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山西省2013届高考数学一轮单元复习测试：三角函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，且2α∈[0,2π），则tan α等于（ ） A ．－ 3 B ． 3 C ．－33 D ．33【答案】B 2． 已知tan()34πα-=， 则1sin cos αα=（ ）A ．52B ．75C ．52-D ．75-【答案】C 3．若1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A ．78-B ．14-C ．14D ．78【答案】A4．将函数cos()3y x π=-的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴是 ( ） A ．9x π=B ． 8x π=C ．x π=D ． 2x π=【答案】D5．函数)4(sin )4(cos 22ππ+-+=x x y 是（ ） A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数 【答案】A6．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p(x ，y)．若初始位置为P 0(23，21)，当秒针从P 0 (注此时t =0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为（ ） A ．)630sin(ππ+=t yB ．)660sin(ππ--=t y C ．)630sin(ππ+-=t yD ．)330sin(--=t y【答案】C7．已知函数()y Asinx B =ω+ϕ+的一部分如下图所示。
如果A ＞0，0,2πωϕ><，则（ ）A ．A=4B ．B=4C ．1ω=D ．6πϕ= 【答案】D8． 若将函数2sin()y x ϕ=+的图像上每个点的横坐标缩短为原来的13倍（纵坐标不变）， 再向右平移4π个单位后得到的图像关于点(,0)3π对称，则ϕ的最小值是（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．34π【答案】A 9．函数)32cos()62sin(ππ+++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（ ）A ．2,2πB ．1,2πC ．，1D ．，2【答案】C 10．已知31)tan(,41tan =-=βαα，则=βtan （ ） A ．117 B ．711- C ．131-D ．131【答案】C11．已知ABC ∆的三个内角满足：B C A cos sin sin ⋅= ，则ABC ∆的形状为（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】B 12．已知tan()34πα-=， 则1sin cos αα= ( ）A ．52B ．75C ．52-D ．75-【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12； (2)图象上所有点的纵坐标不变， 横坐标伸长到原来的2倍；(3)图象向右平移3π个单位； (4)图象向左平移3π个单位；(5)图象向右平移23π个单位；(6)图象向左平移23π个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sinx 的图象变换到函数y ＝sin(x 2＋ 3π)的图象，那么这两种变换正确的标号是______(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．【答案】(4)(2)或(2)(6) 14．已知21cos sin =-αα，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为 .【答案】214-15．如果21)4tan(,43)tan(=-=+παβα，那么)4tan(πβ+= . 【答案】11216．若ABC ∆的面积为3，O 60,2==C BC ，则边长AB 的长度等于 . 【答案】2三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= (1）求cos B 的值； (2）若2=⋅BC BA ，且22=b，求c a 和的值.【答案】（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B(II ）由2cos ,2==⋅B a 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以.6==c a18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin sin sin ()A C p B p R +=∈且214ac b =. (1)当5,14p b ==时，求,a c 的值；(2）若角B 为锐角，求p 的取值范围；【答案】由题设并利用正弦定理，得5414a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,1,4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,41.a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (Ⅱ）解：由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-2()22cos a c ac ac B =+--2222cos ,22p b b b B =--即231cos ,22p B =+因为0cos 1B <<，得23(,2)2p ∈，由题设知0p >p <<19．已知函数f(x)=cos(-x 2)+cos(4k 1x22+π-)，k ∈Z ，x ∈R ． (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在［0,π)上的减区间； (3)若f(α)=5,α∈(0, 2π)，求tan(2α+ 4π)的值．【答案】(1)f(x)=cos(-x 2)+cos(4k 1x22+π-) =cos x 2+cos(2k π+ x 22π-)=sin x 2+cos x 2=x 2+4π),所以，f(x)的最小正周期T=2412π=π．(2)由2π+2k π≤x 32k 242π+≤π+π,k ∈Z得54k x 4k ,k Z 22π+π≤≤π+π∈． 令k=0，得5x 22π≤≤π；令k=-1，得73x .22π-≤≤-π 又x ∈［0,π)，∴f(x)在［0,π)上的减区间是［2π,π)． (3)由f(α)=5，得sin cos 225αα+=，∴1+sin α85=，∴sin α=35，又α∈(0, )2π， ∴cos α45==，∴232sin 32tan 244tan tan29cos 41tan 7116⨯ααα==∴α===α-α-，， ∴241tan2tan3174tan(2).244171tan2tan 147π+α+πα+===-π-α-20．已知向量()().cos 2,1,sin ,cos22x n x x m ==(I ）若n m ⊥且0＜x ＜π，试求x 的值； (II ）设(),n m x f ⋅=试求()x f 的对称轴方程和对称中心.【答案】（I ）∵.n m ⊥∴x x x n m cos sin 2cos 22+=⋅,0142sin 212sin 2cos =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=πx x x 即2242sin -=⎪⎭⎫⎝⎛+πx ∵,0π＜x＜∴,49,442⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+πππx ∴，x 474542πππ或=+∴.432ππ或=x (II ）().142sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f令.,82,242Z k k x Z k k x ∈+=∈+=+πππππ可得 ∴对称轴方程为.,82Z k k x ∈+=ππ 令Z k k x ∈=+,42ππ可得,,82Z k k x ∈-=ππ ∴对称中心为.,1,82Z k ∈⎪⎭⎫⎝⎛-ππ21．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 25A =，3AB AC ⋅=． (1）求ABC ∆的面积；(2） 若6b c +=，求a 的值．【答案】（1）因为cos25A =，所以53cos =A ， 又π<<A 0,所以54sin =A ． 由3AB AC ⋅=，得cos 3,bc A =所以5=bc故2sin 21==∆A bc S ABC ． (2）由5bc =，且6b c +=，解得⎩⎨⎧==,1,5c b 或⎩⎨⎧==.5,1c b 由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=， 故52=a22．如图，某园林绿化单位准备在一直角ABC 内的空地上植造一块“绿地△ABD ”，规划在△ABD 的内接正方形BEFG 内种花，其余地方种草，若AB=a ，θ=∠DAB ，种草的面积为1S ，种花的面积为2S ，比值12S S 称为“规划和谐度”。
