宋倩倩老师~中考数学基本几何模型探究

初中数学微课资源开发及教学策略研究宋倩倩摘要：随着教学改革进程的不断推进，微课资源也被越来越多的应用到了课堂教学当中，并取得了非常优异的成果，为学生的学习成绩提高以及全面发展起到了极大的推动作用。

因此，初中数学教师要想更好的实现预期教学目标，提高教学质量，也应该跟上教育现代化发展潮流，明确认识到微课资源的重要意义，以学生为主体，结合实际教材内容展开微课资源开发以及应用教学，从而有效提高数学课堂的趣味性，将学生参与课堂知识学习的兴趣更大程度的激发出来，提高学生的数学成绩，推动他们的全面发展。

鉴于这种情况，本文提出了几点合理使用微课资源展开初中数学教学的策略，希望可以为学生数学素养的提升起到一定的促进作用。

关键词：初中数学；微课资源开发；教学策略探究微课是随着互联网信息技术快速发展出现了新事物，将其应用在教学上能够将知识更为直观形象的展示给学生，让他们对相关知识有一个更清楚的了解和认识。

和其它初中学科的知识相比，数学知识对逻辑思维的要求更高，理解难度也相对更大，而应用微课资源进行初中数学教学可以有效简化知识难度，将相关知识更为生动形象的展示到学生面前，让学生更加高效的完成知识学习。

但是，现在很多数学教师在进行知识教学的时候，所采用的方法都还比较滞后，极大影响了课堂教学质量。

在这种情况下，教师应该充分认识到微课的重要价值，合理应用微课资源展开知识教学。

所以，本文展开初中数学微课资源开发及教学策略研究有着重要的现实意义。

一、通过微课资源的有效利用对教学模式进行优化随着互联网信息技术的快速发展，微课资源在初中数学重要的应用也越来越深入，网络上和初中数学知识相关的微课资源也越来越多。

鉴于这种情况，初中数学教师完全能够选择在网络上搜寻自身需要的微课资源。

但是，网络上拥有大量的微课资源，初中教师必须根据自身的实际需要进行相应微课资源的选择，保证自身的选择合理，这样才可以将微课资源的作用更好的发挥出来，有效提升自身的教学质量。

