【VIP专享】有关坐标系常见问题

如何在PATRAN中转换单位？Patran为了给用户提供最大的便利性＆开放性，Patran没有定义具体的单位制。

用户使用自己默认的自统一的单位制就可以了。

如果确实需要进行转换的话，利用PATRAN中的Group→Transform→Scale，可以轻易的将PATRAN的model在各座标系统间进行转换。

但须注意的是，此一转换只会将座标尺寸加以转换，而外力与边界条件、单元特性与材料常数等资料并未自动加以转换，用户必须特别注意。

（外力及边界条件可利用放大因子[scale factor]的来快速修正）问如何在Patran中更改背景颜色在Patran界面下，进入到Display主菜单中，选择Color Palette；进入到调色板设置。

在一列颜色列表中，先选定黑色，调整“Lightness”值为1，然后再选定白色，把“Lightness”的值调整为0，然后点击Apply就可以了。

这样的设置能够保证背景和实体的充分显示，能满足截图打印的要求。

文件类型×.db数据库文件,binary×.db.bkup数据库备份文件，binary×.ses.nn会话文件，ASCII×.db.jou日志文件，ASCII×.bdf Nastran输入文件，ASCII*.log也是日志文件，对分析进程的记录,ASCII*.xdb结果数据库文件，ASCII*.op2 是nastran的计算结果文件。

（二进制）×.f04 一般包含nastran运行时的一些系统文件操作的信息*.f06 是结果文件（文本）。

*.MASTER *.dball ??都是中间文件，包含nastran运算时的中间结果，如刚阵、质量阵，以及重启动所需的信息。

print file指的是*.f06文件punch file指的是*.pch文件pro/e导入patran的问题要设置环境变量啊，MSCP_PROE_CMD＝你的proe的可执行文件的路径。

一．空间直角坐标系如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向．二．空间直角坐标系中的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标[例1]在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2,4)．[例2]长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝a，|BC|＝b，|CC1|＝c，将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位置(如图3)，分别写出长方体各顶点的坐标．变式1：棱长为2的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。

2.底面为边长为4的菱形，高为5的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同位置分别写出几何体各顶点的坐标。

