴ sin(2⋅π12−π6)−12+m ＝0，解之得m =12∵ ccosB +bcosC ＝2acosB ，∴ 结合正弦定理，得sinCcosB +cosCsinB ＝2sinAcosB∵ B +C ＝π−A ，得sinCcosB +cosCsinB ＝sin(B +C)＝sin(π−A)＝sinA∴ sinA ＝2sinAcosB∵ △ABC 中，sinA >0，∴ cosB =12，得B =π3由（1），得f(x)＝sin(2x −π6)，所以f(A)＝sin(2A −π6)，其中A ∈(0, 2π3)∵ −π6<2A −π6<7π6，∴ sin(2A −π6)>sin(−π6)=−12，sin(2A −π6)≤sin π2=1 因此f(A)的取值范围是(−12, 1]17. 解：（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天， 所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为1630=815．…（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2 则P(X =0)=C 222C 302=231435，P(X =1)=C 81C 221C 302=176435，P(X =2)=C 82C 302=2843518. 解：（1）设公差为d ．由已知得{1(a 1+2d)2=a 1(a 1+6d)解得d =1或d =0（舍去） 所以a 1=2，故a n =n +1 （2）因为1an a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2所以T n =12−13+13−14+...+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2(n+2) 因为T n ≤λa n+1对∀n ∈N ∗恒成立 ∴n 2(n+2)≤λ(n +2)对∀n ∈N ∗恒成立即n2(n+2)2≤λ对∀n ∈N ∗恒成立 又n2(n+2)2=12(n+4n+4)≤116所以λ=11619. （1）证明：在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AD ⊥CD ∵ DD 1⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD∴ AD ⊥DD 1∵ DD 1∩CD =D ，∴ AD ⊥平面CDD 1C 1∵ D 1F ⊂平面CDD 1C 1，∴ AD ⊥D 1F…（2）证明：在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，连接A 1D ，交AD 1于点M ，连接ME ，MF ，则M 为AD 1中点．∵ E 为AD 中点，F 为CC 1中点． ∴ ME // DD 1，ME =12DD 1…又∵ CF // DD 1，CF =12DD 1∴ 四边形CEMF 是平行四边形，∴ CE // MF…∵ CE ⊄平面AD 1F ，MF ⊂平面AD 1F ，∴ CE // 平面AD 1F ．…（3）解：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图． 则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B(1, 1, 0)，C(0, 1, 0)，D 1(0, 0, 2)，F(0, 1, 1)… ∴ 平面ABCD 的法向量为DD 1→=(0,0,2)… 设平面AD 1F 的法向量为n →=(x, y, z)． ∵ AF →=(−1,1,1)，AD 1→=(−1,0,2)，则有{n ⋅AF →=0n ⋅AD 1→=0.∴ {−x +y +z =0−x +2z =0.取z =1，得n →=(2, 1, 1)． ∴ cos <n,DD 1→>=|n →||DD 1→|˙=22√6=√66．… ∵ 平面AD 1F 与平面所成二面角为锐角．∴ 平面AD 1F 与底面ABCD 所成二面角的余弦值为√66．… 20. 由题意，c ＝1∵ 点(−1, √22)在椭圆C 上，∴ 根据椭圆的定义可得：2a =(√22)+√22，∴ a =√2∴ b 2＝a 2−c 2＝1，∴ 椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1；假设x 轴上存在点Q(m, 0)，使得QA →⋅QB →=−716恒成立当直线l 的斜率为0时，A(√2, 0)，B(−√2, 0)，则(√2−m,0)⋅(−√2−m,0)=−716，∴ m 2=2516，∴ m =±54① 当直线l 的斜率不存在时，A(1,√22)，B(1,−√22)，则(1−m,√22)⋅(1−m,−√22)=−716，∴ (1−m)2=116∴ m =54或m =34② 由①②可得m =54．下面证明m =54时，QA →⋅QB →=−716恒成立当直线l 的斜率为0时，结论成立；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝ty +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2) 直线方程代入椭圆方程，整理可得(t 2+2)y 2+2ty −1＝0，∴ y 1+y 2=−2t t 2+2，y 1y 2=−1t 2+2∴ QA →⋅QB →=(x 1−54, y 1)⋅(x 2−54, y 2)＝(ty 1−14)(ty 2−14)+y 1y 2＝(t 2+1)y 1y 2−14t(y 1+y 2)+116=−2t 2−2+t 22(t 2+2)+116=−716综上，x 轴上存在点Q(54, 0)，使得QA →⋅QB →=−716恒成立． 21. 解：(1)函数的定义域为(0, +∞)． 当a =1时，f(x)=x −lnx,f ′(x)=1−1x =x−1x．令f′(x)=0，得x =1．当0<x <1时，f′(x)<0；当x >1时，f′(x)>0． ∴ f(x)极小值=f(1)=1，无极大值. (2)f ′(x)=(1−a)x +a −1x =(1−a)x 2+ax−1x=[(1−a)x+1](x−1)x=(1−a)(x−1a−1)(x−1)x ，当1a−1=1，即a =2时，f ′(x)=−(x−1)2x≤0，f(x)在(0, +∞)上是减函数； 当1a−1<1，即a >2时，令f′(x)<0，得0<x <1a−1或x >1；令f′(x)>0，得1a−1<x <1．当1a−1>1，即1<a <2时，令f′(x)<0，得0<x <1或x >1a−1； 令f′(x)>0，得1<x <1a−1．综上，当a =2时，f(x)在定义域上是减函数；当a >2时，f(x)在(0,1a−1)和(1, +∞)上单调递减，在(1a−1，1)上单调递增； 当1<a <2时，f(x)在(0, 1)和(1a−1，+∞)上单调递减，在(1,1a−1)上单调递增. (3)由 (2)知，当a ∈(2, 3)时，f(x)在[1, 2]上单调递减， ∴ 当x =1时，f(x)有最大值，当x =2时，f(x)有最小值． ∴ |f(x 1)−f(x 2)|≤f(1)−f(2)=a2−32+ln2，∴ ma +ln2>a 2−32+ln2，而a >0经整理得m >12−32a ，由2<a <3得−14<12−32a <0，所以m ≥0．。

