排序与折半查找

先看看这个，下面有例子折半查找：二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。

因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。

首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。

重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

算法要求算法复杂度下面提供一段二分查找实现的伪代码:BinarySearch(max,min,des)mid-<(max+min)/2while(min<=max)mid=(min+max)/2if mid=des thenreturn midelseif mid >des thenmax=mid-1elsemin=mid+1return max折半查找法也称为二分查找法，它充分利用了元素间的次序关系，采用分治策略，可在最坏的情况下用O(log n)完成搜索任务。

它的基本思想是，将n个元素分成个数大致相同的两半，取a[n/2]与欲查找的x作比较，如果x=a[n/2]则找到x，算法终止。

如果x<a[n/2]，则我们只要在数组a的左半部继续搜索x（这里假设数组元素呈升序排列）。

如果x>a[n/2]，则我们只要在数组a的右半部继续搜索x。

二分查找法一般都存在一个临界值的BUG，即查找不到最后一个或第一个值。

可以在比较到最后两个数时，再次判断到底是哪个值和查找的值相等。

C语言代码int BinSearch(SeqList * R，int n , KeyType K ){ //在有序表R[0..n-1]中进行二分查找，成功时返回结点的位置，失败时返回-1int low=0，high=n-1，mid；//置当前查找区间上、下界的初值if(R[low].key==K){return low ;}if(R[high].key==k)return high;while(low<=high){ //当前查找区间R[low..high]非空mid=low+((high-low)/2)；//使用(low + high) / 2 会有整数溢出的问题（问题会出现在当low + high的结果大于表达式结果类型所能表示的最大值时，这样，产生溢出后再/2是不会产生正确结果的，而low+((high-low)/2)不存在这个问题if(R[mid].key==K){return mid；//查找成功返回}if(R[mid].key>K)high=mid-1; //继续在R[low..mid-1]中查找elselow=mid+1；//继续在R[mid+1..high]中查找}if(low>high)return -1；//当low>high时表示查找区间为空，查找失败} //BinSeareh折半查找程序举例程序要求：1.在main函数中定义一个20个元素的int数组，完成初始化和显示操作。

二分查找是在我们整个数据结构当中一个比较重要的算法，它的思想在我们的实际开发过程当中应用得非常广泛。

在实际应用中，有些数据序列是已经经过排序的，或者可以将数据进行排序，排序后的数据我们可以通过某种高效的查找方式来进行查找，今天要讲的就是折半查找法(二分查找)，它的时间复杂度为O(logn)，将以下几个方面进行概述了解二分查找的原理与思想分析二分查找的时间复杂度掌握二分查找的实现方法了解二分查找的使用条件和场景1 二分查找的原理与思想在上一个章节当中，我们学习了各种各样的排序的算法，接下来我们就讲解一下针对有序集合的查找的算法—二分查找（Binary Search、折半查找）算法，二分查找呢，是一种非常容易懂的查找算法，它的思想在我们的生活中随处可见，比如说：同学聚会的时候喜欢玩一个游戏——猜数字游戏，比如在1-100以内的数字，让别人来猜从，猜的过程当中会被提示是猜大了还是猜小了，直到猜中为止。

这个过程其实就是二分查找的思想的体现，这是个生活中的例子，在我们现实开发过程当中也有很多应用到二分查找思想的场景。

比如说仙现在有10个订单，它的金额分别是6、12 、15、19、24、26、29、35、46、67 请从中找出订单金额为15的订单，利用二分查找的思想，那我们每一次都会与中间的数据进行比较来缩小我们查找的范围，下面这幅图代表了查找的过程，其中low，high代表了待查找的区间的下标范围，mid表示待查找区间中间元素的下标（如果范围区间是偶数个导致中间的数有两个就选择较小的那个）第一次二分查找第二次二分查找第三次二分查找通过这个查找过程我们可以对二分查找的思想做一个汇总：二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似于分治思想。

每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间范围缩小为原来的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为0。

一：查找的数据有序二：每次查找，数据的范围都在缩小，直到找到或找不到为止。

实验五查找的应用一、实验目的：1、掌握各种查找方法及适用场合，并能在解决实际问题时灵活应用。

2、增强上机编程调试能力。

二、问题描述1.分别利用顺序查找和折半查找方法完成查找。

有序表（3,4,5,7,24,30,42,54,63,72,87,95）输入示例：请输入查找元素：52输出示例：顺序查找：第一次比较元素95第二次比较元素87 ……..查找成功，i=**/查找失败折半查找：第一次比较元素30第二次比较元素63 …..2.利用序列（12,7,17,11,16,2,13,9,21,4）建立二叉排序树，并完成指定元素的查询。

