由Sn与an关系求通项公式
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求数列通项公式法一 :公式法:运用等差(等比)数列的通项公式.法二:前n 项和法:已知数列}{n a 前n 项和n S ,则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn (注意:不能忘记讨论1=n )Sn 表达式中含an :已知n a 与n S 的关系式,利用)2(1≥-=-n S S a n n n ,将关系式转化为只含有n a 或n S 的递推关系,再利用上述方法求出n a .已知数列}{n a 前n 项和n S ,则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn (注意:要验证能否合二为一)例1 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=,则n a = 。
变式 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=,._______85=<<k a k ,则若 变式 已知数列{}n a 的前n 项和公式,求{}n a 的通项公式①n n S n 322+=;②132-⋅=n n S例2设数列}{n a 的前n 项和为n S ,且12-=n n a S ,求数列}{n a 的通项公式; 变式 设数列}{n a 的前n 项和为n S ,且*111,42()n n a S a n N +==+∈,(1)设2n n n a b =,求证:数列{}n b 是等差数列;(2)求数列}{n a 的通项公式及前n 项和的公式法三::利用前n 项积,已知数列}{n a 前n 项之积T n ,一般可求T n-1,则a n =1-n n T T (注意:不能忘记讨论1=n ). 例 数列}{n a 中,,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ,则=+53a a __________.法四 :累加法:已知)2)((1≥=--n n f a a n n ,且{f(n)}成等差(比)数列,则求n a 可用累加法. 常见基本形式:三种例 数列}{n a 满足12212,5,32n n n a a a a a ++===-,(1)求证:数列1{}n n a a +-是等比数列; (2)求数列}{n a 的通项公式n a ;(3)求数列}{n a 的前n 项和n S .变式 已知数列}{n a ;①若满足291=a ,)2(121≥-=--n n a a n n ,则n a =_______________.变式 已知数列{}n a 满足11a =,)1(11+=-+n n a a n n (2)n ≥,则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =,n n a a n n ++=--111(2)n ≥,则n a =_______________.法五:累乘法例 若满足a 1=1,)2(11≥+=-n n n a a n n ,则n a =_______________. 变式已知)(,n n n a a n a a -==+111,则数列{}n a 的通项公式=n a ( ) A. 12-n B.11-+n nn )( C. 2n D. n 法六 :构造辅助数列法: 已知数列}{n a 的递推关系,研究a n 与a n -1的关系式的特点,可以通过变形构造,得出新数列)}({n a f 为等差或等比数列.共有六种类型:类型一:待定系数法例 已知数列满足1a =1,1n a +=2n a +3,则n a =_______________.变式 已知点,3121),11=+=+a x y a a n n 上,且在直线(则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =,n n n a x a x a ,求的两实根,且满足为方程,26-60312=+=+-+βαβαβα类型二 取倒法例 已知数列}{n a 满足11=a ,131+=+n n n a a a ,则n a =_______ 变式 已知数列}{n a 满足11=a ,3231+=+n n n a a a ,则n a =_______ 类型三 取倒法与待定系数法相结合 例 已知数列}{n a 满足11=a ,231+=+n n n a a a ,则n a =_______ 变式 已知数列{}n a 的首项135a =,1321n n n a a a +=+,12n =,,.求{}n a 的通项公式;变式 变式 已知数列}{n a 的首项1a a =(a 是常数且1a ≠-),121(,2)n n a a n N n -=+∈≥.(1)}{n a 是否可能是等差数列,若可能,求出}{n a 的通项公式;若不可能,说明理由;(2)设(,n n b a c n N =+∈c 是常数),若{}n b 是等比数列,求实数c 的值,并求出}{n a 的通项公式。
等差数列中S n 与a n 间的 重要关系及其应用“设S n、a n分别是等差数列{a n}的前n 和与通项,则它们之间有如下的重要关系:S n =(kn )a n ,其中k 是非零实数,n 是正整数。
”我们知道,等差数列{a n }的前n 和S n 、通项a n 分别有如下的表达式:⑴ S n =na 1- n(n-1)2 d ,其可等价变形为S n = d 2 n 2 +(a 1-d2 )n ,它是关于n 的二次函数且不含常数项,一般形式是:S n =An 2+Bn ,其中A 、B 是非零待定系数;⑵ a n = a 1 +(n-1)d ,其可等价变形为a n =dn+(a 1 -d ),它是关于n 的一次函数,一般形式是:a n =an+b ,其中a 、b 是非零待定系数;通过对等差数列{a n }前n 和S n 的一般形式S n =An 2+Bn 与其通项a n 的一般形式a n =an+b 的观察分析,不难得出S n 与a n 之间有这样的重要关系式:S n =(kn )a n 。
S n 与a n 相互关系的应用举例:[例1]在等差数列{a n }中,a 4=0.8,a 11=2.2,求a 51+a 52+…+a 80.【解】 由等差数列的通项公式得⎩⎨⎧=+=+2.2108.0311d a d a ,解得a 1=0.2,d =0.2.∴a 51+a 52+…+a 80=S 80-S 50 =80a 1+d a d 2495050279801⨯--⨯=30a 1+1935d =30×0.2+1935×0.2=393. 【点评】 本题求解分两个层次,首先由已知求出a 1和d ,再将所求转化为S 80-S 50,这是解题的关键.[例2]根据数列{a n }的前n 项和公式,判断下列数列是否是等差数列. (1)S n =2n 2-n (2)S n =2n 2-n +1【解】 (1)a 1=S 1=1 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2n 2-n )-[2(n -1)2-(n -1)]=2(2n -1)-1=4n -3∵n =1 时也成立,∴a n =4n -3 a n +1-a n =[4(n +1)-3]-[4n -3]=4∴{a n }成等差数列(2)a 1=S 1=2 a 2=S 2-S 1=5 a 3=S 3-S 2=9 ∵a 2-a 1≠a 3-a 2 ∴{a n }不是等差数列.【点评】 已知S n ,求a n ,要注意a 1=S 1,当n ≥2时a n =S n -S n -1, 因此a n =⎩⎨⎧≥-=-)2( )1(11n S S n S n n.