2012年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1. 已知集合A ={x||x|≤1}，B ={x||x −1|<1}，则A ∩B =( )A {x|x <2}B {x|0<x <2}C {x|0<x ≤1}D {x||1≤x <2}2. 已知复数z 满足(1−i)z =2，i 为虚数单位，则z 等于( )A 1−iB 1+iC 12−12iD 12+12i3. 已知f(x)=12x +1，则f(f(0))=( )A √2−1B √2+1C 12D √224. 如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）A 7.68B 16.32C 17.32D 8.685. 若向量a →=(m +2,−5)，b →=(m −2,−35)，则“m =1”是“a →⊥b →”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件6. 若如图的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A n ≤5B n ≤6C n ≤7D n ≤87. 如图是一正方体被过棱的中点M 、N ，顶点A 和N 、顶点D 、C 1的两上截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（ ）A B C D8. 观察(x 3)′=3x 2，(x 5)′=5x 4，(sinx)′=cosx ，由归纳推理得，若定义在R 上的函数f(x)满足f(−x)=−f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(−x)等于() A f(x) B −f(x) C g(x) D −g(x)9. 函数f(x)=sinxcosx+√3cos2x−√32的一个单调递减区间是（）A [−π3，2π3] B [−π12，7π12] C [π12，7π12] D [−π6，2π3]10. 若x0是方程式lgx+x=2的解，则x0属于区间（）A (0, 1)B (1, 1.25)C (1.25, 1.75)D (1.75, 2)二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11. 抛物线y2=x的准线方程为________．12. 如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分（包括边界），则这个不等式组是________．13. 设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．14. 下表是某商场统计的20名营业员在某月的销售额（单位：万元）．假设销售额的中位数为a，众数为b，平均值为c，则它们的大小关系为________．频数（人数）432231112115. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD // BC，∠ABC=90∘，侧棱PA⊥底面ABCD，若AB=BC=12AD，则CD与平面PAC所成的角为________．16. 已知函数f(x)={x 3，x≤0ln(x+1),x>0若f(2−x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．17. 如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP=x，△CPD的面积为f(x)．则f(x)的定义域为________；f(x)的最大值为________．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18. 等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．19. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的三边，已知b2+c2−a2=bc.(1)求角A的值；(2)若a=√3，cosC=√3，求c的长.320. 武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20, 25)，第2组[25, 30)，第3组[30, 35)，第4组[35, 40)，第5组[40, 45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．21. 已知函数f(x)=ax+blnx．（1）当x=2时f(x)取得极小值2−2ln2，求a，b的值；（2）当b=−1时，若在区间(0, e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．22. 已知A(−2, 0)，B(2, 0)为椭圆C的左右顶点，F(1, 0)为其右焦点．（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为P（不同于A，B），与椭圆在点B处的切线交于点D．当直线l绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．2012年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（文科）答案1. C2. B3. A4. B5. A6. B7. B8. C9. C10. D11. x=−1412. {x ≤0y ≥−12x −y +2≥0.13. 6π14. b <a <c15. 90∘16. (−2, 1)17. (2, 4),2√218. 解：(1)设{a n }的公比为q ,由已知得16=2q 3，解得q =2,∴ a n =a 1q n−1=2n .(2)由(1)得a 3=8，a 5=32，则b 3=8，b 5=32,设{b n }的公差为d ，则有{b 1+2d =8,b 1+4d =32,解得{b 1=−16,d =12.从而b n =−16+12(n −1)=12n −28,所以数列{b n }的前n 项和S n =n(−16+12n−28)2=6n 2−22n ．19. 解：(1)∵ b 2+c 2−a 2=bc ，∴ cosA =b 2+c 2−a 22bc =12. ∵ 0<A <π，∴ A =π3. (2)在△ABC 中，A =π3，a =√3，cosC =√33， ∴ sinC =√1−cos 2C =√1−13=√63. 由正弦定理可知，a sinA =c sinC ， ∴ c =asinC sinA =√3×√63√32=2√63. 20. 