第课时1.了解相似三角形的概念,掌握平行线分线段成比例这一基本事实.2.经历利用平行线判定三角形相似的证明过程,掌握利用平行线判定三角形相似的方法.1.通过平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化,体会数学中的化归思想及数形结合思想.2.通过平行线判定三角形相似及利用相似三角形的性质解决问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.1.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例定理,培养学生动手操作能力及直觉思维.2.探究利用平行线判定三角形相似的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.【重点】1.掌握平行线分线段成比例基本事实.2.能利用平行线判定三角形相似.【难点】探索利用平行线判定三角形相似的方法.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】准备距离相等的一组平行线(或语文横格本).导入一:【课件展示】你知道金字塔有多高吗?传说法老命令祭师们测量金字塔的高度,祭师们为此伤透了脑筋,为了帮助祭师们解决困难,古希腊一位伟大的数学家泰勒斯利用巧妙的办法测量金字塔的高度(在金字塔旁边竖立一根木桩,当木桩影子的长度和木桩的长度相等时,只要测量金字塔的影子的长度,便可得出金字塔的高度),展示了他非凡的数学及科学才能.如图所示.导入二:【复习提问】(1)什么是相似多边形?相似多边形有什么性质?(2)当相似比为1时,两个相似多边形有什么关系?【师生活动】学生独立回答,教师点评.[设计意图]通过数学家测量金字塔的高度导入新课,激发学生学习的兴趣,从而向学生进行要刻苦学习的思想教育,同时让学生体会数学在实际生活中的应用;通过复习相似多边形的概念及性质,让学生用类比法得到相似三角形的概念及性质,为本节课的学习做好铺垫.一、认识相似三角形思考并回答:(1)类比相似多边形的概念,你能说出相似三角形的概念吗?(2)如果相似比是1,那么这两个三角形是什么关系?(3)△ABC与△A'B'C'的相似比为k,那么△A'B'C'与△ABC的相似比是多少?(4)类比相似多边形的性质,说出相似三角形的性质,并用几何语言表示.【师生活动】学生思考回答,教师对每个问题点评后展示课件,规范数学语言.(课件展示)(1)定义:三个角分别相等,三条边成比例,我们就说这两个三角形相似.对应边的比就叫做两个三角形的相似比.(2)表示:△ABC与△A'B'C'相似记作“△ABC∽△A'B'C'”,读作“△ABC相似于△A'B'C'”.注意:对应顶点写在对应的位置上.(3)相似比为1时,这两个三角形全等,所以全等三角形是相似三角形的特例.(4)△ABC与△A'B'C'的相似比为k,那么△A'B'C'与△ABC的相似比是.(5)性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.【几何语言】如图所示,△A1B1C1∽△ABC,∴∠A1=∠A,∠B1=∠B,∠C1=∠C;==.[设计意图]通过复习相似多边形的定义和性质,迁移到相似三角形的定义和性质,让学生体会类比思想在数学中的应用,帮助学生建立新旧知识之间的联系,体会事物之间由一般到特殊,由特殊到一般之间的联系.二、平行线分线段成比例基本事实思路一(1)在课前准备的距离相等的一组平行线l1,l2,l3中,任意作直线AC和A1C1(如图(1)所示),则=,=,即.(2)在课前准备的距离相等的一组平行线l1,l2,l3,l4,l5中,任意作直线AE和A1E1(如图(2)所示),则=,=,即;=,=,即.(3)在图(2)中,你还能得到其他的比例式吗?(4)对于任意一组平行线,截得的对应线段成比例吗?(5)尝试用语言概括你得出的结论.【师生活动】学生观察、思考、计算后,小组合作交流,得出结论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评.【课件展示】两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.如图所示,当直线l1∥l2∥l3时,则=,=,=,=等.思路二【动手操作】任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2都相交的平行线l3,l4,l5,分别度量l3,l4,l5在l1上截得的线段AB,BC,AC和在l2上截得的线段DE,EF,DF的长度.(1)根据度量的长度,你得到哪些成比例线段?尝试写出来.(2)这些成比例线段在图中的位置有什么关系?(3)对于任意一组平行线,截得的对应线段成比例吗?(4)你能用语言概括你得到的结论吗?【师生活动】学生动手独自测量思考,写出比例式,小组合作交流答案,学生展示后教师点评.【课件展示】两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.如图所示,当直线l1∥l2∥l3时,则=,=,=,=等.[设计意图]通过动手操作,测量或计算得出平行线分线段成比例这一基本事实,体会从特殊到一般的探索过程,激发学生的求知欲,培养学生分析问题的能力.三、平行线分线段成比例转化到三角形中活动1如图所示,l1∥l2∥l3,当两条被截直线的交点在直线l1或l2上时,你能得到哪些比例式?(教师动画演示,将图(1)中的直线平移到图(2)的位置,让学生直观感受平行线分线段成比例基本事实仍然成立)【师生活动】学生观察教师演示动画,小组交流结果,教师点评结论.活动2(1)如图所示,△ABC中,DE∥BC,且DE分别交AB,AC(或AB,AC的反向延长线)于点D,E,那么比例式=成立吗?(2)你能用语言叙述图中的结论吗?(3)用几何语言如何描述这一结论?【师生活动】学生小组合作交流,共同探究结论,教师及时点拨,师生共同归纳结论.【课件展示】平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.【几何语言】如图所示,∵DE∥BC,∴=.[设计意图]通过动画演示将平行线分线段成比例基本事实转化到三角形中,学生易直观形象地得出结论,同时通过学生讨论交流,培养学生的合作意识及语言表达能力.四、利用平行线证明三角形相似问题如图所示,在△ABC中,DE∥BC,且DE分别交AB,AC于点D,E,△ADE与△ABC相似吗?如何证明?教师引导回答问题:(1)要证明三角形相似,需要哪些条件?(∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,==)(2)你能证明这些角对应相等吗?(由两直线平行,同位角相等可得)(3)如何证明=?(由平行线分线段成比例事实易得)(4)DE不在BC边上,用什么方法将DE转化到BC边上呢?(过E作EF∥AB,交BC于点F)(5)你能证明=吗?(由平行线分线段成比例事实易得)(6)你能写出△ADE∽△ABC的证明过程吗?(7)尝试用语言叙述上述结论,并用几何语言表示你的结论.【师生活动】学生在教师问题的引导下,思考后小组交流,小组代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生板书点评,规范书写过程.证明:在△ADE和△ABC中,∠A=∠A.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.过E作EF∥AB,交BC于点F,∵DE∥BC,EF∥AB,∴=,=.∵四边形DBFE是平行四边形,∴DE=BF.∴=,∴==.