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及简单应用考试要求：1．结合具体实例，了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义．2．能借助图象理解参数A ，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．3．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．一、教材概念·结论·性质重现1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ≥0)振幅周期频率相位初相A T ＝f ＝＝ωx ＋ φ φ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示：ωx ＋φ0π2πxy ＝A sin(ωx＋φ)0A 0－A 01．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径：由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．( × )(2)函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．( × )(3)若函数y＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．( √ )(4)函数y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为．( √ ) 2．(2021·常州一模)已知函数f(x)＝2sin x，为了得到函数g(x)＝2sin的图象，只需( )A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度C．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的D．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍B 解析：将f(x)＝2sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为f(x)＝2sin 2x；再将函数f(x)＝2sin 2x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝2sin．3．函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数的单调递减区间是( )A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)B 解析：由题意知ω＝＝2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝cos＝sin 2x的图象，由2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得函数的单调递减区间为(k∈Z)．4．(2021·东城区一模)已知函数f(x)＝A sin(2x＋φ)，其中x和f(x)部分对应值如表所示：x－0f(x)－2－2－222那么A＝________．4 解析：由题意得f(0)＝A sin φ＝－2，f＝－A cos φ＝－2，所以A2(sin2φ＋cos2φ)＝16，因为A＞0，所以A＝4．5．函数y＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝ ．3 解析：观察函数图象可得周期T＝，故T＝＝，所以ω＝3．考点1 由图象确定y＝A sin ωx＋φ 的解析式——基础性1．(2022·银川模拟)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则此函数的解析式可以是( )A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sinC 解析：由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象知，T＝2×＝π，ω＝＝2，由五点法画图知，是函数图象的第三个关键点，即2×＋φ＝π，解得φ＝，所以此函数的解析式是y＝sin．2．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，且f(x)的图象如图所示，则φ＝( )A． B．－C． D．－D 解析：因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，结合图象，－＝×，所以ω＝2．结合五点法作图可得，2×＋φ＝，所以φ＝－．3．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________．－ 解析：由题意可得T＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，所以φ＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1可得φ＝－，据此有f(x)＝2cos，f ＝2cos＝2cos＝－．4．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数T＝A sin(ωt＋φ)＋b，则这段曲线对应的函数解析式为____________．y＝10sin＋20，x∈[6,14] 解析：从题图中可以看出，6～14时是函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20．又×＝14－6，所以ω＝．又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．1．由图象求解析式问题，求①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z．考点2 函数y＝A sin ωx＋φ 的图象变换——综合性(1)(2021 ·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝( )A．sin B．sinC．sin D．sinB 解析：由已知的函数y＝sin逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin．(2)(2021·山西二模)将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度得到y ＝cos 2x的图象，则φ的值可能为( )A． B．C． D．A 解析：将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到y＝sin＝sin＝cos＝cos＝cos．若要得到y＝cos 2x的图象，则－2φ－＝2kπ，即φ＝－kπ－，k∈Z．因为φ＞0，所以当k＝－1时，φ＝．本例(1)若改为：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝________．sin 解析：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin，向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sin＝sin．1．由函数y移后伸缩”与“先伸缩后平移”．要特别注意这两种情况下平移的单位长度．2．当变换前后解析式三角函数名称不同时，要注意利用诱导公式转化．1．(2022·泰安模拟)已知函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C上所有点的( )A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D 解析：函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C 上所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，即可．2．已知函数f(x)＝cos是偶函数，要得到函数g(x)＝sin 2x的图象，只需将函数f(x)的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度C 解析：因为函数f(x)＝cos是偶函数，所以φ－＝kπ(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝cos 2x，要得到函数g(x)＝sin 2x＝cos的图象，只需将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．考点3 三角函数模型及其应用——应用性(2021·上海模拟)如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为( )A．5米B．(4＋)米C．(4＋)米D．(4＋)米D 解析：以圆心O1为原点，以水平方向为x轴正方向，以竖直方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一圈．设∠OO1P＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t)．又T＝12，所以θ＝t，所以f(t)＝3－2cos t，t≥0；风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达点P，θ＝6π＋，P(，1)，所以点P的高度为3－2×＝4(米)．因为A(0，－3)，所以AP＝＝，所以点P到点A的距离与点P的高度之和为(4＋)米．三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数模型，再利用三角函数的有关知1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4 m，P0在水平面上，盛水筒M 从点P0处开始运动，OP0与水平面所成角为30°，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是( )A．H＝4sin＋2B．H＝4sin＋2C．H＝4sin＋2D．H＝4sin＋2A 解析：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，因为∠xOP0＝30°＝，所以OM在 t(s) 内转过的角度为t＝t，所以以x轴为始边，以OM为终边的角为t－，则点M的纵坐标为4sin，所以点M距水面的高度H(m)表示为时间 t(s) 的函数是H＝4sin＋2．