由题意可知第3组的频率为0.06×5＝0.3，第4组的频率为0.04×5＝0.2，第5组的频率为0.02×5＝0.1；第3组的人数为0.3×100＝30，第4组的人数为0.2×100＝20，第5组的人数为0.1×100＝10；因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组3060×6=3；第4组2060×6=2；第5组1060×6=1；应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6；在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, 5)，(1, 6)，(2, 3)，(2, 4)，(2, 5)，(2, 6)，(3, 4)，(3, 5)，(3, 6)，(4, 5)，(4, 6)，(5, 6)；共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为915=35．21. 解：（1）求导函数可得：f′(x)=a+bx∵ 当x=2时，f(x)取得极小值2−2ln2，∴ f′（2）=0，f(2)=2−2ln2∴ 2a+b=0，2a+bln2=2−2ln2∴ a=1，b=−2此时f′(x)=1−2x当x∈(0, 2)时，f′(x)<0；当x∈(2, +∞)时，f′(x)>0∴ 当x=2时，f(x)取得极小值∴ a=1，b=−2（2）b=−1时，f(x)=ax−lnx，求导函数可得f′(x)=a−1x =ax−1x若在区间(0, e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，则f(x)=ax−lnx在区间(0, e]上的最小值<0①当a≤0时，f′(x)<0恒成立，f(x)在区间(0, e]上递减由f(x)min=f(e)=ae−1<0得a<1e，∴ a≤0符合题意②当0<1a <e，即a>1e时，x∈(0, 1a)，f′(x)<0，f(x)递减；x∈(1a, e)，f′(x)>0，f(x)递增∴ f(x)min=f(1a )=1−ln1a=1+lna由lna+1<0得a<1e，矛盾③当1a ≥e，即0<a≤1e时，f(x)在(0, e]上为减函数，f(x)min=f(e)=ae−1<0∴ 0<a<1e综上所述，符合条件的a的取值范围是a<1e．22. 解：（1）由题意可设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，半焦距为c，因为A(−2, 0)、B(2, 0)为椭圆C 的左、右顶点，F(1, 0)为其右焦点， 所以a =2，c =1．又因为a 2=b 2+c 2，所以b =√a 2−c 2=√3． 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，离心率为12．（2）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可设直线l 的方程为y =k(x +2)(k ≠0)，则点D 坐标为(2, 4k)，BD 中点E 的坐标为(2, 2k)． 由{y =k(x +2)x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−12=0． 设点P 的坐标为(x 0, y 0)，则−2x 0=16k 2−123+4k 2． 所以x 0=6−8k 23+4k 2，y 0=k(x 0+2)=12k 3+4k 2．因为点F 坐标为(1, 0)，当k =±12时，点P 的坐标为(1,±32)，点D 的坐标为(2, ±2)， 直线PF ⊥x 轴，此时以BD 为直径的圆(x −2)2+(y∓1)2=1与直线PF 相切． 当k ≠±12时，则直线PF 的斜率k PF =y 0x 0−1=4k 1−4k 2． 所以直线PF 的方程为y =4k 1−4k 2(x −1)．点E 到直线PF 的距离d =|8k 1−4k 2−2k−4k 1−4k 2|√16k 2(1−4k 2)2+1=|2k+8k 31−4k 2|1+4k 2|1−4k 2|=2|k|．又因为|BD|=4|k|所以d =12|BD|． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线l 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．。

湖北省襄阳市普通高中2012年3月高三调研统一测试数 学 试 题（文）本试卷全卷满分150分。

考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数2(1)i i +的实部是 （ ）A ．-1B ．1C ．0D ．-22．已知集合2{|230},{|24}M x x x N x x =--==-<≤，则M N =（ ）A ．{|13}x x -<≤B ．{|14}x x -<≤C ．{-3，1}D ．{-1，3} 3．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图所示， 则甲、乙两从这几场比赛得分的中位数之和是 （ ） A ．63 B ．64 C ．65 D ．664．已知向量(1,2),(2,0)a b ==，若向量a b λ+与向量(1,2)c =-共线，则实数λ等于 （ ）A ．-2B ．13-C ．-1D ．23-5．已知变量x 、y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则24z x y =++的最大值为（ ）A ．16B ．8C ．6D ．46．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边洗定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒， 105CAB ∠=︒后，就可以计算出A 、B 两点的距离为 （ ）A．B．C．D．2m 7．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+ D ．||2x y -=8．关于直线,,a b l 以及平面M 、N ，下面命题中正确的是（ ）A ．若//,//,//a M b M a b 则B ．若//,,M a M b a ⊥⊥则bC ．若,//,a M a N M N ⊥⊥则D ．若,,,a M b M l a l b ⊂⊂⊥⊥且，则l M ⊥9．设函数1()ln ,()3f x x x y f x =-=则 （ ）A ．在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点B ．在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间（1，e ）内无零点D ．在区间1(,1)e内无零点，在区间（1，e ）内有零点10．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且[0,2]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．(3)1f =B ．函数()f x 在[-6，-2]上是增函数C ．函数()f x 关于直线4x =对称D ．若关于x 的方程()0[8,8]f x m -=-在上所有根之和为-8，则一定有(0,1)m ∈二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分。