∴△ADE∽△ABC.【课件展示】平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.【几何语言】如图所示,在△ABC中,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.【追问】当DE与BA和CA的延长线相交时,上述结论还成立吗?(教师总结归纳利用平行线证明三角形相似的基本图形:“A”型和“X”型)[设计意图]通过教师设计的小问题,层层深入,达到分析问题的目的,学生易于理解和掌握,提高学生分析问题的能力,同时培养学生归纳总结的能力,加深对平行线证明三角形相似的判定方法的理解.[知识拓展](1)相似三角形与全等三角形的联系与区别:全等三角形的大小相等,形状相同,而相似三角形的形状相同,大小不一定相等,所以全等三角形是相似三角形的特例,相似比是1∶1的两个相似三角形是全等三角形.(2)相似三角形的传递性:如果△ABC∽△A'B'C',△A'B'C'∽△A″B″C″,那么△ABC∽△A″B″C″.(3)在应用平行线分线段成比例这个基本事实时,找准被平行线截得的对应线段,被截线段不一定平行,当“上比下”的值为1时,说明这些平行线间的距离相等.(4)符合平行线证明三角形相似的图形有两个,我们称为“A”型和“X”型,如图所示,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.1.相似三角形的概念、表示:三个角分别相等,三条边成比例,△ABC∽△A'B'C'.2.平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.3.平行线分线段成比例在三角形中的应用:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.4.平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型.平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.1.(2015·乐山中考)如图所示,l1∥l2∥l3,两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F,已知=,则的值为()A. B. C. D.解析:由平行线分线段成比例可得=,∵=,∴=.故选D.2.如图所示,DE∥BC,=,则△ADE和△ABC的相似比为()A.1∶2B.1∶3C.2∶1D.2∶3解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴△ADE和△ABC的相似比为,∵=,∴=.故填B.3.若△ABC与△DEF的相似比是5∶3,则△DEF与△ABC的相似比是.解析:根据相似比的概念,可得△ABC与△DEF的相似比与△DEF与△ABC的相似比互为倒数,所以△DEF与△ABC的相似比是3∶5.故填3∶5.4.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,若=,DE=2,则BC的长为.解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴==,又DE=2,∴=,∴BC=6.故填6.5.如图所示,若DE∥BC,DE=3 cm,BC=5 cm,求的值.解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=,∵DE=3 cm,BC=5 cm,∴=,∴=.第1课时1.相似三角形的概念、表示2.平行线分线段成比例的基本事实3.平行线分线段成比例在三角形中的应用4.平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型一、教材作业【必做题】教材第42页习题27.2第1,5题.【选做题】教材第44页习题27.2第14题.二、课后作业【基础巩固】1.若△ABC∽△A'B'C',∠A=40°,∠C=110°,则∠B'等于()A.30°B.50°C.40°D.70°2.若△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,则k的值等于()A.∠A∶∠A'B.AB∶A'C'C.AB∶A'B'D.BC∶A'B'3.如图所示,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE∥BC,若=,BC=9,则DE等于()A.2B.3C.4D.54.如图所示,已知在△ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且=,那么的值为()A. B. C. D.5.(2015·海南中考)如图所示,点P是▱ABCD边AB上的一点,射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三角形有()A.0对B.1对C.2对D.3对6.已知△ABC∽△DEF,∠A=80°,∠B=20°,那么△DEF的各角的度数分别是.7.(2015·金华中考)如图所示,直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E,C,F.若BC=2,则EF的长是.8.如图所示,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙80 cm,梯上点D距墙70 cm,BD长55 cm.求梯子的长.9.如图所示,已知AC⊥AB,BD⊥AB,AO=78 cm,BO=42 cm,CD=159 cm,求CO和DO.【能力提升】10.如图所示的是A,B,C,D四点在坐标平面上的位置,其中O为原点,AB∥CD.根据图中各点坐标,可知D点坐标为()A. B.C.(0,5)D.(0,6)11.(2015·株洲中考)如图所示,已知AB,CD,EF都与BD垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是()A. B. C. D.12.如图所示,已知△ABC中,DE∥BC,EF∥CD.求证=.本节课是三角形的判定的第1课时,通过复习相似多边形的概念,学生用类比法易得到相似三角形的概念及表示方法,降低了学习概念的难度.以动手操作为主探究平行线分线段成比例这一事实,学生经历动手操作、观察、计算、比较、讨论、归纳等教学活动,人人参与课堂,积极展示,学生成为课堂的主人,在积极思维中经历知识的形成过程,然后通过动画展示,学生直观形象地观察到这一基本事实在三角形中的应用,体会数学中的转化思想,为平行线证明相似做好铺垫.最后在教师的引导下完成定理的证明,培养学生逻辑思维能力和严谨的学习精神.本节课在探究平行线分线段成比例基本事实后,将这一基本事实转化到三角形中应用,得到三角形中的两个推论,课容量较大,在前面概念及基本事实的探究活动中耽误时间长,后面的探究活动教师设计的小问题较多,造成完不成课时任务,后面的处理过于仓促,有头重脚轻的感觉,学生对本节课的重点把握不准,在以后的教学中要注重时间的安排,突出课时重点.本节课重点是在探究平行线分线段成比例这一基本事实的基础上,将这一结论转化到三角形中,然后得到平行线判定三角形相似的基本方法,在教学设计中要突出重点,通过动手操作、共同探究等数学活动,共同归纳出这一基本事实,通过直观形象的动画演示,自然地转化到三角形中,应用基本事实证明线段成比例,再通过师生共同探究,完成平行线证明三角形相似的定理的证明,注重学生课堂学习的参与度,给学生较大活动空间,达到提高学生学习能力的目的.。

