集合与常用逻辑用语11

集合与常用逻辑用语一、集合1、特定集合的表示①自然数集：N ②正整数集：+N③整数集：Z ④有理数集：Q⑤实数集：R ⑥正实数集：+R2、集合之间的关系①子集：A⊆B⇔ x∈A⇒x∈B。

真子集：A B⇔A⊆B且A≠B。

集合相等：A=B⇔A⊆B且B⊆A。

②空集是任何集合的子集，是任意非空集合的真子集。

③n个元素的集合有n2个子集；n个元素的集合有12-n个真子集。

3、集合的运算关系①交集：A∩B⇔x∈A且x∈B。

并集：A∪B⇔x∈A或x∈B。

补集：ACU⇔x∈U且x∉A。

②基本性质：A∩∅=∅；A∪∅=A；A∩B=A⇔A⊆B；A∪B=A⇔B⊆A。

③容斥原理：Card(A)+Card(B)=Card(A∩B)+Card(A∪B)；Card(A)+Card(B)+Card(C)=Card(A∪B∪C)+Card(A∩B)+Card(B∩C) +Card(C∩A)-Card(A∩B∩C)。

④德摩根定律：(ACU )∩(BCU)=)(BACU⋃；(ACU)∪(BCU)=)(BACU⋂。

⑤其它性质：若{a1,a2…a m}⊆A⊆{a1,a2…a m,a m+1…a n}，则集合A的个数为m n-2。

若{a1,a2…a m}∪B={a1,a2…a m,a m+1…a n}，则集合B的个数为m2。

二、常用逻辑用语1、量词①全称量词：∀。

含有全称量词的命题为全称命题：∀x ∈M ，p(x)。

②存在量词：∃。

含有存在量词的命题为存在性命题：∃x ∈M ，p(x)。

2、基本逻辑连结词①∧(且)：若p 、q 全真，则p ∧q 为真；若p 、q 一真一假，则p ∧q 为假。

②∨(或)：若p 、q 至少一真，则p ∧q 为真；若p 、q 全假，则p ∧q 为假。

③⌝(非)：若p 真则p ⌝假；若p 假则p ⌝真。

㈠正面叙述的否定：都是→不都是；任意的→某个；任意n 个→某n 个；所有的→某些； 至多有n 个→至少有n+1个；至少有n 个→至多有n-1个；至少有一个→一个也没有。

第一章集合与常用逻辑用语第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称集合A为集合B的子集，记为AB或BA；如果AB，并且AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AB、BA，则A=B.5.补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为.6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB.8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作AB.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.二、疑难知识导析1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2}D．{y|y≥1}错解：求M∩N及解方程组得或∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},∴应选D．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴BA又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或∴C={0，1，2}[例3]已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有：（）A．m+nA B. m+nB C.m+nC D.m+n不属于A，B，C中任意一个错解：∵mA，∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ,∴m+n=4a+1,故选C错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.正解：∵mA,∴设m=2a1,a1Z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+nB, 故选B.[例4］已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使BA，只须∴p的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.由－3≤p≤3.∴2≤p≤3②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1?A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ? －1∈A ? ∈A ? 2∈A∴A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝即＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈A ? ∈A ? ∈A?A，即1－∈A⑷由⑶知a∈A时，∈A，1－∈A.现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0，方程无解，∴a≠②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－③若1－=，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. [例7] 设集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，试证：AB．证明：任设∈A，则==(＋2)2－4(＋2)＋5(∈N+),∵n∈N*，∴n＋2∈N*∴a∈B故①显然，1，而由B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B②由①、②得AB．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0，x∈Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（）A．16B．14C．15 D．322．数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，-2 } B．{－2，－}C．{±2，±} D．{，－}3.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P B．QC．D．不知道4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q=B．P Q C．P=QD．P Q5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，则MN＝（）A．B．C．D．6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．7.（06高考全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围.8.已知集合A=和B=满足A∩B=，A∩B=，I=R，求实数a,b的值.§1.2．常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“”“”“”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p5．四种命题的构成：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ”.7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真.8．充分条件与必要条件：①pq：p是q的充分条件；q是p的必要条件；②pq：p是q的充要条件.9．常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给”等；并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某个”；并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的. （4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明的充要条件是；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.注：常见关键词的否定：关键词是都是（全是）（）至少有一个至多有一个任意存在否定不是不都是（全是）（）一个也没有至少有两个存在任意。

高一数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.集合的元素个数是（）．A．59B．31C．30D．29【答案】C【解析】由2n－1＜60，得n＜，又∵n∈N*，∴满足不等式n＜的正整数一共有30个．即集合M中一共有30个元素，可列为1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1，a30=59，n=30的等差数列．集合M中一共有30个元素。