武昌区2012届高三5月调研考试文科数学试卷本试卷共150分，考试用时120分钟．★祝考试顺利★参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()B P A P B A P ⋅=⋅． 台体的体积公式h (V ）下下上上S S S S 31++=，其中上S 、下S 分别是台体的上、下底面面积，h 是台体的高．球的表面积公式24S R π=，球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1.已知i 是虚数单位，复数iii z -+++-=12221，则=z （A .1B . 2 C.52.已知,a b 为实数，“100=ab”是“2lg lg =+b a ”的（A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D .3．已知程序框图如右，则输出的i 为 A ．7 B ．8 C ．9 D ．104．已知一个几何体的三视图如下，正视图和俯视图两个等腰梯形，长度单位是厘米，那么该几何体的体积是（ ）A .12B . 28C . 36D . 84正视图侧视图俯视图5.已知O 为坐标原点，点A 的坐标是()3,2，点()y x P ,在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+≥+62623y x y x y x 所确定的区域内（包括边界）上运动，则OP OA ⋅的范围是 （ ）A .[]10,4B . []9,6C . []10,6D . []10,9 6.设函数()x x x f cos sin +=，函数()()()x fx f x h /=，下列说法正确的是 （ ）A .()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图像关于直线4π=x 对称B . ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图像关于直线2π=x 对称 C . ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线4π=x 对称D . ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线2π=x 对称7.已知E 、F 分别是正方体1111D C B A ABCD - 棱BB 1、AD 的中点，则直线EF 和平面11D BDB 所成的 角的正弦值是（ ）A .62 B .63 C .31 D .668．如果方程122=+-qyp x表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（ ）A.1222=++q yp q xB.1222-=++p yp q xC.1222=++qyqp xD.1222-=++pyqp x9.如图，已知直角三角形ABC ∆的三边AC BA CB ,,的长度成等差数列，点E 为直角边AB 的中点，点D 在斜边AC 上，且AC AD λ=，若BD CE ⊥，则=λA 1B 1C 1D 1AB CDF EA . 177 B .178 C .179 D .171010.已知点P 在半径为1的半圆周上沿着A →P →B 路径运动，设弧 的长度为x ，弓形面积为()x f （如图所示的阴影部分），则关于函数()x f y =的有如下结论： ①函数()x f y =的定义域和值域都是[]π,0；②如果函数()x f y =的定义域R ，则函数()x f y =是周期函数；③如果函数()x f y =的定义域R ，则函数()x f y =是奇函数； ④函数()x f y =在区间[]π,0上是单调递增函数.以上结论的正确个数是（ ）A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为_______________h ．12.等比数列{}n a 中，142,16a a ==.若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第4项和第16项，则数列{}n b 的前n 项和n S = .13.在圆422=+y x 上，与直线01234:=-+y x l 的距离最小值是 . 14.已知集合{}R x x x A ∈≤-=,132，集合{}R x x ax x B ∈≤-=,022，()Φ=B C A U ，则实数a 的范围是 .A⌒APhC ABED15.如果复数θθsin c os i z +=，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ，记()*∈N n n 个z 的积为nz，通过验证,4,3,2===n n n ，的结果n z ，推测=nz .（结果用i n ,,θ表示）16．如果一个三角形的三边长度是连续的三个自然数，且最大角是最小角的两倍，该三角形的周长是 ．17.已知,,R a x ∈1>a ，直线x y =与函数()x x f alog =有且仅有一个公共点，则=a ；公共点坐标是 .标是()e e ,，所以两空分别填e e a 1=，()e e ,.三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18.（本题满分12分）（课本必修4第60页例1改编）武汉地区春天的温度的变化曲线近似地满足函数()b x A y ++=ϕωsin （如图所示，单位:摄氏温度,πϕω<<>>0,0,0A ）. （Ⅰ）写出这段曲线的函数解析式；（Ⅱ）求出一天（[]24,0∈t ，单位小时） 温度的变化在[]25,20时的时间.19.（本题满分12分）某科研所研究人员都具有本科和研究生两类学历，年龄段和学历如下表，从该科研所任选一名研究人员，是本科生概率是32，是35岁以下的研究生概率是61.（Ⅰ）求出表格中的x 和y 的值； （Ⅱ）设“从数学教研组任选两名 教师，本科一名，研究生一名，50 岁以上本科生和35岁以下的研究生不全选中” 的事件为A ，求事件A 概率()A P .20. （本小题满分13分）已知平面⊥PAD 平面ABCD ,,2==PD PA 矩形ABCD 的边长2==DC AB ，22==BC AD . （Ⅰ）证明：直线//AD 平面PBC ；（Ⅱ）求直线PC 和底面ABCD 所成角的大小.21. （本题满分14分）已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=，在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若对于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有c x f x f ≤-|)()(|21，求实数c 的最小值；（3）若过点)2)(,2(≠m m M ，可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的离心率为21，点(2,3)M ，(2,3)N -为C 上两点，斜率为12的直线与椭圆C 交于点A ，B （A ，B 在直线M N 两侧）．（I ）求四边形M AN B 面积的最大值；（II ）设直线AM ，BM 的斜率为21,k k ，试判断21k k +是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，说明理由．