初三九上数学所有模型初中数学是一门重要的学科，其中包含了许多有趣的模型和概念。

在初三九上的数学课程中，我们学习了许多不同的数学模型，下面我将为大家介绍其中的几个。

一、平行线与相交线在几何学中，平行线与相交线是一个经典的模型。

平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线，而相交线则是指两条直线在平面内相交的线段。

通过学习平行线与相交线，我们可以了解到它们之间的关系，如平行线之间的夹角相等等。

二、比例与相似比例与相似是数学中常见的模型之一。

在实际生活中，我们经常会遇到需要进行比较大小或者求出未知量的情况。

通过学习比例与相似，我们可以掌握解决这类问题的方法和技巧。

三、三角形的性质三角形是几何学中的基本图形之一，也是初中数学中重点研究的对象。

通过学习三角形的性质，我们可以了解到三角形的内角和为180°，以及不同类型三角形的边长关系等。

四、二次函数与一次函数在代数学中，二次函数与一次函数是两个重要的模型。

二次函数是指含有二次项的多项式函数，而一次函数则是指只含有一次项的多项式函数。

通过学习二次函数与一次函数，我们可以了解到它们的图像特点、性质以及应用等。

五、概率与统计概率与统计是数学中的一个重要分支，也是我们在生活中经常会用到的概念。

通过学习概率与统计，我们可以了解到如何利用统计数据进行分析和预测，并且可以计算出事件发生的可能性。

六、立体几何立体几何是几何学中的一个重要分支，我们在初三九上的数学课程中也学习了一些基本的立体几何模型。

通过学习立体几何，我们可以了解到不同几何体的性质、计算体积和表面积的方法等。

七、函数与方程函数与方程是代数学中的两个重要概念。

函数是指一个集合到另一个集合的映射关系，而方程则是指含有未知数的等式。

通过学习函数与方程，我们可以了解到它们的特点、图像以及解方程的方法等。

八、数列与数列求和数列是数学中一个重要的概念，它是按照一定规律排列的一系列数的集合。

通过学习数列与数列求和，我们可以了解到数列的性质、求解递推关系以及求和公式等。

专题01.双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。

这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。

但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。

模型1.线段的双中点模型图1图21）双中点模型（两线段无公共部分）条件：如图1，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC .2）双中点模型（两线段有公共部分）条件：如图2，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC .．．A ．20ACB ．DC 例3．（2022秋·湖北咸宁·七年级统考期末）1例5．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）直线(1)若20AB cm ，求MN 的长；(2)初步感知：(1)如图1，点C 在线段AB 上，若2k ，则AC __________；若3AC BC ，则k例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB 向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．模型2.双角平分线模型图1图2图31）双角平分线模型（两个角无公共部分）条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12DOE AOC .2）双角平分线模型（两个角有公共部分）条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12DOE AOC .3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）条件：如图3，已知∠AOB +∠BOC+∠AOC=360°，OP 1平分∠AOC 、OP 2平分∠BOC ；结论：1211802POP AOB .A ．70 B ．100例2．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线,BOC OF 平分AOB ，以下四个结论：③AOD BOC ；④EOF例3．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，22OA OB 、分别是1AOM 和MOB 分别是1n A OM 和1n MOB 的平分线，则例4．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，的内部，OE 是∠AOB 的一条三等分线．请从A ．当∠BOC ＝30°时，∠EOD 的度数为B ．当∠BOC ＝α°时，∠EOD 的度数为例5．（2023·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：别平分AOB 、AOC ，求 °<180n m ，OD 、OE 分别平分例6．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在AOB 的内部画射线OC ，射线OC 把AOB 分成两个角，分别为AOC 和BOC ，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC 为AOB 的“3等分线”．(1)若90AOB ，射线OC 为AOB 的“3等分线”，则AOC 的度数为__________．(2)如图2，已知60AOB ，过点O 在AOB 外部作射线OP ．若,,OA OP OB 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求AOP 的度数（180AOP ）．例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点P 是直线AB 上一点，∠CPD 是直角，PE 平分∠BPC ．（1）如图1，若∠APC =40°，求∠DPE 的度数；（2）如图1，若∠APC = ，直接写出∠DPE 的度数（用含 的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图1中的∠CPD 按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠APC 和∠DPE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．A ．①②③B ．③④C ．①②④A ．20225102 B ．20235102 C ．20225102 D ．20235102A ．30B ．25 7．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在别为AOC 和BOC ，若AOC 60AOB ，射线OC 为AOB①在图1的情况下，在DBC 内作DBF ②在旋转过程中，若BM 平分DBA ，BN ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成④DBC ABE 的角度恒为105 ．其中正确的结论个数为（A ．1个B ．2个11．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点713．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）D 、E 分别为线段AB BC 、中点，直线14．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段QD16．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数MP 时，NP ；(1)若点P在线段AB上运动，当7AB ，点P以1cm/s (2)【拓展与延伸】已知线段10cm3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点(1)根据题意，小明求得MN ______于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB a=，C是线段AB上任意一点（不与点(1)如图1，求证：AOB EOB DOE ；(2)如图2，作OF 平分AOB (3)如图3，在（2）的条件下，当90AOD 时，作射线OA 的反向延长线AOH AOE ，反向延长射线OE 得到射线OQ ，射线OP 在HOQ 内部，26BOC DOF ，5271GOH POQ EOF ，求BOP 的度数．（2）若将（1）中的条件“ON 平分BOC ，OM 平分且AOB ，求AOM BON 的度数；（3）如图2，若ON 、OC 在AOB 的外部时，ON 时，猜想：MON 与 的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．232023··(1)如图1，当OB ，OC 重合时，求EOF 的度数；EOF 的度数；(3)当AOB 和COD 的位置如图325．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）为何值时，26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠AOB ＝60°，∠COD ＝90°，OM 、ON 分别平分∠AOC 、∠BOD ．（1）如图1，OC 在∠AOB 内部时，∠AOD +∠BOC ＝，∠BOD ﹣∠AOC ＝；（2）如图2，OC 在∠AOB 内部时，求∠MON 的度数；（3）如图3，∠AOB ，∠COD 的边OA 、OD 在同一直线上，将∠AOB 绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB 边第一次与OD 边重合为止，整个运动过程时间记为t 秒．若∠MON ＝5∠BOC 时，求出对应的t 值及∠AOD 的度数．27．（2023·江苏·七年级专题练习）如图1，射线OC 在AOB 的内部，图中共有3个角：AOB 、AOC 、BOC ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是AOB 的“定分线”．（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，若MPN a ，且射线PQ 是MPN 的“定分线”，则MPQ ________(用含a 的代数式表示出所有可能的结果）；（3）如图2，若MPN =48°，且射线PQ 绕点P 从PN 位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ 与PN 成90°时停止旋转，旋转的时间为t 秒；同时射线PM 绕点P 以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ 同时停止．当PQ 是MPN 的“定分线”时，求t 的值．。