【考点】集合问题2.已知集合A={1，3，5，6}，集合B={2，3，4，5}，那么A∩B=（）A．{3，5}B．{1，2，3，4，5，6}C．{1，3，5}D．{3，5，6}【答案】A【解析】所求是两个集合的公共元素组成的集合，所以．【考点】集合的运算3.（本题满分12分）计算：（1）集合集合求和（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）由集合的运算性质可得；（2）利用对数与指数的运算性质，以及公式化简可得试题解析：（1）（2）【考点】1．集合的运算性质；2．对数与指数的运算性质4.（本题满分12分）已知全集，，，（1）求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】（1）首先求解集合A中函数的定义域得到集合A，A,B两集合的交集是由两集合的相同元素构成的集合，A,B并集是由两集合的所有元素构成的集合；（2）由已知得两集合的子集关系，从而得到两集合边界值的大小关系，解不等式求解的取值范围．试题解析：（1）（2）∵∴∴得∴实数的取值范围为【考点】1．集合的交并集运算；2．集合的子集关系5.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，．【答案】-1【解析】由两集合相等可得【考点】集合相等与集合元素特征6.满足的集合A的个数是_______个．【答案】7【解析】符合条件的集合A可以为，，，，，，，共7个．【考点】集合间的关系．7.设全集集合则．【答案】【解析】集合M表示的是直线除去点（2，3）的所有点；集合P表示的是不在直线上的所有点，显然表示的是平面内除去点（2，3）的所有点，故．【考点】集合运算．8.（本小题满分14分）已知集合，．（1）求：，；（2）已知，若，求实数的取值集合【答案】（1）;（2）．【解析】（1）画数轴先求,再求．（2）画数轴分析可得关于关于的不等式,从而可求得的范围．试题解析：解：（1）（2）【考点】集合的运算．9.在①；②；③；④上述四个关系中，错误的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】，所以①错；，所以②错；③④正确．【考点】1．元素与集合的关系；2．集合与集合的关系．10.已知集合，，则A．或B．C．D．【答案】B【解析】由交集的定义可知，，故选B．【考点】集合的运算及表示．【易错点睛】本题主要考查集合的运算与集合的表示方法，属容易题．集合A中的代表元素用的字母为，集合B中的代表元素用的字母为，学生会误认为是两个不同类型的集合，选D，即对两个集合均为数集的含义不清楚导致错误．11.设全集是实数集.，.（1）当时，求和；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，求出集合，然后将代入就交集和并集即可；（2）若分和求出的取值范围，周求并集即可试题解析：（1）根据题意，由于，当时，，而，所以，，（2），若，则，若，则，，综上，【考点】集合的运算，子集12.（10分）已知，。

