2013高考数学基础检测：01专题一 集合与简易逻辑

2013高中数学精讲精练第二章函数【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

其中最重要的一条是“不漏不重”．4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．第1课 函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数． 【基础练习】1．设有函数组：①y x =，y =；②y x =，y =；③y =y =；④1(0),1(0),x y x >⎧=⎨-<⎩，x y x =；⑤lg 1y x =-，lg 10xy =．其中表示同一个函数的有___②④⑤___． 2.设集合{02}M x x =≤≤，{02}N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有_____②③____． 3.写出下列函数定义域：(1) ()13f x x =-的定义域为______________； (2) 21()1f x x =-的定义域为______________； (3)1()f x x =的定义域为______________； (4)()f x =_________________．4．已知三个函数:(1)()()P x y Q x =；(2)y =(*)n N ∈； (3)()log ()Q x y P x =．写出使各函数式有意义时，()P x ，()Q x 的约束条件：(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________． 5.写出下列函数值域：(1) 2()f x x x =+，{1,2,3}x ∈；值域是{2,6,12}． (2) 2()22f x x x =-+； 值域是[1,)+∞． (3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]．【范例解析】①②③④R {1}x x ≠± [1,0)(0,)-⋃+∞ (,1)(1,0)-∞-⋃- ()0Q x ≠ ()0P x ≥ ()0Q x >且()0P x >且()1Q x ≠例1.设有函数组：①21()1x f x x -=-，()1g x x =+；②()f x =，()g x③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有③④．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．解：在①中，()f x 的定义域为{1}x x ≠，()g x 的定义域为R ，故不是同一函数；在②中，()f x 的定义域为[1,)+∞，()g x 的定义域为(,1][1,)-∞-⋃+∞，故不是同一函数；③④是同一函数．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可． 例2.求下列函数的定义域：①12y x =- ②()f x = 解：（1）① 由题意得：220,10,x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩解得1x ≤-且2x ≠-或1x ≥且2x ≠，故定义域为(,2)(2,1][1,2)(2,)-∞-⋃--⋃⋃+∞．② 由题意得：12log (2)0x ->，解得12x <<，故定义域为(1,2)．例3.求下列函数的值域：（1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈；（2）22x y x =+()x R ∈；（3）y x =-分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域． （1） 解：2242(2)2y x x x =-+-=--+，[0,3)x ∈，∴函数的值域为[2,2]-；（2） 解法一：由2221111x y x x ==-++，21011x <≤+，则21101x -≤-<+，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．解法二：由221x y x =+，则21y x y=-，20x ≥，∴01y y ≥-，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)． （3t =(0)t ≥，则21x t =-，2221(1)2y t t t ∴=--=--，当0t ≥时，2y ≥-，故函数值域为[2,)-+∞．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．【反馈演练】(,0]-∞1．函数f (x )＝x21-的定义域是___________．2．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数21()1y x R x=∈+的值域为________________． 4.函数23y x =-的值域为_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为_____________________．6.记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ；(2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0，x <－1或x ≥1， 即A =(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ． (2) 由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．∵a <1，∴a +1>2a ，∴B=(2a ，a +1) ． ∵B ⊆A ， ∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1， ∴21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时， 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1)．第2课 函数的表示方法【考点导读】(1,2)(2,3)⋃ (0,1] (,4]-∞ 13[,0)(,1]44-⋃1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式． 【基础练习】1.设函数()23f x x =+，()35g x x =-，则(())f g x =_________；(())g f x =__________． 2.设函数1()1f x x=+，2()2g x x =+,则(1)g -=_____3_______；[(2)]f g =17；[()]f g x =213x +．3.已知函数()f x 是一次函数，且(3)7f =，(5)1f =-,则(1)f =__15___．4.设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝_____________． 5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________． 【范例解析】例1.已知二次函数()y f x =的最小值等于4，且(0)(2)6f f ==，求()f x 的解析式． 分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．解法一：设2()(0)f x ax bx c a =++>，则26,426,4 4.4c a b c ac b a ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪-⎪=⎪⎩解得2,4,6.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求的解析式为2()246f x x x =-+． 解法二：(0)(2)f f =，∴抛物线()y f x =有对称轴1x =．故可设2()(1)4(0)f x a x a =-+>．将点(0,6)代入解得2a =．故所求的解析式为2()246f x x x =-+．解法三：设()() 6.F x f x =-，由(0)(2)6f f ==，知()0F x =有两个根0，2， 可设()()6(0)(2)F x f x a x x =-=--(0)a >，()(0)(2)6f x a x x ∴=--+，将点(1,4)代入解得2a =．故所求的解析式为2()246f x x x =-+．点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式． 例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km ，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y （km ）与时间x （分）的关系．试写出()y f x =的函数解析式．分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．解：当[0,30]x ∈时，直线方程为115y x =，当[40,60]x ∈第5题67x - 64x + 413|1|2323--=x y (0≤x ≤2)1[0,30],15()2(30,40),1[40,60].210x x f x x x x ⎧⎪∈⎪∴=∈⎨⎪∈⎪-⎩点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域． 【反馈演练】1．若()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=，则(2)f x =（ D ）Ａ． 2()f x Ｂ．2[()()]f x g x + Ｃ．2()g x Ｄ． 2[()()]f x g x ⋅2．已知1(1)232f x x -=+，且()6f m =，则m 等于________．3. 已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．求函数g (x )的解析式． 解：设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故．第3课 函数的单调性【考点导读】14-1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性． 【基础练习】 1.下列函数中： ①1()f x x=； ②()221f x x x =++； ③()f x x =-； ④()1f x x =-． 其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___． 2.函数y x x =的递增区间是___ R ___． 3.函数y =__________． 4.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________．5.已知下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的增函数； ②定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数；③定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数；④定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数．其中正确命题的序号有_____②______． 【范例解析】例 . 求证：（1）函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调递增函数； （2）函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数． 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定． 证明：（1）对于区间3(,]4-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，因为22121122()()231(231)f x f x x x x x -=-+---+-2221122233x x x x =-+-1212()[32()]x x x x =--+，又1234x x <≤，则120x x -<，1232x x +<，得1232()0x x -+>， 故1212()[32()]0x x x x --+<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．(,1]-∞- (1,)+∞所以，函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调增函数． （2）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=-++12123()(1)(1)x x x x -=++， 又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++> 故12123()0(1)(1)x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-上是单调增函数． 同理，对于区间(1,)-+∞，函数21()1x f x x -=+是单调增函数；所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数．点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值1x ，2x ；（2）作差12()()f x f x -，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论． 例2.确定函数()f x =分析：作差后，符号的确定是关键．解：由120x ->，得定义域为1(,)2-∞．对于区间1(,)2-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，则12()()f x f x -===又120x x -<0>，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．所以，()f x 在区间1(,)2-∞上是增函数．点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．【反馈演练】(0,1)1．已知函数1()21x f x =+，则该函数在R 上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________． 2．已知函数2()45f x x mx =-+在(,2)-∞-上是减函数，在(2,)-+∞上是增函数，则(1)f =__25___.3.函数y =1[2,]2--.4. 函数2()1f x x x =-+的单调递减区间为1(,1],[,1]2-∞-． 5. 已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：设对于区间(2,)-+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则12121211()()22ax ax f x f x x x ++-=-++2112(12)()0(2)(2)a x x x x --=<++， 120x x -<，1(2)0x +>，2(2)0x +>得，12(2)(2)0x x ++>，120a ∴-<，即12a >．第4课 函数的奇偶性【考点导读】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数． 【基础练习】1.给出4个函数：①5()5f x x x =+；②421()x f x x-=；③()25f x x =-+；④()x xf x e e -=-． 其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____． 2. 设函数()()()xa x x x f ++=1为奇函数，则实数=a －1 ．3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）A .R x x y ∈-=,3B .R x x y ∈=,sinC .R x x y ∈=,D .R x x y ∈=,)21(【范例解析】例1.判断下列函数的奇偶性：（1）2(12)()2x xf x +=； （2）()lg(f x x =；（3）221()lg lgf x x x=+； （4）()(1f x x =- （5）2()11f x x x =+-+； （6）22(0),()(0).x x x f x x x x⎧-+≥⎪=⎨<+⎪⎩分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断． 解：（1）定义域为x R ∈，关于原点对称；2222(12)2(12)()222x x x x x x f x ----+⋅+-===⋅2(12)()2x xf x +=, 所以()f x 为偶函数．