2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为________元．6 000 解析：作出函数简图如图：三角函数模型为y＝A sin(ωx＋φ)＋B，由题意知A＝(9 000－5 000)＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，所以ω＝＝．将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，所以φ＝0，故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．所以f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000(元)．故7月份的出厂价格为6 000元．考点4 三角函数图象与性质的综合问题——综合性(1)(多选题)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)，则下列结论正确的是( )A．函数g(x)的图象关于直线x＝对称B．函数g(x)的图象关于点对称C．函数g(x)在上单调递减D．函数g(x)在[0,2π]上恰有4个极值点AD 解析：函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)＝2sin的图象，对于A：当x＝时，g＝2，故A正确．对于B：当x＝时，g＝2sin＝，故B错误．对于C：当x∈时，2x－∈，故函数在该区间上单调递增，故C错误．对于D：令2x－＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，当k＝0,1,2,3时，x＝，，，，正好有4个极值点，故D正确．(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是( )A． B．(－2,2)C．(－2，－) D．(－2，－1)D 解析：方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈．设2x＋＝t，则t∈，题目条件可转化为＝sin t，t∈，有两个不同的实数根．所以y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的范围为，故m的取值范围是(－2，－1)．已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是________．1≤m＜2 解析：2sin2x－sin 2x＋m－1＝－cos 2x－sin 2x＋m＝－2sin＋m．因为x∈，所以2x＋∈．要使方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则2x＋∈且2x ＋≠，此时2sin∈[1,2)，所以1≤m＜2．1．研究y＝1．(2021·运城模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是( )A．f(x)＝2sinB．若把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则得到的函数在[－π，π]上是增函数C．若把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数是奇函数D．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－4π对称B 解析：由图象可得T＝－2π＝，所以T＝6π，所以ω＝＝．因为f(2π)＝2，所以f(2π)＝2sin＝2，即sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)．因为|φ|＜π，所以φ＝－．所以f(x)＝2sin，故A正确．把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数为y＝2sin．因为x∈[－π，π]，所以－≤x－≤，所以y＝2sin在[－π，π]上不单调递增，故B错误．把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数为y＝2sin＝2sin x，是奇函数，故C正确．f(－4π)＝2sin＝2，是最值，故x＝－4π是f(x)的对称轴，故D正确．2．若将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．2 B．C．1 D．A 解析：将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，得到的y＝2sin的图象关于y轴对称，所以φ＝，函数f(x)＝2sin．因为x∈，所以2x＋∈，则当2x＋＝时，函数f(x)在上的最大值为2．将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A ．B ．C ．D ．[四字程序]思路参考：构造正弦型函数的解析式．B 解析：y ＝cos x ＋sin x ＝2sin ，函数的图象向左平移m (m >0)个单位长度，得y ＝2sin 的图象．由x ＋m ＋＝k π＋(k ∈Z )，得函数y ＝2sin 的图象的对称轴为x ＝－m ＋k π(k ∈Z )．因为所得的图象关于y 轴对称，所以－m ＋k π＝0(k ∈Z )，即m ＝k π＋(k ∈Z )，则m 的最小值为．思路参考：构造余弦型函数的解析式．B 解析：函数y ＝cos x ＋sin x ＝2cos 的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到y ＝2cos 的图象．因为此函数图象关于y 轴对称，所以y ＝2cos 为偶函数，易知m 的最小值为．思路参考：根据图象对称轴与函数最值的关系．B 解析：由解法1，得y ＝2sin ．因为所得的图象关于y 轴对称，可得当x ＝0时，y ＝±2，进而sin ＝±1，易知m 的最小值为．思路参考：利用函数图象．B 解析：y＝cos x＋sin x＝2sin，可得此函数图象的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，可知离y轴最近的对称轴为x＝和x＝－．由图象向左平移m(m>0)个单位长度后关于y轴对称，易知m的最小值为．1．基于课程标准，解答本题一般需要提升运算求解能力、逻辑推理能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．2．基于高考数学评价体系，本题涉及三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，渗透了转化与化归思想方法，有一定的综合性，属于中低档难度题．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，所得函数g(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．0 B．C． D．1D 解析：将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，可得函数g(x)＝sin的图象．根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ．因为|φ|<，所以φ＝，f(x)＝sin．在上，2x＋∈，故当2x＋＝时，f(x)取得最大值为1．。
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第四章4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式考纲要求1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝πtan π2k αα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭＋(k ∈Z ))．2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2α±，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，并能灵活运用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：__________； (2)商数关系：__________； (3)倒数关系：__________. 2．诱导公式总口诀为：奇变偶不变，符号看象限，其中“奇”“偶”是指“k ·π2±α(k ∈Z )”中k 的奇偶性；“符号”是指把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．即α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成__________时原函数值的符号；π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( )．A ．－1213B ．1213C ．±1213D ．5122．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝( )．A ．65B ．95C ．43D ．533．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( )．A ．15B ．－15C ．513D ．－5134．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是________．思维拓展1．有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z )，你认为正确吗？提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α.2．“符号看象限”中，符号是否与α的大小有关？提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限的角．