集合与常用逻辑用语第一节集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈ ；不属于，记为?.(4)五个特定的集合及其关系图：N *或 N ＋表示正整数集， N 表示自然数集，Z 表示整数集， Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称 A 是 B 的子集，记作 A? B(或 B? A)．(2)真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，但集合 B 中至少有一个元素不属于A，则称A 是B 的真子集，记作 A B 或 B A.A? B，既要说明 A 中任何一个元素都属于B，也要说明 B 中存在一个元素不A B?A≠ B.属于 A.(3)集合相等：如果 A? B，并且 B? A，则 A＝ B.A? B，A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性， B 中任意一两集合相等： A＝ B?A? B.个元素也符合 A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子集．记作 ?.?∈ { ?} ，?? { ?} ， 0??， 0?{ ?},0 ∈ {0} ，?? {0} ．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 交集，记作A∩ B，即 A∩ B＝ { x|x∈ A，且 x∈ B} ．(2)并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 并集，记作A∪ B，即 A∪ B＝ { x|x∈ A，或 x∈ B} ．(3)补集：对于一个集合A，由全集U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作?U A，即 ?U A＝ { x|x∈ U，且 x?A} ．求集合 A 的补集的前提是“ A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集中取出集合 A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A.的的U二、常用结论(1)子集的性质：A? A， ?? A， A∩ B? A， A∩B? B.(2)交集的性质：A∩A＝ A， A∩?＝ ?， A∩ B＝B∩ A.(3)并集的性质：A∪B＝ B∪ A，A∪ B? A， A∪ B? B， A∪ A＝ A， A∪ ?＝ ?∪A＝ A.(4)补集的性质：A∪?U A＝U， A∩ ?U A＝ ?，?U(?U A)＝ A， ?A A＝ ?， ?A?＝ A.(5)含有 n 个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－ 1 个真子集， 2n－ 1 个非空子集．(6)等价关系： A∩ B＝ A? A? B； A∪ B＝ A? A? B.考点一集合的基本概念[典例 ] (1)(2017全·国卷Ⅲ )已知集合 A＝ {( x，y)|x2＋ y2＝ 1} ，B＝ {( x，y)|y＝ x} ，则 A∩ B 中元素的个数为 ()A ． 3B． 2C．1D． 0b2 2 019 2 019(2)已知 a， b∈ R，若 a，a， 1＝{ a， a＋ b,0} ，则 a＋b的值为 ()A ． 1B． 0C．－ 1D．±1[解析 ] (1)因为 A 表示圆 x2＋y2＝1上的点的集合， B 表示直线 y＝ x 上的点的集合，直线 y＝ x 与圆 x2＋ y2＝1 有两个交点，所以A∩ B 中元素的个数为 2.b＝ 0，所以 b＝ 0，于是 a2＝1，即 a＝ 1 或 a＝－ 1.又根据集合中(2)由已知得 a≠ 0，则a元素的互异性可知a＝ 1 应舍去，因此 a＝－ 1，故 a2 019＋ b2 019＝ (－ 1)2 019＋ 02 019＝－ 1.[答案 ] (1)B(2)C[ 提醒 ]集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练 ]1．设集合 A ＝{0,1,2,3} ，B ＝ { x|－ x ∈ A,1－ x?A} ，则集合 B 中元素的个数为 ()A ． 1B ． 2C ．3D ． 