（2）定义域为x R ∈，关于原点对称；()()lg(lg(lg10f x f x x x -+=-+==，()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数．（3）定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，关于原点对称；()0f x =，()()f x f x ∴-=-且()()f x f x -=，所以()f x 既为奇函数又为偶函数．（4）定义域为[1,1)x ∈-，不关于原点对称；故()f x 既不是奇函数也不是偶函数． （5）定义域为x R ∈，关于原点对称；(1)4f -=，(1)2f =，则(1)(1)f f -≠且(1)(1)f f -≠-，故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（6）定义域为x R ∈，关于原点对称；22()()(0),()(0).()()x x x f x x x x ⎧--+-->⎪-=⎨-<-+-⎪⎩，22(0),()(0).x x x f x x x x ⎧-->⎪∴-=⎨<-⎪⎩又(0)0f =， 22(0),()(0).x x x f x x x x⎧--<⎪∴-=⎨≥-⎪⎩()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数．点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即()()f x f x -=-或()()f x f x -=判断，注意定义的等价形式()()0f x f x -+=或()()0f x f x --=．例2. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当0x >时，2()22f x x x =-+，求函数()f x 的解析式，并指出它的单调区间．分析：奇函数若在原点有定义，则(0)0f =． 解：设0x <，则0x ->，2()22f x x x ∴-=++．又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，2()()22f x f x x x ∴=--=---． 当0x =时，(0)0f =．综上，()f x 的解析式为2222,0()0,0022,x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪<---⎩． 作出()f x 的图像，可得增区间为(,1]-∞-，[1,)+∞，减区间为[1,0)-，(0,1]．点评：（1）求解析式时0x =的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“⋃”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“x -”实现转化；（4）根据图像写单调区间．【反馈演练】1．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ D ）A ．()()76f f >B ．()()96f f >C ．()()97f f >D ．()()107f f >2. 在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ B ）A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数3. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为____1，3 ___． 4．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f ________．5．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取 值范围是（－2，2）．6. 已知函数21()ax f x bx c+=+(,,)a b c Z ∈是奇函数．又(1)2f =，(2)3f <,求a ，b ，c 的值；解：由()()f x f x -=-，得()bx c bx c -+=-+，得0c =．又(1)2f =，得12a b +=，而(2)3f <，得4131a a +<+，解得12a -<<．又a Z ∈，0a ∴=或1． 若0a =，则12b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈．所以，1,1,0a b c ===．综上，可知()f x 的值域为{0,1,2,3,4}．第5 课 函数的图像【考点导读】1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；252.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法． 【基础练习】1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：（1）2x y =12x y -= 123x y -=+；（2）2log y x =2log ()y x =- 2log (3)y x =-． 2.作出下列各个函数图像的示意图：（1）31xy =-； （2）2log (2)y x =-； （3）21xy x -=-． 解：（1）将3xy =的图像向下平移1个单位，可得31xy =-的图像．图略；（2）将2log y x =的图像向右平移2个单位，可得2log (2)y x =-的图像．图略；（3）由21111x y x x -==---，将1y x =的图像先向右平移1个单位，得11y x =-的图像，再向下平移1个单位，可得21x y x -=-的图像．如下图所示：3.作出下列各个函数图像的示意图：（1）12log ()y x =-； （2）1()2x y =-； （3）12log y x =； （4）21y x =-．解：（1）作12log y x =的图像关于y 轴的对称图像，如图1所示；（2）作1()2x y =的图像关于x 轴的对称图像，如图2所示；（3）作12log y x =的图像及它关于y 轴的对称图像，如图3所示；（4）作21y x =-的图像，并将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，如图4所示．图3向右平移1个单位 向上平移3个单位作关于y 轴对称的图形 向右平移3个单位图44. 函数()|1|f x x =-的图象是（ B ）例1.作出函数2()223f x x x =-++及()f x -，()f x -，(2)f x +，()f x ，()f x 的图像． 分析：根据图像变换得到相应函数的图像． 解：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；将()y f x =的图像向左平移2个单位得到(2)y f x =+的图像；保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分； 将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y 轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分．图略．点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”下“－”；对称变换：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；()y f x =--与()y f x =的图像关于原点对称；()y f x =保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分；()y f x =将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y 轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分． 例2.设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像； （2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明.分析：根据图像变换得到)(x f 的图像，第（3）问实质是恒成立问题． 解：（1）（2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A . 由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142.【反馈演练】11B ）2. 为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象向右平移1个单位长度得到． 3．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k =14-． 4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y =f (x )的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ． 5. 作出下列函数的简图：（1）2(1)y x x =-+； （2）21x y =-； （3）2log 21y x =-．第6课 二次函数【考点导读】1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．【基础练习】1. 已知二次函数232y x x =-+,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为32x =；顶点坐标为 31(,)24-，与x 轴的交点坐标为(1,0),(2,0)，最小值为14-． 2. 二次函数2223y x mx m =-+-+的图像的对称轴为20x +=,则m =__－2___，顶点坐标为(2,3)-，递增区间为(,2]-∞-，递减区间为[2,)-+∞．3. 函数221y x x =--的零点为11,2-． 4. 实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠两实根异号的充要条件为0ac <；有两正根的充要条件为0,0,0b c a a ∆≥->>；有两负根的充要条件为0,0,0b ca a∆≥-<>．5. 已知函数2()23f x x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是__________．【范例解析】例1.设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈． （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）若2a =时，求)(x f 的最小值． 分析：去绝对值．解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数．当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠．此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=2123)(22x x x x x x x f由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为43)21(=f ． 故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为43． 点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值． 例2.函数()f x 212ax x a =+-()a R ∈在区间2]的最大值记为)(a g ，求)(a g 的表达式． 分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况．解：∵直线1x a =-是抛物线()f x 212ax x a =+-的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论： （1）当0>a 时，函数()y f x =，2]x ∈的图象是开口向上的抛物线的一段，由10x a=-<知()f x在2]x ∈上单调递增，故)(a g (2)f =2+=a ；（2）当0=a 时，()f x x =，2]x ∈，有)(a g =2；[1,2]（3）当0<a 时，，函数()y f x =，2]x ∈的图象是开口向下的抛物线的一段，若1x a=-]2,0(∈即22-≤a 时，)(ag f ==若1x a =-]2,2(∈即]21,22(--∈a 时，)(a g 11()2f a a a=-=--， 若1x a =-),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时，)(a g (2)f =2+=a ．综上所述，有)(a g =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(2)2122(,21)21(2a a a a a a ． 点评：解答本题应注意两点：一是对0a =时不能遗漏；二是对0a ≠时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及()y f x =在区间2]上的单调性．【反馈演练】1．函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的充要条件是0b ≥．2．已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为2215y x x =-++．3. 设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列四图之一：则a 的值为 （ B ）A ．1B ．－1C ．251-- D ．251+- 4．若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的取值范围是5[,)2-+∞． 5.若关于x 的方程240x mx -+=在[1,1]-有解，则实数m 的取值范围是(,5][5,)-∞-⋃+∞．6.已知函数2()223f x x ax =-+在[1,1]-有最小值，记作()g a ． （1）求()g a 的表达式； （2）求()g a 的最大值．解：（1）由2()223f x x ax =-+知对称轴方程为2ax =， 当12a≤-时，即2a ≤-时，()(1)25g a f a =-=+； 当112a-<<，即22a -<<时，2()()322a a g a f =-=-；当12a≥，即2a ≥时，()(1)52g a f a ==-； 综上，225,(2)()3,(22)252,(2)a a a g a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩．（2）当2a ≤-时，()1g a ≤；当22a -<<时，()3g a ≤；当2a ≥时，()1g a ≤．故当0a =时，()g a 的最大值为3．7. 分别根据下列条件,求实数a 的值：（1）函数2()21f x x ax a =-++-在在[0,1]上有最大值2； （2）函数2()21f x ax ax =++在在[3,2]-上有最大值4．解：（1）当0a <时，max ()(0)f x f =，令12a -=，则1a =-； 当01a ≤≤时，max ()()f x f a =，令()2f a =，a ∴=； 当1a >时，max ()(1)f x f =，即2a =． 综上，可得1a =-或2a =．（2）当0a >时，max ()(2)f x f =，即814a +=，则38a =； 当0a <时，max ()(1)f x f =-，即14a -=，则3a =-．综上，38a =或3a =-． 8. 已知函数2(),()f x x a x R =+∈．（1）对任意12,x x R ∈，比较121[()()]2f x f x +与12()2x x f +的大小；（2）若[1,1]x ∈-时，有()1f x ≤，求实数a 的取值范围．解：（1）对任意1x ，2x R ∈，212121211[()()]()()0224x x f x f x f x x ++-=-≥ 故12121[()()]()22x x f x f x f ++≥． （2）又()1f x ≤，得1()1f x -≤≤，即211x a -≤+≤，得2max 2min (1),[1,1](1),[1,1]a x x a x x ⎧≥--∈-⎪⎨≤-+∈-⎪⎩，解得10a -≤≤．第7课 指数式与对数式【考点导读】1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算． 【基础练习】1.写出下列各式的值：(0,1)a a >≠=3π-； 238=____4____； 3481-=127； log 1a =___0_____； log a a =____1____；log 4=__－4__．