一、同角三角函数关系式的应用【例1－1】已知tan α＝14，则cos 2α＋sin 2α的值为__________．【例1－2】已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 方法提炼1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.请做[针对训练]1二、诱导公式的应用 【例2－1】化简：sin(540°－x )tan(900°－x )·1tan(450°－x )tan(810°－x )·cos(360°－x )sin(－x )＝__________.【例2－2】化简：cos(π＋θ)cos θ[cos(π－θ)－1]＋cos(θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos(θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ.【例2－3】已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(α＋2n π)·cos (α－2n π)(n ∈Z )．方法提炼利用诱导公式化简求值时的原则为：1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．请做[针对训练]2三、sin x ±cos x 与方程思想【例3】已知sin θ－cos θ＝12，求：(1)sin θcos θ；(2)sin 3θ－cos 3θ；(3)sin 4θ＋cos 4θ.方法提炼1．已知a sin x ＋b cos x ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sin x ，cos x ，一般此法不常用，原因是计算麻烦．2．sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系为：(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值可求其余两个代数式的值．请做[针对训练]3考情分析从近几年的高考试题来看，同角三角函数的基本关系和诱导公式中是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．主要考查诱导公式在三角函数式求值，化简的过程中与同角三角函数的关系式，和差角公式及倍角公式的综合应用，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法．预测2013年高考仍将以诱导公式为主要考点，重点考查考生的运算能力与恒等变形能力．针对训练 1．(2011重庆高考，文12)若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝__________.2．已知A ＝sin(k π＋α)sin α＋cos(k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是__________．3．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求m 的值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1(2)tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z(3)tan α·cot α＝12．sin α －sin α －sin α sin α cos αcos α cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α tan α tan α －tan α －tan α 锐角3．0 π6 π4 π3 π2 2π3 56ππ 3π2 0 12 22 32 1 32 120 －1 132 22 12 0 －12－32 －1 0 0 331 3 不存在 － 3 －33不存在基础自测1．A 解析：cos(α－π)＝－cos α＝－513，cos α＝513.sin α＝±1－cos 2α＝±1213，∵α是第四象限角，∴sin α＝－1213.2．B 解析：∵sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴sin 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x 2＝1，∴sin 2x ＝45，∴sin 2x ＋1＝95.3．D 解析：由tan α＝sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1及α是第四象限角，解得sin α＝－513.4．25 解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得，tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25. 考点探究突破【例1－1】1617 解析：cos 2α＋sin 2α＝1－2sin 2α＋sin 2α＝cos 2α＝cos 2αcos 2α＋sin 2α＝11＋tan 2α＝1617. 【例1－2】解：(1)联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1.①②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②.整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形的内角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α.∵tan α＝－43， ∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. 【例2－1】sin x 解析：原式＝sin(180°－x )tan(180°－x )·1tan(90°－x )tan(90°－x )·cos x－sin x＝sin x－tan x ·ta n x ·tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan x ＝sin x . 【例2－2】解：原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ. 【例2－3】解：∵cos(π＋α)＝－12.∴－cos α＝－12，cos α＝12.则sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(a ＋2n π)·cos (α－2n π)＝sin(2n π＋π＋α)＋sin(－2n π－π＋α)sin(2n π＋α)·cos (－2n π＋α)＝sin(π＋α)＋sin(－π＋α)sin α·cos α＝－sin α－sin(π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.【例3】解：(1)∵sin θ－cos θ＝12，∴(sin θ－cos θ)2＝14，即sin 2θ－2sin θcos θ＋cos 2θ＝14.由平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得sin θcos θ＝38.(2)sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋cos θsin θ＋cos 2θ)．由平方关系及sin θ－cos θ＝12，可得sin 3θ－cos 3θ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋38＝1116.(3)由(sin 2θ＋cos 2θ)2＝sin 4θ＋2sin 2θ·cos 2θ＋cos 4θ＝1，可得sin 4θ＋cos 4θ＝1－2sin 2θ·cos 2θ＝1－2×964＝2332.演练巩固提升 针对训练1．43 解析：由1＋tan 2α＝1cos 2α，则tan 2α＝169.又因α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，故tan α＞0，则tan α＝43.2．{－2,2} 解析：当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.3．解：由韦达定理可知⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m 2.①②由①式平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32，∴sin θcos θ＝34，由②得m 2＝34.∴m ＝32.。