4解析： 选 A若 x ∈ B ，则－ x ∈ A ，故 x 只可能是 0，－ 1，－ 2，－ 3，当 0∈B 时， 1－0＝ 1∈ A ；当－ 1∈ B 时， 1－ (－ 1)＝ 2∈A ；当－ 2∈ B 时， 1－ (－ 2)＝ 3∈A ；当－ 3∈B 时， 1 －( －3) ＝4?A ，所以 B ＝ { － 3} ，故集合 B 中元素的个数为 1.2．若集合 A ＝{ x ∈ R|ax 2－ 3x ＋ 2＝ 0} 中只有一个元素，则 a 等于 ()9 9 A. 2B.89C ．0D ． 0 或8解析：选 D若集合 A 中只有一个元素， 则方程 ax 2－ 3x ＋ 2＝0 只有一个实根或有两个相等实根．当 a ＝0 时， x ＝ 2，符合题意．329当 a ≠0 时，由 ＝ (－ 3) － 8a ＝ 0，得 a ＝ 8，所以 a 的值为90 或 .83.（ 2018·厦门模拟 ）已知 P={ x|2<x<k,x ∈N}, 若集合 P 中恰有 3 个元素，则 k 的取值范围为.解析： 因为 P 中恰有 3 个元素，所以 P=｛ 3， 4，5｝，故 k 的取值范围为 5<k ≤6.答案：（ 5， 6］考点二 集合间的基本关系[典例 ](1)已知集合 A ＝ { x|x 2－ 3x ＋ 2＝ 0，x ∈ R} ， B ＝ { x|0<x<5， x ∈ N} ，则 ()A ． B? AB ． A ＝ BC ．ABD ． B A(2)(2019 湖·北八校联考 )已知集合 A ＝ * 2－ 3x<0} ，则满足条件 B? A 的集合 B 的{ x ∈ N |x 个数为 ()A ． 2B ． 3C ．4D ． 8(3)已知集合 A ＝ { x|－ 1<x<3} ，B ＝ { x|－ m<x<m} ，若 B? A ，则 m 的取值范围为 ________．[解析 ](1)由 x 2－ 3x ＋ 2＝0 得 x ＝ 1 或 x ＝ 2，∴ A ＝ {1,2} ．由题意知 B ＝ {1,2,3,4} ，比较 A ， B 中的元素可知 A B ，故选 C.* 2*＝ {1,2}，又 B? A，∴满足条件 B? A 的集合(2)∵ A＝ { x∈ N |x－ 3x<0} ＝ { x∈ N |0<x<3}B 的个数为22＝ 4，故选 C.(3)当 m≤0 时， B＝ ?，显然 B? A.当m>0 时，因为 A＝ { x|－ 1<x<3} ．若 B? A，在数轴上标出两集合，如图，所以－m≥－1，m≤ 3，所以0<m≤1.－ m<m.综上所述， m 的取值范围为(－∞， 1]．[答案 ](1)C (2)C(3)( －∞， 1][变透练清 ](变条件 )若本例 (2)中 A 不变， C＝ { x|0<x<5 ， x∈ N} ，则满足条件A? B? C 的集合 B 1.的个数为 ()A ． 1B． 2C．3D． 4解析：选 D因为 A＝ {1,2} ，由题意知 C＝{1,2,3,4} ，所以满足条件的 B 可为 {1,2} ，{1,2,3} ，{1,2,4} ， {1,2,3,4} ．(变条件 )若本例 (3)中，把条件“ B? A”变为“ A? B”，其他条件不变，则m 的取值2.范围为 ________．解析：若 A? B，由－ m≤ － 1，得 m≥ 3，m≥3∴m 的取值范围为 [3，＋∞ )．答案： [3，＋∞ )3．已知集合A＝ {1,2} ， B＝ { x|x2＋ mx＋ 1＝ 0， x∈ R} ，若 B? A，则实数m 的取值范围为________．解析：①若 B＝ ?，则＝m2－4<0，解得－2<m<2；②若 1∈ B，则 12＋ m＋1＝ 0，解得 m＝－ 2，此时 B＝ {1} ，符合题意；2③若 2∈ B，则 2 ＋ 2m＋ 1＝ 0，解得 m＝－5，此时 B＝ 2，1，不合题意．22综上所述，实数m 的取值范围为 [－ 2,2)．答案： [－ 2,2)考点三集合的基本运算考法 (一 )集合的运算[典例 ](1)(2018天·津高考 )设集合A＝ {1,2,3,4} ， B＝ { － 1,0,2,3} ， C＝ { x∈ R|－ 1≤ x＜2} ，则 (A∪ B)∩ C＝ ()A ． { － 1,1}B． {0,1}C．{ － 1,0,1}D． {2,3,4}(2)已知全集 U＝ R，集合 A＝ { x|x2－ 3x－4>0} ， B＝ { x|－ 2≤ x≤2} ，则如图所示阴影部分所表示的集合为 ()A ． { x|－ 2≤x<4}B．{ x|x≤ 2 或 x≥ 4}C．{ x|－ 2≤ x≤－ 1}D． { x|－ 1≤x≤ 2}[解析 ](1)∵ A＝{1,2,3,4} ， B＝ { －1,0,2,3} ，∴A∪B＝{ －1,0,1,2,3,4} ．又C＝{ x∈R|－ 1≤x＜2} ，∴(A∪B)∩ C＝ { － 1,0,1} ．