练习: 已知等差数列{a n }的前项和S n 满足条件:S n =2n 2+3n ,求此等差数列的通项a n解: 根据等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数且不含常数项,即S n = d 2n 2+(a 1-d 2 )n,并结合已知条件等差数列{a n }的前项和S n =2n 2+3n 立有, d2 =2且a 1-d2=3, 解之得 a 1=5,d=4,于是便得所求等差数列的通项a n =4n+1. [例3]已知等差数列{a n }满足:S p =q ,S q =p ,求S p +q (其中p ≠q ). 【解】 由已知S p =q ,S q =p 得 pa 1+q d p p =-2)1( ① qa 1+p d q q =-2)1( ② ①-②整理得2)1(21dq p a -++=-1∴d q p q p a q p S q p 2)1)(()(1-++++=+=(p +q )2)1(21d q p a -++=-(p +q ) 【点评】 本问题即是在a 1、d 、n 、a n 、S n 中知三求二问题,但在解方程的过程中体现出了较高的技巧;也可考虑设S n =An 2+Bn 去求解. 例4 有两个等差数列{a n }、{b n },其前n 和分别为S n 、 T n ,并且n n T S =7n+2n+3 ,求:⑴ 55b a 的值;⑵115b a的值分析:由等差数列可知,其前n 项和是关于n 的二次函数且不含常数项;根据已知条件,两个等差数列前n 项和的比的结果是关于n 的一次因式,说明它们在相比的过程中约去了一个共同的因式kn ,于是,我们只要将其还原,即可得到两个等差数列的前n 项和,再对照等差数列前n 项和的二次函数形式:S n = d 2 n 2 +(a 1-d2 )n ,很快便可得到其首项、公差与通项,进而由等差数列通项公式求出数列中的任意一项。
对于任意一个数列,当定义数列的前n项和通常用S表示时,记作S= a i+ a2+・・・+禺,此时通项公S,n= 1,式a n= .Si—S T, n》2而对于不同的题目中的a n与S的递推关系,在解题时又应该从哪些方向去灵活应用◎= S— S-1 (n》2)去解决不同类型的问题呢?我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n与S相关的问题:归纳起来常见的角度有:角度一:直观运用已知的S,求a n;角度二:客观运用a n= S—S—1 (n》2),求与如S有关的结论;角度三:a n与S的延伸应用.方法:已知 $求a n的三个步骤(此时S为关于n的代数式):(1) 先利用a i= S求出a i ;(2) 用n—1替换S中的n得到一个新的关系,利用a n = S—S—1 (n》2)便可求出当n》2时a n的表达式;(3) 对n= 1时的结果进行检验,看是否符合n》2时a n的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n = 1与n》2两段来写.同时,在部分题目中需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义,对“和的式子”有本质的认识,这样才能更好的运用S求解.女口:a+ 2a2+ 3a s+ — + na n= 2n—1,其中a+ 2比+ 3a s+^+ na n表示数列{na n}的前n 项和.1.已知数列{a n}的前n项和S= n2—2n+2,则数列{a()n}的通项公式为A. a n = 2n —3 B . a n= 2n+ 31, n= 11, n= 1C. a n = D . a n =2n —3, n》22n+ 3, n》2【解析】当n》2时,a n = S n —S n—1 = 2n—3 .当n = 1时,a1= S = 1,不满足上式.【答案】C2. (2015 •河北石家庄一中月考)数列{a n}满足:a1+ 3a2+ 5&+…+ (2 n—1) • a n= ( n—1) • 3n+1+ 3( n € M),则数列的通项公式a n= _____________ .【解析】当n》2时,a1 + 3a2 + 5a3+-+ (2n —3) • a n—1= (n —2) • 3n+ 3;则用已知等式减去上式得(2 n—1) • a n = (2n—1) • 3,得a n= 3 ;当n = 1 时,a i = 3,满足上式;故a n = 3.【答案】a n= 3n3. ____________________________________________________________________________________ (2015 •天津一中月考)已知{a n}的前n项和为S,且满足log2(S+1) = n +1,贝U a n= ______________________________ .【解析】由已知得S+ 1= 2n+1,贝U S= 2n+1—1;当n》2 时,a n= S—S—1= 2n+1—1 —2n+ 1 = 2n;当n3, n= 1=1时,a1 = S1 = 3,不满足上式;故a n= n.2 , n》23, n= 1【答案】a n= n2 , n》24. (2015 •四川成都树德期中)已知{a n}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a5= 45, a2 + a6= 14.(1) 求{a n}的通项公式;b b2 b n(2) 若数列{b n}满足:空+ 尹…+ 2 = a n+ 1(n€ M),求{b n}的前n项和.【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d,则d>0,由a2+ a6= 14,可得a4= 7由a3a5= 45,得(7 —d)(7 + d) = 45,解得d= 2 或d=—2(舍)a n= a4+ ( n—4) d= 7+ 2( n —4),即a n= 2n—1.b n(2) 令6=尹贝U C1+ C2+ C3+ — + C n= a n+ 1 = 2n ①当n》2 时,d+ C2+ C3+・・・+ C n-1= 2( n—1) ②由①一②得,C n= 2,当n= 1时,C1= 2,满足上式;b n n 亠 1贝U C n= 2(n€ N*),即戸=2, . b n= 2 + ,故数列{b n}是首项为4,公比为2得等比数列,4(1 —2n) n+2•••数列{b n}的前n项和S n= = 2 +—4.1 —2此类题目中,已知条件往往是一个关于a n与S n的等式,问题则是求解与a n, S有关联的结论.那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后,判定最后的结果中是保留a n,还是S.那么,主要从两个方向利用a n= S n—S n- 1( n》2):方向一:若所求问题是与a n相关的结论,那么用S—S—1 = a n ( n》2)消去等式中所有S与S n—1,保留项数a n,在进行整理求解;1. (2015 •广州潮州月考)数列{a n}的前n项和记为S, ai = 1, a n+1= 2S+ 1(n》1, n€ N*),则数列的通项公式是.【解析】当 n 》2 时,a n = 2S — i +1,两式相减得 a n +i — a n = 2( S — S —J ,即 a n +1 — a n = 2a n ,得 a n +1 = 3a n ;当n = 1时,a 2= 3,则a 2= 3a i ,满足上式;故{a n }是首项为1,公比为3得等比数列,二a n = 3 I . 【答案】a n = 3n — 12.数列{a n }的前 n 项和为 S,若 a n +1 = — 4S +1, a 1= 1. (1) 求数列{a n }的通项公式;(2) 设b n = na n ,求数列{b n }的前n 项和T n .