第五章三角函数第一节 角的概念的推广与弧度制A 组动π3弧长1．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运到达Q 点，则Q 点的坐标为________．解析：由于点P 从(－1,0)出发，顺时针方向运动π3弧长到达32)．答Q 点，如图，因此Q 点的坐标为(cos 2π3，sin 2π3)，即Q (－12，案：(－12，32)2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．①tan α2 ②sin α2 ③cos α2④cos2α解析：α为第四象限角，则α2为第二、四象限角，因此tan α2<0恒成立，应填①，其余三个符号可正可负．答案：①3．(2008年高考全国卷Ⅱ改编)若sin α<0且tan α>0，则α是第_______象限的角． 答案：三4．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域为________．解析：当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，tan x >0，y ＝3； 当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，tan x <0，y ＝－1； 当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，tan x >0，y ＝－1；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，tan x <0，y ＝－1.答案：{－1,3}5．(原创题)若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－43 3.答案：－43或－4336．已知角α的终边上的一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝24y ，求cos α，tan α的值．解：因为sin α＝24y ＝y (－3)2＋y 2，所以y 2＝5，当y ＝5时，cos α＝－64，tan α＝－153； 当y ＝－5时，cos α＝－64，tan α＝153. B 组1．已知角α的终边过点P (a ，|a |)，且a ≠0，则sin α的值为________．解析：当a >0时，点P (a ，a )在第一象限，sin α＝22；当a <0时，点P (a ，－a )在第二象限，sin α＝22.答案：222．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是_____．解析：设扇形的圆心角为α rad ，半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋α·R ＝612R 2·α＝2，解得α＝1或α＝4.答案：1或4 3．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm ，则扇形的面积为________．解析：S ＝12|α|r 2＝12×23π×100＝1003π(cm 2)．答案：1003π cm 24．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________．答案：{56°，176°，296°} 5．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α是第________象限．解析：当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m ·180°＋225°＝m ·360°＋225°，故α为第三象限角；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝m ·360°＋45°，故α为第一象限角．答案：一或三6．设角α的终边经过点P (－6a ，－8a )(a ≠0)，则sin α－cos α的值是________．解析：∵x ＝－6a ，y ＝－8a ，∴r ＝(－6a )2＋(－8a )2＝10|a |，∴sin α－cos α＝y r －x r ＝－8a ＋6a 10|a |＝－a 5|a |＝±15.答案：±157．(2010年北京东城区质检)若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．解析：yx＝tan300°＝－tan60°＝－ 3.答案：－ 38．(2010年深圳调研)已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．解析：由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ在第四象限，∵tan θ＝cos3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.答案：7π49．已知角α的始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝25，且cos α<0，则k 的值为________．解析：设α终边上任一点P (x ，y )，且|OP |≠0，∴y ＝kx ， ∴r ＝x 2＋(kx )2＝1＋k 2|x |.又sin α>0，cos α<0.∴x <0，y >0，∴r ＝－1＋k 2x ，且k <0.∴sin α＝y r ＝kx －1＋k 2x ＝－k 1＋k 2，又sin α＝25.∴－k 1＋k 2＝25，∴k ＝－2.答案：－210．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．解：设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝103π(cm)，S 弓＝S 扇－S △＝12·103π·10－12·102sin60°＝50(π3－32)(cm 2)．11．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r ＋l ＝2r ＋αr ＝8，∴r ＝82＋α.∴S 扇＝12αr 2＝12α·64(2＋α)2＝32α＋4α＋4≤4， 当且仅当α＝4α，即α＝2时，扇形面积取得最大值4.此时，r ＝82＋2＝2 (cm)，∴|AB |＝2×2sin1＝4 sin1 (cm)．12．(1)角α的终边上一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(2)已知角β的终边在直线y ＝3x 上，用三角函数定义求sin β的值． 解：(1)根据题意，有x ＝4t ，y ＝－3t ，所以r ＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，①当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝－35，cos α＝45，所以2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.②当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝－3t －5t ＝35，cos α＝4t －5t＝－45，所以2sin α＋cos α＝65－45＝25.(2)设P (a ，3a )(a ≠0)是角β终边y ＝3x 上一点，若a ＜0，则β是第三象限角，r ＝－2a ，此时sin β＝3a －2a＝－32；若a ＞0，则β是第一象限角，r ＝2a ，此时sin β＝3a 2a ＝32.第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式A 组1．若cos α＝－35，α∈(π2，π)，则tan α＝________.解析：cos α＝－35，α∈(π2，π)，所以sin α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43.答案：－432．(2009年高考北京卷)若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.解析：由sin θ＝－45<0，tan θ>0知，θ是第三象限角，故cos θ＝－35.答案：－353．若sin(π6＋α)＝35，则cos(π3－α)＝________.解析：cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝35.答案：354．(2010年合肥质检)已知sin x ＝2cos x ，则5sin x －cos x2sin x ＋cos x＝______.解析：∵sin x ＝2cos x ，∴tan x ＝2，∴5sin x －cos x 2sin x ＋cos x ＝5tan x －12tan x ＋1＝95.答案：955．(原创题)若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ＝________.解析：由cos2θ＋cos θ＝0，得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或cos θ＝12，当cos θ＝－1时，有sin θ＝0，当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3.答案：0或3或－ 36．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝60169，且α∈(π4，π2)，求cos α，sin α的值．解：由题意，得2sin αcos α＝120169.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得：(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得：(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈(π4，π2)，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713.③sin α－cos α＝713，④③＋④得：sin α＝1213.③－④得：cos α＝513.B 组1．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝________.解析：由已知，得tan x ＝2，所以sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x ＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.答案：952．(2010年南京调研)cos 10π3＝________.解析：cos 10π3＝cos 4π3＝－cos π3＝－12.答案：－123．(2010年西安调研)已知sin α＝35，且α∈(π2，π)，那么sin2αcos 2α的值等于________．解析：cos α＝－1－sin 2α＝－45， sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2×35－45＝－32. 答案：－324．(2010年南昌质检)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝_________________.