(2)依题意得 A＝ { x|x<－ 1 或 x>4} ，因此 ?R A＝ { x|－ 1≤ x≤ 4} ，题中的阴影部分所表示的集合为(?R A)∩ B＝ { x|－ 1≤ x≤ 2} ．[答案 ](1)C(2)D考法 (二 )根据集合运算结果求参数[典例 ](1)已知集合 A＝ { x|x2－x－ 12>0} ， B＝ { x|x≥ m} ．若 A∩ B＝ { x|x>4} ，则实数 m 的取值范围是 ()A ． (－ 4,3)B． [－ 3,4]C．( －3,4)D． (－∞， 4](2)(2019河·南名校联盟联考 )已知 A＝{1,2,3,4} ，B＝ { a＋ 1,2a} ，若 A∩ B＝ {4} ，则 a＝()A ． 3B． 2C．2 或3D． 3 或 1[解析 ](1)集合 A＝ { x|x<－3或 x>4} ，∵ A∩ B＝{ x|x>4} ，∴－ 3≤m≤ 4，故选 B.(2)∵ A∩ B＝ {4} ，∴ a＋ 1＝4或 2a＝4.若 a＋1＝ 4，则 a＝ 3，此时 B＝ {4,6} ，符合题意；若 2a＝ 4，则 a＝ 2，此时 B＝ {3,4} ，不符合题意．综上，a＝ 3，故选 A.[答案 ] (1)B(2)A[ 题组训练 ]1．已知集合A ． {1}C ．{0,1,2,3}解析： 选 CA ＝ {1,2,3}因为集合 ， B ＝ { x|(x ＋ 1)(x － 2)<0 ， x ∈ Z} ，则B ． {1,2}D ． { －1,0,1,2,3}B ＝ { x|－ 1<x<2， x ∈Z} ＝{0,1} ，而 A ∪ B ＝ ()A ＝ {1,2,3} ，所以 A ∪B ＝{0,1,2,3} ．2． (2019 ·庆六校联考重 )已知集合 A ＝{ x|2x 2＋ x － 1≤0} ， B ＝ { x|lg x<2} ，则 (?R A) ∩B ＝()1， 1001， 2A. 2B. 2 1， 100D ． ?C. 2解析： 选 A由题意得 A ＝ － 1，1， B ＝ (0,100)，则 ?R A ＝ (－ ∞ ，－ 1)∪1，＋ ∞ ，2 2 所以 (?R A)∩ B ＝1， 100 .213．(2019 合·肥质量检测 )已知集合 A ＝ [1，＋∞ )，B ＝ x ∈ R 2a ≤ x ≤2a － 1 ，若 A ∩ B ≠?，则实数 a 的取值范围是 ()1A ． [1，＋∞ )B. 2， 1 2，＋∞D ． (1，＋∞ )C. 3解析： 选 A因为 A ∩ B ≠?，1a ， 解得 a ≥ 1.所以 2a － 1≥1，a － 1≥2[ 课时跟踪检测 ]1．(2019 ·州质量检测福 )已知集合 A ＝ { x|x ＝ 2k ＋ 1，k ∈ Z} ，B ＝ { x|－ 1<x ≤ 4} ，则集合 A ∩ B中元素的个数为 ()A ． 1B ． 2C ．3D ． 4解析： 选 B依题意，集合 A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝ {1,3} ，所以集合A ∩B 中元素的个数为2.2．设集合U＝ {1,2,3,4,5,6} ， A＝ {1,3,5} ， B＝ {3,4,5} ，则 ?U(A∪ B)＝ ()A ． {2,6}C．{1,3,4,5}解析：选 A因为A＝ {1,3,5}B． {3,6}D． {1,2,4,6}，B＝ {3,4,5} ，所以 A∪ B＝ {1,3,4,5}．又U＝ {1,2,3,4,5,6}，所以 ?U (A∪ B)＝ {2,6} ．3．(2018 ·津高考天 )设全集为R，集合 A ＝ { x|0＜ x＜ 2} ，B＝ { x|x≥1} ，则 A∩ (?R B)＝ ()A ． { x|0＜ x≤1}B． { x|0＜x＜ 1}C．{ x|1≤ x＜ 2}D． { x|0＜x＜ 2}解析：选B∵全集为R， B＝ { x|x≥ 1} ，∴?R B＝ { x|x＜ 1} ．∵集合 A＝ { x|0＜ x＜ 2} ，∴A∩ (?R B)＝ { x|0＜ x＜ 1} ．4．(2018 ·宁毕业班摸底南)设集合 M＝ { x|x<4} ，集合 N＝ { x|x2－ 2x<0} ，则下列关系中正确的是()A ． M∩ N＝ MC．N∪ (?R M)＝ R解析：选 D由题意可得，B． M∪ (?R N)＝ MD． M∪ N＝ MN＝ (0,2)， M＝ (－∞，4)，所以M∪ N＝M.5．设集合 A＝ x 1≤ 2x< 2， B＝ { x|ln x≤ 0} ，则 A∩B 为 () 2A.0，1B． [－ 1,0) 21， 1D． [－ 1,1]C. 21x－ 1x1112，∴A＝ x－ 1≤ x<.