【解】(1)当 n 》2 时,a n = — 4S —1 + 1,又 a n +1 = — 4S + 1,又 a 2 = — 4a 1 + 1 = — 3, a 1 = 1,•••数列{a n }是首项为a 1= 1,公比为q =— 3的等比数列,⑵由(1)可得b n = n • ( — 3)T n = 1 • ( — 3)0+ 2 • ( — 3)1 + 3 • ( — 3)2 +•••+ (n — 1) • ( — 3)n —2 + n • ( — 3)n —1,—3T n = 1 • ( — 3)1 + 2 • ( — 3)2+…+ (n — 2) • ( — 3)n —2 + (n — 1) • ( — 3)n —1+ n ( — 3)n ,1 2 n — 1n.•4 T n = 1 + ( — 3) + ( — 3) +…+ ( — 3)— n ,( — 3),16方向二:若所求问题是与 S 相关的结论,那么用 &= S — S —1 (n 》2)消去等式中所有项数 a n ,保留S 与$-1,在进行整理求解.11. 已知数列{a n }的前n 项和为S 且满足a n + 2S • S-1 = 0( n 》2) , a 1=玄1(1) 求证:—是等差数列; (2) 求a n 的表达式.【解】(1)证明:••• a n = S — S-1( n 》2),又 a n =— 2S • S-1,• S n - 1 — Si = 2S n • Si - 1 , S n M 0 .11因此疋―W= 2( n 》2).S 1 S 1— 111 1故由等差数列的定义知$是以&=一=2为首项,2为公差的等差数列.Si S 1 a 11 1 1(2)由(1)知S = S + (n — 1)d = 2 + (n — 1) x 2= 2n ,即 S =亦.1当 n 》2 时,a n =— 2S • Si —1 =—2n (n — 1)I又T a 1 = ,不适合上式.a n= ( — 3)n — 11 — (4n + 1)( — 3)所以, T n =--a n +1 — a n = —4a即—3(n 》2),12, n = 1,2. (2015 •江西名校联盟调考)已知正项数列{a n }的前n 项和为S ,且a 2— 2S a n + 1 = 0. (1) 求数列{S }的通项公式;1 1 1 一 1 2(2) 求证:$+疋+…+Q >2(S+I — 1).(提示: 一 > ------------------------ )o ! S2 Sn寸 n 寸 n +1+寸 n【解】(1) T a n = S1— Si -1 (n 》2),由 a n — 2S n a n +1 = 0,得(S — S —1)2— 2S n (S n — S —1) + 1= 0,整理得 S 2— S 2— 1= 1 . 当 n = 1 时,a 1 — 2Sa 1 + 1 = 0,且 a 1 >0,解得 a = 1, 故由等差数列的定义知{S n }是以1为首项,1为公差的等差数列. • S n = n ,则 S n = n . 亠 & 1 1 22 ,—— 厂⑵由⑴知十=丽>$+讦=2("—回,• S + S +…+ S >2( .2 — 1) + 2( 3 — 2) +…+ 2( n + 1— , n) = 2( n + 1 — 1) 即 1 + 2+…+ 1 > 2(S n + 1— 1)【总结】此类题目往往伴随着等差、等比数列的判定,所以需要对数列的判定方法熟练掌握.S , n = 1, 解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前 n 项和”的实际意义,还需要对a n =关S n — S n - 1 , n系式的形式结构很熟练的掌握,这样才能在题目中对已知等式灵活地变换.当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析,确定等式的变换方向. 方向一:关于双重前n 项和此类题目中一般出现“数列 {a n }的前n 项和为S,数列{S }的前n 项和为T n ”的条件,在解答时需要 确定清楚求的是与 a n , S n , T n 中谁相关的问题,确定已知等式的运用方向.但一般是求解最底层的/ .1. (2015 •湖北武汉质检)设数列{a n }的前n 现和为S ,数列{S }的前n 项和为T n ,满足T n = 2S — n 2,n € N*.(1) 求a 1的值;(2) 求数列{a n }的通项公式.【解】(1)当 n = 1 时,T 1= 2S — 1,且 T 1 = S = a 1,解得 a 1= 1,(2)当 n 》2 时,S n = T n — T n -1= 2S — n — [2 S -1 — (n — 1) ] = 2S — 2S n -1 — 2n + 1a n =1 2n (n — 1)n 》2.i +1 i歹(1 -尹)n + 1_3尹=2n + 3 3盯v 2--S n = 2Si -1 + 2n — 1①则 S+1 = 2S + 2n +1②由②一①,得 a n +i = 2a n + 2,••• a n + 2 = 3 - 2n -1,贝y a n = 3 • 2n -1-2(n € N*).2• (2015 •安徽滁州期末联考)设数列{a n }的前n 项和为S,数列{S n }的前n 项和为T n ,且2T n = 4S n -2(n + n ), n € N*.(1) 证明:数列{a n + 1}为等比数列;n +1(2) 设 b n =■ ~-,证明:b 1 + b 2+^+ b n v 3.a n + 1【解】(1)当 n = 1 时,2T 1 = 4S - 2,且 T 1 = S= a 1,解得 a= 1,当 n = 2 时,212= 2(a + ◎ + a ?) = 4(a+ a ?) — 6,解得 a ?= 3, 当 n >2 时,2T n -1= 4S n -1-[( n — 1) + (n - 1)]• 2S = 2T n - 2T n -1 = 4S — (n + n ) — 4S -1 + [( n — 1) + ( n — 1)] 整理得s= 2S n -1 + n ① 则 S n +1 = 2S + n + 1②由②一①,得 a n +1 = 2a n + 1 ,a n + 1 + 1• a n +1 +1= 2(a n + 1),即——=2(n 》2),a n + 1•数列{a n +1}是首项为2,公比为2的等比数列,(2)由(1)知,a n + 1 = 2n ,贝 y b n =号1则 b 1+ b 2+-+ b n = |+ 22 + 壬…+2 2 2令T n = 2 +斗芬+专,① 则扣=|+1+寺…+ 7+齐,②,—+ 1 1 1 1 1 n +1由①一②,得2几=1+戸+戸+尹••+歹一I ^+Ta n +1 + 2K+I=E 2),易求得, a i + 2= 3, a 2 + 2= 6,贝U=2 ,显然a ?+ 1 a 1 + 1n + 12 ,a n + 1 + 2= 2( a n + 2), 即•••数列{a n + 2}是首项为3,公比为2的等比数列,1 则 T n V 3,即 b i + b 2+…+ b n v 3.方向二:已知等式在整理过程中需要因式分解求数列{a n }的通项公式.【解】(1)当 n = 1 时,「= 2S — 1;又 T 1 = S = a 1,__22(2)当 n 》2 时,S n = T n — T n — 1 = (2 S n — n ) — [2 S n —1 — (n — 1) ] = 2S n — 2 Si — 1 — 2n + 1,整理得s= 2$-1 + 2n — 1①•- S n + 1 = 2S n + 2n + 1②由②一①,得 a n +1 = 2a n + 2又 T 2= 20— 4;得 a 2= 4a 1 + 2当 n = 1 时,a1+ 2 = 3,比+ 2= 6,则市=2,•••数列{a n + 2}是以3为首项,2为公比的等比数列. 则 a n + 2 = 3 ・2“ 1,所以 a n = 3 ・2“ 1 — 2. 已知数列{ a n }的各项均为正数,前n 项和为$,且S= a (a J ° , n € N*.1设 b n = 2S , T n = b + b 2+…+ b n ,求 T n .a 1 (a 1 + 1)【解】(1)由已知得,当n = 1时,a 1 = S =2 ( &> 0) , - a 1= 1.22S a n + a n ,当n 》2时,由cc 22Si —1 = a n — 1 + a n — 1得 2a n = a n + ai — a n - 1 — a n —1 . 