ABDP武昌区2012届高三5月调研考试文科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1.已知i 是虚数单位，复数iii z -+++-=12221，则=z （ ）A .1B . 2C . 5D . 22 【答案】C . 【解析】()()()22221122221ii ii i z -++--+-=()i i i 2121255+=++=，5=z 故选C .【命题意图】考查复数的运算法则和模的定义及运算.2.已知,a b 为实数，“100=ab ”是“2lg lg =+b a ”的（ ） A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件 【答案】B .【解析】100=ab ，2lg lg =+b a 不一定成立，例如20,5-=-=b a ，有100=ab ， 但是2lg lg =+b a 不成立；反之，2lg lg =+b a ，则0,0>>b a ，根据对数的运算法则，1002lg =⇒=ab ab ，所以100=ab 一定成立，故选B .【命题意图】考查对数的运算法则，充要必要条件内容的考查.3．已知程序框图如右，则输出的i 为A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C .【解析】由程序框图可得7,5,3=i 时，105,15,3=S ，故输出的i 为9，故选C .【命题意图】考查程序框图的基本内容，考查 简单的逻辑推理能力.4．已知一个几何体的三视图如下，正视图和俯视图两个等腰梯形，长度单位是厘米，那么该几何体的体积是（ ）A .12B . 28C . 36D . 84【答案】B .【解析】由图可知，该几何体是上下底 面试正方形，高度是3的四棱台， 根据台体的体积公式()221131S S S S h V ++⨯=得：()28161644331=+⨯+⨯=V ，故选B .【命题意图】考查三视图和简单几何体的基本概念，台体的体积计算公式和运算能力. 5.已知O 为坐标原点，点A 的坐标是()3,2，点()y x P ,在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+≥+62623y x y x y x 所确定的区域内（包括边界）上运动，则OP OA ⋅的范围是 （ ）A .[]10,4B . []9,6C . []10,6D . []10,9 【答案】C .【解析】先求出三条直线,3=+y x,62=+y x 62=+y x 的交点，交点分别是()0,3A 、()2,2B 、()3,0C ，可行域是如图所示的ABC ∆区域（包括边界），因为y x OP OA 32+=⋅，令y x z 32+=，如图平行移动直线y x z 32+=，当直线y x z 32+=过()0,3A 时，z 取得最小值6，当直线y x z 32+=过()2,2B 时，z 取得最大值10，106≤⋅≤OP OA ，故选C .【命题意图】考查二元一次不等式组表示的平面区域，简单的线性规划问题和向量的数量积. 6.设函数()x x x f cos sin +=，函数()()()x fx f x h /=，下列说法正确的是 （ ）A .()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图像关于直线4π=x 对称C （正视图侧视图俯视图B . ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图像关于直线2π=x 对称 C . ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线4π=x 对称 D . ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线2π=x 对称 【答案】D .【解析】解法一：()()()x x x x x x h 2cos sin cos sin cos =-+=.所以f(x) 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线2π=x 对称，故选D.解法二：直接验证 由选项知⎪⎭⎫⎝⎛2,0π不是递增就是递减，而端点值又有意义，故只需验证端点值，知递减，显然4π=x 不会是对称轴故选D.【命题意图】本题考查三角函数图像和性质，属于中等题.7.已知E 、F 分别是正方体1111D C B A ABCD - 棱BB 1、AD 的中点，则直线EF 和平面11D BDB 所成的 角的正弦值是（ ）A .62 B .63 C .31 D .66【答案】B .【解析】[方法一]设正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，由于E 、F 分别是正方体 1111D C B A ABCD -棱BB 1、AD 的中点，连接BD ，AE ，过F 作BD 交BD 于H ，则FH ⊥11D BDB ，因为22=FH 5,1==AE AF ,6=EF ，直线EF 和平面11D BDB 所成的角的正弦值是63，故选B .[方法二]建立空间直角坐标系，设正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，则 【命题意图】考查空间直线和平面的位置关系，简单的空间直角坐标系数.A 1B 1C 1D 1AB CDF E8．如果方程122=+-qyp x表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（ ）A.1222=++q yp q xB.1222-=++p yp q xC.1222=++qyqp xD.1222-=++pyqp x【答案】D解析：由条件可知0<-pq ，则0>pq ，当0,0>>q p 时，方程122=+-qypx为122=-pxqy，表示焦点在y 轴的双曲线，半焦距为q p c +=，此时B 和D 选项不是椭圆，而A 和C 选项中均表示焦点在x 轴上得椭圆，矛盾；当0,0<<q p 时，方程122=+-qypx为122=---qypx，表示焦点在x 轴的双曲线，半焦距为q p c --=，此时A 和C 选项不是椭圆，B 选项1222-=++pypq x为1222=-+--pypq x，D 选项1222-=++pyqp x为1222=-+--pyqp x均表示焦点在x 轴上得椭圆，只有D 选项的半焦距为q p c --=，因此选D ．【命题意图】考察圆锥曲线的基本概念、圆锥曲线的标准方程以及分类与整合的数学思想. 9.如图，已知直角三角形ABC ∆的三边AC BA CB ,,的长度成等差数列，点E 为直角边AB 的中点，点D 在斜边AC 上，且AC AD λ=，若BD CE ⊥，则=λA .177 B .178 C .179 D .1710【答案】B .【解析】三边AC BA CB ,,的长度成等差数列，设为d a a d a +-,,()0,0,0>->>d a d a ，则()()222d a a d a -+=+，则d a 4=，不妨令1=dCAB ED因此三边长分别为5,4,3===AC BA CB ，BC AB CE -=21,AC BA AD BA BD λ+=+=()BC BA λλ+-=1.由BD CE ⊥得：0=⋅BD CE ，即()012122=--BCABλλ，()0918=--λλ，所以178=λ，因此选B .