输入输出示例同题1的要求。

三、数据结构设计（选用的数据逻辑结构和存储结构实现形式说明）（1）逻辑结构设计顺序查找和折半查找采用线性表的结构，二叉排序树的查找则是建立一棵二叉树，采用的非线性逻辑结构。

（2）存储结构设计采用顺序存储的结构，开辟一块空间用于存放元素。

（3）存储结构形式说明分别建立查找关键字，顺序表数据和二叉树数据的结构体进行存储数据四、算法设计（1）算法列表（说明各个函数的名称，作用，完成什么操作）序号 名称 函数表示符 操作说明1 顺序查找 Search_Seq 在顺序表中顺序查找关键字的数据元素2 折半查找 Search_Bin 在顺序表中折半查找关键字的数据元素3 初始化 Init 对顺序表进行初始化，并输入元素4 树初始化 CreateBST 创建一棵二叉排序树5 插入 InsertBST 将输入元素插入到二叉排序树中6 查找 SearchBST在根指针所指二叉排序树中递归查找关键字数据元素 （2）各函数间调用关系（画出函数之间调用关系）typedef struct { ElemType *R; int length;}SSTable;typedef struct BSTNode{Elem data; //结点数据域 BSTNode *lchild,*rchild; //左右孩子指针}BSTNode,*BSTree; typedef struct Elem{ int key; }Elem;typedef struct {int key;//关键字域}ElemType;（3）算法描述int Search_Seq(SSTable ST, int key){//在顺序表ST中顺序查找其关键字等于key的数据元素。

数据结构中的查找算法总结静态查找是数据集合稳定不需要添加删除元素的查找包括：1. 顺序查找2. 折半查找3. Fibonacci4. 分块查找静态查找可以⽤线性表结构组织数据，这样可以使⽤顺序查找算法，再对关键字进⾏排序就可以使⽤折半查找或斐波那契查找等算法提⾼查找效率，平均查找长度：折半查找最⼩，分块次之，顺序查找最⼤。

顺序查找对有序⽆序表均适⽤，折半查找适⽤于有序表，分块查找要求表中元素是块与块之间的记录按关键字有序动态查找是数据集合需要添加删除元素的查找包括： 1. ⼆叉排序树 2. 平衡⼆叉树 3. 散列表 顺序查找适合于存储结构为顺序存储或链接存储的线性表。

顺序查找属于⽆序查找算法。

从数据结构线形表的⼀端开始，顺序扫描，依次将扫描到的结点关键字与给定值k相⽐较，若相等则表⽰查找成功 查找成功时的平均查找长度为： ASL = 1/n(1+2+3+…+n) = (n+1)/2 ; 顺序查找的时间复杂度为O(n)。

元素必须是有序的，如果是⽆序的则要先进⾏排序操作。

⼆分查找即折半查找，属于有序查找算法。

⽤给定值value与中间结点mid的关键字⽐较，若相等则查找成功；若不相等，再根据value 与该中间结点关键字的⽐较结果确定下⼀步查找的⼦表 将数组的查找过程绘制成⼀棵⼆叉树排序树，如果查找的关键字不是中间记录的话，折半查找等于是把静态有序查找表分成了两棵⼦树，即查找结果只需要找其中的⼀半数据记录即可，等于⼯作量少了⼀半，然后继续折半查找，效率⾼。

根据⼆叉树的性质，具有n个结点的完全⼆叉树的深度为[log2n]+1。

尽管折半查找判定⼆叉树并不是完全⼆叉树，但同样相同的推导可以得出，最坏情况是查找到关键字或查找失败的次数为[log2n]+1，最好的情况是1次。

时间复杂度为O(log2n)； 折半计算mid的公式 mid = (low+high)/2;if(a[mid]==value)return mid;if(a[mid]>value)high = mid-1;if(a[mid]<value)low = mid+1; 折半查找判定数中的结点都是查找成功的情况，将每个结点的空指针指向⼀个实际上不存在的结点——外结点，所有外界点都是查找不成功的情况，如图所⽰。