3.在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系，(1)写出正四棱锥P－ABCD各顶点坐标；(2)写出棱PB的中点M的坐标．解：连接AC，BD交于点O，连接PO，∵P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a.∴四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD.∴OA＝2a.PO＝P A2－OA2＝?2a?2－?2a?2＝2a.以O点为坐标原点，OA，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．（1）正四棱锥P－ABCD中各顶点坐标分别为A(2a,0,0)，B(0，2a,0)，C(－2 a,0,0)，D(0，－2a,0)，P(0,0，2a)．(2)∵M为棱PB的中点，∴由中点坐标公式，得M(0＋02，2a＋02，0＋2a2)，即M(0，22a，22a)．[例3]在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．变式：1.写出点P(6，－2，－7)在xOy面，yOz面，xOz面上的投影的坐标以及点P关于各坐标平面对称的点的坐标．解：设点P在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影分别为点A，B，C，点P关于xOy平面、yOz平面、xOz平面的对称点分别为点A′，B′，C′，由P A⊥平面xOy，PB⊥平面yOz，PC⊥平面xOz及坐标平面的特征知，点A(6，－2,0)，点B(0，－2，－7)，点C(6,0，－7)；根据点P关于各坐标平面对称点的特征知，点A ′(6，－2,7)，B ′(－6，－2，－7)，C ′(6,2，－7)．2.在棱长都为2的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱ABC －A 1B 1C 1各顶点的坐标．[正解] 取BC ，B 1C 1的中点分别为O ，O 1，连线OA ，OO 1， 根据正三棱柱的几何性质，OA ，OB ，OO 1两两互相垂直，且 |OA |＝32×2＝3， 以OA ，OB ，OO 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，如图5所示，则正三棱柱ABC —A 1B 1C 1各顶点的坐标分别为A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (0，－1,0)，A 1(3，0,2)，B 1(0,1,2)，C 1(0，－1,2)．三．空间向量在立体几何中的应用1. 直线的方向向量与平面的法向量(1) 直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量． (2) 如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α.此时把向量n 叫做平面α的法向量．2. 线面关系的判定直线l 1的方向向量为e 1＝(a 1，b 1，c 1)，直线l 2的方向向量为e 2＝(a 2，b 2，c 2)，平面α的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面β的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．(1) 如果l 1∥l 2，那么e 1∥e 2⇔e 2＝λe 1⇔a 2＝λa 1，b 2＝λb 1，c 2＝λc 1． (2) 如果l 1⊥l 2，那么e 1⊥e 2⇔e 1·e 2＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0． (3) 若l 1∥α，则e 1⊥n 1⇔e 1·n 1＝0⇔a 1x 1＋b 1y 1＋c 1z 1＝0． (4) 若l 1⊥α，则e 1∥n 1⇔e 1＝k n 1a 1＝kx 1，b 1＝ky 1，c 1＝kz 1． (5) 若α∥β，则n 1∥n 2⇔n 1＝k n 2⇔x 1＝kx 2，y 1＝ky 2，z 1＝kz 2． (6) 若α⊥β，则n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0． 3. 利用空间向量求空间角 (1) 两条异面直线所成的角①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.②向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|. (2) 直线与平面所成的角①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.②向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|(3) 二面角①二面角的取值范围是[0，π]．②二面角的向量求法：(ⅰ) 若AB 、CD 分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角(如图①)．(ⅱ) 设n 1、n 2分别是二面角α-l-β的两个面α、β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．题型1 空间向量的基本运算[例1]已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC→. (1) 求a 和b 的夹角θ；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．解：∵A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a ＝AB→，b ＝AC →， ∴a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)．(1)∵cosθ＝a·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 和b 的夹角为arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010. (2)∵k a ＋b ＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，解得k ＝－52或2.题型2 空间中的平行与垂直例2 如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1) AM ∥平面BDE ；(2) AM ⊥平面BDF.证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连结NE.则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E(0，0，1)，A(2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.∴ NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，AM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.∴ NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴ NE ∥AM.∵ NE Ì平面BDE ，AM Ë平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.(2) 由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，∵ D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴ DF→＝(0，2，1)，∴ AM →·DF →＝0，∴ AM ⊥DF.同理AM ⊥BF. 又DF ∩BF ＝F ，∴ AM ⊥平面BDF.题型3 空间的角的计算 例3 (2013·苏锡常镇二模)如图，圆锥的高PO ＝4，底面半径OB ＝2，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF ⊥DE.(1) 求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； (2) 求二面角F-OD-E 的正弦值．解：(1) 以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴，OB 所在的线为y 轴，OP 所在的线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．