【命题意图】考查向量的运算法则，数量积和解决问题的能力.10.已知点P 在半径为1的半圆周上沿着A →P →B 路径运动，设弧 的长度为x ，弓形面积为()x f （如图所示的阴影部分），则关于函数()x f y =的有如下结论： ①函数()x f y =的定义域和值域都是[]π,0；②如果函数()x f y =的定义域R ，则函数()x f y =是周期函数；③如果函数()x f y =的定义域R ，则函数()x f y =是奇函数； ④函数()x f y =在区间[]π,0上是单调递增函数.以上结论的正确个数是（ ）A .1B .2C .3D .4 【答案】B . 【解析】因为x x S 211121=⨯⨯⨯=扇形，x x S OAP sin 21sin 121=⨯⨯=∆，所以()x f y =OAP S S ∆-=扇形x x sin 2121-=，它的定义域是[]π,0，()0cos 2121/≥-=x x f ，()x f y =在区间[]π,0上是增函数，()20π≤≤x f ，显然该函数不是周期函数，如果函数()x f y =的定义域R ，则函数()x f y =是奇函数，故①、②不正确，③和④正确，选B .【命题意图】考查学生创新意识和解决实际问题的能力，考查运用数学知识解决实际问题的能力，考查函数的基本性质.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为_______________h ．A⌒AP【答案】4.6h.【解析】()4.65.64.063.05.775.51.0=⨯+⨯+++⨯=x . 【命题意图】考查直方图的基本概念，考查解决实际问题的能力.12.等比数列{}n a 中，142,16a a ==.若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第4项和第16项，则数列{}n b 的前n 项和n S = . 【答案】n n +2.【解析】设{}n a 的公比为q , 由已知得3162q =，解得2q =. 又12a =，所以111222n n n n a a q --==⨯=. 则28a =，532a =，则48b =，1632b =. 设{}n b 的公差为d ，则有1138,1532,b d b d +=⎧⎨+=⎩解得12,2.b d =⎧⎨=⎩则数列{}n b 的前n 项和1(1)2n n n S nb d -=+2(1)22.2n n n n n -=+⨯=+【命题意图】考查等数列和等比数列的基本概念，考查等数列和等比数列通项与求和方法，考查学生的计算能力.13.（在圆422=+y x 上，与直线01234:=-+y x l 的距离最小值是 . 【答案】52.【解析】圆的半径是2，圆心()0,0O 到01234:=-+y x l 的距离是512341222=+=d ，所以圆422=+y x 上，与直线01234:=-+y x l 的距离最小值是522512=-=d ，所以应该填52.【命题意图】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，考查集合的运算以及分类整合的数学思想.14.已知集合{}R x x x A ∈≤-=,132，集合{}R x x ax x B ∈≤-=,022，()Φ=B C A U ，则实数a 的范围是 .h【答案】(]1,∞-【解析】[]2,1=A ，由于()Φ=B C A U ，则B A ⊆， 当0=a 时，{}[)+∞=∈≥=,0,0R x x x B ，满足B A ⊆；当0<a 时，[)+∞⎥⎦⎤⎝⎛∞-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,02,,02 a R x a x x x B ，满足B A ⊆；当0>a 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a R x a x x xB 2,0,02，若B A ⊆，则22≥a ，即10≤<a ；综合以上讨论，实数a 的范围是(]1,∞-.【命题意图】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，考查集合的运算以及分类整合的数学思想.15.如果复数θθsin c os i z +=，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ，记()*∈N n n 个z 的积为nz，通过验证,4,3,2===n n n ，的结果n z ，推测=nz .（结果用i n ,,θ表示）【答案】θθn i n z n sin cos +=. 【解析】由条件θθsin cos 1i z +=， ()θθθθθθcos sin 2sin cos sin cos 2222i i z +-=+=θθ2sin 2cos i +=；()()()θθθθθθsin cos 2sin 2cos sin cos 33i i i z++=+=()()θθθθθθθθsin 2cos cos 2sin sin 2sin cos 2cos ++-=iθθ3sin 3cos i +=；推测θθn i n z nsin cos +=【命题意图】考查复数的运算和三角变换，以及归纳推理的等数学知识，考查学生运用数学知识解决问题的能力.16．如果一个三角形的三边长度是连续的三个自然数，且最大角是最小角的两倍，该三角形的周长是 ． 【答案】15.【解析】设三角形的三边长分别是1,,1+-n n n ()N n n ∈≥,2，三个角分别是ααπα2,3,-．由正弦定理得，αα2sin 1sin 1+=-n n ，所以()121cos -+=n n α，由余弦定理得，()()()()1211211222-+⨯⨯+⨯-++=-n n n n n n n ，即052=-n n ，5=n ，0=n （舍去），所以三边分别是6,5,4，周长为15，答案填15.【命题意图】考查利用基本不等式求最值的技能，考查不等式使用的条件和解题技巧. 17.已知,,R a x ∈1>a ，直线x y =与函数()x x f alog =有且仅有一个公共点，则=a ；公共点坐标是 .【答案】e e a 1=，()e e ,. 【解析】构造新函数()x x x g a-=log ，()1ln 1/-=ax x g，令01ln 1=-a x有ax ln 1=，因为1>a ，当ax ln 10<<时，()0/>x g ；当ax ln 1>时，()0/<x g所以，()x x x g a-=log在ax ln 1=处有最大值⎪⎭⎫⎝⎛a g ln 1，当0ln 1=⎪⎭⎫⎝⎛a g 时，直线xy =与函数()x x f alog=有且仅有一个公共点，即a a a ln 1ln 1log =⎪⎭⎫⎝⎛，()aa aln 1ln log =-()⇒=-aaa ln 1ln ln ln ()1ln ln -=a ，e e a ea 11ln =⇒=，则e e x y e===1ln 1,即公共点坐标是()e e ,，所以两空分别填e e a 1=，()e e ,.【命题意图】考查导数和函数零点等知识解决问题的能力，考查学生创新意识、运用数学知识解决问题的能力和计算能力.三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18.