专题5.25 平行线几何模型（铅笔头模型）（知识讲解） 几何模型1：铅笔头模型图二0//==360MA NC A B ⇒∠+∠∠条件：ABC 000////P ////PQ ,180,180360MA NC BMA NC A C C A C ∴∠∠=∠∠=∴∠+∠+∠=证明：过点B 作BP//MA.则，ABP+BP+，ABC几何模型2：多个铅笔头模型12121//......n n MA NB P P P A Q Q Q B-⇒∠+∠++∠=∠+∠+∠++∠条件：证明思路参考几何模型1【典型例题】类型一、平行线几何模型➽➼铅笔头模型➻➸求解✬✬证明1．阅读下面材料，完成（1)～（3）题．数学课上，老师出示了这样—道题：如图1，已知//,AB CD 点,E F 分别在,AB CD 上，,160EP FP ⊥∠=︒．求2∠的度数．同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：小明：“如图2，通过作平行线，发现13,24∠=∠∠=∠，由已知,EP FP ⊥可以求出2∠的度数．”小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得234,∠=∠=∠也能求出2∠的度数．”小华：∵如图4，也能求出2∠的度数．”(1) 请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______； (2) 请你根据以上同学所画的图形，直接写出2∠的度数为_________°；老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：(3) 如图，//AB CD ，点,E F 分别在AB CD ，上，FP 平分,,EFD PEF PDF ∠∠=∠若,EPD a ∠=请探究CFE ∠与PEF ∠的数量关系（(用含α的式子表示)，并验证你的结论．【答案】（1）过点Р作//PQ AC ；（2）30；（3）2180CFE PEF a ∠-∠=-．【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；（2）过点Р作//PQ AC ，根据平行线的性质可得∵1=∵3，∵2=∵4，由EP∵FP 可得∵3+∵4=90°，即可得出∵1+∵2=90°，进而可得答案；（3）设,CFE x PEF PDF y ∠=∠=∠=，过点P 作//PQ AB ，根据平行线的性质可得180,BEP EPQ CFE FEB x ∠+∠=︒∠=∠=，PDF DPQ ∠=∠，进而根据角的和差关系即可得答案．解：（1）由图中虚线可知PQ//AC ，∵小明同学辅助线的做法为过点Р作//PQ AC ，故答案为：过点Р作//PQ AC（2）如图2，过点Р作//PQ AC ，∵AB//CD ，∵PQ//AB//CD ，∵∵1=∵3，∵2=∵4，∵EP∵FP ，∵∵EPF=∵3+∵4=90°，∵∵1+∵2=90°，∵∵1=60°，∵∵2=30°，故答案为：30（3）如图，设,CFE x PEF PDF y ∠=∠=∠=，过点P 作//PQ AB ，180,BEP EPQ CFE FEB x ∴∠+∠=︒∠=∠=//,AB CD//,PQ CD ∴PDF DPQ ∴∠=∠DPQ EHF PDF y ∴∠=∠=∠=∵CFE FEB x FEP BEP ∠=∠==∠+∠()180x y a y ∴=+-+2180x y α∴-=-，即2180CFE PEF a ∠-∠=-．【点拨】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．举一反三：【变式】问题情境：如图1，AB ∵CD ，∵P AB ＝130°，∵PCD ＝120°，求∵APC 度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作PE∵AB，通过平行线性质，可分别求出∵APE、∵CPE 的度数，从而可求出∵APC的度数；小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∵APC 的度数；小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∵APC的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∵APC 的度数为°；问题迁移：（1）如图5，AD∵BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∵ADP＝∵α，∵BCP＝∵β．∵CPD、∵α、∵β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∵CPD、∵α、∵β间的数量关系．【答案】问题解决：110°；问题迁移：（1）∵CPD＝∵α+∵β，理由见分析；（2）∵CPD ＝∵β﹣∵α，理由见分析【分析】小明的思路是：过P作PE∵AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∵APC ＝110°．（1）过P作PE∵AD交CD于E，推出AD∵PE∵BC，根据平行线的性质得出∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，即可得出答案；（2）画出图形（分两种情况：∵点P在BA的延长线上，∵点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，即可得出答案．解：小明的思路：如图2，过P作PE∵AB，∵AB∵CD，∵PE∵AB∵CD，∵∵APE＝180°﹣∵A＝50°，∵CPE＝180°﹣∵C＝60°，∵∵APC＝50°+60°＝110°，故答案为：110；（1）∵CPD＝∵α+∵β，理由如下：如图5，过P作PE∵AD交CD于E，∵AD∵BC，∵AD∵PE∵BC，∵∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，∵∵CPD＝∵DPE+∵CPE＝∵α+∵β；（2）当P在BA延长线时，∵CPD＝∵β﹣∵α；理由：如图6，过P作PE∵AD交CD于E，∵AD∵BC，∵AD∵PE∵BC，∵∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，∵∵CPD＝∵CPE﹣∵DPE＝∵β﹣∵α；当P在BO之间时，∵CPD＝∵α﹣∵β．理由：如图7，过P作PE∵AD交CD于E，∵AD∵BC，∵AD∵PE∵BC，∵∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，∵∵CPD＝∵DPE﹣∵CPE＝∵α﹣∵β．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．类型二、平行线几何模型➽➼多铅笔头模型➻➸求解✬✬证明2．（1）如图1，AM∵CN，求证：∵∵MAB+∵ABC+∵BCN＝360°；∵∵MAE+∵AEF+∵EFC+∵FCN＝540°；（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．【答案】（1）∵详见分析；∵详见分析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°，证明详见分析【分析】（1）∵过点作BG∵AM，则AM∵CN∵BG，依据平行线的性质，即可得到∵ABG+∵BAM＝180°，∵CBG+∵BCN＝180°，即可得到结论；∵过E作EP∵AM，过F作FQ∵CN，依据平行线的性质，即可得到∵MAE+∵AEP＝180°，∵FEP+∵EFQ＝180°，∵CFQ+∵FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）•180°．解：（1）∵证明：如图1，过点作BG∵AM，则AM∵CN∵BG∵∵ABG+∵BAM＝180°，∵CBG+∵BCN＝180°∵∵ABG+∵BAM+∵CBG+∵BCN＝360°∵∵MAB+∵ABC+∵BCN＝360°∵如图，过E作EP∵AM，过F作FQ∵CN，∵AM∵CN，∵EP∵FQ，∵∵MAE+∵AEP＝180°，∵FEP+∵EFQ＝180°，∵CFQ+∵FCN＝180°∵∵MAE+∵AEF+∵EFC+∵FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°．证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，∵结合（1）问得：所有角的和为（n+1）•180°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补得出结论．举一反三：【变式】如图，已知AB∵CD．（1）如图1所示，∵1+∵2＝；（2）如图2所示，∵1+∵2+∵3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∵1+∵2+∵3+∵4＝；（4）如图4所示，试探究∵1+∵2+∵3+∵4+∵+∵n＝．【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；（4）由（2）（3）类比可得答案．解：（1）如图1，∵AB∵CD，∵∵1+∵2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：180°；（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，∵AB∵CD，∵AB∵EF，CD∵EF，∵∵1+∵AEF=180°，∵FEC+∵3=180°，∵∵1+∵2+∵3=360°；（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，类比（2）可知∵1+∵2+∵3+∵4=180°×3=540°，故答案为：540°；（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∵1+∵2+∵3+∵4+…+∵n=（n-1）×180°，故答案为：（n-1）×180°．【点拨】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．。