∵ln x≤0，解析：选 A ∵≤ 2 < 2，即 2 ≤<2 2，∴－ 1≤ x<222即 ln x≤ ln 1，∴ 0<x≤1，∴ B＝ { x|0<x≤1} ，∴ A∩ B＝ x0<x<1. 26． (2019 郑·州质量测试 )设集合 A＝ { x|1<x<2} ，B＝ { x|x<a} ，若 A∩B＝ A，则 a 的取值范围是 ()A ． (－∞， 2]B． (－∞， 1]C．[1，＋∞ )D． [2，＋∞ )解析：选 D 由 A∩B＝ A，可得 A? B，又因为 A＝ { x|1<x<2} ，B＝ { x|x<a} ，所以 a≥ 2.7．已知全集 U＝ A∪B 中有 m 个元素，(?U A?U B个元素．若 A∩ B 非空，则)∪ ()中有nA∩ B 的元素个数为 ()A ． mn B． m＋nC ．n － mD ． m － n解析： 选 D( )中有 n个元素，如图中阴影部分所示， 因为 (?U A )∪ ?U B又 U ＝ A ∪ B 中有 m 个元素，故 A ∩B 中有 m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A ＝ x x ＝m， m ∈A ， n ∈B ，已知集合A ＝ {2,4,6} ，B ＝Bnx x ＝ k－1， k ∈ A，则集合 B∪ B 中的元素个数为 ()2AA ． 6B ． 7C ．8D ． 9解 析 ： 选 B由 题 意 知 ， B ＝ {0,1,2} ， B ＝0， 1， 1，1， 1，1， 则 B∪ B ＝A 2 4 63A1 1 1 10， 2， 4， 6， 1，3， 2 ，共有 7 个元素．9．设集合 A ＝{ x|x 2－ x － 2≤ 0} ， B ＝ { x|x<1，且 x ∈ Z} ，则 A ∩ B ＝ ________.解析： 依题意得 A ＝ { x|(x ＋ 1)(x － 2)≤ 0} ＝ { x|－ 1≤ x ≤ 2} ，因此A ∩B ＝{ x|－ 1≤x<1， x∈ Z } ＝ { －1,0} ．答案： { － 1,0}10．已知集合 U ＝ R ，集合 A ＝ [－ 5,2]， B ＝ (1,4) ，则下图中阴影部分所表示的集合为________．解析： ∵ A ＝ [－ 5,2]，B ＝ (1,4) ，∴ ?U B ＝ { x|x ≤1 或 x ≥ 4} ，则题图中阴影部分所表示的集合为 (?U B)∩A ＝ { x|－ 5≤ x ≤ 1} ．答案 ： { x|－ 5≤x ≤ 1}11．若集合 A ＝{( x ， y)|y ＝ 3x 2－ 3x ＋ 1} ，B ＝ {( x ， y)|y ＝ x} ，则集合 A ∩ B 中的元素个数为 ________．解析： 法一： 由集合的意义可知， A ∩ B 表示曲线 y ＝ 3x 2－ 3x ＋ 1 与直线 y ＝ x 的交点构成的集合．1y ＝ 3x 2－ 3x ＋ 1， x ＝3，x ＝ 1， 联立得方程组解得或y ＝ x ，1 y ＝ 1，y ＝31 1故 A ∩ B ＝ 3， 3 ， 1， 1 ，所以 A ∩ B 中含有 2 个元素．法二： 由集合的意义可知， A ∩ B 表示曲线 y ＝ 3x 2－ 3x ＋ 1 与直线 y ＝x 的交点构成的集合．因为 3x 2－ 3x ＋ 1＝ x 即 3x 2－4x ＋ 1＝ 0 的判别式 >0，所以该方程有两个不相等的实根，所以 A∩B 中含有 2 个元素．答案：212．已知集合 A＝ { x|log2x≤ 2} ，B＝ { x|x＜ a} ，若 A? B，则实数 a 的取值范围是__________ ．解析：由 log 2x≤ 2，得 0＜ x≤ 4，即A＝ { x|0＜x≤ 4} ，而 B＝{ x|x＜ a} ，由于 A? B，在数轴上标出集合A， B，如图所示，则a＞ 4.答案： (4，＋∞ )13．设全集U＝ R， A＝ { x|1≤ x≤ 3} ， B＝ { x|2<x<4} ， C＝ { x|a≤ x≤ a＋ 1} ．(1)分别求 A∩ B，A∪ (?U B)；(2)若 B∪ C＝ B，求实数 a 的取值范围．解： (1)由题意知， A∩ B＝ { x|1≤ x≤ 3} ∩ { x|2<x<4} ＝ { x|2<x≤ 3} ．易知 ?U B＝ { x|x≤ 2 或x≥4} ，所以 A∪(?U B)＝ { x|1≤ x≤ 3} ∪ { x|x≤2 或 x≥ 4} ＝ { x|x≤ 3 或 x≥ 4} ．(2)由 B∪ C＝ B，可知 C? B，画出数轴 (图略 )，易知 2<a<a＋ 1<4，解得 2<a<3.故实数 a 的取值范围是(2,3)．。