设F(x 0，y 0，0)(x 0>0，y 0>0)，且x 20＋y 20＝4，则EF→＝(x 0，y 0－1，－2)，DE →＝(0，1，0)，∵ EF ⊥DE ，即EF →⊥DE →，则EF →·DE →＝y 0－1＝0，故y 0＝1.∴ F(3，1，0)，EF →＝(3，0，－2)，BD→＝(0，－2，2)． 设异面直线EF 与BD 所成角为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BD →|EF →||BD →|＝47×22＝147. (2) 设平面ODF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥OD →，n 1⊥OF →，即⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，3x 1＋y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝－3，平面ODF 的一个法向量为n 1＝(1，－3，0)．设平面DEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，同理可得平面DEF 的一个法向量为n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，32.设二面角F-OD-E 的平面角为β，则|cos β|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝17＝77.∴ sin β＝427. （翻折问题）例4. (2013广东韶关第二次调研)如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝45°，∠C ＝90°，∠ADC ＝105°，AB ＝BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC(如图乙)，设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．(1) 求证： DC ⊥平面ABC ； (2) 求BF 与平面ABC 所成角的正弦值； (3) 求二面角B －EF －A 的余弦值．解：(1) ∵ 平面ABD ⊥平面BDC ，又∵ AB ⊥BD ，∴ AB ⊥平面BDC ，故AB ⊥DC ，又∵ ∠C ＝90°，∴ DC ⊥BC ，BC ÍABC 平面ABC ，DC Ë平面ABC ，故DC ⊥平面ABC.(2) 如图，以B 为坐标原点，BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD ＝a ，则BD ＝AB ＝2a ，BC ＝3a ，AD ＝22a ，可得B(0，0，0)，D(2a ，0，0)，A(0，0，2a)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，F(a ，0，a)，∴ CD→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－32a ，0，BF →＝(a ，0，a)．设BF 与平面ABC 所成的角为θ，由(1)知DC ⊥平面ABC ，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝CD →·BF →|CD →|·|BF →|＝12a 2a ·2a ＝24，∴ sin θ＝24.(3) 由(2)知 FE ⊥平面ABC, 又∵ BE Ì平面ABC ，AE Ì平面ABC ，∴ FE ⊥BE ，FE ⊥AE ，∴ ∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角 .在△AEB 中，AE ＝BE ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2＝72a ，∴ cos ∠AEB ＝AE 2＋BE 2－AB 22AE ·BE＝－17，即所求二面角B －EF －A 的余弦为－17. 课后巩固练习：1.(2013·江苏卷)如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1) 求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2) 求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：(1) 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B→＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2) 设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)， 因为AD→＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)， 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.2. (2013·新课标全国卷Ⅱ)如图所示，直三棱柱ABCA 1B1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB. (1) 证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2) 求二面角DA 1CE 的正弦值．(1) 证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF. 因为DF Ì平面A 1CD ，BC 1Ë平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD.(2) 由AC ＝CB ＝22AB 得AC ⊥BC. 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA ＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A 1(2，0，2)，CD→＝(1，1，0)，CE →＝(0，2，1)，CA 1→＝(2，0，2)． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎨⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 为平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2，1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n·m|n||m|＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D-A 1C-E 的正弦值为63.3. (2013·重庆)如图所示，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB.(1) 求PA 的长；(2) 求二面角B-AF-D 的正弦值． 解：(1) 如图，连结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD.以O 为坐标原点，OB →、OC →、AP →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，则OC ＝CDcos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CDsin π3＝3，故A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)．因为PA ⊥底面ABCD ，可设P(0，－3，z)，由F 为PC 边中点，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1，z 2，又AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z)，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|PA→|＝2 3.(2) 由(1)知AD→＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF →＝(0，2，3)．设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·AD→＝0，n 1·AF →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)．