（本题满分12分）（课本必修4第60页例1改编）武汉地区春天的温度的变化曲线近似地满足函数()b x A y ++=ϕωsin （如图所示，单位:摄氏温度,πϕω<<>>0,0,0A ）. （Ⅰ）写出这段曲线的函数解析式；（Ⅱ）求出一天（[]24,0∈t ，单位小时） 温度的变化在[]25,20时的时间. 解：（Ⅰ）由条件可知⎩⎨⎧=-=+.10,30b A b A 解得⎩⎨⎧==.20,10b A 因为614221-=⨯ωπ，所以8πω=. 所以208sin 10+⎪⎭⎫⎝⎛+=ϕπx y . 将点()10,6代入上式，得43πϕ=.从而解析式是20438sin 10+⎪⎭⎫⎝⎛+=ππx y .………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），令2520438sin 1020≤+⎪⎭⎫⎝⎛+≤ππx ， 得21438sin 0≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤ππx .所以624382πππππ+≤+≤k x k ，………………………………① 或ππππππ+≤+≤+k x k 2438652………………………………②由①，得34616616+-≤≤-k x k .取1=k ，得311110+≤≤x .由②，得2163216+≤≤+k x k .取0=k ，得232≤≤x ；取1=k ，得183216≤≤+x .即一天温度的变化在[]25,20时的时间是00:2~40:0，20:11~00:10，00:18~40:16三个时间段，共4小时………………………………………………（12分） 19.（本题满分12分）某科研所研究人员都具有本科和研究生两类学历，年龄段和学历如下表，从该科研所任选一名研究人员，是本科生概率是32，是35岁以下的研究生概率是61.（Ⅰ）求出表格中的x 和y 的值；（Ⅱ）设“从数学教研组任选两名 教师，本科一名，研究生一名，50 岁以上本科生和35岁以下的研究生不全选中” 的事件为A ，求事件A 概率()A P .【解析】（Ⅰ）从科研所任选一名研究人员，是本科生概率是32，是35岁以下的研究生概率是61.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++++61832833yx y y x x ，解得2,2==y x因此该科研所的研究人员共有12名，其中50岁以上的具有本科学历的2名，35岁以下具有研究生学历的2名；（Ⅱ）设具有本科学历的研究人员分别标记为87654321,,,,,,,B B B B B B B B ，其中87,B B 是50岁以上本科生，研究生分别标记为4321,,,Y Y Y Y ,35岁以下的研究生分别标记为21,Y Y ，事件A 的基本事件是共有32种：()11,Y B ，()12,Y B ，()13,Y B ，()14,Y B ，()15,Y B ，()16,Y B ，()17,Y B ，()18,Y B ， ()21,Y B ，()22,Y B ，()23,Y B ，()24,Y B ，()25,Y B ，()26,Y B ，()27,Y B ，()28,Y B ，()31,Y B ，()32,Y B ，()33,Y B ，()34,Y B ，()35,Y B ，()36,Y B ，()37,Y B ，()38,Y B ，()41,Y B ，()42,Y B ，()43,Y B ，()44,Y B ，()45,Y B ，()46,Y B ，()47,Y B ，()48,Y B ，50岁以上的具有本科学历和35岁以下具有研究生学历的研究人员全部被选上的有()17,Y B ，()18,Y B ，()27,Y B ，()28,Y B 有4种，所以()873241=-=A P【命题意图】考查古典概型基本知识和解决概率问题基本方法，考查学生应用数学知识解决问题的能力、逻辑推理能力和计算能力.20. （本小题满分13分）已知平面⊥PAD 平面ABCD ,,2==PD PA 矩形ABCD 的边长2==DC AB ，22==BC AD . （Ⅰ）证明：直线//AD 平面PBC ； （Ⅱ）求直线PC 和底面ABCD 所成角的大小. 【解析】（Ⅰ）因为四边形ABCD 是矩形 BC AD //，…………………2分 又⊂BC 平面PBC …………………4分 ⊄AD 平面PBC …………………5分 所以直线//AD 平面PBC ……………6分 （Ⅱ）由条件平面⊥PAD 平面ABCD 平面 PAD 平面AD ABCD =过点P 作AD PE ⊥，……………7分 又因为AD CD ⊥根据平面和平面垂直的性质定理得⊥PE 平面ABCD ,⊥CD 平面PAD ……………9分 所以，直线EC 是直线PC 在平面ABCD 内的射影 PCE ∠直线PC 和底面ABCD 所成角，ABD PD P且⊥CD PD ……………10分 在PCD Rt ∆中，2222=+=CDPDPC因为,2==PD PA 所以222=-=EDPDPE在PCE Rt ∆中，21222sin ===∠PCPE PCE ，30=∠PCE …………11分直线PC 和底面ABCD 所成角的大小为030.…………12分21. （本题满分14分）已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=，在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若对于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有c x f x f ≤-|)()(|21，求实数c 的最小值；（3）若过点)2)(,2(≠m m M ，可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围．【解析】（1）323)(2-+='bx ax x f …………1分根据题意，得⎩⎨⎧='-=,0)1(,2)1(f f 即⎩⎨⎧=-+-=-+,0323,23b a b a解得⎩⎨⎧==.0,1b a .3)(3x x x f -=∴ …………3分（2）令33)(2-='x x f 0=，解得1±=x(1)2,(1)2f f -==- ，2)2(,2)2(=-=-f f[2,2]x ∴∈-当时，m ax m in ()2,() 2.f x f x ==-…………5分则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值12,x x ，都有12max min |()()||()()|4f x f x f x f x -≤-=所以 4.c ≥所以c 的最小值为4。

