高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入章末检测3 苏教版选修1-2

20１7-２01８版高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充教案苏教版选修１－2编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2０18版高中数学第3章数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充教案苏教版选修1－2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3。

１数系的扩充和复数的引入【教材分析】教材地位和作用:数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程,体现了数学发生发展的客观需求．通过学习,学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性,体会人类理性思维在数系扩充中的作用,有助于提高学生的数学素养．复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备。

教材处理办法:精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体,使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则。

在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点:数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标:了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识．情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值,崇尚数学具有的理性精神和科学态度,树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】教学模式：“4+1”教学模式教学方法:开放式探究,启发式引导,互动式讨论,反馈式评价.学习方法：自主探究,观察发现，合作交流，归纳总结。

第3章数系的扩充与复数的引入1．虚数单位i(1)i2＝－1(即－1的平方根是±i)．(2)实数可以与i进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．(3)i的幂具有周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)，则有i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N*)．2．复数的分类复数（z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ）⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0）虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0，b ≠0）非纯虚数（a ≠0，b ≠0）3．共轭复数的性质设复数z 的共轭复数为z ，则 (1)z ·z ＝|z |2＝|z |2；(2)z 为实数⇔z ＝z ，z 为纯虚数⇔z ＝－z . 4．复数的几何意义5．复数相等的条件(1)代数形式：复数相等的充要条件为a ＋b i ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )⇔a ＝c ，b ＝d .特别地，a ＋b i ＝0(a ，b ∈R )⇔a ＝b ＝0.注意：两复数不是实数时，不能比较大小．(2)几何形式：z 1，z 2∈C ，z 1＝z 2⇔对应点Z 1，Z 2重合⇔OZ 1―→与OZ 2―→重合． 6．复数的运算(1)加法和减法运算：(a ＋b i )±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．(考试时间：120分钟 试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝________．解析：∵z 1＝2＋i 在复平面内对应点(2，1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点为(－2，1)，则z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5. 答案：－52．(山东高考改编)若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝________． 解析：根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. 答案：3＋4i3．若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________． 解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝3＋4i 5＝35＋45i ，∴z 的虚部是45.答案：454．已知m1＋i ＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 等于________．解析：m1＋i＝1－n i ，所以m ＝(1＋n )＋(1－n )i ，因为m ，n ∈R ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝0，1＋n ＝m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，m ＝2，即m ＋n i ＝2＋i.答案：2＋i5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则满足条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为________． 解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，设z ＝x ＋y i ，∴z i ＋z ＝x i －y ＋x ＋y i ＝x －y ＋(x ＋y )i ＝4＋2i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1. ∴z ＝3－i.答案：3－i6．在复平面内，复数2－i1＋i 对应的点位于第________象限．解析：2－i 1＋i ＝（2－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－3i 12－i 2＝12－32i ，对应的点位于第四象限． 答案：四7.5（4＋i ）2i （2＋i ）＝________． 解析：5（4＋i ）2i （2＋i ）＝5（15＋8i ）－1＋2i ＝5（15＋8i ）（－1－2i ）（－1）2＋22＝1－38i. 答案：1－38i8．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i2是实数，则a 等于________．解析：∵a 1＋i ＋1＋i 2＝a （1－i ）2＋1＋i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12＋（1－a ）2i 是实数，∴1－a2＝0，即a ＝1. 答案：19．复数z 满足方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝4，那么复数z 的对应点P 组成图形为________． 解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝|z ＋(1－i)|＝|z －(－1＋i)|＝4. 设－1＋i 对应的点为C (－1，1)，则|PC |＝4，因此动点P 的轨迹是以C (－1，1)为圆心，4为半径的圆．答案：以(－1，1)为圆心，以4为半径的圆10．已知集合M ＝{1，2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3，4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝________． 解析：由M ∩N ＝{4}，知4∈M ， 故z i ＝4，∴z ＝4i ＝－4i.答案：－4i11．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i ，则z ＝________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴|z |－z ＝a 2＋b 2－(a －b i)＝a 2＋b 2－a ＋b i ， 101－2i ＝10（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝10（1＋2i ）12＋22＝2＋4i ，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4.∴z ＝3＋4i. 答案：3＋4i12．若OA ＝3i ＋4，OB ＝－1－i ，i 是虚数单位，则AB ＝________.(用复数代数形式表示)解析：由于OA ＝3i ＋4，OB ＝－1－i ，i 是虚数单位， 所以AB ＝OB －OA ＝(－1－i)－(3i ＋4)＝－5－4i. 答案：－5－4i13．复数z 满足|z ＋1|＋|z －1|＝2，则|z ＋i ＋1|的最小值是________．解析：由|z ＋1|＋|z －1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z 对应的点到两点(－1，0)和(1，0)的距离和为2，说明该点在线段y ＝0(x ∈[－1，1])上，而|z ＋i ＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.答案：114．已知关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)＝0有实根，则纯虚数m 的值是________． 解析：方程有实根，不妨设其一根为x 0，设m ＝a i 代入方程得x 20＋(1＋2i)x 0－(3a i －1)i ＝0，化简得，(2x 0＋1)i ＋x 20＋x 0＋3a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋1＝0，x 20＋x 0＋3a ＝0，解得a ＝112，∴m ＝112i.答案：112i二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(本小题满分14分)计算：(1)（2＋i ）（1－i ）21－2i ；(2)4＋5i （5－4i ）（1－i ）.解：(1)（2＋i ）（1－i ）21－2i ＝（2＋i ）（－2i ）1－2i ＝2（1－2i ）1－2i ＝2.(2)4＋5i （5－4i ）（1－i ）＝（5－4i ）i（5－4i ）（1－i ） ＝i 1－i ＝i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝i －12＝－12＋12i.16．(本小题满分14分)求实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解：由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. (1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ， ∴k ＝6或k ＝－1.(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，∴k ＝4.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.综上，当k ＝6或k ＝－1时，z ∈R . 当k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．当k ＝4时，z 是纯虚数，当k ＝－1时，z ＝0.17．(本小题满分14分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求（1＋i ）2（3＋4i ）22z 的值．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝1＋3i －z ， 得a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＋a －1＝0，b －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，所以z ＝－4＋3i.则（1＋i ）2（3＋4i ）22z ＝2i （3＋4i ）22（－4＋3i ）＝2（－4＋3i ）（3＋4i ）2（－4＋3i ）＝3＋4i.18．(本小题满分16分)已知ω＝－12＋32i.(1)求ω2及ω2＋ω＋1的值；(2)若等比数列{a n }的首项为a 1＝1，公比q ＝ω，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)ω2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝14－32i －34＝－12－32i.ω2＋ω＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋1＝0.(2)由于ω2＋ω＋1＝0， ∴ωk ＋2＋ωk ＋1＋ωk ＝ωk (ω2＋ω＋1)＝0，k ∈Z .∴S n ＝1＋ω＋ω2＋…＋ωn －1＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝3k ，1， n ＝3k ＋1，1＋ω， n ＝3k ＋2，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝3k （k ∈Z ），1， n ＝3k ＋1（k ∈Z ），12＋32i ， n ＝3k ＋2（k ∈Z ）.19．(本小题满分16分)已知z ＝a －i1－i(a ∈R 且a ＞0)，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模．解：把z ＝a －i1－i (a ＞0)代入ω中，得ω＝a －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －i 1－i ＋i ＝a ＋12＋a （a ＋1）2i. 由a （a ＋1）2－a ＋12＝32，得a 2＝4. 又a ＞0，所以a ＝2. 所以|ω|＝|32＋3i|＝325.20．(本小题满分16分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， 所以2ab ＝2.所以a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i. (2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i ， 所以点A (1，1)，B (0，2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1；当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i. 所以点A (－1，－1)，B (0，2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.即△ABC 的面积为1.【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。