由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)．从而向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18.故二面角B-AF-D 的正弦值为378. 4. (2013·连云港调研)在三棱锥SABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 恰是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱SB 上一点，当SDDB为何值时，CD ⊥AB ；(2) 求二面角S-BC-A 的余弦值大小．解：以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知∠SBO ＝45°，SO ＝3.O(0，0，0)，C(0，3，0)，A(0，－3，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)．(1) 设BD→＝λBS →(0≤λ≤1)，则OD →＝(1＋λ)OB →＋λOS →＝(3(1＋λ)，0，3λ)，所以CD→＝(3(1－λ)，－3，3λ)． 因为AB →＝(3，3，0)，CD ⊥AB ，所以CD →·AB →＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23. 故SD DB ＝12时， CD ⊥AB. (2) 平面ACB 的法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面SBC 的法向量n 2＝(x ，y ，z)，则n 2·SB →＝0，n 2·SC →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －3z ＝0，3y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝3z ，取n 2＝(1，3，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋（3）2·1＝55. 又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55.5. 在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面是边长为1的正方形，E 、F 分别是棱B 1B 、DA 的中点．(1) 求二面角D 1-AE-C 的大小；(2) 求证：直线BF ∥平面AD 1E.(1) 解：以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图．则相应点的坐标分别为D 1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，∴ED1→＝(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)， AE→＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)， AC→＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)． 设平面AED 1、平面AEC 的法向量分别为m ＝(a ，b ，1)，n ＝(c ，d ，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ED 1→·m ＝0，AE →·m ＝0Þ⎩⎨⎧－a －b ＋1＝0，b ＋1＝0Þ⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AE →·n ＝0Þ⎩⎨⎧－c ＋d ＝0，d ＋1＝0Þ⎩⎨⎧c ＝－1，d ＝－1，∴m ＝(2，－1，1)，n ＝(－1，－1，1)，∴cos m ，n ＝m·n|m |·|n |＝－2＋1＋16×3＝0，∴二面角D 1AEC 的大小为90°.(2) 证明：取DD 1的中点G ，连结GB 、GF.∵E 、F 分别是棱BB1、AD 的中点，∴GF ∥AD 1，BE ∥D 1G 且BE ＝D 1G ，∴四边形BED 1G 为平行四边形，∴D 1E ∥BG .又D 1E 、D 1A Ì平面AD 1E ，BG 、GF 平面AD 1E ， ∴BG ∥平面AD 1E ，GF ∥平面AD 1E.∵GF 、GB Ì平面BGF ，∴平面BGF ∥平面AD 1E. ∵BF 平面AD 1E ，∴直线BF ∥平面AD 1E.(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF ∥平面AD 1E ，亦可) 6. (2013·苏州调研)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，A 1A ＝3.D 是BC 的中点．(1) 求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B 1-A 1D-C 1的正弦值．解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3).A 1D →＝(1，2，－3)，A 1C 1→＝(0，4，0).设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)．∵ n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0.∴ x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝3.n ＝(3，0，1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，∵ DB 1→＝(1，－2，3)，∴ sin θ＝|cos 〈DB 1→·n 〉|＝3×1＋0×（－2）＋1×310×14＝33535.(2) 设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c)． A 1B 1→＝(2，0，0)，∵ m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0，∴ a ＝0，2b ＝3c.令c ＝2，得b ＝3.m ＝(0，3，2)． 设二面角B 1A 1DC 1的大小为α，∴ |cos α|＝cos|〈m ，n 〉|＝|m·n||m|·|m|＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sin α＝3765＝345565. ∴ 二面角B 1A 1DC 1的正弦值为345565.7. (2013·南通二模)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ＝A 1B ＝2.(1) 求棱AA 1与BC 所成的角的大小； (2) 在棱B 1C 1上确定一点P ，使二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值为255. 解：(1) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则C(2，0，0)，B(0，2，0)，A 1(0，2，2)，B 1(0，4，2)，AA 1→＝(0，2，2)，BC →＝B 1C 1→＝(2，－2，0)．cos〈AA 1→，BC →〉＝AA 1→·BC →|AA 1→|·|BC →|＝－48·8＝－12，故AA 1与棱BC 所成的角是π3.(2) P 为棱B 1C 1中点，设B 1P →＝λB 1C 1→＝(2λ，－2λ，0)，则P(2λ，4－2λ，2)．设平面PAB 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，AP→＝(2λ，4－2λ，2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AP→＝0，n 1·AB →＝0.⎩⎨⎧λx ＋2y －λy ＋z ＝0，2y ＝0.⎩⎨⎧z ＝－λx ，y ＝0.故n 1＝(1，0，－λ)，而平面ABA 1的法向量是n 2＝(1，0，0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝11＋λ2＝255，解得λ＝12，即P 为棱B 1C 1中点，其坐标为P(1，3，2)．近六年高考题1. 【2010高考北京理第16题】(14分)如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB＝CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE ；(3)求二面角A-BE-D 的大小．【答案】设AC 与BD 交与点G 。