2012年湖北省八市高三三月联考试卷数 学（理科）本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.★ 祝考试顺利 ★注意事项：１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．２.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效． ３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合2{|03},{|320,}A x x B x x x x Z ==-+∈≤≤≤，则A B 等于A ．(1,3)-B ．[1，2]C ．{}0,1,2D ．{}1,22．设,,l m n 表示不同的直线，αβγ，，表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m ∥l ，且.m α⊥则l α⊥； ②若m ∥l ，且m ∥α.则l ∥α； ③若,,l m n αββγγα=== ，则l ∥m ∥n ； ④若,,,m l n αββγγα=== 且n ∥β,则l ∥m . 其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．如果数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -，…是首项为1，公比为5a 等于A ．32B ．64C ．-32D ．-644．下列命题中真命题的个数是①“2,0x R x x ∀∈->”的否定是“2,0x R x x ∃∈-<”； ②若|21|1x ->，则101x <<或10x<；③*4,21x N x ∀∈+是奇数.A ．0B ．1C ．2D ．35．若实数x ，y 满足20,,,x y y x y x b -⎧⎪⎨⎪-+⎩≥≥≥且2z x y =+的最小值为4，则实数b 的值为A ．0B ．2C ．83D ．36．21()nxx-的展开式中，常数项为15，则n的值可以为A．3 B．4C．5 D．67．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是A．2B．C．2-D．8．已知方程：22(1)(3)(1)(3)m x m y m m-+-=--表示焦距为8的双曲线，则m的值等于A．-30 B．10 C．-6或10 D．-30或349．已知函数()xf x a x b=+-的零点(,1)()x n n n Z∈+∈，其中常数a，b满足23a=，32b=，则n等于A．-1 B．-2 C．1 D．210．设{}(,)|02,02,,A a c a c a c R=<<<<∈，则任取(,)a c A∈，关于x的方程220ax x c++=有实根的概率为A．1ln22+B．1ln22-C．12ln24+D．32ln24-二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡中相应的位置) 11．已知i是虚数单位，计算2(2)34ii+-的结果是▲.12．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是▲．13．如图：已知树顶A离地面212米，树上另一点B离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树▲米时，看A、B的视角最大．第7题图分数第12题图第13题图第14题图 14．如图所示：有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． （1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ；则：（Ⅰ）(3)f = ▲ (Ⅱ) ()f n = ▲15．（考生注意：本题为选做题，请在下列两题中任选一题作答，如果都做，则按所做第（1）题计分）（1）（《几何证明选讲》选做题）.如图：直角三角形ABC 中，∠B ＝90 o ，AB ＝4，以BC 为直径的圆交边AC 于点D ， AD ＝2，则∠C 的大小为 ▲ ．（2）(《坐标系与参数方程选讲》选做题).已知直线的极坐标方程为sin()42πρθ+=，则点7(2,)4A π到这条直线的距离为 ▲ ． 三、解答题(本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．（本题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈的图象的一部分如下图所示．（I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()(2)y f x f x =++17．（本题满分12分）形状如图所示的三个游戏盘中（图（1）是正方形，M 、N 分别是所在边中点，图（2）是半径分别为2和4的两个同心圆，O 为圆心，图（3）是正六边形,点P 为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏． （I ）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？（II ）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．C第15题（1）图第17题图(1)(2) (3)第19题图18．（本题满分12分）一个四棱椎的三视图如图所示： （I ）求证：PA ⊥BD ；（II ）在线段PD 上是否存在一点Q ，使二面角Q -AC -D 的平面角为30o ？若存在，求D Q D P的值；若不存在，说明理由． 19．（本题满分12分）如图: O 方程为224x y +=，点P 在圆上，点D 在x 轴上，点M在DP 延长线上， O 交y 轴于点N ，//DP ON .且3.2D M D P =（I ）求点M 的轨迹C 的方程；（II）设12(0,F F 、，若过F 1的直线交（I ）中曲线C 于A 、B 两点，求22F A F B的取值范围．20．（本题满分13分）已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈．（I ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45 ，问：m 在什么范围取值时，对于任意的[1,2]t ∈，函数32()[()]2m g x x x f x '=++在区间(,3)t 上总存在极值？21．（本题满分14分）顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过点0(1,1)A ，过点0A 作抛物线的切线交x 轴于点B 1，过点B 1作x 轴的垂线交抛物线于点A 1，过点A 1作抛物线的切线交x 轴于点B 2，…，过点(,)n n n A x y 作抛物线的切线交x 轴于点11(,0)n n B x ++． （I ）求数列{ x n }，{ y n }的通项公式()n N *∈；（II ）设11111n nn a x x +=++-，数列{ a n }的前n 项和为T n ．求证：122n T n >-；（III ）设21log n n b y =-，若对于任意正整数n ，不等式1211(1)(1)b b ++…1(1)nb +≥成立，求正数a 的取值范围．第18题图2012年湖北省八市高三三月联考试卷数学（文科）本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.★祝考试顺利★注意事项：１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．２.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效.３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。