折半查找法的查找速度一定比顺序查找法快。

不能笼统的说那个算法一定就好，算法分析要看条件和模型。

折半算法要求待查区域数据是已经排好序的，但是顺序查找没这个要求。

算法时间分析要看平均情况、最坏情况、最好情况的。

最好情况两者
时间一样，因为都是比较方法查找，都假定第一次比较就找到。

最坏情况，折半查找更优为log n次比较，而顺序查找为n次比较。

平均情况下（所
有待查元素查找概率相当），一般是折半查找由于顺序查找（O(log n) < O(n)）。

一般数据规模稍大的测试、算法练习题，折半查找表现都很好，常常
优于顺序查找，毕竟顺序查找算不上什么高等算法，优化空间很小。

但是，实际的查找操作很复杂，并不是查找数量多了就会趋近于平均
情况，而且折半查找又要求有排序，所以仍然需要按照系统需求进行相应
的数学分析和实际检测。

排序算法：折半插⼊排序算法分析：（1）时间复杂度 从时间上⽐较，折半查找⽐顺序查找快，所以就平均性能来说，折半插⼊排序优于直接插⼊排序。

折半插⼊排序所需要的关键字⽐较次数与待排序序列的初始排列⽆关，仅依赖于记录的个数。

不论初始序列情况如何，在插⼊第i个记录时，需要经过logi+1(向下取整+1)次⽐较，才能确定它插⼊的位置。

所以当记录的初始排列为正序或接近正序时，直接插⼊排序⽐折半插⼊排序执⾏的关键字⽐较次数要少。

折半插⼊排序的对象移动次数与直接插⼊排序相同，依赖于对象的初始排列。

在平均情况下，折半插⼊排序仅减少了关键字的⽐较次数，⽽记录的移动次数不变。

因此，折半插⼊排序的时间复杂度仍然为O（n^2）。

（2）空间复杂度 折半插⼊排序所需附加存储空间和直接插⼊排序相同，只需要⼀个记录的辅助空间r[0]，所以空间复杂度为O（1）算法特点：（1）是稳定排序。

（2）因为要进⾏折半插⼊查找，所以只能⽤于顺序结构，不能⽤于链式结构。

（3）适合初始记录⽆序、n较⼤的情况。

#include<iostream>#include<vector>using namespace std;void BSort(int a[],int n){for (int i = 1; i < n; i++)//数组中的第⼀个元素最为已经排好的序列，所以从数组的第⼆个元素开始排{int key = a[i];//带插⼊元素int low = 0, high = i - 1;while (low <= high){int mid = (low + high) / 2;if (key < a[mid]){high = mid - 1;}else{low = mid + 1;}}for (int j = i - 1; j >= high + 1; j--){//i-1是已经排好序的序列的数量，high+1是待插⼊的的位置，元素后移腾出high+1这个位置a[j + 1] = a[j];}a[high + 1] = key;}}int main(){int a [11] = { 2,6,4,5,54,53,53,5,34,34,32};BSort(a, 11);for (int i = 0; i < 11; i++){cout << a[i] << " ";}return 0;}。

数据结构复习--排序和查找现在正在学习查找和排序，为了节省时间提⾼效率，就正好边学习边整理知识点吧！知识点⼀：⼆分查找/折半查找1.⼆分查找的判定树（选择题）下列⼆叉树中，可能成为折半查找判定树（不含外部结点）的是： (4分)1.2.3.4.注：折半查找判定树是⼀棵⼆叉排序树，它的中序遍历结果是⼀个升序序列，可以在选项中的树上依次填上相应的元素。

虽然折半查找可以上取整也可以下取整但是⼀个查找判定树只能有⼀种取整⽅式。

如果升序序列是偶数个，那么终点应该偏左多右少。

在2选项中，由根节点左⼦树4个节点⽽右⼦树5个节点可以确定⽤的是向下取整策略，但是它的左⼦节点在左⼦树种对应的终点左边2个，右边个，明显是上取整策略，策略没有统⼀，所以是错的。

其他的选项类似分析。

2.⼆分查找法/折半查找法已知⼀个长度为16的顺序表L，其元素按关键字有序排列。

若采⽤⼆分查找法查找⼀个L中不存在的元素，则关键字的⽐较次数最多是： (2分)1. 72. 63. 54. 4 注：⼀次找到最边界的那⼀个树的情况下有最多次数 这个题中结点数16是个偶数：第⼀次（0+15）/2 7 第⼆次（8+15）/2 11第三次（12+15）/2 14 第四次（14+15）/2 14 第五次（15+15）/2 15（下取整的就向右计算求最多次数）第⼀次（0+15）/2 8 第⼆次（0+7）/2 4 第三次（0+3）/2 2 第四次（0+1)/2 0第五次（0+0）/2 0（下取整的话就向左求最多次数）若结点数是奇数15：第⼀次（0+14）/2 7 第⼆次（ 0+6）/2 3 第三次（0+2）/2 1第四次（0+0）/2 0第⼀次（0+14）/2 7 第⼆次（8+14）/2 11 第三次（12+14）/2 13第四次（14+14）/2 0这时候向左或者向右都是OK的（因为得到的数都是能够被2整除的）但是划重点了折半查找⼀个有序表中不存在的元素，若向下取整，则要最多⽐较[log2n]+1次，若向上取整，则要最多⽐较[log2(n+1)],其实就是求树的深度.（这⼀块⾃⼰的说法可能不够准确，希望⼤家看到有问题的可以指出来）结合实际，我们⽤[log2n]+1来算更简单并且计算[log2n]要取整数，因为可能会存在不是满⼆叉树的情况。