2.化简下列各式：(0,0)a b >>（1）2111333324()3a ba b ---÷-=6a -；（2）2222(2)()a a a a ---+÷-=2211a a -+．3.求值：（1）35log(84)⨯=___－38____；（2）33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+=____1____；（3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_____3____． 【范例解析】 例1. 化简求值：（1）若13a a -+=，求1122a a --及442248a a a a --+-+-的值；（2）若3log 41x =，求332222x xx x--++的值． 分析：先化简再求值． 解：（1）由13a a-+=，得11222()1a a --=，故11221a a--=±；又12()9a a -+=，227a a -+=；4447a a -∴+=，故44224438a a a a --+-=-+-． （2）由3log 41x =得43x=；则33227414223x x x xx x---+=-+=+． 点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．例2.（1）求值：11lg9lg 240212361lg 27lg 35+-+-+； （2）已知2log 3m =，3log 7n =，求42log 56． 分析：化为同底．解：（1）原式=lg10lg3lg 240136lg10lg9lg 5+-+-+1lg810lg8=+=；（2）由2log 3m =，得31log 2m =；所以33342333log 563log 2log 73log 56log 4213log 2log 71mn m mn ++===++++．点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数． 例3. 已知35a b c ==，且112a b+=，求c 的值． 分析：将a ，b 都用c 表示． 解：由35a b c ==，得1log 3c a =，1log 5c b =；又112a b+=，则log 3log 52c c +=， 得215c =．0c >，c ∴=点评：三个方程三个未知数，消元法求解．【反馈演练】1．若21025x =，则10x -=15． 2．设lg321a =，则lg0.321=3a -． 3．已知函数1()lg1xf x x-=+，若()f a b =，则()f a -=－b ． 4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）．5．设已知f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于12． 6．若618.03=a ，)1,[+∈k k a ，则k =__－1__．7．已知函数21(0)()21(1)xc cx x c f x c x -+⎧⎪=⎨⎪+≤⎩＜＜＜，且89)(2=c f ． （1）求实数c 的值； （2）解不等式182)(+＞x f ． 解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =．（2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()1f x >+得，当102x <<12x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()1f x >的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．第8课 幂函数、指数函数及其性质【考点导读】1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，12y x =的图像了解它们的变化情况；2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 【基础练习】1.指数函数()(1)xf x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)．2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2xf x =的图像，则()f x =222x -+．3.函数220.3x x y --=的定义域为___R __；单调递增区间1(,]2-∞-；值域14(0,0.3]．4.已知函数1()41x f x a =++是奇函数，则实数a 的取值12-． 5.要使11()2x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围2m ≤-． 6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为1(,0)2．【范例解析】例1.比较各组值的大小： （1）0.20.4，0.20.2，0.22， 1.62；（2）b a -，b a ，a a ，其中01a b <<<；（3）131()2，121()3．分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性．解：（1）0.20.200.20.40.41<<=，而0.2 1.6122<<，0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<．（2）01a <<且b a b -<<，b a b a a a -∴>>．（3）111322111()()()223>>．点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．例2.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数,求,a b 的值；解：因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= －f （－1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++例3.已知函数2()(1)1x x f x a a x -=+>+，求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数； （2）方程()0f x =没有负根． 分析：注意反证法的运用．证明：（1）设121x x -<<，122112123()()()(1)(1)x xx x f x f x a a x x --=-+++，1a >，210x x a a ∴->，又121x x -<<，所以210x x ->，110x +>，210x +>，则12()()0f x f x -< 故函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数．（2）设存在00x <0(1)x ≠-，满足0()0f x =，则00021x x ax -=-+．又001xa <<，002011x x -∴<-<+ 即0122x <<，与假设00x <矛盾，故方程()0f x =没有负根． 点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系．【反馈演练】1．函数)10()(≠>=a a a x f x且对于任意的实数y x ,都有（ C ） A ．)()()(y f x f xy f =B ．)()()(y f x f xy f +=C ．)()()(y f x f y x f =+D ．)()()(y f x f y x f +=+2．设713=x ，则（ A ）A ．－2<x <－1B ．－3<x <－2C ．－1<x <0D ．0<x <13．将y =2x 的图像 ( D ) 再作关于直线y =x 对称的图像，可得到函数2log (1)y x =+的图像．A ．先向左平行移动1个单位B ．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D ． 先向下平行移动1个单位4．函数bx a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ C ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a5．函数xa y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为___2__．6．若关于x 的方程4220x xm ++-=有实数根，求实数m 的取值范围． 解：由4220x xm ++-=得，219422(2)224x x x m =--+=-++<，(,2)m ∴∈-∞ 7．已知函数2()()(0,1)2x xa f x a a a a a -=->≠-． （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在R 上是单调递增函数，求实数a 的取值范围．解：（1）定义域为R ，则2()()()2x xa f x a a f x a --=-=--，故()f x 是奇函数． （2）设12x x R <∈，12121221()()()(1)2x x x x a f x f x a a a a-+-=-+-，当01a <<时，得220a -<，即01a <<；当1a >时，得220a ->，即a >综上，实数a 的取值范围是(0,1))⋃+∞．第9课 对数函数及其性质【考点导读】1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题． 【基础练习】1. 函数)26(log 21.0x x y -+=的单调递增区间是1[,2)4．2. 函数2()log 21f x x =-的单调减区间是1(,)2-∞． 【范例解析】例1. （1）已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范围是_________．（2）设函数2()lg()f x x ax a =+-，给出下列命题：①)(x f 有最小值； ②当0=a 时，)(x f 的值域为R ； ③当40a -<<时，)(x f 的定义域为R ；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a ． 则其中正确命题的序号是_____________． 分析：注意定义域，真数大于零． 解：（1）0,1a a >≠，2ax ∴-在[0,1]上递减，要使log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则1a >；又2ax -在[0,1]上要大于零，即20a ->，即2a <；综上，12a <<．（2）①)(x f 有无最小值与a 的取值有关；②当0=a 时，2()lg f x x R =∈，成立；③当40a -<<时，若)(x f 的定义域为R ，则20x ax a +->恒成立，即240a a +<，即40a -<<成立；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则2,2420.aa a ⎧-≤⎪⎨⎪+->⎩解得a ∈∅，不成立．点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决． 例3.已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 分析：利用定义证明复合函数的单调性．解：x 须满足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x xx x 得由所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有)()11log 1(11log 1)(22x f xxx x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则,0)112(log )112(log ,011)],112(log )112([log )11(11log 111log 1)()(1222211222212222112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减， 由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减.点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力． 【反馈演练】1．给出下列四个数：①2(ln 2)；②ln(ln 2)；③ln ln 2.其中值最大的序号是___④___. 2．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，(8,2)，则a b +等于___5_ _．3．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标是(2,1)--．4．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为12． 5．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数有___3___个.6．下列四个函数：①lg y x x =+； ②lg y x x =-；③lg y x x =-+；④lg y x x =--.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.7．求函数22()log 2log 4x f x x =⋅,1[,4]2x ∈的最大值和最小值． 解：2222()log 2log (log 1)(log 2)4xf x x x x =⋅=+-222log log 2x x =-- 令2log t x =，1[,4]2x ∈，则[1,2]t ∈-，即求函数22y t t =--在[1,2]-上的最大值和最小值． 故函数()f x 的最大值为0，最小值为94-． 8．已知函数()log ax bf x x b+=-(0,1,0)a a b >≠>． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性，并证明． 解：（1）解：由0x bx b+>-，故的定义域为()(,)b b -∞-⋃+∞．第6题（2）()log ()()a x bf x f x x b-+-==---，故()f x 为奇函数． （3）证明：设12b x x <<，则121221()()()()log ()()ax b x b f x f x x b x b +--=+-，12212121()()2()10()()()()x b x b b x x x b x b x b x b +---=>+-+-．当1a >时，12()()0f x f x ∴->，故)(x f 在(,)b +∞上为减函数；同理)(x f 在(,)b -∞-上也为减函数； 当01a <<时，12()()0f x f x ∴-<，故)(x f 在(,)b +∞，(,)b -∞-上为增函数．第10课 函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法． 【基础练习】1.函数2()44f x x x =++在区间[4,1]--有_____1 ___个零点． 2.已知函数()f x 的图像是连续的，且x 与()f x 有如下的对应值表：则()f x 在区间[1,6]上的零点至少有___3__个． 【范例解析】例1.()f x 是定义在区间[－c ，c ]上的奇函数，其图象如图所示：令()()g x af x b =+， 则下列关于函数()g x 的结论：①若a <0，则函数()g x 的图象关于原点对称；②若a =－1，－2<b <0，则方程()g x =0有大于2的实根； ③若a ≠0，2b =，则方程()g x =0有两个实根； ④若0a ≠，2b =，则方程()g x =0有三个实根． 其中，正确的结论有___________． 分析：利用图像将函数与方程进行互化．解：当0a <且0b ≠时，()()g x af x b =+是非奇非偶函数，①不正确；当2a =-，0b =时，()2()g x f x =-是奇函数，关于原点对称，③不正确；当0a ≠，2b =时，2()f x a=-，由图知，当222a -<-<时，2()f x a=-才有三个实数根，故④不正确；故选②． 点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．例2.设2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >． 求证：（1）0a >且12-<<-ab； （2）方程()0f x =在(0,1)内有两个实根．分析：利用0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >进行消元代换． 证明：（1）(0)0f c =>，(1)320f a b c =++>，由0a b c ++=，得b a c =--，代入(1)f 得：0a c ->，即0a c >>，且01c a <<，即1(2,1)b ca a=--∈--，即证． （2）11()024f a =-<，又(0)0f >，(1)0f >．则两根分别在区间1(0,)2，1(,1)2内，得证． 点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取(0,1)的中点12来考察1()2f 的正负。