即(a n + a n -1)( a n — a n — 1 — 1) = 0,a n + a n —1 >0, • a n — a n — 1 = 1( n 》2).所以数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)可得 a n = n , $= n(ri+ ° , b n = 2 =1——=-—^^22S n (n + 1) nn +1此类问题大多数时候会伴随"各项均为正数的数列{a n } ”这样的条件,运用在因式分解后对因式进行符号的判定,对因式进行的取舍.(2015 •山东青岛一模)各项均为正数的数列2{a n }满足 a n = 4S — 2a n —1( n € N*),其中 S 为{a n }的n 项和. (1) 求a i , a 2的值;则 a 1= 2a — 1,解得 a 1= 1 ;...a n + 1 + 2= 2( a n + 2),即 a n + 1 + 2K =2(n > 2)(1) 求证:数列{a n }是等差数列;方向三:需对已知等式变形后,再求解1. (2015 •江西五校联考)已知正项数列{&}中,其前n 项和为S ,且a n = 2西一1. (1) 求数列{a n }的通项公式;1(2) 设 b n =, T n = b 1 + b 2+ b 3+…+ b n ,求 T n .a n • a n+1【解】(1)由已知得,4S = (a n + 1)2.当 n 》2 时,4S —1= (a n -1+ 1)2,2222则 4S1 — 4S n - 1 = (a n + 1) — ( a n - 1 + 1),整理得(a n — 1) — ( a n - 1 +1) = 0 ,..(a n — a n — 1 — 2)( a n + a n — 1) = 0 又 a n > 0,贝U a n — a n — 1 = 2,2当 n = 1 时,4S = (a 1 +1),得 a 1 = 1 ; 故数列{a n }是首项为1,公差为2的等差数列;--a n = 2n — 1.1 111 1 12 1 —3 + 3 — 5 +…+ 2n — 1 — 2n + 1 1 1 n 2 1 — 2n + 1 = 2n + 12. (2015 •浙江温州中学月考)设数列{a n }的前n 项和为S,已知a 1 = 2, a 2= 8, $+1 + 4S -1= 5$(n 》2) , T n 是数列{log 2a n }的前n 项和.(1) 求数列{a n }的通项公式; (2) 求 T n .【解】(1)当n 》2时,S+1+ 4S —1= 5S ,..S n + 1 — Si = 4( S n — S n — 1),即 N n + 1 = 43n , 当 n = 1 时,a 2= 4a 1;故数列{a n }是以2为首项,4为公比的等比数列.n —12n —1a n = 2 • 4 = 2.2n 一 1(2)由(1)可知 log 2a n = log 22 = 2n — 1,111 1 ...T n = b 1 + b 2+ b 3+ …+ b n = 1—石 + 石一厅+…+ - 2 2 3 n1 1 nn =1—nnn n T! •1 1 1⑵由(1)可得"=K =犷* — 1 1 2 2n —11 2n + 1,T n =+ £ + £ +…+ b 1 b 2 b 31b n•- A n =1 — q n1 — q ,4. (2015 •辽宁沈阳诊断考试)设数列{a n }的前n 项和为S, a 1= 10, a n +1 = 9S + 10. (1)求证:{lg a n }是等差数列;⑵设Tn 是数列(lg a n )(lg a n +!)的前n 项和,求Tn ;1 2⑶ 求使T n >4(m i — 5m )对所有的n € N*恒成立的整数 m 的取值集合.【解】(1)证明:当n 》2时,&= 9S — 1+ 10,/• T n = log 2a i + log 2a ?+ log 2a 3+・・・+ log 2a n=1 + 3+ 5+…+ 2n — 1n (1 + 2n —1) 23. (2015 •江西三县联考)已知数列{a n }的各项均为正数, 记A (n ) = a i + a 2+-+ a n , B ( n )=a 2 + a 3+…+ a n +1, C ( n )= a 3 + a 4 +…+ a n +2,其中 n € N .(1)若a 1= 1, a 2 = 5,且对任意n € N ,三个数A (n ),巳n ) , C (n )依次组成等差数列,求数列{a n }的通项公式;⑵ a 1 = 1,对任意n € N*,三个数A (n ),耳n ) , C (n )依次组成公比为 q 的等比数列,求数列{a n }的前n 项和A.【解】(1) •••任意n € N*,三个数A (n ) , B ( n ) , C (n )依次组成等差数列,••• B ( n ) — A ( n ) = C ( n ) — B ( n ),贝V a n +1 — a 1 = a n + 2— a 2,即卩 a n + 2— a n +1 = a 2— a 1 = 4, 故数列{ a n }是首项为1,公差为4的等差数列;•- a n = 1 + (n — 1) x 4 = 4n — 3.(2)若对任意n € N*,三个数A (n ),B ( n ),C (n )依次组成公比为q 的等比数列,• B (n ) = qA (n ), C ( n ) = qB (n ), 则 C (n ) — Rn ) = q [Bn ) — A ( n )],得 a n + 2— a 2= q (a n +1 — a 1),即 a n + 2—qa n +1 = a 2— qa 1 , 当 n = 1 时,由 耳1) = qA (1),可得 a 2= qa ; a n +2 a 2 则 a n + 2—qa n +1 = a 2— qa = 0,又 a n >0,则—==q ,a n +1 a 1故数列{a n }是以1为首项,q 为公比的等比数列.a n + 1 a n + 1 — a n = 9( S n — S n _1),贝U a ・+ 1= 10a n ,即 =10,a n当 n = 1 时,a 2= 9a 1+ 10= 100,则竺=10, a 1故数列{a n }是以10为首项,10为公比的等比数列.a n = 10:贝y ig a n = n ,--lg a n +1 — Ig a n = n + 1 — n = 1,故数列{Ig a n }是首项为1,公差为1的等差数列.- 3 11⑵解:由(1)知 --=——=3 -—(Ig a n ) (lg a n +1)n n +1 n1 1 1 1 1 1• Tn =31 —1+1—3+…+ n —市=31—市3n3⑶Tn =市=3—市,3•••当n = 1时,T n 取最小值2-依题意有|>治—5n ),解得一1v m< 6, 故整数m 的取值集合为{0,1,2,3,4,5}1. (2015 •江苏扬州外国语中学模拟 )已知数列{a n }的前n 项和S = 2n — 3,则数列{a n }的通项公式为 __________ .【解析】当n 》2时,a n = Si — Si -1 = I — 3— I 1 + 3 = I 1.当n = 1时,a 1= S = — 1,不满足上式.—1, n =1【答案】a n = n — !2, n 》2a 2a n 2n2. (2015 •辽宁沈阳二中月考)已知数列{a n }满足a 1 + - +…+ -= a — 1,求数列{a n }的通项公式. 