解析：sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1＝165.答案：165 5．(2010年苏州调研)已知tan x ＝sin(x ＋π2)，则sin x ＝___________________.解析：∵tan x ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝5－12.答案：5－126．若θ∈[0，π)，且cos θ(sin θ＋cos θ)＝1，则θ＝________.解析：由cos θ(sin θ＋cos θ)＝1⇒sin θ·cos θ＝1－cos 2θ＝sin 2θ⇒sin θ(sin θ－cos θ)＝0⇒sin θ＝0或sin θ－cos θ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或π4.答案：0或π47．已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)的值等于________．解析：由已知，得cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案：－138．(2008年高考浙江卷改编)若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.解析：由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②将①代入②得(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2.答案：29．已知f (α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋3π2)cos(－π－α)，则f (－31π3)的值为________．解析：∵f (α)＝sin α·cos α·cot α－cos α＝－cos α，∴f (－313π)＝－cos π3＝－12.答案：－1210．求sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )的值．解：(1)当n 为奇数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos[(n ＋1)π＋π3]＝sin(π－π3)·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.(2)当n 为偶数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos 4π3＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·(－cos π3)＝32×(－12)＝－34. 11．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三内角．解：由已知，得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得：2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32.又A 、B 是三角形内角，∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π.12．已知向量a ＝(3，1)，向量b ＝(sin α－m ，cos α)．(1)若a ∥b ，且α∈[0,2π)，将m 表示为α的函数，并求m 的最小值及相应的α值；(2)若a ⊥b ，且m ＝0，求cos(π2－α)·sin(π＋2α)cos(π－α)的值．解：(1)∵a ∥b ，∴3cos α－1·(sin α－m )＝0，∴m ＝sin α－3cos α＝2sin(α－π3)．又∵α∈[0,2π)，∴当sin(α－π3)＝－1时，m min ＝－2.此时α－π3＝32π，即α＝116π.(2)∵a ⊥b ，且m ＝0，∴3sin α＋cos α＝0.∴tan α＝－33.∴cos(π2－α)·sin(π＋2α)cos(π－α)＝sin α·(－sin2α)－cos α＝tan α·2sin α·cos α＝tan α·2sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α·2tan α1＋tan 2α＝12. 第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质A 组1．(2009年高考四川卷改编)已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是．①函数f (x )的最小正周期为2π②函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称④函数f (x )是奇函数解析：∵y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，y ＝－cos x 为偶函数，∴T ＝2π，在[0，π2]上是增函数，图象关于y 轴对称．答案：④2．(2009年高考广东卷改编)函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是________．①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为π2的奇函数④最小正周期为π2的偶函数解析：y ＝2cos 2(x －π4)－1＝cos(2x －π2)＝sin2x ，∴T ＝π，且为奇函数．答案：①3．(2009年高考江西卷改编)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π2，则f (x )的最大值为________．解析：f (x )＝(1＋3·sin x cos x )·cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3，∴当x ＋π6＝π2时，f (x )取得最大值2.答案：24．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为________．解析：∵x ＝π12是对称轴，∴f (0)＝f (π6)，即cos0＝a sin π3＋cos π3，∴a ＝33.答案：335．(原创题)设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期是π，则f (x )图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)．解析：∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2，又∵函数的图象关于直线x ＝π3对称，所以有sin(2×π3＋φ)＝±1，∴φ＝k 1π－π6(k 1∈Z )，由sin(2x ＋k 1π－π6)＝0得2x ＋k 1π－π6＝k 2π(k 2∈Z )，∴x ＝π12＋(k 2－k 1)π2，当k 1＝k 2时，x ＝π12，∴f (x )图象的一个对称中心为(π12，0)．答案：(π12，0)6．(2010年宁波调研)设函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期T ，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)求在[0,3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和．解：(1)f (x )＝32(cos2x ＋1)＋12sin2x －32＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin(2x ＋π3)，故T ＝π.由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－512π≤x ≤k π＋π12，所以单调递增区间为[k π－512π，k π＋π12](k ∈Z )．(2)令f (x )＝1，即sin(2x ＋π3)＝1，则2x ＋π3＝2k π＋π2(k ∈Z )．于是x ＝k π＋π12(k ∈Z )，∵0≤x <3π，且k ∈Z ，∴k ＝0,1,2，则π12＋(π＋π12)＋(2π＋π12)＝13π4.∴在[0,3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和为134π.B 组1．函数f (x )＝sin(23x ＋π2)＋sin 23x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．解析：f (x )＝cos 2x 3＋sin 2x 3＝2sin(2x 3＋π4)，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T＝2π23＝3π，∴T 2＝3π2.答案：3π2 2．(2010年天津河西区质检)给定性质：a 最小正周期为π；b 图象关于直线x ＝π3对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab 的是________．①y ＝sin(x 2＋π6) ②y ＝sin(2x ＋π6) ③y ＝sin|x | ④y ＝sin(2x －π6)解析：④中，∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又2×π3－π6＝π2，所以x ＝π3为对称轴．答案：④3．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)若π4<x <π2，则函数y ＝tan2x tan 3x 的最大值为__．解析：π4<x <π2，tan x >1，令tan 2x －1＝t >0，则y ＝tan2x tan 3x ＝2tan 4x 1－tan 2x ＝2(t ＋1)2－t＝－2(t＋1t＋2)≤－8，故填－8.答案：－8 4．