用逻辑用语2023-11-07CATALOGUE目录•集合与常用逻辑用语概述•集合的表示方法与集合之间的关系•常用逻辑用语的基本概念和基本逻辑关系•常用逻辑用语的基本推理形式和方法•集合的常用逻辑用语在实际应用中的案例分析•总结与展望01集合与常用逻辑用语概述什么是集合集合的特性确定性：集合中的元素是确定的，不存在模糊的边界。

无序性：集合中的元素没有固定的顺序。

互异性：集合中的元素是互不相同的，没有重复的元素。

定义：集合是由一组具有共同特征的元素组成的，这些元素可以是具体的也可以是抽象的。

集合的常用逻辑用语定义子集如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合就是另一个集合的子集。

符号表示为A ⊆B。

并集如果一个集合包含了两个或多个其他集合的所有元素，那么这个集合是这些集合的并集。

符号表示为A∪B。

补集如果一个集合的所有元素都不在另一个集合中，那么这个集合是另一个集合的补集。

符号表示为Ac。

集合符号通常用大写字母A、B、C等表示集合，并用小写字母a、b、c等表示集合中的元素。

真子集如果一个集合是另一个集合的子集，并且它们不相等，那么这个集合是真子集。

符号表示为A ⊄B。

交集如果一个集合只包含两个或多个其他集合的公共元素，那么这个集合是这些集合的交集。

符号表示为A∩B。

010203040506通过使用集合的常用逻辑用语，我们可以更清晰地描述现实世界中的各种概念和现象。

描述组织推导使用集合的常用逻辑用语可以帮助我们组织和分类信息，以便更好地理解和处理数据。

通过使用集合的常用逻辑用语，我们可以进行逻辑推理和推导，从而得出新的结论和发现。

03集合的常用逻辑用语的作用020102集合的表示方法与集合之间的关系将集合中的元素一一列举出来，例如{1, 2, 3, 4, 5}。

列举法用概括性的语言描述集合中的元素，例如{x|x是矩形}。

描述法用特定的符号表示集合，例如A={1, 2, 3}, B={4, 5, 6}。

2020年高考文科数学专题一集合与常用逻辑用语集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关常用逻辑用语的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1 集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0∈N*(2)0∉{－1，1} (3)∅∈{0}(4)∅∉{0} (5){0}∈{0，1} (6){0}⊆{0}其中正确的关系是______．【答案】(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a 不是集合A的元素，记作：a∉A．3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A⊆B或B⊇A．如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．A B或B A．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(U A)∩(U B)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(U A)＝{4，6，8}．求集合A，B．【答案】A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【解析】根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B．对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B．如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U 中的补集．记作U A．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a }．若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是______．【答案】(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4 设a ，b ∈R ，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则b －a ＝______． 【答案】2【解析】因为},,0{},,1{b a b a b a =+，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则ab没有意义)， 所以，a ＋b ＝0，ab＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a }，a ＝－1， 结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①R ∈21；②2∉Q ；③｜－3｜∉N *；④Q ∈-|3|．其中正确命题的个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)42．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是( ) (A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)} (B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}(C )A ＝{0}，B ＝∅(D)A ＝{y ｜y ＝x 2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x 2＋1}3．已知M ＝{(x ，y )｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y )｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( ) (A)M N(B)N M(C)M ＝N(D)M ∩N ＝∅4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N }，则下式中正确的关系是( ) (A)U ＝A ∪B (B)U ＝(U A )∪B(C)U ＝A ∪(U B )(D)U ＝(U A )∪(U B )二、填空题5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则(U A)∩B＝______. 8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算⊕为：a i⊕a j＝a k，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2⊕a3＝______；满足关系式(x⊕x)⊕a2＝a0的x(x∈S)的个数为______．三、解答题9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求(A∩B)∪C．10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，(U A)∩B＝{4，6，8}，(A)∩(U B)＝{1，9}，求集合A和B．U11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，①A∩B≠∅，求实数a的取值范围；②A∩B≠A，求实数a的取值范围；③A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．§1－2 常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例 1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：0∈N，q：1∉N；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．【解析】(1)p∨q：0∈N，或1∉N；p∧q：0∈N，且1∉N；⌝p：0∉N．因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为假．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．⌝p：存在平行四边形对角线不相等．因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为真．【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则A B．【解析】(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．(2)逆命题：若A B，则A∩B＝A；是真命题．否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．【评析】原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【解析】由定义知，若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，p与q互为充要条件．于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件【答案】B【解析】条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}⊆R，所以p是q的必要非充分条件，选B．【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若A⊆B且B A，则p是q 的充分非必要条件；若A B且B⊆A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【答案】C【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为( )(A)∃x∈Z，1＜4x＜3(B)∃x∈Z，3x－1＝0(C)∀x∈R，x2－1＝0(D)∀x∈R，x2＋2x＋2＞02．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A⇒x∈B，则称A⊆B”．那么“A 不是B 的子集”可用数学语言表达为( ) (A)若∀x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (B)若∃x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (C)若∃x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 (D)若∀x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 二、填空题5．“⌝p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件． 6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________． 7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“A ⊆B ”是“U B⊆U A ”的______条件．8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A B ⇔A ∩B ＝∅③AB ⇔AB④AB ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上) 三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假： (1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除； (3)∃x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0； (4).041,2≥+-∈∀x x x R10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．习题11．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是( ) (A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜ (B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜ (C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜(D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N )∪P (B)(M ∩N )∩P (C)(M ∩N )∪(U P )(D)(M ∩N )∩(U P )3．“81=a ”是“对任意的正数12,≥+xa x x ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a &b ∈P ”，则运算“&”可以是( ) (A)加法(B)减法(C)乘法(D)除法5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) (A)ab ＞ac (B)c (b －a )＜0 (C)cb 2＜ab 2 (D)ac (a －c )＜0二、填空题6．若全集U ＝{0，1，2，3}且U A ＝{2}，则集合A ＝______．7．命题“∃x ∈A ，但x ∉A ∪B ”的否定是____________．8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A }，则B ＝____________． 9．已知集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值范围是____________．10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)11．解不等式.21<x12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．(1)求b 的取值范围；(2)试判断b 与a 2＋b 2的大小．13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．14．设数集A 满足条件：①A ⊆R ；②0∉A 且1∉A ；③若a ∈A ，则.11A a∈- (1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素； (2)证明：A 中不可能只有一个元素．专题01 集合与常用逻辑用语参考答案练习1－1一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C提示：4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(U B)，从而U＝A∪(U B)．二、填空题5．{x｜x＜4} 6．4个7．{x｜－1＜x＜2} 8．a1；2个(x为a1或a3)．三、解答题9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．练习1－2一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B二、填空题5．必要不充分条件6．若｜x｜≤1，则x≥－1 7．充要条件8．④提示：8．因为A B，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，A B，即为④．另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1逆否命题：若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0；是真命题；因为若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．习题1一、选择题1．D 2．D 3．A 4．C 5．C提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3} 7．∀x ∈A ，x ∈A ∪B 8．{0，1，2} 9．{a ｜a ≥2} 10．③． 提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式21<x 即,021,021<-<-x x x 所以012>-xx ，此不等式等价于x (2x －1)＞0，解得x ＜0或21>x ， 所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或21>x }． 12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ，所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b (2)a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝⋅--81)43(22b 因为121<<b ，所以,081)43(22<--b 即a 2＋b 2＜b ．13．解：原不等式化为(a 2－b 2)x ＋b 2≥(a －b )2x 2＋2b (a －b )x ＋b 2，移项整理，得(a －b )2(x 2－x )≤0．因为a ≠b ，故(a －b )2＞0，所以x 2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=- ∴A 中至少有－1，21，2三个元素． (2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知A a∈-11，则a a -=11．即a 2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．。