剪拼构造法的实践探究朱海燕(浙江省宁海县城关中学ꎬ浙江宁波３１５６００)摘㊀要:全等三角形是初中几何的重要内容之一ꎬ是研究图形性质的基础ꎬ是几何入门的关键.构造全等是新课程标准对学生掌握全等三角形提出的最高要求.构造全等的方法很多ꎬ如平移㊁翻折㊁旋转ꎬ但学生不易理解难以掌握.剪拼构造法门槛低ꎬ易操作ꎬ学生能理解ꎬ愿探究.剪拼构造法的探究与应用有利于激发学生学习数学的兴趣ꎬ开拓学生的思路ꎬ促进其思维能力的发展.关键词:剪拼ꎻ构造法ꎻ全等三角形ꎻ核心素养中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)１１－００４４－０３收稿日期:２０２４－０１－１５作者简介:朱海燕(１９８４.１０ )ꎬ女ꎬ浙江省宁波人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀三角形是初中几何中最基本的图形ꎬ全等三角形的判定与性质是解决几何问题的重要工具.本文以具体的几何问题为例ꎬ说明剪拼构造法在解题中的应用ꎬ以此培养学生的几何推理能力.１题目呈现如图１ꎬ在әＡＢＣ中ꎬＡＤ是ＢＣ边上的中线ꎬＦ是ＡＤ上一点ꎬ延长ＢＦ交ＡＣ于点ＥꎬＡＥ＝ＥＦꎬ求证:ＢＦ＝ＡＣ.学生根据已有的经验会想到倍长中线ꎬ如图２和图３所示.倍长中线法的本质是构造全等三角形ꎬ再结合生成的等腰三角形ꎬ通过等量代换证明结论.图１㊀әＡＢＣ示意图㊀㊀㊀㊀图２㊀倍长中线示意图２尝试剪拼构造通过学习ꎬ学生已经掌握了全等三角形的定义ꎬ即能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.若将图２中的әＢＤＦ剪下来ꎬ会与әＣＤＧ重合.利用图３㊀倍长中线示意图逆向思考方法ꎬ可以将图２看成是将әＢＤＦ剪拼至әＣＤＧ后生成的构造图.类似地ꎬ图３可以看成是将әＡＣＤ剪拼至әＧＢＤ构造得到.由此可以看出ꎬ可以尝试利用剪拼法构造全等三角形[１].下面尝试对әＢＤＦ进行剪拼.剪虽易ꎬ拼却不易ꎬ拼到哪里去?怎么拼?再次观察图２ꎬ发现可以看成是以ＢＤ＝ＣＤ为条件进行剪拼的.２.１以ＢＤ＝ＤＣ为条件进行剪拼如图４ꎬ将әＢＤＦ剪拼至әＤＣＧꎬ易发现ＣＧʊＡＤꎬәＡＯＤ与әＣＯＧ都是等腰三角形.故添加辅助线后可进行如下推理:过点Ｃ作ＣＧʊＡＤꎬ且ＣＧ＝ＤＦꎬ连接ＤＧ.易得әＢＤＦɸәＤＣＧꎬ所以øＢＦＤ＝øＧ.因为ＡＥ＝ＥＦꎬＣＧʊＡＤꎬ所以øＤＡＯ＝øＡＤＯ＝øＧ＝øＡＣＧꎬ所以әＡＯＤ与әＣＯＧ都是等腰三角形ꎬ所以ＯＧ＝ＯＣꎬＯＡ＝ＯＤꎬ所以ＡＣ＝ＤＧ＝ＢＦ.如图５ꎬ将әＢＤＦ剪拼至әＣＤＧꎬ此法即为图２中的倍长中线构造法.４４图４㊀әＢＤＦ剪拼至әＤＣＧ示意图图５㊀әＢＤＦ剪拼至әＣＤＧ示意图２.２以ＤＦ＝ＤＦ为条件进行剪拼如图６ꎬ将әＢＤＦ剪拼至әＧＤＦꎬ生成了等腰三角形ＢＦＧ和平行四边形ＡＦＧＣ.由此可进行如下推理:过点Ｆ作øＤＦＧ＝øＢＦＤꎬ且使ＦＧ＝ＢＦꎬ则әＢＦＧ为等腰三角形.由等腰三角形性质可得ＢＨ＝ＧＨ.又因为ＢＤ＝ＣＤꎬ所以ＤＨ是әＢＧＣ的中位线ꎬ所以ＤＨʊＧＣ.又易证ＡＣʊＦＧꎬ所以四边形ＡＣＧＦ是平行四边形ꎬ所以ＡＣ＝ＦＧ＝ＦＢ.图６㊀әＢＤＦ剪拼至әＧＤＦ示意图图７㊀әＢＤＦ剪拼至әＧＦＤ示意图如图７ꎬ将әＢＤＦ剪拼至әＧＦＤꎬ生成平行四边形ＢＤＧＦ㊁等腰әＡＯＤ及等腰әＣＯＧꎬ图形结构与图４相同ꎬ证法类似ꎬ不再赘述.２.３以ＢＦ＝ＡＣ为条件进行剪拼如图８ꎬ将әＢＤＦ剪拼至әＣＧＡꎬ生成等腰әＤＣＧ.故添加适当的辅助线后可得如下推理:过点Ｃ作ＣＧ＝ＣＤꎬ交ＡＤ于点Ｇꎬ则øＦＤＣ＝øＤＧＣ.又因为øＦＡＥ＝øＢＦＤꎬ所以øＡＣＧ＝øＦＢＤ.因为ＢＤ＝ＣＤꎬＣＤ＝ＣＧꎬ所以ＣＧ＝ＢＤꎬ故可证әＢＤＦɸәＣＧＡꎬ所以ＢＦ＝ＡＣ.如图９ꎬ将әＢＤＦ剪拼至әＡＧＣꎬ生成等腰梯形ＡＤＣＧ.