(2010年烟台质检)函数f (x )＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－23π，θ]上的最大值为1，则θ的值是________．解析：因为f (x )＝sin 2x ＋2cos x ＝－cos 2x ＋2cos x ＋1＝－(cos x －1)2＋2，又其在区间[－2π3，θ]上的最大值为1，可知θ只能取－π2. 答案：－π25．(2010年苏北四市调研)若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[－2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．解析：由题意，得2π4ω≥2π3，∴0<ω≤34，则ω的最大值为34.答案：346．(2010年南京调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.解析：因为图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以由y ＝2sin(2x 0＋π3)＝0，x 0∈[－π2，0]，得x 0＝－π6.答案：－π67．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________．①y ＝4sin(4x ＋π6)②y ＝2sin(2x ＋π3)＋2③y ＝2sin(4x ＋π3)＋2 ④y ＝2sin(4x ＋π6)＋2解析：因为已知函数的最大值为4，最小值为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＋m ＝4m －A ＝0，解得A ＝m ＝2，又最小正周期为2πω＝π2，所以ω＝4，又直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，将x ＝π3代入得sin(4×π3＋φ)＝±1，所以φ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，φ＝π6.答案：④8．有一种波，其波形为函数y ＝sin π2x 的图象，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是________．解析：函数y ＝sin π2x 的周期T ＝4，若在区间[0，t ]上至少出现两个波峰，则t ≥54T ＝5.答案：59．(2009年高考安徽卷改编)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是________．解析：∵y ＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)，且由函数y ＝f (x )与直线y ＝2的两个相邻交点间的距离为π知，函数y ＝f (x )的周期T ＝π，∴T ＝2πω＝π，解得ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．答案：[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )10．已知向量a ＝(2sin ωx ，cos 2ωx )，向量b ＝(cos ωx,23)，其中ω>0，函数f (x )＝a ·b ，若f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求f (x )的解析式；(2)若对任意实数x ∈[π6，π3]，恒有|f (x )－m |<2成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )＝a ·b ＝(2sin ωx ，cos 2ωx )·(cos ωx,23)＝sin2ωx ＋3(1＋cos2ωx )＝2sin(2ωx ＋π3)＋ 3.∵相邻两对称轴的距离为π，∴2π2ω＝2π，∴ω＝12，∴f (x )＝2sin(x ＋π3)＋ 3.(2)∵x ∈[π6，π3]，∴x ＋π3∈[π2，2π3]，∴23≤f (x )≤2＋ 3.又∵|f (x )－m |<2，∴－2＋m <f (x )<2＋m .,若对任意x ∈[π6，π3]，恒有|f (x )－m |<2成立，则有⎩⎨⎧－2＋m ≤23，2＋m ≥2＋3，解得3≤m ≤2＋2 3. 11．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )．(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为4，求m 的值．解：(1)∵f (x )＝a ·b ＝2cos 2x ＋3sin2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.在[0，π]上的单调递增区间为[0，π6]，[2π3，π]．(2)当x ∈[0，π6]时，∵f (x )单调递增，∴当x ＝π6时，f (x )取得最大值为m ＋3，即m ＋3＝4，解之得m ＝1，∴m 的值为1.12．已知函数f (x )＝3sin ωx －2sin 2ωx2＋m (ω>0)的最小正周期为3π，且当x ∈[0，π]时，函数 f (x )的最小值为0.(1)求函数f (x )的表达式；(2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )，求sin A 的值．解：(1)f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx －1＋m ＝2sin(ωx ＋π6)－1＋m .依题意，函数f (x )的最小正周期为3π，即2πω＝3π，解得ω＝23.∴f (x )＝2sin(2x 3＋π6)－1＋m .当x ∈[0，π]时，π6≤2x 3＋π6≤5π6，12≤sin(2x 3＋π6)≤1，∴f (x )的最小值为m .依题意，m ＝0.∴f (x )＝2sin(2x 3＋π6)－1.(2)由题意，得f (C )＝2sin(2C 3＋π6)－1＝1，∴sin(2C 3＋π6)＝1.而π6≤2C 3＋π6≤5π6，∴2C 3＋π6＝π2，解得C ＝π2.∴A ＋B ＝π2. 在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝π2，2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )．∴2cos 2A －sin A －sin A ＝0，解得sin A ＝－1±52.∵0<sin A <1，∴sin A ＝5－12.第四节 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像A 组1．(2009年高考浙江卷改编)已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是________．解析：函数的最小正周期为T ＝2π|a |，∴当|a |>1时，T <2π.当0<|a |<1时，T >2π，观察图形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求．答案：④2．(2009年高考湖南卷改编)将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ等于________．解析：y ＝sin(x －π6)＝sin(x －π6＋2π)＝sin(x ＋11π6)．答案：11π63．将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．解析：因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)，f (x )的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为5π6.答案：5π64．如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)，x ∈R 的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．①函数f (x )的最小正周期为π2；②函数f (x )的振幅为23；③函数f (x )的一条对称轴方程为x ＝712π；④函数f (x )的单调递增区间为[π12，712π]；⑤函数的解析式为f (x )＝3sin(2x －23π)．解析：据图象可得：A ＝3，T 2＝5π6－π3⇒T ＝π，故ω＝2，又由f (7π12)＝3⇒sin(2×7π12＋φ)＝1，解得φ＝2k π－2π3(k ∈Z )，又－π<φ<π，故φ＝－2π3，故f (x )＝3sin(2x －2π3)，依次判断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x ＝7π12是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[π12，7π12]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．答案：③⑤5．(原创题)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 1＋2010)成立，则ω的最小值为________．解析：显然结论成立只需保证区间[x 1，x 1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，且f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，则2010≥2πω2⇒ω≥π2010.答案：π20106．(2010年苏北四市质检)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R (ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6. (1)求ω；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．