3.2 复数的四则运算课后导练基础达标1．(5-i)-(3-i)-5i 等于（）A.5iB.2-5iC.2+5iD.2解析：原式=（5-3）+(-1+1-5)i=2-5i.答案：B2．已知复数z 满足z +i-3=3-i ，则z 等于（）A.0B.2iC.6D.6-2i解析：z =(3-i)-(-3+i)=6-2i.答案：D3．(a+bi)(a-bi)(-a+bi)(-a-bi)等于（）A.(a 2+b 2)2B.(a 2-b 2)2C.a 2+b 2D.a 2-b 2解析：原式=（a 2+b 2）(a 2+b 2)=(a 2+b 2)2.答案：A4．若(z -1)2=-1,则z 的值为（）A.1+IB.1±IC.2+ID.2±i解析：经验证，选B .答案：B5．已知z 1=2+i,z 2=1+2i,则复数z =z 2-z 1对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：z =z 2-z 1=（1+2i ）-(2+i)=-1+i.答案：B6．复数4+3i 与-2-5i 分别表示向量与，则向量表示的复数是_________. 解析：∵,OA OB AB -=由（-2-5i ）-（4+3i ）=-6-8i,知表示的复数是-6-8i. 答案：-6-8i7．（2i31+-）6+(2i31--)6=_________;若n 为奇数，则(2i1+)4n +(2i1-)4n=_________. 解析：66)231()231(i i --++- =［（-i 2321+）3］2+［（i 2321+）3］2 =1+(-1)2=2.n n ii44)21()21(-++=［（21i +）2］2n +［（21i -）2］2n =i 2n +(-i)2n =(-1)n +(-1)n =-2.答案：2 -28．对于n 个复数z 1,z 2,…,z n ，如果存在n 个不全为零的实数k 1,k 2,…,k n ，使得k 1z 1+k 2z 2+…+k n z n =0,就称z 1,z 2,…,z n 线性相关.若要说明z 1=1+2i,z 2=1-i,z 3=-2线性相关，那么可取{k 1,k 2,k 3}=_________.（只要写出满足条件的一组值即可）.解析：k 1(1+2i)+k 2(1-i)+k 3(-2)=0,∴(k 1+k 2-2k 3)+(2k 1-k 2)i=0.∴⎩⎨⎧==-+.2,0221321k k k k k不妨取k 1=1,则k 2=2,k 3=23. 即{k 1，k 2,k 3}={1，2，23}. 答案：{1，2，23} 9．设复数z =a+bi 满足z 2=3+4i ，求z .解：∵(a+bi)2=a 2-b 2+2abi,z 2=3+4i,∴a 2-b 2+2abi=3+4i. ∴⎩⎨⎧==-,42,322ab b a ⎩⎨⎧==1,2b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,2b a∴z =2+i 或z =-2-i.10．已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是1+2i ，-1+i ，-2-2i ，求第四个顶点所对应的复数.解：设正方形的三个顶点Z 1、Z 2、Z 3对应的复数分别为1+2i 、-2+i 、-1-2i;点Z 4为正方形的第四个顶点,它对应的复数为x +y i,则3421Z Z Z Z =.∴(-2+i)-（1+2i ）=(-1-2i)-(x +y i),即-3-i=(-1-x )+(-2-y )i.∴⎩⎨⎧--=---=-,21,13y x 即⎩⎨⎧-==.1,2y x∴第四个顶点对应的复数为2-i.综合运用11．设复数z 1=a+bi ，并且a 2+b 2=25,z 2=3+4i ，z 1·z 2是纯虚数，求z 1.解：z 1·z 2=(a+bi)(3+4i)=(3a-4b)+(4a+3b)i.∵z 1·z 2是纯虚数,∴3a -4b=0且4a+3b≠0, ①且a 2+b 2=25. ②由①和②，得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==.3,43,4b a b a 或 ∴z 1=4+3i 或z 1=-4-3i.12．计算(i 2321+)12. 解析：∵(i 2321+)3 =(21)3+3·（21）2·23i+3·21·（23i ）2+(23i)3 =i i 8338983381--+ =-1， ∴(i 2321+)12=［（i 2321+）3］4 =(-1)4=1.13．已知z 是复数,z +2i ，i2z -均为实数（i 为虚数单位）且复数(z +ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.解：设z =x +y i(x ,y ∈R )，z +2i=x +(y +2)i∈R 则y +2=0， ①5)2()2(22i y x y x i yi x i z ++-=-+=-∈R ， 则x +2y =0. ②解①②联立方程组得⎩⎨⎧-==.2,4y x∴z =4-2i,∴(z +ai)2=(4-2i+ai)2=［4+（a-2）i ］2=16-(a-2)2+8(a-2)i.由于（z +ai ）2对应的点在第一象限,∴⎩⎨⎧>->--.0)2(8,0)2(162a a 解得2<a<6.拓展探究14．设非零复数x 、y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式)yx x (+ 2 005+(y x y +)2 005的值是多少？ 解：∵x 2+xy +y 2=0,∴(y x)2+y x+1=0, 故y x=ω或ω. 而当y x=ω时，x y =ω,则原式=200520051111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+y x x y =20052005)11()11(+++ωω =20052005)1()1(ωω-+- =.111=--=--ωωωω。