【解】当n 》2时,a 1 +号+…十-^7 = a 2n —2 — 12 n — 1an2n 2n — 2 2 2n —2由已知等式减去上式,得 -=a — 1 — a + 1 = (a — 1)a ,n —2…a n = n (a — 1) a ,3 (2015 •安徽江淮十校联考)已知函数f (x )是定义在(0,+^ )上的单调函数,且对任意的正数x .y 都有 f (x • y )= f (x ) + f (y ),若数列{a n }的前 n 项和为 S,且满足 f(S + 2) — f (a n )= f (3)( n € M),则 a n3nn +^.当n = 1时,a 1= a 2— 1,满足上式;.2八 2n—2• a n = n (a — 1) a .n — 1A. 2C. 2n—1【解析】由f(x • y)= f (x) + f(y) , f (S+ 2) —f(a n)= f (3),得S+ 2 = 3a n, S—1+ 2= 3a n—1 (n》2),3 两式相减得2a n= 3a n—1 ;当n= 1时,S + 2= 3a1= a1 + 2,则a1= 1 .所以数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.3 n 1 【答案】a n= 2 n—134. (2015 •辽宁鞍山二中期中)设数列{a n}是等差数列,数列{b n}的前n项和S满足S=^(b n—1),且a2 = b1, a5= b2.(1) 求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2) 设C n= a n • b n, T n 为{C n}的前Fl 项和,求T n .3【解】(1)当n >2 时,S n— 1 = 2(b n—1—1),3 3 亠则b n= S n—S n—1= ^( b n—1) —?(b n —1- 1),整理得b n = 3b n—13当n= 1 时,b1 = ^(匕一1),解得b1= 3 ;故数列{b n}是以3为首项,3为公比的等比数列.b n= 3,设等差数列{a n}的公差为d,由a2= b1= 3, a5= b2= 9,a1 + d = 3,则解得d= 2, a1 = 1,—a n= 2n—1,a1 + 4d= 3,a n= 2n—1,b n= 3.(2)由(1)知C n= a n • b n= (2n —1) • 3n,• T n= 3 + 3 • 32+ 5 • 33+…+ (2 n—1) • 3n,①3T n= 3 2+ 3 • 33+ 5 • 34+…+ (2 n —3) • 3n+ (2n—1) • 3n+1,②由①一②,得—2T n= 3+ 2(3 2+ 33+…+ 3n ) —(2 n—1) • 3n+1【解析】由已知1 n》2时,a n= 2S1-1①当n》3时,①—②整理得a n1,n= 1,=3 ( n》3), • a n = n- 2a n—12X3 ,n》2.1,n= 1,【答a n =n 22X3 ,n》2.(2015 •广东桂城摸底6.a n- 1 = 2S1 -2 ②B. nD.=3+ 2X2 n —1、3 (1 —3 )—(2n—1) 3n+1(2 —2n) • 3n+1—6,)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S,且a :+ a n = 2S .(1) 求a i ;求数列{a n }的通项公式; ⑶若b n=-5n € N*) , T n = b 1+ b 2+・・・+ b n ,求证:T n < -.提示:31 1n "< 2 2n — 1 2n +12【解】(1)当 n = 1 时,a i + a i = 2S ,且 a n > 0,得 a i = 1 ;(2) 当 n 》2 时,a n -1 + a n —1 = 2S -1 ①;且 ai + a n = 2S n ②;由②一①,得(a n +a n — 1)( a n — a n — 1— 1) = 0, 又 a n > 0,贝U a n — a n -1= 1,故数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列;1 1⑶证明:由⑵知,b n = 2=「a n2,5当n = 1时,b 1= 1 <3,不等式成立; 11 41当 n 》2 时,孑< Yl = 4n 2— 1 = 2 乔 12n + 1,n —41 1 12 5• Tn =b1+b+・・+ bn =1+尹尹•••+ 冷v 1 + 2 3—才5—7^+ 冇—市 <1 +3=3, 3 555• Tn < 32 *7. (2015 •大连双基测试)已知数列{a n }的前n 项和S = n +2n +1(n € N),贝U a n= ______________________________ .4, n = 1, 【解析】当 n 》2 时,a n = Si — S n -1 = 2n + 1,当 n = 1 时,a 1 = S = 4去2x 1 + 1,因此 a n =2n +1, n 》2.4, n = 1【答案】2n + 1, n 》21& (2014 •烟台一模)已知数列{a n }前n 项和为S n ,首项为a 1,且刁a n , $成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;11 1【解】(1) T 2, a n , S 成等差数列,二2a n = S n + 2,t丄11 当 n = 1 时,2a 1 = S + 2,二已1= 2,t丄1 1当 n 》2 时,S n = 2a n — 2, S n - 1 = 2a n — 1 — 2,a n 两式相减得:a n = Si — S —1 = 2a n — 2 a n — 1,「. —= 2,a n — 11 1所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,即a n = 2"n —1 = 2n —2.(2) T b n = (log 2a 2n +1)x (I og 2a 2n + 3)= (log 222n +1—2) x (log 222n +3—2) = (2 n —1)(2 n +1),1 1 1 1 1 1/.——= x =— ,b n 2n — 12n + 12 2n — 1 2n + 11数列 的前n 项和b n1 11 11 111 1111 n1b 1 +b 2+b 3+ +b n 213 + 3 5 ++2n — 12n +12 12n +12n +19. __________________________________________________________________________ (2014 •山西四校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S , S= 2a n — n ,贝U a n = ____________________________________________________________ .【解析】当 n 》2 时,a n = S n — S n —1 = 2a n — n — 2an —1 + (n — 1),即 a n = 2a n — 1 + 1, • a n +1 = 2( a n —1 + 1), •数列{a n +1}是首项为a 1+ 1 = 2,公比为2的等比数列,• a n +1 = 2・2 n —1= 2n ,「. a n = 2n — 1.【答案】2n — 1n 2 + n *10. (2014 •湖南卷)已知数列{a n }的前n 项和S= —, n € N .(1)求数列{a n }的通项公式;⑵ 设b n = 2a n + ( — 1)n a n ,求数列{b n }的前2n 项和.【解】(1)当n = 1时, a 1 = S 1 = 1 ;当n 》2时, 22小 cn + n n — 1 + n — 1a n Si Si-12 2 n .又a 1= 1满足上式,故数列{a n }的通项公式为a n = n .