解：(1)f (x )＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋32＝sin(2ωx ＋π6)＋32，令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π6代入可得：ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x ＋π6)＋32，经过题设的变化得到的函数g (x )＝sin(12x －π6)＋32，当x ＝4k π＋43π，k ∈Z 时，函数取得最大值52.令2k π＋π2≤12x －π6≤2k π＋32π(k ∈Z )，∴4k π＋4π3≤x ≤4k π＋103π(k ∈Z )．即x ∈[4k π＋4π3，4k π＋103π]，k ∈Z 为函数的单调递减区间．B 组1．(2009年高考宁夏、海南卷)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.解析：由图可知，T 2＝2π－34π，∴T ＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45，∴y ＝sin(45x ＋φ)．又∵sin(45×34π＋φ)＝－1，∴sin(35π＋φ)＝－1，∴35π＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z .∵－π≤φ<π，∴φ＝910π. 答案：910π2．(2010年南京调研)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知T ＝2(2π3－π6)＝π.∴ω＝2πT ＝2，把点(π6，1)代入，可得2×π6＋φ＝π2，φ＝π6.答案：π63．(2009年高考天津卷改编)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象________．解析：∵f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，∴2πω＝π，故ω＝2. 又f (x )＝sin(2x ＋π4)∴g (x )＝sin[2(x ＋π8)＋π4]＝sin(2x ＋π2)＝cos2x .答案：向左平移π8个单位长度4．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝________.解析：T 2＝1112π－712π＝π3，∴ω＝2πT ＝3.又(712π，0)是函数的一个上升段的零点， ∴3×712π＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，得φ＝－π4＋2k π，k ∈Z ，代入f (π2)＝－23，得A ＝223，∴f (0)＝23. 答案：235．将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(－π12，0)中心对称． 解析：由y ＝sin(2x ＋π3)＝sin2(x ＋π6)可知其函数图象关于点(－π6，0)对称，因此要使平移后的图象关于(－π12，0)对称，只需向右平移π12即可．答案：右 π126．(2010年深圳调研)定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 cos x 1 sin x 的图象向左平移m 个单位(m >0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是________．解析：由题意，知f (x )＝3sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x )＝2sin(x －π6)， 其图象向左平移m 个单位后变为y ＝2sin(x －π6＋m )，平移后其对称轴为x －π6＋m ＝k π＋π2，k ∈Z .若为偶函数，则x ＝0，所以m ＝k π＋2π3(k ∈Z )，故m 的最小值为2π3.答案：2π37．(2009年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为________．解析：y ＝tan(ωx ＋π4)向右平移π6个单位长度后得到函数解析式y ＝tan[ω(x －π6)＋π4]，即y＝tan(ωx ＋π4－πω6)，显然当π4－πω6＝π6＋k π(k ∈Z )时，两图象重合，此时ω＝12－6k (k ∈Z )．∵ω>0，∴k ＝0时，ω的最小值为12.答案：128．给出三个命题：①函数y ＝|sin(2x ＋π3)|的最小正周期是π2；②函数y ＝sin(x －3π2)在区间[π，3π2]上单调递增；③x ＝5π4是函数y ＝sin(2x ＋5π6)的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是________．解析：由于函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π，故函数y ＝|sin(2x ＋π3)|的最小正周期是π2，①正确；y ＝sin(x －3π2)＝cos x ，该函数在[π，3π2)上单调递增， ②正确；当x ＝5π4时，y ＝sin(2x ＋5π6)＝sin(5π2＋5π6)＝sin(π2＋5π6)＝cos 5π6＝－32，不等于函数的最值，故x ＝5π4不是函数y ＝sin(2x ＋5π6)的图象的一条对称轴，③不正确．答案：29．(2009年高考上海卷)当0≤x ≤1时，不等式sin πx2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________．解析：当0≤x ≤1时，y ＝sin πx2的图象如图所示，y ＝kx 的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，当k ≤0时，y ＝kx 在[0,1]上的图象恒在x 轴下方，原不等式成立．当k >0，kx ≤sin πx2时，在x ∈[0,1]上恒成立，k ≤1即可．故k ≤1时，x ∈[0,1]上恒有sin πx2≥kx .答案：k ≤110．(2009年高考重庆卷)设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到，求y ＝g (x )的单调增区间．解：(1)f (x )＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2sin ωx ·cos ωx ＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin(2ωx ＋π4)＋2，依题意，得2π2ω＝2π3，故ω＝32.(2)依题意，得g (x )＝2sin[3(x －π2)＋π4]＋2＝2sin(3x －5π4)＋2.由2k π－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k ∈Z )．故g (x )的单调增区间为[23k π＋π4，23k π＋7π12](k ∈Z )．11．(2009年高考陕西卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，π12]时，求f (x )的最值．解：(1)由最低点为M (2π3，－2)得 A ＝2.由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M (2π3，－2)在图象上得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，∴4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－11π6，k ∈Z .又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6， ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)∵x ∈[0，π12]，∴2x ＋π6∈[π6，π3]，∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.12．(2009年高考福建卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．解：法一：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0，即cos(π4＋φ)＝0.又|φ|<π2，∴φ＝π4.(2)由(1)得，f (x )＝sin(ωx ＋π4)．依题意，T 2＝π3，又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin(3x ＋π4)．函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]，g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )．从而，最小正实数m ＝π12.法二：(1)同法一．(2)由(1)得 ，f (x )＝sin(ωx ＋π4)．依题意，T 2＝π3.又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin(3x ＋π4)．函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]．g (x )是偶函数当且仅当g (－x )＝g (x )对x ∈R 恒成立，亦即sin(－3x ＋3m ＋π4)＝sin(3x ＋3m ＋π4)对x ∈R 恒成立．∴sin(－3x )cos(3m ＋π4)＋cos(－3x )·sin(3m ＋π4)＝sin3x cos(3m ＋π4)＋cos3x sin(3m ＋π4)，即2sin3x cos(3m ＋π4)＝0对x ∈R 恒成立．∴cos(3m ＋π4)＝0，故3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，kπ3＋π12(k∈Z)，从而，最小正实数m＝π12.∴m＝。
