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解 :这条直线经过点 M(2,-3),斜率 k=tan 135°=-1.代入点斜式得 y-(-3)=-(x-2),即 x+y+1=0 就是所求直线的方程,图形如图所示.
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1.2 直线的方程
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1 .怎样求直线的方程? 剖析 :一般地,已知一点的坐标,求过该点的直线时,通常选用点斜式方 程 ,再由其他条件确定直线的斜率;已知直线的斜率,通常选用点斜式或斜截 式方程,再由其他条件确定一个定点或直线在 y 轴上的截距;已知直线在两 坐标轴上的截距时,通常选用截距式方程;已知直线上的两点时,通常选用两 点式方程.不论选用哪种形式的方程,都要注意各自的限制条件,以免漏掉一 些特殊情况下的直线.
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1 .直线的方程 一般地,如果一条直线 l 上任一点的坐标(x,y)都满足一个方程,满足该 方程的每一个数对(x,y)所确定的点都在直线 l 上,我们就把这个方程称为直 线 l 的方程.
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题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 直线方程的点斜式和斜截式
【例题 1】 根据下列条件写出直线的点斜式或斜截式方程. (1)经过点(4,-2),斜率为 3; (2)经过点(3,1),倾斜角为 135°; (3)斜率为 ,与 y 轴交点的纵坐标为 5. 2 分析 :直线的点斜式方程需要定点坐标和斜率两个条件,(1)可直接写出 点斜式方程,(2)中根据倾斜角可求出斜率,再写出点斜式方程,(3)可直接写 出斜截式方程. 解 :(1)由直线的点斜式方程可得 ,所求直线的点斜式方程为 y+2=3(x-4). (2)设直线的倾斜角为 α, ∵α=135°, ∴所求直线的斜率 k=tan α=tan 135°=-1, ∴所求直线的点斜式方程为 y-1=-(x-3). (3)由题意可得,所求直线的斜截式方程为 y= x+5.
1.2 直线的方程
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1 .理解直线的方程的概念. 2 .根据所给条件选取适当的形式和方法熟练地求出直线方程. 3 .理解直线方程的两点式和截距式,掌握直线方程的一般式.
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【做一做 3】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式. (1)经过 A(-1,5),B(2,-1)两点; (2)在 x 轴、y 轴上的截距分别是-3,-1. 解 :(1)由两点式方程,得
������ -5 -1 -5
=
������-(- 1 ) , 2 -(-1 )
②当 B≠0 时 ,得斜截式:y=- x- .
一般式化截距式的步骤: ①把常数项移到方程右边,得 Ax+By=-C; ������������ ������������ ②当 C≠0 时 ,方程两边同除以-C,得 + =1;
������ ������
������ ������
③当 AB≠0 时 ,化为截距式: ������ + ������=1.
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2 .直线方程的几种形式
名称 点斜式 斜截式 已知条件 方程 点 P(x0,y0)和斜率 y-y0=k (x-x0) k 斜率 k 和直线在 y y=kx+b 轴上的截距 b y-y1 点 A(x1,y1)和 y2-y1 x-x1 B(x2,y2) = x2-x1 在 x 轴上的截距 x y 为 a,在 y 轴上的 + =1 a b 截距为 b Ax+By+C=0 (A2+B2≠ 0) 使用范围 与 x 轴不垂直的直 线 与 x 轴不垂直的直 线 与 x 轴、y 轴均不垂 直的直线 与 x 轴、y 轴均不垂 直且不过原点的直 线
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2 .直线方程化为一般式比较容易,如何把直线方程的一般式化成其他 形式呢? 剖析 :一般式化斜截式的步骤: ①移项 ,By=-Ax-C;
两点式
截距式 一般式
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【做一做 1】 直线 y=2x-3 的斜率和在 y 轴上的截距分别是( ) A.2,2 B.-3,-3 C.-3,2 D.2,-3 答案 :D 【做一做 2】 一条直线经过点 M(2,-3),倾斜角 α=135°,求这条直线的 方程,并画出图形.
整理 ,得 2x+y-3=0. ������ ������ (2)由截距式方程,得 + =1,
-3 -1
整理 ,得 x+3y+3=0.
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由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的 ,而两点式和点斜式不唯一, 因此 ,通常情况下,一般式不化为两点式和点斜式.在没有特殊说明的情况下, 通常用一般式写出直线方程.
- ������ - ������
������
������
-������
-������
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