证明过程从略ꎬ请读者自行探究.图８㊀әＢＤＦ剪拼至әＣＧＡ示意图图９㊀әＢＤＦ剪拼至әＡＧＣ示意图如图１０ꎬ将әＢＤＦ剪拼至әＣＧＡꎬ生成Ａ㊁Ｄ㊁Ｃ㊁Ｇ四点共圆的结构.推理过程如下:过点Ｃ作射线ＣＧ使øＡＣＧ＝øＦＢＤ.过点Ａ作射线ＡＧ使øＣＡＧ＝øＤＡＣꎬ交于点Ｇ.通过计算法可证得øＤＡＧ＋øＤＣＧ＝１８０ʎꎬ则点Ａ㊁Ｄ㊁Ｃ㊁Ｇ四点共圆.由øＣＡＧ＝øＤＡＣꎬ可得ＤＣ＝ＣＧꎬ所以ＣＧ＝ＢＤ.故әＣＧＡɸәＢＤＦꎬ所以ＡＣ＝ＢＦ.图１０㊀әＢＤＦ剪拼至әＣＧＡ示意图由此可以看出ꎬ剪拼әＢＤＦ可以拼出７种图形ꎬ即有７种全等三角形构造法.这种剪拼方法可否应用于剪拼其他三角形?剪拼法能否作为全等三角形构造法的通法呢?为此ꎬ需对此法进行验证.３验证剪拼构造法３.１剪拼әＡＤＣꎬ验证构造法３.１.１以ＢＦ＝ＡＣ为条件进行剪拼将剪下来的әＡＤＣ的边ＡＣ叠合到ＢＦꎬ可拼出图１１㊁图１２两种构图ꎬ其中图１１生成等腰әＢＤＧꎬ５４图１２生成等腰梯形ＢＤＦＧ.整理思路ꎬ添加适当的辅助线ꎬ推理验证易知这种构造法成立.图１１㊀等腰әＢＤＧ示意图㊀图１２㊀等腰梯形ＢＤＦＧ示意图３.１.２以ＢＤ＝ＣＤ为条件进行剪拼将剪下来的әＡＤＣ的边ＣＤ叠合到ＢＤꎬ可拼出图１３~图１５三种构图ꎬ其中图１３生成等腰әＢＧＦꎬ图１４生成两个等腰三角形ꎬ即әＢＯＧ和әＤＯＦ.图１５生成Ｂ㊁Ｄ㊁Ｆ㊁Ｇ四点共圆的特殊结构.整理思路ꎬ添加适当的辅助线ꎬ推理验证易知这种构造法成立.图１３㊀等腰әＢＧＦ示意图㊀图１４㊀等腰әＢＯＧ和әＤＯＦ示意图图１５㊀四点共圆示意图３.２剪拼әＡＢＦꎬ验证构造法将剪下来的әＡＢＦ的边ＡＦ叠合到ＡＦ可拼出图１６ꎬ其结构与图６相同ꎬ证法类似ꎬ故构法成立.图１６㊀剪拼әＡＢＦ示意图㊀㊀图１７㊀构造直角三角形示意图３.３构造直角三角形ꎬ再剪拼除了剪拼已有三角形外ꎬ也可先构造直角三角形再剪拼.过点Ｃ作ＣＧʅＡＤꎬ构造出ＲｔәＡＣＧꎬ再将它以ＡＣ＝ＢＦ为条件进行剪拼得图１７.所构图中ꎬ易证әＢＤＨɸәＣＤＧꎬ得ＢＨ＝ＣＧꎬ于是可证әＡＣＧɸәＦＢＨ.故构法成立.由此可见ꎬ剪拼构造法可以作为构造全等三角形的通性通法ꎬ它可以为解题助一臂之力.４方法归纳４.１剪拼构造法的解题步骤剪拼构造法的解题步骤是:将待证线段或角所在的三角形剪下ꎻ在原图中找出与所剪三角形的边或角相等的基本元素ꎻ以线段的相等或角的相等为基本条件进行叠合拼图ꎻ观察所拼图形是否生成特殊结构ꎬ以此作为构法成立的基本依据ꎻ整理思路ꎬ添加适当的辅助线ꎬ然后进行推理论证[２].４.２剪拼构造法的经验总结(１)不同的剪拼可以得到不同的拼图.通过大量的剪拼试验ꎬ笔者发现有效构图具备以下几个特点:①拼图后生成新的特殊结构ꎬ如等腰三角形㊁等腰梯形㊁平行四边形㊁全等三角形㊁四点共圆等ꎻ②拼图后能将分散的条件聚拢集中.(２)剪拼构造法的提炼经历了 观察想象尝试构造 构法验证 方法归纳 的探究路径ꎬ这可以成为解题方法探究的基本模式.５结束语总之ꎬ在初中数学教学中ꎬ教师应该带领学生进行各种各样的实践活动ꎬ增加初中数学课堂教学的有效性.实践性的课堂教学不仅能促进学生对已学知识的深度理解ꎬ还能培养学生的探究能力ꎬ激发学生的创新思维ꎬ提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力ꎬ从而培养其数学核心素养[３].参考文献:[１]邱澜.拼图法让辅助线自然生成[Ｊ].中学数学参考ꎬ２０２０(９):２１－２３.[２]赵常辉.巧用构造法解题[Ｊ].中学数学参考ꎬ２０２０(５):３１－３３.[３]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(２０２２年版)[Ｍ].北京:北京师范大学出版社ꎬ２０２２.[责任编辑:李㊀璟]６４。