1．快速入门1.1 新建任务执行【开始】→【所有程序】→【华测静态处理专业版】→【主程序】→【COMPASS静态处理专业版】，启动本软件图1 新建项目选择【文件】→【新建项目】进入项目设置窗口。

选择 GPS观测数据所在目录作为项目文件存放的路径，右上方的输入新项目名自动取文件夹名（可更改），选择坐标系如“北京－54”，新项目路径中显示的是现有项目路径，创建完成新项目的创建工作。

图2 任务设置系统将在数据文件所在目录下创建如“Res”,“Mov”,“Rinex”等目录，存放解算结果文件，以及空白的项目：图3 空白项目1.2 导入数据图4 导入数据项目建完后，需要加载 GPS 数据观测文件。

选择【文件】→【导入】，在弹出的对话框中选择需要加载的数据类型，确定进入文件选择对话框：图5 选择 HCN 数据选择 *.HCN 文件（可同时按“CTRL”或“SHIFT”键进行多选），单击打开，将数据文件导入。

图6 录入数据后的窗口当数据加载完成后，系统会显示所有的 GPS 基线向量，各条基线的相关信息暂时为空。

同时，综合网图会显示整个 GPS 网的情况。

1.3 处理基线图7 处理全部基线单击【静态基线】→【处理全部基线】，系统将采用默认的基线处理设置，处理所有的基线向量。

图8 基线处理过程处理过程中，显示整个基线处理过程的进度。

从中也可以看出每条基线的处理情况。

图9 基线解算后的结果基线解算的时间由基线的数目、基线观测时间的长短、基线处理设置的情况，以及计算机的速度决定。

处理全部基线向量后，基线列表窗口中会列出所有基线解的情况，网图中原来未解算的基线也由原来的浅色改变为深色。

1.4 平差前的设置在基线处理完成后，需要对基线处理成果进行检核。

由于本章为快速入门，所以我们假定所有参与解算的基线都合格，通常情况下，如观测条件良好，也确实一次就能成功处理所有的基线。

基线解算合格后，还需要根据基线的同步观测情况剔除部分基线，在这里我们也不作介绍。

测绘技术中经纬度坐标的常见问题测绘技术在现代社会中发挥着重要的作用，而经纬度坐标系统作为测绘中最常用的坐标系统之一，经常遇到一些常见问题。

在本文中，将探讨一些与经纬度坐标相关的常见问题，并给出解决方案。

一、坐标转换问题在测绘工作中，常常需要进行不同坐标系统之间的转换。

例如，将经纬度坐标转换为UTM坐标系统，或者将UTM坐标转换为经纬度坐标。

这个过程中往往会遇到一些误差，导致转换结果不准确。

解决这个问题的方法是使用专业的坐标转换软件。

这种软件可以根据不同的坐标系统参数进行转换，确保转换结果的准确性。

在使用坐标转换软件时，还需要注意选择正确的参数和转换方法，以避免出现误差。

二、误差累积问题在大范围的测绘工作中，由于地球形状和尺度的复杂性，坐标的测量误差会逐渐累积，导致测绘结果的精度下降。

这对于需要高精度测绘的项目来说是一个重要问题。

为了解决这个问题，可以采用差分GPS技术。

差分GPS技术可以通过在已知控制点上设置一个基准站，实时校正测量站的误差，从而提高测绘的精度。

此外，还可以采用网络RTK技术，利用多个基准站实时传输校正数据，进一步提高测绘精度。

三、坐标偏移问题由于地球的非球形性和地球引力的影响，经纬度坐标与实际地理位置之间存在一定的偏移。

特别是在高纬度地区，这种偏移现象更加明显。

解决这个问题的方法是采用大地基准系统。

大地基准系统是一种基于地球形状的数学模型，可以将球面上的坐标映射为平面上的坐标，从而减小坐标的偏移误差。

常用的大地基准系统包括WGS-84和中国2000大地坐标系。

四、坐标精度问题经纬度坐标通常以度为单位来表示，但在一些需要高精度的测绘工作中，度的精度可能不够。

例如，在城市规划和工程建设中，可能需要以米或厘米来表示坐标。

为了提高坐标精度，可以采用度分秒表示法。

度分秒表示法将坐标精确到小数点后几位，从而提高精度。

此外，还可以使用高精度的测量仪器和技术，如全站仪和测量相位仪，来测量坐标，从而提高精度。

坐标系和坐标点的基本知识在数学和几何学中，坐标系和坐标点是非常基础且重要的概念。

通过理解和掌握这些知识，我们可以更好地描述和定位空间中的各种对象。

接下来，让我们深入探讨坐标系和坐标点的基本知识。

坐标系的概念坐标系是用来描述空间位置的一种数学工具。

常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系等。

直角坐标系由水平轴和垂直轴组成，它们相交于原点。

水平轴通常表示为x轴，垂直轴通常表示为y轴。

通过这样的坐标系，我们可以用(x,y)的形式来表示平面上的点。

坐标点的表示在直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x,y)来表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。