(2)由(1)知,b n = 2n + ( — 1)n n ,记数列{b n }的前2n 项和为Tm ,_122n则 T 2n = (2 + 2 +…+ 2 ) + ( — 1 + 2— 3+ 4—…+ 2n ).B= ( — 1 + 2) + ( — 3+ 4) +…+ [ — (2n — 1) + 2n ] = n .故数列{b n }的前 2n 项和 T 2n = A + B= 22n +1 + n — 2.11.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列, a 3= 4, {a n }的前3项和为7.(1)求数列{a n }的通项公式;记 A = 21+ 22 +…+ 22n ,B=— 1 + 2 — 3+ 4-…+ 2n ,则 A =-2n1 —2 1 — 2=22n +1n1111 ⑵ 若ab + a 2b 2 + ・・・+ a n b n = (2 n — 3)2 n + 3,设数列{ b n }的前n 项和为 S,求证:+…+2—- .S 1 S 2Si na*1 q 4,a*1 1,【解】 ⑴ 设数列{a n }的公比为q ,由已知得q >0,且/•a 1 + ag + 4= 7,q = 2.•••数列{a n }的通项公式为a n = 2n —1.(2)【证明】当n = 1时,a1b = 1,且a 1 = 1,解得b 1 = 1.当 n 》2 时,a n b n = (2n — 3)2 n + 3 — (2 n — 2 — 3)2 n — 1 — 3 = (2n — 1)・2 n — 1. a n = 2 1 ,•当 n 》2 时,b n = 2n — 1.■/ b 1= 1 = 2x 1 — 1 满足 b n = 2n — 1,•数列{b n }的通项公式为 b n = 2n —1(n € N *). •数列{b n }是首项为1,公差为2的等差数列.•- S n = nl1 1 •••当 n = 1 时,S = 1 =2 — 1t」1 1 1 1 当 n 》2 时,S = n 2< n (n — 1) =n —1 1 1 1 1 1 1 1 1• ◎+S 2+…+ 亍2—1+厂 2+…+ n — - n =2—n 12.设数列{a n }的前 n 项和为 S , a 1 = 1, a n = + 2 (n — 1) ( n € N). n(1)求证:数列{a n }为等差数列,并分别写出 a n 和S 关于n 的表达式;请说明理由.*【解】(1)由 a n = n + 2( n — 1),得 S = na n — 2n ( n — 1) ( n € N).当 n 》2 时,a n S n — S n — 1 na n — (n — 1) a n — 1 — 4( n — 1),艮卩 a n — a n —1 4, 故数列{a n }是以1为首项,以4为公差的等差数列.a 1 + a n n 2*a n =4n — 3, S = = 2n — n ( n € N).(2)由 S n = na n — 2n ( n — 1),得—=2n — 1 ( n € N),$ S 3 S 1 2 2 2 2又 s+ 2 + 3 +…+ n — (n — 1) = 1 + 3 + 5 + 7+-+ (2n — 1) — (n — 1) = n —(n — 1) = 2n — 1.令2n — 1 = 2 013,得n = 1 007,即存在满足条件的自然数n = 1 007 .(2)是否存在自然数n ,S ? S 3Si…使得S+ 2+ 3+…+ -—(n — 1)2= 2 013?若存在,求出n 的值;若不存在,于是,1. 已知$为正项数列{a n }的前n 项和,且满足 S = 2a n + ?a n (n € N *).⑴求a i , a 2, a 3, a 4的值;⑵求数列{a n }的通项公式.1 2 1 1 2 1【解】(1)由$=,a n + 2a n ,可得a 1 = 2^+空31,解得◎= 1 ;1 2 1S= a + a 2= 2a 2 + g a ?,解得 a 2 = 2;同理,1 2 1当 n 》2 时,S n - 1= 2 a n -1 + ^a n - 1,②①一②得(a n — a n -1 — 1)( a n + a n -1)= 0 .由于 a n + a n -1 工 0,所以 a n — a n -1 = 1, 又由(1)知a 1= 1, 故数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列,故 a n = n .2. 在数列{a n }中,a 1=- 5, a 2=- 2,记 A (n ) = a 1 + 比+…十 a n , B (n ) = a 2 + a 3+・・・+ a n +1, qn ) =a 3+ a 4 + •••+ a n +2(n €N *),若对于任意 n € N *, A (n ) , B ( n ), q n)成等差数列.(1) 求数列{a n }的通项公式; (2) 求数列{| a n |}的前n 项和.【解】(1)根据题意A (n ) ,B (n ),C ( n )成等差数列,二A ( n ) + C ( n ) = 2B ( n ),整理得 a n +2— a n +1 = a 2— a 1 = — 2+ 5 = 3,•••数列{a n }是首项为—5,公差为3的等差数列,a n = — 5 + 3( n — 1) = 3n — 8.—3n + 8, n W 2,(2)| a n | =记数列{| a n |}的前n 项和为S.3n — 8, n 》3,2当 n W2 时,S n =n 5+ 2— 3n = — + 务3 2 13—尹 + 厂,n w 2,3. (2014 •广东卷)设各项均为正数的数列 {a n }的前n 项和为S ,且S 满足S n — (n 2+ n -3)S n — 3( n 2 + n ) = 0, n€ N .(1) 求a 1的值;(2) 求数列{a n }的通项公式;a 3 = 3, a 4= 4.当n 》3时,S n = 7 +n -2 1 + 3n — 8 2普-岭+ 14,2 2综上,S n =|n 2 —爭+ 14, n 》3.1(3)证明:对一切正整数亠 1 1 11n, a 1 a+1 + a 2 a ?+1 + + a n a n +1 <3'【解】(1)由题意知,U — (n 2+ n — 3)S h -3(n 2+ n ) = 0, n € N*. 令 n = 1,有 S — (1 2+ 1— 3) S — 3X (1 2+ 1) = 0,可得 S 1+ S — 6 = 0,解得 S =— 3或 2, 即卩 a 1 =— 3 或 2, 又a n 为正数,所以a 1 = 2.222* __(2)由 S>— ( n + n — 3) Si — 3( n + n ) = 0, n € N 可得,2 2(S + 3)( S — n — n ) = 0,贝U S = n +n 或 $=— 3,又数列{a n }的各项均为正数,2 2S= n + n , S -1 = (n — 1) + (n — 1),当 n 》2 时,a n = S n — S n — 1 = n + n — [( n — 1)2+ (n — 1)] = 2n . 又 a 1= 2 = 2x 1,所以 a n = 2n .1a a+ 1111 111当n ^2时, a na n + 1= 2n 2n + 1 v 2n —12n + 12 2n — 1 —2n + 1 , 1 111 1 1 111 …a 1 a 1+ 1+a 2a 2 + 1 + -••+ a na n + 1+ ■ 6 +2 3 5 + •' '• 2n — 12n + 11 1 11 1 1 1=一 + — —v —+ _ =6 2 3 2n + 1 6 6 3(3)证明:当n = 1时,11+a 2a 2 + 1+…+aT^+所以对一切正整数n,有07葛+• T n= (n—1) 3 n+1+ 3.5.在数列{a n}中,已知a1 =1, a n= 2(a n —1 + a n—2 + — + a2+ a" ( 2, n€N*),则数列的通项公式是_________ .1。