专题08 相似三角形中的基本模型1.（2019 浙江杭州中考）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE△BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】C．【分析】先证明△ADN△△ABM得到＝，再证明△ANE△△AMC得到＝，则＝，从而可对各选项进行判断．【解答】解：△DN△BM，△△ADN△△ABM，△＝，△NE△MC，△△ANE△△AMC，△＝，△＝．故选：C．2.（2019 浙江温州中考）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD 于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN△BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C．【分析】如图，连接ALGL，PF．利用相似三角形的性质求出a与b的关系，再求出面积比即可．【解答】解：如图，连接ALGL，PF．由题意：S矩形AMLD＝S阴＝a2﹣b2，PH＝，△点A，L，G在同一直线上，AM△GN，△△AML△△GNL，△＝，△＝，整理得a＝3b，△＝＝＝，故选：C．3.（2019 重庆中考）如图，△ABO△△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C．【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．【解答】解：△△ABO△△CDO，△＝，△BO＝6，DO＝3，CD＝2，△＝，解得：AB＝4．故选：C．4.（2019 河北辽宁沈阳中考）（2019•沈阳）已知△ABC△△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（）A．3：5B．9：25C．5：3D．25：9【答案】C．【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比．【解答】解：△△ABC△△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，△△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3．故选：C．5.（2019•哈尔滨）如图，在△ABCD中，点E在对角线BD上，EM△AD，交AB于点M，EN△AB，交AD 于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D．【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．【解答】解：△在△ABCD中，EM△AD△易证四边形AMEN为平行四边形△易证△BEM△△BAD△△END△＝＝，A项错误＝，B项错误＝＝，C项错误＝＝，D项正确故选：D．6.已知△ABC△△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝（）A．2B．C．3D．【答案】B．【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：△△ABC△△A'B'C'，△＝＝＝．故选：B．7.（2019 河北承德二中模拟）如图，已知△AOB和△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且△AOB和△A1OB1的周长之比为1：2，点B的坐标为（﹣1，2），则点B1的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（﹣4，2）【答案】A．【分析】过B作BC△y轴于C，过B1作B1D△y轴于D，依据△AOB和△A1OB1相似，且周长之比为1：2，即可得到＝，再根据△BOC△△B1OD，可得OD＝2OC＝4，B1D＝2BC＝2，进而得出点B1的坐标为（2，﹣4）．【解答】解：如图，过B作BC△y轴于C，过B1作B1D△y轴于D，△点B的坐标为（﹣1，2），△BC＝1，OC＝2，△△AOB和△A1OB1相似，且周长之比为1：2，△＝，△△BCO＝△B1DO＝90°，△BOC＝△B1OD，△△BOC△△B1OD，△OD＝2OC＝4，B1D＝2BC＝2，△点B1的坐标为（2，﹣4），故选：A．（二）填空题1.（2019 上海中考）在△ABC和△A1B1C1中，已知△C＝△C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD△△C1A1D1，那么AD的长是．【答案】．【分析】根据勾股定理求得AB＝5，设AD＝x，则BD＝5﹣x，根据全等三角形的性质得出C1D1＝AD＝x，△A1C1D1＝△A，△A1D1C1＝△CDA，即可求得△C1D1B1＝△BDC，根据等角的余角相等求得△B1C1D1＝△B，即可证得△C1B1D△△BCD，根据其性质得出＝2，解得求出AD的长．【解答】解：如图，△在△ABC和△A1B1C1中，△C＝△C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，△AB＝＝5，设AD＝x，则BD＝5﹣x，△△ACD△△C1A1D1，△C1D1＝AD＝x，△A1C1D1＝△A，△A1D1C1＝△CDA，△△C1D1B1＝△BDC，△△B＝90°﹣△A，△B1C1D1＝90°﹣△A1C1D1，△△B1C1D1＝△B，△△C1B1D△△BCD，△＝，即＝2，解得x＝，△AD的长为，故答案为．2.（2019 青海中考）（2019•青海）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压cm．【答案】．【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．【解答】解：如图；AM、BN都与水平线垂直，即AM△BN；易知：△ACM△△BCN；△＝，△杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，△＝，即AM＝5BN；△当BN≥10cm时，AM≥50cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压50cm．故答案为：50．3.（2019 内蒙呼和浩特中考）已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为．【答案】．【分析】根据题意画出，根据已知条件可得到点F是CD的中点，通过作辅助线，将问题转化证△HDG△△BEG，得出对应边成比例，由相似比转化为BG等于BH的三分之二，而BH可以通过勾股定理求出，使问题得以解决．【解答】解：如图：延长AD、BG相交于点H，△正方形ABCD的面积是2，△AB＝BC＝CD＝DA＝，又△CE＝，△EFC△△EAB，△，即：F是CD的中点，△AH△BE，△△H＝△FBC，△BCF＝△HDF＝90°△△BCF△△HDF（AAS），△DH＝BC＝，△AH△BE，△△H＝△FBC，△HDG＝△BEG△△HDG△△BEG，△，在Rt△ABH中，BH＝，△BG＝，故答案为：4.（2019•长春）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图△，写出完整的证明过程．结论应用：在△ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图△，若△ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图△，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则△ABCD的面积为．【答案】6．【分析】教材呈现：如图△，连结ED．根据三角形中位线定理可得DE△AC，DE＝AC，那么△DEG△△ACG，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明＝＝；结论应用：（1）如图△．先证明△BEF△△DAF，得出BF＝DF，那么BF＝BD，又BO＝BD，可得OF ＝OB﹣BF＝BD，由正方形的性质求出BD＝6，即可求出OF＝；（2）如图△，连接OE．由（1）易证＝2．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，那么△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG 的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，所以△BOC的面积＝，进而求出△ABCD的面积＝4×＝6．【解答】教材呈现：证明：如图△，连结ED．△在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，△DE△AC，DE＝AC，△△DEG△△ACG，△＝＝＝2，△＝＝3，△＝＝；结论应用：（1）解：如图△．△四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，△AD△BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，△△BEF△△DAF，△＝＝，△BF＝DF，△BF＝BD，△BO＝BD，△OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，△正方形ABCD中，AB＝6，△BD＝6，△OF＝．故答案为；（2）解：如图△，连接OE．由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，△＝2．△△BEF与△OEF的高相同，△△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，△△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，△△BOC的面积＝，△△ABCD的面积＝4×＝6．故答案为6．5.（2019 广东茂名中考模拟）如图，A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，点B、D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则k 的值为．【答案】8．【分析】根据△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，得出＝＝，进而得出假设BD＝x，AE＝4x，DO＝3x，AB＝y，根据△ABD的面积为1，求出xy＝2即可得出答案．【解答】解：过A作AE△x轴，△△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似是1：3，△＝，△OE＝AB，△＝＝．假设BD＝x，AB＝y△DO＝3x，AE＝4x，CO＝3y，△△ABD的面积为1，△xy＝1，△xy＝2，△AB•AE＝4xy＝8，即：k＝4xy＝8．故答案是：8．6.（2019 山东淄博中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是．【答案】（，）．【分析】由题意可得OA：OD＝2：3，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．【解答】解：△正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为2：3，△OA：OD＝2：3，△点A的坐标为（1，0），即OA＝1，△OD＝，△四边形ODEF是正方形，△DE＝OD＝．△E点的坐标为：（，）．故答案是：（，）．7.（2019 上海黄浦区中考模拟）（2019秋•黄浦区期中）在△ABC中，△C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D、E与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CD的长是．【答案】或．【分析】分类讨论：当△ABC△△CDE，如图1，则△CED＝△ACB＝90°，△DCE＝△A，证明BD＝AD即可解决问题；当△ABC△△DCE，如图2，则△CED＝△ACB＝90°，△DCE＝△B，接着证明CD△AB，利用面积法可计算出CD＝；当△ABC△△CED，如图3，△CDE＝△ACB＝90°，△DCE＝△A，证明CD为斜边上的中线，则CD＝DA＝DB＝AB＝．【解答】解：△△ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，△AB＝＝＝5，当△ABC△△C DE，如图1，则△CED＝△ACB＝90°，△DCE＝△A，△△ADC为等腰三角形，△CE＝AE，△ED△BC，△BD＝AD，△CD＝AB＝，当△ABC△△DCE，如图2，则△CED＝△ACB＝90°，△DCE＝△B，而△BCD+△DCE＝90°，△△B+△BCD＝90°，△CD△AB，△CD＝＝，当△ABC△△CED，如图3，△CDE＝△ACB＝90°，△DCE＝△A，△DC＝DA，△△A+△B＝90°，△DCE+△BCD＝90°，△△B+△BCD＝90°，△DB＝DC，△CD＝DA＝DB＝AB＝，综上所述，CD的长为或．故答案为或．8.（2019 河北张家口中考模拟）（2019秋•大观区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD△BC，AD＜BC，△ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝．【答案】或1．【分析】分情况讨论：△CED＝90°和△CDE＝90°，利用角平分线的性质和直角三角形30度角的性质分别可得AE的长．【解答】解：分两种情况：△当△CED＝90°时，如图1，过E作EF△CD于F，△AD△BC，AD＜BC，△AB与CD不平行，△当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，△△BEC＝△CDE＝△ADE，△△A＝△B＝△CED＝90°，△△BCE＝△DCE，△AE＝EF，EF＝BE，△AE＝BE＝AB＝，△当△CDE＝90°时，如图2，△当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，△△CEB＝△CED＝△AED＝60°，△△BCE＝△DCE＝30°，△△A＝△B＝90°，△BE＝ED＝2AE，△AB＝3，△AE＝1，综上，AE的值为或1．故答案为：或1．。