例如，点A的坐标为(2,3)，表示它在x轴上的坐标为2，在y轴上的坐标为3。

这种表示方法有助于我们准确地定位和描述空间中的各种对象。

坐标系的四象限在直角坐标系中，平面被分为四个象限：第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

第一象限位于x轴和y轴的正方向，第二象限位于x轴的负方向和y轴的正方向，依此类推。

每个象限有特定的坐标范围和符号规定，我们可以根据坐标的正负确定点所在的象限。

坐标点的移动和定位通过坐标系，我们可以很容易地移动和定位点的位置。

例如，如果我们有一个点B的坐标为(4,5)，如果需要将点B向右移动3个单位，我们只需要在x轴上的坐标上加3，即新的坐标为(7,5)。

这样的操作可以帮助我们准确地控制和操作空间中的各种元素。

了解坐标系和坐标点的基本知识对于数学和几何学的学习至关重要。

通过掌握这些概念，我们可以更好地理解空间中的各种对象，并能够进行准确的描述和定位。

在日常生活中，我们也可以运用这些知识，例如在地图上标注位置、在平面图上作图等，从而更好地表达和展示我们的想法和观点。

坐标系和坐标点的基本知识是数学学习中不可或缺的一部分。

通过理解和掌握这些概念，我们可以更好地应用于实际问题中，提升解决问题的能力和准确性。

继续学习和实践，相信你会对坐标系和坐标点有更深入的认识和理解。

测绘技术中坐标转换的常见问题在测绘领域中，坐标转换是一个非常重要的环节。

坐标转换的目的是将不同坐标系统下的地理位置相互转换，以实现数据的无缝对接和共享。

然而，由于不同坐标系统的定义和测量方法不同，坐标转换中常常会遇到一些问题。

本文将介绍测绘技术中常见的坐标转换问题，以及解决这些问题的方法。

首先，一个常见的问题是坐标系统不匹配。

不同地区和测绘机构使用的坐标系统可能存在差异。

例如，某个地区使用的是经纬度坐标系统，而另一个地区使用的是投影坐标系统。

这种情况下，需要进行坐标转换，将一种坐标系统转换为另一种坐标系统。

这通常需要利用地理坐标参照系参数来进行计算。

对于这种问题，可以通过调整坐标系参数或者使用数学模型来完成坐标转换。

其次，坐标转换时可能会出现精度损失的问题。

由于不同坐标系统的精度范围不同，进行坐标转换会导致精度损失。

尤其是在进行多次坐标转换的情况下，精度损失会累积。

为了解决这个问题，可以采用精度较高的坐标系统或者使用更精确的计算方法进行坐标转换。

此外，还可以通过选择合适的投影方式和区域来最大程度减小精度损失。

另外一个常见的问题是坐标转换时存在的误差积累。

由于测量仪器的误差、地球形状的不规则性等因素的影响，进行坐标转换时不可避免地会引入一定的误差。

这种误差会随着坐标转换次数的增加而积累。

为了解决这个问题，可以采用差分坐标转换方法，即利用已知控制点的坐标信息，通过差值计算来消除坐标转换误差。

此外，还可以利用平差理论和数学模型来对误差进行修正，提高坐标转换的精度。

此外，坐标转换还会面临一些特殊情况下的问题。

例如，当进行大尺度的坐标转换时，由于地球表面存在高程变化、地壳运动等因素，需要考虑地球形状和形变的影响。

此时，需要引入大地测量学的知识，利用大地水准面和椭球面参数来进行坐标转换。

此外，当进行跨国或跨地区的坐标转换时，还需要考虑不同地区的大地基准面和椭球参数差异，进行合适的参数转换。

综上所述，测绘技术中的坐标转换是一个复杂而关键的环节。

坐标系的认知与使用坐标系，是数学中描述和定位空间点的一种体系。

它在解决几何问题、进行数据分析和科学研究中起着重要的作用。

正确的认知和灵活的使用坐标系，不仅可以提升数学和科学领域的学习能力，还能够帮助我们更好地理解和解决现实生活中的问题。

一、坐标系的基本概念和结构1. 直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系之一，以水平线和垂直线为基准线构成。

在平面上，通常用x轴和y轴表示。

其中，x轴是水平线，正方向向右；y轴是垂直线，正方向向上。

两条轴相交于原点O，它的坐标为(0,0)。

2. 极坐标系极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，它使用极径和极角来表示点的位置。

极径为点到原点的距离，极角为从参考线（通常是x 轴）逆时针旋转一定角度所得的角度。

3. 三维坐标系三维坐标系是描述空间中点的位置的坐标系统。

在三维坐标系中，我们需要引入第三个坐标轴z轴，该轴与x轴和y轴垂直。

通过使用(x, y, z)的坐标表示，我们可以精确地定位三维空间中的任意一个点。

二、坐标系的应用领域1. 几何学在几何学中，坐标系被广泛用于描述和计算几何图形的性质。

通过将点的坐标代入相应的方程，我们可以求解几何图形的面积、周长及其他属性。

例如，利用坐标系我们可以方便地计算一个矩形的面积，一个三角形的周长等。

2. 物理学在物理学中，坐标系可以帮助我们描述和分析物体的运动、受力和位置等问题。

例如，通过建立合适的坐标系，我们可以准确地描述一个物体的运动轨迹、速度和加速度。

这对于研究各种物理现象以及工程应用具有重要意义。

3. 经济学坐标系在经济学中也有着广泛的运用。

例如，在市场分析中，我们可以利用坐标系来表示供求曲线，通过对曲线的分析，可以得出对市场行为的预测以及制定相应的政策。

4. 数据分析坐标系在数据分析中扮演着至关重要的角色。

通过将不同变量的值映射到坐标系中的点，我们可以更好地理解变量之间的关系和趋势。

例如，在散点图中，我们可以通过将横轴和纵轴分别表示不同的变量，直观地发现它们之间的相关性。