集合部分一， 解决集合问题应注意的问题1，明确集合的三种表示方法，能够灵活的应用和转化； 2，明确集合的元素的意义，确定对象的类型，即元素是点、还是说、还是图形、还是向量等；如集合2A={x|y=x 1}-和2B={y|y=x 1}-不是同一个集合 3，弄清集合是由哪些元素组成的，善于对集合的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）之间进行相互转化；化简出集合的最简形式； 4，注意集合元素的互异性，在求值问题中不要忘记检验是否满足这一性质，这是集合题目的隐含条件； 5，注意空集的特殊性和特殊作用，注意空集性质的应用； 6，判断集合关系的方法和研究集合问题的方法是从元素下手； 7，注意运用数形结合思想、分类讨论思想、化归和转化思想来解决集合的问题； 8， 集合问题多与函数、方程、不等式等知识综合在一起，应注意各类知识之间的联系和融会贯通； 二， 常见的结论1，若集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个2，若集合A 中元素的个数用card(A)表示，则集合A 和集合B 的并集中元素的个数为()()()()card A B card A card B card A B =+-；则集合A 、B 、C 三个集合的并集中元素的个数为()()()()()()()()card A B C card A card B card C card A B card A C card C B card A B C =++---+ 3， 集合交集和并集的混合运算的两个公式：()()()u u u A B A B c c c =()()()u u u A B A B c c c =4， 空集的性质（1）A ∅⊆（2）()A A ∅⊂≠∅（3）A ∅=∅（4）A A ∅=5，A B A A B =⇔⊆，A B A B A =⇔⊆6，A B B A A B ⊆⊆⇔=且7，A B ⊂是A B ⊆的充分不必要条件三， 例题分析1、（12浙江理1）设集合{|14}A x x =<<，集合2{|230}B x x x =--≤, 则()R A C B =（ ） A 、(1,4) B 、(3,4) C 、(1,3) D 、 (1,2)(3,4)【解析】此题考查集合的交集和补集的运算，考查一元二次不等式的解法2{|230}{|13}{|13}R B x x x x x C B xx x =--≤=-≤≤⇒=<->或， ()R A C B =}43|{<<x x 。

2013年高考数学分类解析第一章 集合与常用逻辑用语1、（2013安徽4）"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 当a=0 时，，时，且上单调递增；当，在x ax x f x a x f y x x f )1()(00)0()(||)(+-=><∞+=⇒= .)0()(0所以a .)0()(上单调递增的充分条件，在是上单调递增，在∞+=≤∞+=x f y x f y 0a )0()(≤⇒∞+=上单调递增，在相反，当x f y ,.)0()(0a 上单调递增的必要条件，在是∞+=≤⇒x f y故前者是后者的充分必要条件。

所以选C2、（2013北京1）.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}3、（2013福建2）．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．4、（2013广东1）．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N = ( ) A . {}0 B ．{}0,2 C ．{}2,0- D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N = {}2,0,2-,故选D ．5、（2013广东8）．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ 【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.6、（2013湖北2）、已知全集为R ，集合112x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B = （ ）A.{}|0x x ≤B. C. {}|024x x x ≤<>或 D.{}|024x x x <≤≥或【解析与答案】[)0,A =+∞，[]2,4B =，[)()0,24,R A C B ∴=+∞ 。

专题1——集合与简易逻辑1．集合概念 元素：互异性、无序性、确定性2．集合运算 全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或 补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且3．集合关系 空集A ⊆φ 子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A B A A B A ⊆⇔=⊆⇔=注：数形结合---文氏图、数轴；集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 原命题⇔逆否命题 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝ 否命题⇔逆命题5．充分必要条件（ 原充逆比）p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q6．复合命题的真值①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真） ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真 ③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假7.全称命题、存在性命题的否定∀x ∈M, p(x ）否定为: ∃x ∈M, )(x p ⌝ ∃x ∈M, p(x ）否定为: ∀∈x M, )(x p ⌝附：2012高考真题1.【安徽文2】设集合A={3123|≤-≤-x x }，集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域，则A ⋂B=（ ）（A ）（1，2） （B ）[1，2] （C ）[ 1，2） （D ）（1，2 ]2.【安徽文4】命题“存在实数x ，使x > 1”的否定是（ ）（A ）对任意实数x , 都有x >1 （B ）不存在实数x ，使x ≤1（C ）对任意实数x , 都有x ≤1 （D ）存在实数x ，使x ≤13.【2012新课标文1】已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（ ）（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ 4.【高考山东文2】已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则B AC U ）（为（ ） (A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}5.【山东文5】设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是（ ） (A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真6.【全国文1】已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则（ ）（A ）A B ⊆ （B ）C B ⊆ （C ）D C ⊆ （D ）A D ⊆7.【重庆文1】命题“若p 则q ”的逆命题是（ ）（A ）若q 则p （B ）若⌝p 则⌝ q （C ）若q ⌝则p ⌝ （D ）若p 则q ⌝8.【重庆文10】设函数2()43,()32,xf x x xg x =-+=-集合{|(())0},M x R f g x =∈> {|()2},N x R g x =∈<则M N 为（ ）（A ）(1,)+∞ （B ）（0，1） （C ）（-1，1） （D ）(,1)-∞9【浙江文1】设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P ∩（C U Q ）=（ ）A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}10.【四川文1】设集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则A B =（ ）A 、{}bB 、{,,}b c dC 、{,,}a c dD 、{,,,}a b c d11.【陕西文1】 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N =（ ）A. (1,2)B. [1,2)C. (1,2]D. [1,2]12.【辽宁文2】已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则=)()(B C A C U U （ ） (A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}13.【辽宁文5】已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是（ ）(A) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≤0 (B) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≤0(C) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)<0 (D) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)<014.【江西文2】 若全集U=｛x∈R|x 2≤4} A=｛x∈R||x+1|≤1}的补集CuA 为（ ）A |x∈R |0＜x ＜2|B |x∈R |0≤x＜2|C |x∈R |0＜x≤2|D |x∈R |0≤x≤2|15.【湖南文1】.设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2=x}，则M ∩N=（ ）c b a c b a ++≤++111A.{-1，0，1} B.{0,1} C.{1} D.{0}16.【湖南文3】命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是（ ）[中%国（&*^育出版@网 A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1 C. 若tan α≠1，则α≠4π D. 若tan α≠1，则α=4π 17.【湖北文1】已知集合A{x| 2x -3x +2=0,x ∈R } ， B={x|0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A 错误！不能通过编辑域代码创建对象。

2013高考真题数学理科分类 集合与简易逻辑 李远敬整理一．集合的运算 并集9交集2,3,4,6，8补集7子集1,101．（全国Ⅰ01）已知集合A =｛x |x 2－2x ＞0｝，B =｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( )A.A∩B=∅B.A ∪B=RC.B ⊆AD.A ⊆B2．（全国Ⅱ01）已知集合{}{}3,2,1,0,1,,4)1(|2-=∈<-=N R x x x M ，则=⋂N M （ ）A . {}2,1,0 B. {}2,1,0,1- C . {}3,2,0,1- D. {}3,2,1,03．（北京01）已知集合A ={－1，0，1}，B ={x |－1≤x ＜1}，则A ∩B = ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}4.(辽宁02)已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 5.(江西01)已知集合M ={1,2，zi }， i 为虚数单位,N ={3,4}，则复数z =A.-2iB.2iC.-4iD.4i6．(四川01)设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B = （ ）A.{2}-B.{2}C.{2,2}-D.∅7．(重庆01)已知集合{1,2,3,4}U =，集合={1,2}A ，={2,3}B ，则)(B A C U ⋃=A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}8.(天津卷01) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=A. (,2]-∞B. [1,2]C. [－2,2]D. [－2,1]9.(广东01).设集合M ={x ∣2x +2x =0, x ∈R },N ={x ∣2x -2x =0, x ∈R}, 则M ∪N =A. {0}B. {0，2}C. {-2,0} D {-2,0,2}!0.(江苏04)集合}1,0,1{-共有 个子集二．集合元素的个数11,12.∈1311.(安微01)设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为A.3B.4C.5D.612.(山东02)设集合A ={0,1,2},则集合B ={x -y |x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.9!3.(广东08)设整数n ≥4，集合X =｛1，2，3……，n ｝。

第一章集合与常用逻辑用语第 1 节集合题型 1集合的基本概念——暂无题型 2集合间的基本关系——暂无题型 3集合的运算1.（ 2013 山东文 2）已知集合 A ， B 均为全集U1,2,3,4的子集，且e A B 4 ，U B1,2 ，则A e U B（） .A. 3B. 4C.3,4D.分析利用所给条件计算出A 和 e B，进而求交集.1.U解析：因为 U1,2,3,4，饀A B4，所以A B1,2,3.又因为B1,2，U所以 3A1,2,3 .又饀B 3,4 ，所以A饀B故选A.U U 3 .2.(2013 安徽文 2）已知A x x1>0 ，B2， 101，，，则 C R A B（） .A.2，1B.2C.2，01，D.01，2.分析解不等式求出集合 A ，进而得e R A，再由集合交集的定义求解.解析因为集合 A x x >1，所以 e R A x x ≤1，则 e R A B x x ≤1 2, 1,02, 1 .故选A.3.（ 2013江西文2）若集合A x R | ax2ax10 其中只有一个元素，则a（） .A ．4 B. 2 C. 0 D. 0或43.解析当a0时，方程化为 10，无解，集合 A 为空集，不符合题意；当a0时，由a2 4a 0 ，解得a 4.故选A.4．（ 2013 广东文1）设集合S x | x22x 0, x R，T x | x22x 0, x R，则 S T（）.A ．0B ．0,2C．2,0D．2,0,24.分析先确定两个集合的元素，再进行交集运算.解析集合 S0, 2 ,T0,2，故 S T0 ，故选 A.5（.2013 湖北文 1）已知全集U1,2,3,4,5 ，集合 A1,2 ，B2,3,4 ，则B e U A（） .A ．2B．3,4C．1,4,5D．2,3,4,55.分析先求e A，再找公共元素.U解析因为 U1,2,3,4,5 , A1,2，所以 e A3,4,5，U所以 B e A2,3,43,4,53,4.故选 B.U6.（ 2013四川文1）设集合A1，2，3 ，集合B2，2，则 A B （）.A. B.2C.2，2D.21，，2，36.分析直接根据交集的概念求解.解析 A B1,2,32,22，故选 B.7． (2013 福建文3）若集合A=1,2,3 ，B= 1,3,4 ，则 A B 的子集个数为（）.A ．2 B．3C．4 D．167.分析先求出A B ，再列出子集.解析 A B1,3 ，其中子集有, 1 ,3, 1,3 共 4 个.故选C.8. (2013 天津文 1）已知集合A x R x , 2 ， B x R x? 1，则 A B ().A.(,2]B. 1,2C.2,2D.2,1分析先化简集合 A ，再借助数轴进行集合的交集运算.8.解析 A x R x ≤ 2x R - 2≤x≤2，所以 A B x R 2 ≤ x ≤ 2x R x ≤ 1x R 2≤x≤1 .故选D.9.（ 2013 辽宁文 1）已知集合 A 1，2，3，4 ，B x x<2 ，则 A B（）.A.0B.01，C.0，2D.01，，29.