等差数列sn和an的关系
等差数列是指数列中相邻两项的差是一个常数的数列。
其中,Sn表示等差数列的前n项和,An表示等差数列的第n项。
首先,我们来看Sn和An的关系。
1. Sn的计算公式:
等差数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算,Sn = n/2 (a1 + an),其中n表示项数,a1表示首项,an表示末项。
2. An的计算公式:
等差数列的第n项An可以通过以下公式计算,An = a1 + (n-1)d,其中n表示项数,a1表示首项,d表示公差。
从上述公式可以看出,Sn和An之间的关系在于Sn是An的累
加和。
换句话说,Sn是前n项An的和。
另外,我们还可以从几何角度来理解Sn和An的关系。
1. Sn的几何意义:
等差数列的前n项和Sn可以表示为一个由n个相邻矩形组
成的图形的总面积。
其中,每个矩形的长是等差数列的项,宽是1。
2. An的几何意义:
等差数列的第n项An可以表示为一个以a1为首项,公差为d,共有n项的等差数列的最后一项。
综上所述,Sn和An之间的关系可以从代数和几何两个角度来
理解。
在代数上,Sn是An的累加和;在几何上,Sn可以表示为一
系列矩形的总面积,而An则表示等差数列的最后一项。
希望这些解
释能帮助你更好地理解Sn和An的关系。
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾:1、递推公式定义:如果已知数列{}n a 的第1项(或前几项),且任一项n a 与它的前一项1n a -(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式:a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列{a n }中,前n 项和S n 与通项公式a n 的关系,是本讲内容一个重点,要认真掌握之。
注意:(1)用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗?(2n ≥,当1n =时,11S a =);若a 1 适合由a n 的表达式,则a n 不必表达成分段形式,可化统一为一个式子。
(2)一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时,常需运用关系式1--=n n n S S a ,先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式,然后再求解。
3、数列的通项的求法:⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。
⑵已知n S (即12()n a a a f n +++= )求n a ,用作差法:{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时,常需运用关系式1--=n n n S S a ,先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式,然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ,用作商法:(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法:11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ,用累乘法:121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
Sn 与an 的关系典型题1 .数列的各项均为正数,为其前项和,对于任意,总有成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设数列的前项和为 ,且,求证:对任意实数(是常数,=2.71828)和任意正整数,总有 2;(Ⅲ) 正数数列中,.求数列中的最大项.分析:本题主要考查求数列的通项、等差等比数列的概念和性质、不等式、函数的单调性,综合运送知识分析问题和解决问题的能力.转化(化归)的思想答案:(Ⅰ)解:由已知:对于,总有 ①成立∴ (n ≥ 2)②①--②得∴∵均为正数,∴ (n ≥ 2)∴数列是公差为1的等差数列又n=1时,, 解得=1 ∴.()(Ⅱ)证明:∵对任意实数和任意正整数n ,总有≤. ∴ (Ⅲ)解:由已知 , {}n a n S n *N n ∈2,,n n n a S a {}n a {}n b n n T 2ln n n n a x b =(]e x ,1∈e e ⋅⋅⋅n n T <{}n c ())(,*11N n c a n n n ∈=++{}n c *N n ∈22n n n S a a =+21112n n n S a a ---=+21122----+=n n n n n a a a a a ()()111----+=+n n n n n n a a a a a a 1,-n n a a 11=--n n a a {}n a 21112S a a =+1a n a n =*N n ∈(]e x ,1∈2ln n n n a xb =21n()n n n T n 113212*********22-++⋅+⋅+<+++≤ 21211131212111<-=--++-+-+=nn n 221212=⇒==c c a 54545434343232355,244,33=⇒====⇒===⇒==c c a c c a c c a易得猜想 n≥2 时,是递减数列.令 ∵当 ∴在内为单调递减函数.由. ∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.又 , ∴数列中的最大项为.2.已知各项均为正数的数列的前项和满足,且.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)设数列满足,并记为的前项和,求证: .分析:本小题主要考查数列、不等式、数学归纳法、二项式定理等基本知识,考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力.转化(化归)思想,分类讨论的思想(Ⅰ)解:由,解得或.由假设,因此.又由,得,即或.因,故不成立,舍去. 因此,从而是公差为3,首项为2的等差数列,故的通项为.(Ⅱ)证法一:由可解得 从而. 12234,...c c c c c <>>>{}n c ()()22ln 1ln 1,ln x x x x x x x f x x x f -=-⋅='=则().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ,即则时,[)+∞,3()x f ()11ln ln 11++==++n n c c a n n n n 知{}n c ln {}n c 12c c <{}n c 323=c }{n a n n S 11>S +∈++=N n a a S n n n ),2)(1(6}{n a }{n b 1)12(=-n b n a n T }{n b n +∈+>+N n a T n n ),3(log 132)2)(1(611111++==a a S a 11=a 21=a 111>=S a 21=a )2)(1(61)2)(1(611111++-++=-=++++n n n n n n n a a a a S S a 0)3)((11=--+++n n n n a a a a 031=--+n n a a n n a a -=+10>n a n n a a -=+131=-+n n a a }{n a }{n a 13-=n a n 1)12(=-n b n a 133log )11(log 22-=+=n n a b n n )1335623(log 2215-⋅⋅⋅=+++=n n b b b T n n因此. 