集合,常用逻辑用语与不等式知识点整理一、逻辑用语1.假设2.推断3.因此4.由此可见5.举例说明6.反证法7.反推法8.只如果...才...9.除非...才...10.既然...就...11.与其...不如...12.既不是...也不是...二、不等式知识点1.不等式的定义不等式是数学中一个重要的概念，指的是两个表达式或数之间大小关系的一种表示方法。

不等式通常用符号<（小于）、>（大于）、≤（小于或等于）、≥（大于或等于）等来表示。

2.不等式的性质（1）两个相等数的和（或积）与它们的任一数的和（或积）相等。

即若a=b，则a+c=b+c，a×c=b×c。

（2）两个不等数的和（或积）与它们的任一数的和（或积）的大小关系与原不等式的大小关系相反。

即若a>b，则a+c>b+c，其中a,b,c都是实数。

（3）若a>b，则-a<-b；若a<b，则-a>-b。

（4）若a>0，b>0，则a>b与1/a<1/b之间存在着等价关系。

（5）若a>0，b>0，则a>b与1/a<1/b之间存在着等价关系。

（6）若a>0，则a²>0。

3.不等式的解法不等式的解法与方程式的解法有相似之处，但也有一些独特的地方。

解不等式问题时，需注意以下几个要点：（1）对不等式两边进行相同的变换；（2）如果要乘以负数，记得改变不等式的方向；（3）特殊要点：对分式不等式的解法有所不同，要先确定分母的正负性，并作出讨论。

文章在数学领域，逻辑推理和不等式是两个重要的知识点。

逻辑推理是数学中最基本的推理方法，通过假设、推断、举例等方式进行逻辑推理，以得出正确的结论。

而不等式是数学中表达数之间大小关系的一种重要形式，通过不等式可以描述数的大小关系。

下面我们将通过整理逻辑用语和不等式知识点，来探讨它们在数学中的应用和意义。

集合和逻辑用语
集合和逻辑用语在数学和逻辑学中起着重要的作用，对于描述和分析对象、关系和推理过程非常有用。

下面是一些常见的集合和逻辑用语：
集合：
1. 元素：集合中的个体，表示为 a ∈ A。

2. 子集：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，表示为
A ⊆ B。

3. 空集：不包含任何元素的集合，表示为∅或 {}。

4. 并集：两个或多个集合的所有元素的集合，表示为A ∪B。

5. 交集：两个或多个集合共有的元素的集合，表示为A ∩ B。

6. 补集：一个集合中不属于另一个集合的元素的集合，表示为
A -
B 或 A\B。

逻辑用语：
1. 命题：陈述句，可以被判断为真或假。

2. 真值：命题的真假状态。

3. 否定：对一个命题的真假状态进行取反。

4. 合取：两个命题同时为真的组合命题，表示为 p ∧ q。

5. 析取：两个命题至少有一个为真的组合命题，表示为 p ∨ q。

6. 蕴含：如果条件 p 成立，则结论 q 也成立的组合命题，表示为p → q。

7. 等价：两个命题具有相同真值的组合命题，表示为p ↔ q。

这些用语被广泛应用于数学、逻辑学、计算机科学等领域，用于描述集合、定义关系、推理和证明等。

高二数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】解：首先“三段论”推理：大前提，小前提，然后是结论。

而该命题的大前提：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，是错误的，因此推理后的结论也是错误的。

只有大前提，小前提都正确，结论才是正确的。

函数的极值点2.命题p:若, 则，则下列结论正确的是（）A．是假命题,,B．是假命题,,C．是真命题,,D．是真命题,,【答案】C【解析】，结合指数函数单调性可知原命题正确，对全称命题的否定是特称命题，将满足的条件加以否定，的否定是【考点】全称命题与特称命题3.已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z}B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2,3}【答案】C【解析】由题意知q真，p假，∴|x－1|<2．∴－1<x<3且x∈Z．∴x＝0,1,2．选C．【考点】命题否定4.若命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】命题“，使”的否定是：““，使”即：，∴，故答案是.【考点】命题的真假判断与应用；一元二次不等式的应用．5.“直线与圆相交”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若“直线与圆相交”，则圆心到直线的距离为，即，不能退出；反过来，若，则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，故应选.【考点】1、直线与圆的位置关系；2、充分必要条件；6.成等差数列是成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】成等差数列，则,所以，而当x,z为负数时，由不能推出成等差数列，所以成等差数列是成立的充分不必要条件．选B．【考点】充分性、必要性判断．7.（本小题满分12分）已知 , , 若的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】【解析】充分性、必要性问题常常转化为集合的关系。