解析B x x2x 2 x 2， A B0,1 .故选B.10. (2013 陕西文1）设全集为R，函数f ( x)1x 的定义域为M，则 e R M 为（）.A.，1B.1，C.，1D. 1，10.解析函数f x 的定义域 M,1 ，则 e R M1,．故选 B.11.（2013 浙江文1）设集合S x | x2， T x | 4剟x1，则 S T（） .A. 4，B（.2，） C.4，1 D.2，111.分析直接求两个集合的交集即可.解析： S T x x > 2x 4 ≤ x ≤ 1x 2 < x≤ 1.故选 D .12. (2013 重庆文1）已知全集U1，2，3，4 ，集合 A1，2 ， B2，3，则 e U A B （）.A.13，，4B.3，4C. 3D.412.分析先求出两个集合的并集，再结合补集概念求解.解析因为 A1,2 , B2,3 ，所以 A B1,2,3，所以 e A B4.故选 D.U13.（ 2013 江苏 4）集合1,0,1共有个子集13.分析根据计算集合子集个数的公式求出或直接写出.解析由于集合中有 3 个元素，故该集合有23=8（个）子集 .14.已知集合U2,3,6,8, A2,3 , B2,6,8，则 C A B.15（.2014 新课标Ⅰ文1）已知集合 M{ x | 1 x3} ，N{ x |2x1} ，则M N （）A. (2,1)B. (1,1)C. (1,3)D.( 2 ,3)16（.2014 新课标Ⅱ文1）已知集合A2,0,2 ，B x | x2x20 ，则A B （）A. B.2 C. 0 D. 217.（ 2014 浙江文1）设集合Sx x厔2 ,T x x 5，则 S T = （） .A ．,5B ．2，+C．2,5 D ．2,518.（ 2014 江西文2）设全集为R，集合A{ x | x290}, B{ x |1x≤5} ，则A(e R B)（） .A. (3,0)B. ( 3,1)C. (3,1]D. ( 3,3)19.（ 2014 辽宁文1）已知全集U R ，A{ x | x≤ 0} ， B{ x | x≥1} ，则集合e U(A B)（）A ． { x | x≥0}B ． { x | x≤1}C． { x | 0≤ x≤1}D． { x | 0 x 1}20.（ 2014 山东文2）设集合A x x 22x0, B x 1剟x4，则 A B（） .A.0,2B.1,2C.1,2D.1,421.（ 2014陕西文 1）设集合M x | x≥0，x R ，N x | x21，x R ，则M N（）.A.0,10,1C.0,1D.0,1B.22（. 2014 四川文 1）已知集合A x x1x 2 ,0 ，集合B为整数集，则 A B（）.A.1,0B.0,1C.2, 1,0,1D.1,0,1,223.（ 2014 北京文1）若集合A0,1,2,4， B1,2,3，则 A B （）A.0,1,2,3,4B.0,4C.1,2D.323.解析因为A0,1,2,4， B1,2,3，所以 A B1,2 .故选C.24.（ 2014 大纲文1）设集合 M{ 1，2，4，6，8}， N{ 1，2，3，5，6，7} ，则M N 中元素的个数为（） .A ． 2B． 3C． 5D． 725.（ 2014 福建文1）若集合P x 2≤ x 4 , Q x x≥ 3, 则P Q等于（）A. x 3≤x 4B. x 3 x 4C. x 2≤x 3D. x 2≤x≤326.（ 2014 广东文1）已知集合M2,3,4 , N0,2,3,5 ，则M N（） .A.0,22,3C.3,4D.3,5 B.27.（ 2014 湖北文1）已知全集U1，2，3，4，5，6，7，集合A1，3，5，6，则U（） .e AA ．13，，5，6B．2，3，7C．2，4，7D．2，5，728.（ 2014 湖南文 2）已知集合 A{ x | x2} ， B{ x |1x 3} ，则A B（） .A. { x | x2}B. { x | x1}C. { x | 2 x3}D. { x |1x 3}29.（ 2014 江苏 1）已知集合A2， 1，3，4，B1，2，3，则 A B．30.（ 2014 重庆文 11）已知集合A{3 ，4，512，，13} ， B{2 ，3，5，813， }，则 A B.31.（ 2015重庆文1）已知集合A1,2,3， B1,3 ，则 A B （） .A. {2}B.{1,2}C.{1,3}D.{1,2,3}31.解析根据集合的运算法则，交集表示两集合的公共部分，所以 A B1,3．故选 C．32.（ 2015广东文1）若集合M1,1 ， N2,1,0，则 M N（） .A．0, 1B． 0C． 1D．1,132.解析由题意可得 M N 1 ．故选 C.33.（ 2015 天津文 1）已知全集U1,2,3,4,5,6，集合 A2,3,4，集合 B 1,3,4,6，则集合 A e U B（） .A.3B.2,5C.1,4,6D.2,3,533. 解析由题意可得 A 2,3,5，e B ={2,5}，则A （）2,5. 故选 B.Ue U B34.（2015 安徽文 2）设全集U1,2,3,4,5,6 ， A 1,2，B2,3,4 ，则 A e U B （） .A.1,2,5,6B.1C.2D.1,2,3,434.解析因为e B1,5,6，所以A e B 1 .故选B.U U35. （ 2015 全国 I 文 1）已知集合A{ x x 3n2,n N}, B{6,8,10,12,14}，则集合A B 中元素的个数为（） .A. 5B. 4C. 3D. 235.解析当3n2? 14，得 n? 4 .由x3n 2 ，当 n0 时， x 2 ；当 n 1 时， x 5 ；当 n 2 时， x 8 ；当 n 3 时， x 11 ；当 n 4 时， x 14 .所以A B8,14 ，则集合 A B 中含元素个数为 2 .故选 D .36. （ 2015北京文 1）若集合A x5x2， B x 3 x 3 ，则 A B（）.A.x 3 x 2B.x 5 x 2C.x 3 x 3D.x 5 x 336.解析依题意，A B x3x2.故选 A.37. （ 2015福建文 2）若集合M x 2 ,x2， N0,1,2，则 M N 等于（）.A．0B． 1C．0,1,2 D.0,1[来源 :Zxxm] 37.解析由交集的定义得M N0,1.故选 D.评注考查集合的运算．38（. 2015 全国 II 文 1）已知集合A{ x |1x2} ，B x 0x3，则 A B（）.A.1, 3B.1,0C.0, 2D. 2 ,338.解析因为对于A有A x1x2，对于 B 有 B x 0x3.可得 A B x1x 3 .故选A.39. （ 2015 山东文1）已知集合A x | 2x4， B x | ( x1)( x3)0，则A B （） .A.(1，3)B. (1，4)C.(2 ，3)D.(2 ，4)39.解析由题意可得B x 1x3，又 A x 2x4，所以 A B x 2x 3 .故选 C.40. （ 2015陕西文1）设集合M x x2x ，N lg x,0 ，则 M N（）.A.01，B.70C.01，D.，140.解析M x x2x M0，1 ，N x lg x 剟 0N0x 1 ，所以M N01，.故选A.41.（ 2015 四川文1）设集合A x1x 2 ，集合 B x 1x 3 ，则A B （）.A.x 1 x 3B.x 1 x 1C.x 1 x 2D.x 2 x 341.解析由题意并集合数轴可得A B x1x 3 .故选A.42.（ 2015 浙江文1）已知集合P x x22x ⋯3 ，Q x 2x4，则 P Q （）.A.3，4B.2，3C.1，2D.13，42.解析P x x,1或 x⋯3，所以 P Q3,4.故选 A.43. （ 2015湖南文 11）已知集合U1,2,3,4， A1,3， B1,3,4 ，则 A e U B .43.解析因为e U B2，所以A? B1,2,3.U44. （ 2015 江苏 1）已知集合A1,2,3， B2,4,5 ，则集合A B 中元素的个数为．44.解析由并集的运算知识知 A B1,2,3,4,5，故集合 A B中元素的个数为 5 ．45（.2016 北京文1）已知集合A x 2x4，B x x3或 x5，则 AI B （）.A.x 2 x 5B.x x 4或 x 5C.x 2 x 3D.x x 2或 x 545.C 解析由A I B的含义可得 A I B x 2x 3 .故选C.46. （ 2016全国丙文1）设集合A{0,2,4,6,8,10}， B{4,8} ，则 e A B （） .A. 4,8B.0,2,6C.0,2,6,10D.0,2,4,6,8,1046.C 解析依据补集的定义，从集合A{0,2,4,6,8,10} 中去掉集合 B{4,8} ，剩下的四个元素为 0,2,6,10 ，故e A B {0,2,6,10} 故选C..47. （ 2016全国甲文1）已知集合A1,2,3， B x | x29 ，则A I B（） .A.2, 1,0,1,2,3B.2,1,0,1,2C.1,2,3D.1,247.D 解析B3,3， A I B1,2 .故选D.48. （ 2016山东文 1）设集合U{1，2，3，4，5，6}， A{13，，5}， B{3，4，5} ，则 e U ( A U B)=（） .A. {2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D. {1,2,4,6}48.A解析由已知， A U B1,3,5U 3,4,51,3,4,5，所以痧U A UB U 1,3,4,52,6.故选 A.49. （ 2016四川文 2）设集合A x 1 剟 x5， Z 为整数集，则集合 A I Z中元素的个数是（）.A. 6B.5C.4D.349.B解析由题意， A I Z1，2，3，4，5 ，故其中的元素个数为 5.故选 B.50.（ 2016 天津文 1）已知集合A{1,2,3} ，B{ y | y2x 1,x A} ，则A I B =（）.A. {1,3}B.{1,2}C.{2,3}D. {1,2,3}50.A解析由题意可得 B{1,3,5}，则 A I B{1,3} .故选A.51.（ 2016全国乙文 1）设集合A1,3,5,7 ，B x 2 剟 x5，则 A I B（） .A.1,3B.3,5C.5,7D.1,751.B解析把问题切换成离散集运算，A1,3,5,7， 2,3,4,5 B ，所以 A I B3,5 .故选 B.52. （ 2016浙江文1）已知全集U12,3 ,4,5,6，集合 P13,5， Q12, ,4，则e U P U Q（） .A.1B. 3,5C. 1,2,4,6D.1,2,3,4,552.C解析由P13,5，U12,3 ,4,5,6，得e U P 2 , 4，所以, 6e U P U Q2,4,6 U 1,2,41,2,4,6.故选 C.53.（ 2016江苏卷1）已知集合A1,2,3,6， B x 2x 3 ，则A I B .53.1,2 解析由交集的运算法则可得 A I B1,2.54.（2016上海文）设x R，则不等式x31的解集为.154. 2,4解析由题意 1 x 3 1 ，即 2 x 4 ，则解集为2,4 .55.（ 2017 全国 1 文 1）已知集合A x x 2 ， B x 3 2x 0 ，则（）.A．C．3A B x x B ．A B23A B x x D．A B R255.解析由3 2x0 得x 3，所以 A B x x 2x x3x x3222.故选 A.56.（2017 全国 2 文 1）设集合A1，2，3 ， B2，3，4 ，则A B= （）.A.12，，3,4B.1，2，3C. 2，3，4D.13，，456.解析由题意，A B{1, 2,3, 4} .故选A.57.（2017 全国 3文 1）已知集合A12，，3，4 ， B2，4，6，8 ，则A B 中元素的个数为（） .A ． 1B． 2C． 3D． 457.解析集合A与B的交集为两者共有的元素所构成，即为集合2,4 ，所以该集合的元素个数为 2.故选 B.评注集合的交集运算，属于基础题型，唯一的变化在于常规问题一般要求出交集即可，该题需要先求出集合，再计算元素个数.58.（ 2017 北京文1）已知U R，集合A { x | x 2 x 2}U或，则 e A （）.A. (2, 2)B. (,2)(2,)C. [2, 2]D. (,2][2,)58.解析由A { x | x 2 或x2}( ,2)(2,) ，所以 e U A[ 2,2].故选 C.59.（ 2017 山东文1）设集合M x x1 1 ，N x x 2 ，则M N （）.A.1,1B.1,2C.0,2D.1,259.解析由| x 1|10x 2 ，得 M N (0,2).故选 C.60.（ 2017 天津文 1）设集合 A 1,2,6，B2,4 ， C 1,2,3,4，则 A B C（） .A. 2B.1,2,4C. 1,2,4,6D. 1,2,3,4,660.解析因为A{1,2,6}, B{2,4} ，所以 A B {1,2,6}{2,4}{1,2,4,6}，所以 (A B) C {1,2,4,6}{1,2,3,4}{1,2,4} .故选B．61.（ 2017 浙江 1）已知集合P x 1 x 1 ， Q x 0x2，那么 P Q（） .A.1,2B. 01，C.1,0D. 1,261.解析P Q 是取 P,Q 集合的所有元素，即 1 x 2 .故选A．62.（ 2017 江苏 1）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400 ，300 ， 100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．62. 解析按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取30060( 件 ) ．故填18．181000第 2 节命题及其关系、充分条件与必要条件题型 4四种命题及关系1. （ 2013 山东文 8）给定两个命题p ， q ，若p 是 q 的必要而不充分条件，则p 是q 的（） .A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1.分析借助原命题与逆否命题等价判断.解析：若p 是 q 的必要不充分条件，则q p 但p /q ，其逆否命题为 p q 但q / p ，所以 p 是q 的充分不必要条件.故选 A.2（. 2014 陕西文8）原命题为“若anan 1an，n N+，则a n为递减数列”，关于其逆命题，2否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）.A. 真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D. 假，假，假3.（ 2014 四川文 15）以A表示值域为R的函数组成的集合， B 表示具有如下性质的函数x 组成的集合：对于函数x ，存在一个正数 M ，使得函数x 的值域包含于区间M,M .例如，当1x x3，2x sinx 时， 1 xA ，2xB .现有如下命题：①设函数 f x的定义域为 D ，则“f x A ”的充要条件是“b R，a D ，f a b ”；②若函数 f x B ，则 f x 有最大值和最小值；③若函数 f x ， g x 的定义域相同，且 f x A ， g x B ，则 f x g x B ；④若函数f x a ln x2x x2,a R 有最大值，则f x B .x 21其中的真命题有 ____________ （写出所有真命题的序号） .4.（ 2015山东文5）设m N ，命题“若m0 ，则方程x2x m0 有实根”的逆否命题是（） .A. 若方程x2x m0有实根，则 m0B. 若方程x2x m0有实根，则 m,0C. 若方程x2x m0没有实根，则 m0D. 若方程x2x m0没有实根，则 m,04.解析将原命题的条件和结论调换位置，并分别进行否定，即得原命题的逆否命题.故选 D.5.（ 2017 山东文 5）已知命题p :x R ，x2x1⋯0 .命题 q :若 a2b2，则a b .下列命题为真命题的是（） .A. p qB. p qC.p qD. p q解析取 x0 ，可知p为真命题；取 a 1,b2，可知 q 为假命题，故 pq为真命题. 5.故选 B.题型 5充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明1. (2013 安徽文 4）“2x 1 x0 ”是“x0 ”的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件1. 分析先解一元二次方程2x 1 x 0 ，再利用充分条件、必要条件的定义判断.解析当 x0 时，显然 2 x 1 x0；当 2x 1 x0时， x0 或 x1，所以2“ 2x 1 x0 ”是“ x 0 ”的必要不充分条件.故选B.2 (20132P x, y ,“ x2且 y1”P 在直线l : x y 10 上”．福建文）设点则是“点的（） .A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2.分析利用命题的真假，判断充要条件.解析当 x 2 且 y 1时，满足方程x y 1 0，即点 P2, 1 在直线 l 上.点 P0,1在直线 l 上，但不满足 x 2 且 y1，所以“ x 2 且 y1”是“点 P x, y在直线 l 上”的充分而不必要条件.