令,则 .因,故. 特别地,从而,即.证法二:同证法一求得及.由二项式定理知,当时,不等式成立. 由此不等式有 . 证法三:同证法一求得及.下面用数学归纳法证明:.当时,,因此,结论成立.假设结论当时成立,即,则当时,. 因,故.从而.这就是说当时结论也成立. 综上对任何成立.]232)1335623[(log )3(log 13322+⋅-⋅⋅⋅=+-+n n n a T n n 232)1335623()(3+⋅-⋅⋅⋅=n n n n f 233)23)(53()33()2333(5323)()1(+++=++⋅++=+n n n n n n n n f n f 079)23)(53()33(23>+=++-+n n n n )()1(n f n f >+12027)1()(>=≥f n f 0)(log )3(log 1322>=+-+n f a T n n )3(log 132+>+n n a T n b n T 0>c c c 31)1(3+>+3332)1311()511()211(2log 13-+++=+n T n )3(log )23(log )132358252(log )1311()531)(231(2log 2222+=+=-+⋅⋅⋅⋅=-+++>n a n n n n n b n T )3(log 132+>+n n a T 1=n 5log )3(log ,427log 1321221=+=+a T )3(log 132+>+n n a T k n =)3(log 132+>+k k a T 1+=k n )3(log 313)3(log 13121121+-++=+-+++++k k k k k a b T a T 2321122)23)(53()33(log 3)3(log )3(log +++=++-+>++k k k b a a k k k 079)23)(53()33(23>+=++-+k k k k 0)23)(53()33(log 232>+++k k k )3(log 13121+>+++k n a T 1+=k n )3(log 132+>+n n a T +∈N n。
1. 已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S +=,*n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设2(1)n a n n n b a =+-,求数列{}n b 的前2n 项和.
2. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ,且满足
()11120,2,2n n n a S S n a -+=≥=
. (1)求证:1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是一个等差数列;
(2)求{}n a 的通项公式.
3.
数列{}n a 的前n 项和为121n n S +=-,那么该数列前2n 项中所有奇数位置的项的和为( ) A.2
(41)3n - B.211(21)3n ++ C.1(41)3n - D.4(41)3
n -
4. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,且a n +1 = 2S n +1 (n ≥1).
(1)求{a n }的通项公式;
(2)若等差数列{b n }的各项均为正数,其前n 项和为T n ,且T 3 =15. 又a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3成等比数列,求T n .
5.
正项数列{a n }中,设前n 项和为S n ,a 1=2,且a n = 22S n-1
+2 (n ≥2). (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)记数列{b n }满足b n =a n +82n +1 ,T n = b 1+ b 2+…+ b n ,证明:T n <7.
6.
7. 已知函数2()(1),()4(1),f x x g x x =-=-数列{}n
a 满足1=21,n a a ≠, 1()()()0.n n n n a a g a f a +-+=
(1)求证:+131=;44n n a a +
(2)求数列{}n a 的通项公式;
(3)若13()(),n n n b f a g a +=-求{}n b 中的最大项.
8.
数列{}n a 的前n 项和为121n n S +=-,那么该数列前2n 项中所有奇数位置的项的和为( ) A.2
(41)3n - B.211(21)3n ++ C.1(41)3n - D.4(41)3n -
9.
数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n +1;b n =(﹣1)n a n (n ∈N *);则数列{b n }的前50项和为() A .49
B .50
C .99
D .100
10.
已知数列{a n }中,a 1=1,a 1+2a 2+3a 3+…+na n =
(1)求数列{a n }的通项a n ;
(2)求数列{n 2a n }的前n 项和T n ;
(3)若存在n ∈N *,使得a n ≥(n +1)λ成立,求实数λ的取值范围.
()*n 123,2n n i i n T n N T s ==∈<∑设证明:
11. 已知数列{a n }满足
数列{b n }的前n 项和S n =n 2+2n .
(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;
(2)设c n =a n b n ,求数列{c n }的前n 项和T n .
12.
设数列{a n }的前n 项的和S n =a n ﹣×2n+1+(n =1,2,3,…)
(Ⅰ)求首项a 1
(Ⅱ)证明数列{a n +2n }是等比数列并求a n .
(III )
13. 已知数列{}n a 的前n 项和为n s ,且n a 是n s 与2的等差
中项,数列{}n b 中,1b =1,点P(n b ,1+n b )在直线02=+-y x 上.
(1)求1a 和2a 的值;
(2)求数列{}n a ,{}n b 的通项n a 和n b ;
(3)设n n n b a c ⋅=,求数列{}n c 的前n 项和n T .
14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n S =
22(1,2,3)n a n L -=,数列{}n b 中,11b =,点1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上.
(I )求数列{}{},n n a b 的通项n a 和n b ;
(II) 设n n n c a b =g
,求数列{}n c 的前n 项和n T ,并求满足167n T <的最大正整数n .
15. 数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,对于任意
n ∈N *,总有a n ,S n ,a n 2成等差数列.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设数列{b n }中,b n =a 1•a 2•a 3•…•a n ,数列{}的前n 项和为T n ,求证:
T n <2.
16. 数列{}n a 的前n 项和为
n S ,2*131().22
n n S a n n n N +=--+∈ (I )证明:数列{}n a n +是等比数列;
(Ⅱ)若22
1111(),12n n n n n n b a c b b +=-=++,数列{}n c 的前n 项和为n P ,求不超过2013P 的最大整数的值.
17.。