故选 A.3. (2013 天津文 4）设a,b R ，则“( a b) a20 ”是“a b ”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.分析分别判断由( a b) a20 是否能得出 a b成立和由a b是否能得出( a b) a20成立 .解析由不等式的性质知(a b) a20 成立，则a b 成立；而当 a 0,a b 成立时，( a b) a20不成立，所以(a b) a 20 是a b 的充分而不必要条件.故选 A.4.(2013 湖南文2）“1x2”是“ x 2 ”成立的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.分析利用集合间的关系转化.解析设A x1x 2 , B x x2，所以 A üB ，即当x0 A 时，有x0 B ，反之不一定成立.因此“1x 2 ”是“x 2 ”成立的充分不必要条件.故选 A.5.（ 2014北京文5）设a，b是实数，则“a b ”是“ a 2 b 2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.解析a b 不能推出a2b2，例如a 1 ， b 2 ； a2b2也不能推出a b ，例如a 2 ，b 1 .故“a b ”是“a 2b2”的既不充分也不必要条件.6.（ 2014 浙江文2）设四边形ABCD的两条对角线AC , BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC BD”的（） .A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D ．既不充分又不必要条件7（. 2014 广东文 7）在△ABC中，角 A, B, C 所对应的边分别为a, b, c 则“a, b”是“sin A, sin B”的（） .A. 充分必要条件B. 充分非必要条件C.必要非充分条件D. 非充分非必要条件8（. 2014 新课标Ⅱ文3）函数 f ( x ) 在x x0处导数存在，若p: f (x0)0；q: x x0是f ( x )的极值点，则（）A.p 是q的充分必要条件B.p 是q的充分条件，但不是q的必要条件C.p 是q的必要条件，但不是q的充分条件D.p 既不是q的充分条件，也不是q的必要条件9.（ 2014 江西文 6）下列叙述中正确的是（）A.若 a , b , cax2bx c≥ 0b24ac≤0”；R ，则“”的充分条件是“B.若 a , b , c R ，则“ab2cb 2”的充要条件是“a c”；C.命题“对任意 x R ，有x2≥0”的否定是“存在x R ，有x2≥0”；D.l 是一条直线，, 是两个不同的平面，若l, l，则∥ .10.（ 2015 湖南文3）设x R ，则“x 1”是“x21”的（）.A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.解析因为由x1可推出 x3 1 ，而由 x31可推出 x 1 ，所以“ x 1 ”是“ x2 1 ”的充要条件.故选C.11.（2015陕西文6）“sin cos”是“ cos20 ”的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.解析当sin cos时，cos2cos2sin2cos sin cos sin0 ，即 sin cos cos 20 .当 cos2cos sin cos sin0 时，cos sin0 或cossin0，即 cos20 ?sin cos.故选 A.12.（ 2015 四川文a b 1log2 a log2 b 0”的（） . 4）设a,b为正实数，则“”是“A. 充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件12.解析由函数y log2 x 在定义域 0,上单调递增，且log 2 10 ，可知“ a b 1”是“ log 2 a log2 b0 ”充要条件.故选A.13.（ 2015 天津文4）设x R 1 < x < 2”是“| x2| 1 ”的（）.，则“A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.解析由x211x 21 1 x 3 ，可知“1 < x < 2 ”是“2|1”的充分而不必要条件.故选 A.| x14.（ 2015 浙江文3）设a，b是实数，则“a b0 ”是“ ab0 ”的（）.A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14.解析取 a3， b 2 ，所以 a b0 ?ab0 ；反之取 a 1 ， b 2 ，所以 ab 0 ?a b0 故选D..15.（ 2015 重庆文2）“x1”是“x22x10 ”的（）.A. 充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件15.解析 由题意知， x22x 1 0 x1. 故选 A ．16.（ 2015 安徽文 3）设 p ： x 3， q ： 1 x 3，则 p 是 q 成立的（） .A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件16.解析 因为1,3,3，即 p q ，但是 qq ，所以 p 是 q 的必要不充分条件 .故选 C.评注 充分必要条件的判断 .17.（ 2015 北京文6）设 aa b = a b”是 “a // b ”的（） .， b 是非零向量， “A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件17.解析 由 ab a b cos a , b ，若 a b a b ，则 cos a ,b1，即 a ,b 0 ，因此 a //b .反之，若 a // b ，并不一定推出 a ba b ，而是 a b a b ，原因在于：若 a //b ，则a ,ba b a b”是 “a //b ”的充分而不必要条件 .故选 A.或 π.所以 “18.（ 2015 福建文 12） “对任意 x0, π， k sin x cos x x ”是 “k 1 ”的（） .2A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18.解析 当 k 1 时， k sin x cos xksin 2x ，构造函数 f xksin 2x x ，22则 fx k cos2 x 10 ，故 f x 在 x0, π上单调递减，2故 fxf ππ0 ，则 k sin x cos xx ；2 2当 k1 时，不等式 k sin x cos x x 等价于 1sin 2x x ，1sin 2x 2构造函数 g x x ，则 g x cos2 x 1 0 ，2。

第一章 集合与简易逻辑一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B =（ ）（A ）∅ （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）{2,1,2,3}-2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】设集合{}1,2,3,4,5,U =集合{}1,2A =，则u A =ð（ ） （A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅3.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= （ ）(A) (,2]-∞(B) [1,2](C) [－2,2](D) [－2,1]4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-≤<，则A B =（ ）（A ）{0}（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,0,1}-5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U BA =ðA ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科】“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】设集合{|2},{|41}S x x T x x =>-=-≤≤,则S ∩T=（ ）A 、[-4,+∞）B 、（-2, +∞）C 、[-4,1]D 、(-2,1]8.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M ∩N=（ ）（A ）｛-2，-1，0,1｝ （B ）｛-3，-2，-1，0｝（C ）{-2，-1，0} （D ）{-3，-2，-1 }9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科】已知集合{}{}0,1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<=则（ ）（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,210.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】 设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T =（ ）A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B ⋂=（ ）（A ）{}2,1--（B ）{}2-（C ）{}1,0,1-（D ）{}0,112.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】设点(),,21:10P x y x y P l x y ==-+-=则“且”是“点在直线上”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ） （A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件14.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】集合{1,0,1}-共有 个子集.15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科】已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B ===,则()C A B ⋃⋂=________ 【答案】{}6,8【解析】{}6,8U C A =，(){}6,8U C A B =.【考点定位】本题考查集合的基本运算，考查学生的的逻辑推理能力.二．能力题组16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ）（A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉17.【2013年全国高考新课标（I ）文科】已知集合A=｛1，2，3，4｝，2{|,}B x x n n A ==∈，则A ∩B= ()（A ）｛1,4｝（B ）｛2，3｝（C ）{9，16}（D ）｛1,2}18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若集合{}21A x R ax ax =∈++中只有一个元素，则a =（ ）A ．4B ． 2C ．0D ．0或419.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】“(21)0x x -=”是“0x =”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件20.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】若a R ∈，则“0α=”是“s i n c o s αα<”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件21.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集，且(){4}U A B =ð,{1,2}B =,则U A B =ð（ ）A.{}3B. {}4C. {}3,4D.∅22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】 设全集为R, 函数()f x =M, 则C M R 为（ ）(A) (－∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (,1]-∞ (D) [1,)+∞23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】若集合{}{}=1,2,3=1,3,4A B ⋂，，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．16三．拔高题组24.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各 跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有 降落在指定范围”可表示为A ．()p ⌝∨()q ⌝B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q25.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】 给定两个命题q p ,，p q ⌝是的必要而不充分条件，则p q ⌝是的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件的简单例子，进行转化比较，从而确定答案.26.【2013年全国高考新课标（I ）文科】已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ） （A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧（C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝。

A 单元 集合与常用逻辑用语A1 集合及其运算1．A1[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A ＝{x|x 2－2x ＞0}，B ＝x }－5＜x ＜5，则( )A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B AD ．A B1．B [解析] A ＝{x|x<0或x>2}，故A ∪B ＝R .1．A1[2013·北京卷] 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|－1≤x<1}，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{－1，0}C ．{0，1}D ．{－1，0，1}1．B [解析] ∵－1∈B ，0∈B ，1 B ，∴A ∩B ＝{－1，0}，故选B.1．A1[2013·广东卷] 设集合M ＝{x|x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x|x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝( )A ．{0}B ．{0，2}C ．{－2，0}D ．{－2，0，2}1．D [解析] ∵M ＝{－2，0}，N ＝{0，2}，∴M ∪N ＝{－2，0，2}，故选D.2．A1[2013·湖北卷] 已知全集为R ，集合A ＝x 错误!错误!x ≤1，B ＝{x|x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩(∁R B)＝( )A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x<2或x>4}D ．{x|0<x ≤2或x ≥4}2．C [解析] A ＝{x|x ≥0}，B ＝{x|2≤x ≤4}，∁R B ＝{x|x<2或x>4}，可得答案为C.16．A1，A3，B6[2013·湖南卷] 设函数f(x)＝a x ＋b x －c x ，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c)|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)① x ∈(－∞，1)，f(x)>0；② x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC 为钝角三角形，则 x ∈(1，2)，使f(x)＝0.16．(1){x|0<x ≤1} (2)①②③ [解析] (1)因a ＝b ，所以函数f(x)＝2a x －c x ，又因a ，b ，c 不能构成一个三角形，且c>a>0，c>b>0，故a ＋b ＝2a<c ，令f(x)＝2a x －c x ＝0，即f(x)＝c x ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫a c x －1＝0，故可知⎝⎛⎭⎫a c x ＝12，又0<a c <12，结合指数函数性质可知0<x ≤1，即取值集合为{x|0<x ≤1}．(2)因f(x)＝a x ＋b x －c x ＝c x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x－1，因c>a>0，c>b>0，则0<a c <1，0<b c <1，当x ∈(－∞，1)时，有⎝⎛⎭⎫a c x >a c ，⎝⎛⎭⎫b c x >b c ，所以⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x>a c ＋b c，又a ，b ，c 为三角形三边，则定有a ＋b>c ，故对 x ∈(－∞，1)，⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x －1>0，即f(x)＝a x ＋b x －c x ＝c x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x －1>0，故①正确；取x ＝2，则⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2<a c ＋b c ，取x ＝3，则⎝⎛⎭⎫a c 3＋⎝⎛⎭⎫b c 3<⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2，由此递推，必然存在x ＝n 时，有⎝⎛⎭⎫a c n ＋⎝⎛⎭⎫b c n <1，即a n ＋b n <c n ，故②正确；对于③，因f(1)＝a ＋b －c>0，f(2)＝a 2＋b 2－c 2<0(C 为钝角)，根据零点存在性定理可知， x ∈(1，2)，使f(x)＝0，故③正确．故填①②③.4．A1[2013·江苏卷] 集合{－1，0，1}共有________个子集．4．8 [解析] 集合{－1，0，1}共有3个元素，故子集的个数为8.1．A1，L4[2013·江西卷] 已知集合M ＝{1，2，zi}，i 为虚数单位，N ＝{3，4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i1．C [解析] zi ＝4 z ＝－4i ，故选C.2．A1[2013·辽宁卷] 已知集合A ＝{}x|0<log 4x<1，B ＝{}x|x ≤2，则A ∩B ＝( )A ．(0，1)B ．(0，2]C ．(1，2)D ．(1，2]2．D [解析] ∵A ＝{x|1<x<4}，B ＝{x|x ≤2}，∴A ∩B ＝{x|1<x ≤2}，故选D.1．A1[2013·全国卷] 设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．61．B [解析] 1，2，3与4，5分别相加可得5，6，6，7，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M 中有4个元素．2．A1[2013·山东卷] 已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．92．C [解析] ∵x ，y ∈{}0，1，2，∴x －y 值只可能为－2，－1，0，1，2五种情况，∴集合B 中元素的个数是5.1．A1[2013·陕西卷] 设全集为R ，函数f(x)＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．[－1，1]B ．(－1，1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)1．D [解析] 要使二次根式有意义，则M ＝{x ︱1－x 2≥0}＝[－1，1]，故∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．1．A1[2013·四川卷] 设集合A ＝{x|x ＋2＝0}，集合B ＝{x|x 2－4＝0}，则A ∩B ＝( )A ．{－2}B ．{2}C ．{－2，2}D ．1．A [解析] 由已知，A ＝{－2}，B ＝{－2，2}，故A ∩B ＝{－2}．1．A1[2013·天津卷] 已知集合A ＝{x ∈R ||x|≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，2]B ．[1，2]C ．[－2，2]D ．[－2，1]1．D [解析] A ∩B ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}∩{x ∈R |x ≤1}＝{x ∈R |－2≤x ≤1}．1．A1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合M ＝{x|(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1，0，1，2，3}，则M ∩N ＝( )A ．{0，1，2}B ．{－1，0，1，2}C ．{－1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}1．A [解析] 集合M ＝{x|－1<x<3}，则M ∩N ＝{0，1，2}．2．A1[2013·浙江卷] 设集合S ＝{x|x>－2}，T ＝{x|x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S)∪T ＝( )A ．(－2，1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)2．C [解析] ∁R S ＝{x|x ≤－2}，T ＝{x|(x ＋4)(x －1)≤0}＝{x|－4≤x ≤1}，所以(∁R S)∪T ＝(－∞，1]．故选择C.22．A1、A2，J1[2013·重庆卷] 对正整数n ，记I n ＝{1，2，…，n}，P n ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m k⎪⎪⎪⎪ m ∈I n ，k ∈I n )． (1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是．．整数的平方，则称A 为“稀疏集”，求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．22．解：(1)当k ＝4时，⎩⎨⎧m km ∈I 7中有3个数与I 7中的3个数重复，因此P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A ，B 为不相交的稀疏集，使A ∪B ＝P n I n .不妨设1∈A ，则因1＋3＝22，故3 A ，即3∈B.同理6∈A ，10∈B ，又推得15∈A ，但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾．再证P 14符合要求，当k ＝1时，⎩⎨⎧m km ∈I 14＝I 14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A 1＝{1，2，4，6，9，11，13}，B 1＝{3，5，7，8，10，12，14}，则A 1，B 1为稀疏集，且A 1∪B 1＝I 14.当k ＝4时，集⎩⎨⎧m km ∈I 14中除整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，32，52，…，132，可分解为下面两稀疏集的并：A 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，52，92，112，B 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，72，132. 当k ＝9时，集⎩⎨⎧m km ∈I 14中除正整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，43，53，…，133，143，可分解为下面两稀疏集的并：A 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，43，53，103，133， B 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，73，83，113，143. 最后，集C ＝⎩⎨⎧m k m ∈I 14，k ∈I 14，且k ≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A ＝A 1∪A 2∪A 3∪C ，B ＝B 1∪B 2∪B 3，则A 和B 是不相交的稀疏集，且A ∪B ＝P 14.综上，所求n 的最大值为14.注：对P 14的分拆方法不是唯一的．1．A1[2013·重庆卷] 已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3}，则∁U (A ∪B)＝( )A ．{1，3，4}B ．{3，4}C ．{3}D ．{4}1．D [解析] 因为A ∪B ＝{1，2，3}，所以∁U (A ∪B)＝{4}，故选D.A2 命题及其关系、充分条件、必要条件4．A2、B5[2013·安徽卷] “a ≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．C [解析] f(x)＝|(ax －1)x|＝|ax 2－x|，若a ＝0，则f(x)＝|x|，此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；若a<0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a<0，且x ＝0时y ＝0，此时y ＝ax 2－x 在区间(0，＋∞)上单调递减且y<0恒成立，故f(x)＝|ax 2－x|在区间(0，＋∞)上单调递增，故a ≤0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是充分的；反之若a>0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a >0，且在区间0，12a 上y<0，此时f(x)＝|ax 2－x|在区间0，12a上单调递增，在区间12a ，1a上单调递减，故函数f(x)不可能在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是必要的．3．A2、C3[2013·北京卷] “φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．A [解析] ∵曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点，∴sin φ＝0，∴φ＝k π，k ∈Z ，故选A.2．A2[2013·福建卷] 已知集合A ＝{1，a}，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．A [解析] 当a ＝3时，A ＝{1，3}，A B ；当A B 时，a ＝2或a ＝3，故选A.3．A2[2013·湖北卷] 在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(瘙 綈 q)C．(瘙 綈 p)∧(瘙 綈 q) D．p∨q3．A[解析] “至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.7．A2[2013·山东卷] 给定两个命题p，q，若瘙 綈 p是q的必要而不充分条件，则p是瘙 綈 q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．A[解析] ∵瘙 綈 p是q的必要不充分条件，∴q是瘙 綈 p的充分而不必要条件，又“若p，则瘙 綈 q”与“若q，则瘙 綈 p”互为逆否命题，∴p是瘙 綈 q的充分而不必要条件．3．F1，A2[2013·陕西卷] 设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．C[解析] 由已知中|a·b|＝|a|·|b|可得，a与b同向或反向，所以a∥b.又因为由a∥b，可得|cos〈a，b〉|＝1，故|a·b|＝|a|·|b||cos〈a，b〉|＝|a|·|b|，故|a·b|＝|a|·|b|是a∥b的充分必要条件．4．A2[2013·四川卷] 设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A，2x∈B，则()A．B．C．D．4．D [解析] 注意到全称命题的否定为特称命题，故应选D.图1－44．A2[2013·天津卷] 已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切． 其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③4．C [解析] 由球的体积公式V ＝43πR 3知体积与半径是立方关系，①正确．平均数反映数据的所有信息，标准差反映数据的离散程度，②不正确．圆心到直线的距离为|0＋0＋1|1＋1＝22＝r ，即直线与圆相切，③正确． 4．A2[2013·浙江卷] 已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R )，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．B [解析] f(x)＝Acos(ωx ＋φ)是奇函数的充要条件是f(0)＝0，即cos φ＝0，φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件，故选择B.22．A1、A2，J1[2013·重庆卷] 对正整数n ，记I n ＝{1，2，…，n}，P n ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m k ⎪⎪⎪⎪ m ∈I n ，k ∈I n )． (1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是．．整数的平方，则称A 为“稀疏集”，求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．22．解：(1)当k ＝4时，⎩⎨⎧m k m ∈I 7中有3个数与I 7中的3个数重复，因此P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A ，B 为不相交的稀疏集，使A ∪B ＝P n I n .不妨设1∈A ，则因1＋3＝22，故3 A ，即3∈B.同理6∈A ，10∈B ，又推得15∈A ，但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾．再证P 14符合要求，当k ＝1时，⎩⎨⎧m km ∈I 14＝I 14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A 1＝{1，2，4，6，9，11，13}，B 1＝{3，5，7，8，10，12，14}，则A 1，B 1为稀疏集，且A 1∪B 1＝I 14.当k ＝4时，集⎩⎨⎧m km ∈I 14中除整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，32，52，…，132，可分解为下面两稀疏集的并：A 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，52，92，112，B 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，72，132. 当k ＝9时，集⎩⎨⎧m km ∈I 14中除正整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，43，53，…，133，143，可分解为下面两稀疏集的并：A 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，43，53，103，133，B 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，73，83，113，143. 最后，集C ＝⎩⎨⎧mk m ∈I 14，k ∈I 14，且k ≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A ＝A 1∪A 2∪A 3∪C ，B ＝B 1∪B 2∪B 3，则A 和B 是不相交的稀疏集，且A ∪B ＝P 14.综上，所求n 的最大值为14.注：对P 14的分拆方法不是唯一的．A3 基本逻辑联结词及量词16．A1，A3，B6[2013·湖南卷] 设函数f(x)＝a x ＋b x －c x ，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c)|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)① x ∈(－∞，1)，f(x)>0；② x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC 为钝角三角形，则 x ∈(1，2)，使f(x)＝0.16．(1){x|0<x ≤1} (2)①②③ [解析] (1)因a ＝b ，所以函数f(x)＝2a x －c x ，又因a ，b ，c 不能构成一个三角形，且c>a>0，c>b>0，故a ＋b ＝2a<c ，令f(x)＝2a x －c x ＝0，即f(x)＝c x ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫a c x －1＝0，故可知⎝⎛⎭⎫a c x＝12，又0<a c <12，结合指数函数性质可知0<x ≤1，即取值集合为{x|0<x ≤1}．(2)因f(x)＝a x ＋b x －c x ＝c x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x－1，因c>a>0，c>b>0，则0<a c <1，0<b c <1，当x ∈(－∞，1)时，有⎝⎛⎭⎫a c x >a c ，⎝⎛⎭⎫b c x >b c ，所以⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x >a c ＋b c ，又a ，b ，c 为三角形三边，则定有a ＋b>c ，故对 x ∈(－∞，1)，⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x －1>0，即f(x)＝a x ＋b x －c x ＝c x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x －1>0，故①正确；取x ＝2，则⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2<a c ＋b c ，取x ＝3，则⎝⎛⎭⎫a c 3＋⎝⎛⎭⎫b c 3<⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2，由此递推，必然存在x ＝n 时，有⎝⎛⎭⎫a c n ＋⎝⎛⎭⎫b c n <1，即a n ＋b n <c n ，故②正确；对于③，因f(1)＝a ＋b －c>0，f(2)＝a 2＋b 2－c 2<0(C 为钝角)，根据零点存在性定理可知， x ∈(1，2)，使f(x)＝0，故③正确．故填①②③.2．A3[2013·重庆卷] 命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0B ．不存在x ∈R ，使得x 2＜0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20＜02．D [解析] 根据定义可知命题的否定为：存在x 0∈R ，使得x 20＜0，故选D.A4 单元综合10．A4，B14[2013·福建卷] 设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f(x)满足：(1)T ＝{f(x)|x ∈S}；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f(x 1)<f(x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A ．A ＝N *，B ＝NB ．A ＝{x|－1≤x ≤3}，B ＝{x|x ＝－8或0<x ≤10}C ．A ＝{x|0<x<1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q10．D [解析] 函数f(x)为定义域S 上的增函数，值域为T.构造函数f(x)＝x －1，x ∈N ，如图①，则f(x)值域为N ，且为增函数，A 选项正确；构造函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，52（x ＋1），－1<x ≤3，如图②，满足题设条件，B 选项正确；构造函数f(x)＝tanx －错误!π，0<x<1，如图③，满足题设条件，C 选项正确；假设存在函数f(x)，f(x)在定义域Z 上是增函数，值域为Q ，则存在a<b 且a 、b ∈Z ，使得f(a)＝0，f(b)＝1，因为区间(a ，b)内的整数至多有有限个，而区间(0，1)内的有理数有无数多个，所以必存在有理数m ∈(0，1)，方程f(x)＝m 在区间(a ，b)内无整数解，这与f(x)的值域为Q 矛盾，因此满足题设条件的函数f(x)不存在，D 选项错误，故选D.。

2013高考：集合于逻辑用语【2013高考题组】（一）集合运算问题1、（2013北京，文理1）已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-≤<，则A B = （ ）A 、{0}B 、{1,0}-C 、{0,1}D 、{1,0,1}-2、（2013全国大纲，文1）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，则U A =ð（ ）A 、{1,2}B 、{3,4,5}C 、{1,2,3,4,5}D 、∅3、（2013全国课标I ，文1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈，则A B = （ ）A 、{1,4}B 、{2,3}C 、{9,16}D 、{1,2}4、（2013全国课标I ，理1）已知集合2{|20}A x x x =->，{|B x x =<<，则（ ）A 、AB =∅ B 、A B R =C 、B A ⊆D 、A B ⊆5、（2013全国课标II ，文1）已知集合{|31}M x x =-<<，{|3,2,1,0,1}N x =---，则M N = （ ）A 、{2,1,0,1}--B 、{3,2,1,0}---C 、{2,1,0}--D 、{3,2,1}---6、（2013全国课标II ，理1）已知集合2{|(1)4,}M x x x R =-<∈，{1,0,1,2,3}N =-，则M N = （ ） A 、{0,1,2} B 、{1,0,1,2}- C 、{1,0,2,3}- D 、{0,1,2,3}7、（2013山东，文2）已知集合A 、B 均为全集{1,2,3,4}U =的子集，且(){4}U A B = ð，{1,2}B = 则U A B = ð（ ）A 、{3}B 、{4}C 、{3,4}D 、∅8、（2013安徽，文2）已知{|10}A x x =+>，{2,1,0,1}B =--，则()R A B = ð（ ）A 、{2,1}--B 、{2}-C 、{1,0,1}-D 、{0,1}9、（2013浙江，文1）设集合{|2}S x x =>-，{|41}T x x =-≤≤，则S T = （ ）A 、[4,)-+∞B 、(2,)-+∞C 、[4,1]-D 、(2,1]-10、（2013浙江，理2）设集合{|2}S x x =>-，2{|340}T x x x =+-≤，则()R S T = ð（ ）A 、(2,1]-B 、(,4]-∞-C 、(,1]-∞D 、[1,)+∞11、（2013天津，文理1）已知集合{|2}A x R x =∈≤，{|1}B x R x =∈≤，则A B = （ ）A 、(,2]-∞B 、[1,2]C 、[2,2]-D 、[2,1]-12、（2013辽宁，文1）已知集合{0,1,2,3,4}A =，{|2}B x x =<，则A B = （ ）A 、{0}B 、{0,1}C 、{0,2}D 、{0,1,2}13、（2013辽宁，理2）已知集合4{|0log 1}A x x =<<，{|2}B x x =≤，则A B = （ ）A 、(0,1)B 、(0,2]C 、(1,2)D 、(1,2]14、（2013陕西，文1）设全集为R ，函数()f x =M ，则R M ð为（ ）A 、(,1)-∞B 、(1,)+∞C 、(,1]-∞D 、[1,)+∞15、（2013陕西，理1）设全集为R ，函数()f x =M ，则R M ð为（ ）A 、[1,1]-B 、(1,1)-C 、(,1][1,)-∞-+∞D 、(,1)(1,)-∞-+∞16、（2013湖南，文10）已知集合{2,3,6,8}U =，{2,3}A =，{2,6,8}B =，则()U A B = ð 。

专题一 第1讲 集合、常用逻辑用语 一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2012·银川模拟)已知集合M ＝{x | －3＜x≤5}，N ＝{x | x ＜－5，或x ＞5}，则M ∪N ＝ A ．{x | x ＜－5，或x ＞－3} B ．{x | －5＜x ＜5} C ．{x | －3＜x ＜5}D ．{x | x ＜－3，或x ＞5}解析 如图可知，M ∪N ＝{x | x ＜－5，或x ＞－3}． 答案 A2．(2012·东莞模拟)“a ＝－1”是“直线a2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 当a ＝－1时，两直线方程为x －y ＋6＝0,4x ＋4y ＋9＝0，显然垂直；当两直线垂直时，4a2＋a －3＝0，得a ＝－1或a ＝34，故选A.答案 A3．(2012·丰台二模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x | 2x ＞1}，B ＝{x | x2－3x －4＞0}，则A∩(∁UB)＝ A ．{x | 0≤x ＜4}B ．{x | 0＜x≤4}C ．{x | －1≤x≤0}D ．{x | －1≤x≤4}解析 解不等式2x ＞1，得x ＞0，∴A ＝(0，＋∞)， 解不等式x2－3x －4＞0，得x ＞4或x ＜－1，∴B ＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则∁UB ＝[－1,4]，∴A∩(∁UB)＝(0,4]． 答案 B4．(2012·海淀模拟)已知命题p ：∃x0∈R,02x ＝1，则綈p 是A ．∀x0∈R, 02x ≠1B ．∀x0∉R, 02x ≠1C ．∃x0∈R, 02x ≠1D ．∃x0∉R,02x ≠1解析 根据命题的否定的概念知选A.答案 A5．(2012·天水模拟)“a ＜4”是“对任意的实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立”的 A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件解析 把|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 变形为⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋32≥a 2， 由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋32≥2， 据题意得a2≤2，即a≤4，由a ＜4⇒a≤4但a≤4D/⇒a ＜4，故选B. 答案 B6．命题p ：若a·b ＜0，则a 与b 的夹角为钝角．命题q ：如果y ＝f(x)是可导函数，则f′(x0)＝0是函数y ＝f(x)在x ＝x0处取到极值的必要不充分条件．下列说法不正确的是 A ．“p ∨q”是真命题 B ．“p ∧q”是假命题 C ．“綈p”为假命题D ．“綈q”为假命题解析 因为a ，b 反向共线时，a·b ＜0，但a 与b 的夹角为π，而不是钝角，故命题p 是假命题；对于命题q ，如果y ＝f(x)是可导函数，则f′(x0)＝0，如果x0的左右邻域内f′(x)符号相同，则函数y ＝f(x)在x ＝x0处取不到极值，反之，若函数y ＝f(x)在x ＝x0处取到极值，则必有f′(x0)＝0，故命题q 是真命题．故“p ∨q”为真，“p ∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假，故选C.答案 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．若集合A ＝{x | x2＋ax ＋1＝0，x ∈R}，集合B ＝{1,2}，且A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是________． 解析 (1)若A ＝∅，则Δ＝a2－4＜0，解得－2＜a ＜2； (2)若1∈A ，则12＋a ＋1＝0，解得a ＝－2，此时A ＝{1}，符合题意； (3)若2∈A ，则22＋2a ＋1＝0，解得a ＝－52，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意；综上所述，实数a 的取值范围为[－2,2)． 答案 [－2,2)8．命题“若m ＞0，则方程x2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题是________命题(填“真”或“假”)． 解析 解法一 ∵m ＞0，∴4m ＞0,4m ＋1＞0， ∴方程x2＋x －m ＝0的判别式Δ＝4m ＋1＞0， ∴方程x2＋x －m ＝0有实数根，即原命题为真．∴命题“若m ＞0，则方程x2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题是真命题． 解法二 原命题的逆否命题为“若方程x2＋x －m ＝0无实数根，则m≤0”， ∵方程x2＋x －m ＝0无实数根，∴Δ＝4m ＋1＜0. ∴m ＜－14＜0，∴原命题的逆否命题为真．答案 真9．给出下列命题： ①y ＝1是幂函数；②函数f(x)＝2x －log2x 的零点有1个； ③x －1(x －2)≥0的解集为[2，＋∞)； ④“x ＜1”是“x ＜2”的充分不必要条件； ⑤函数y ＝x3在点O(0,0)处切线是x 轴．其中真命题是________(写出所有正确命题的编号)．解析 y ＝1不是幂函数，①是假命题；作出函数y ＝2x 与y ＝log2x 的图象， 知函数f(x)＝2x －log2x 没有零点，②错误；x ＝1是不等式x －1(x －2)≥0的解，③错误；x ＜1⇒x ＜2，而x ＜2x ＜1，④正确；y′＝(x3)′＝3x2，k 切＝0，过原点的切线方程为y ＝0，⑤正确． 答案 ④⑤三、解答题(每小题12分，共36分)10．(2012·潍坊模拟)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x2－a≥0；命题q ：∃x0∈R ，使得x20＋(a －1)x0＋1＜0.若“p 或q”为真，“p 且q”为假，求实数a 的取值范围．解析 p 真，则a≤1，q 真，则Δ＝(a －1)2－4＞0，即a ＞3或a ＜－1. ∵“p ∨q”为真，p ∧q 为假，∴p 、q 中必有一个为真，另一个为假，当p 真q 假时，有⎩⎨⎧a≤1－1≤a≤3得－1≤a≤1，当p 假q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1a ＞3或a ＜－1得a ＞3，实数a 的取值范围为－1≤a≤1或a ＞3.11．(2012·新乡模拟)已知p ：|x －4|≤6，q ：x2－2x ＋1－m2≤0(m ＞0)，若綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解析 由题知，若綈p 是綈q 的必要不充分条件的等价命题为：p 是q 的充分不必要条件． p ：|x －4|≤6⇒－2≤x≤10；q ：x2－2x ＋1－m2≤0⇒[x －(1－m)][x －(1＋m)]≤0① 又∵m ＞0，∴不等式①的解集为1－m≤x≤1＋m. ∵p 是q 的充分不必要条件∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m≤21＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜21＋m≥10，∴m≥9， ∴实数m 的取值范围是[9，＋∞)．12．(2012·奉贤区模拟)设关于x 的不等式x(x －a －1)＜0(a ∈R)的解集为M ，不等式x ＋1x －3≤0的解集为N. (1)当a ＝1时，求集合M ；(2)若M ⊆N ，求实数a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝1时，由已知得x(x －2)＜0. 所以M ＝{x | 0＜x ＜2}．(2)解法一 由已知得N ＝{x | －1≤x ＜3}． ①当a ＜－1时，因为a ＋1＜0，所以M ＝{x | a ＋1＜x ＜0}．因为M ⊆N ，所以－1≤a ＋1＜0，解得－2≤a ＜－1. ②若a ＝－1时，M ＝∅，显然有M ⊆N ， 所以a ＝－1成立．③若a ＞－1时，因为a ＋1＞0， 所以M ＝{x | 0＜x ＜a ＋1}．又N ＝{x | －1≤x ＜3}，因为M ⊆N ，所以0＜a ＋1≤3，解得－1＜a≤2. 综上所述，a 的取值范围是[－2,2]． 解法二 由(1)与解法一： 由已知得N ＝{x | －1≤x ＜3}．由题得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－1，a ＋1≤0，解得－2≤a≤－1，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，a ＋1≤3，解得－1≤a≤2. 所以a ∈[－2,2]．。