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第3章 数系的扩充与复数的引入单元检测一、填空题1．（2012辽宁高考，文3改编）复数11i=+__________。

2．(2012浙江高考，文2改编）已知i 是虚数单位，则3i1i+=-__________.3．设复数22i(1i)z +=+,则复数z 的实部是__________． 4．（2012江西高考，文1改编）若复数z ＝1＋i （i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数,则z 2＋2z 的虚部为__________．5．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数",若复数z ＝（1＋a i ）i(i 是虚数单位）为“等部复数"，则实数a 的值是__________．6．已知1im+＝1－n i （m ，n ∈R ),则m ＋n i ＝__________. 7．若f (z )＝1－z （z ∈C )，已知z 1＝2＋3i,z 2＝5－i ，则12z f z ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________。

8．已知复数z 1＝3＋a i ，z 2＝1－i ，z 3＝b ＋2i(a ，b ∈R ），它们在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，且BC ＝CA ,则z 1＋z 3＝__________。

9．已知复数z 1＝2＋i,z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上,且满足1z ·z 2∈R ，则z 2＝__________.10．复数z 满足方程241iz +=+，那么复数z 的对应点P 组成的图形为________． 11．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位）,则使得z 2＝－1的θ的值是________． 12．已知f （z ）＝|1＋z ｜－z ，且f (－z )＝10＋3i,则复数z ＝________. 二、解答题13．已知a －1＋2a i ＝－4＋4i,求复数a .14．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6）＋(m 2－2m －15）i （1)与复数2－12i相等；(2）与复数12＋16i 互为共轭； （3）对应的点在x 轴上方．15．设O 为坐标原点，已知向量1OZ ，2OZ 分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝35a +＋（10－a 2）i ，z 2＝21a-＋（2a －5）i(a ∈R )，若1z ＋z 2可以与任意实数比较大小，求1OZ ·2OZ 的值．参考答案1. 答案：11i 22- 解析：11i 1i 11i 1i (1i)(1i)222--===-++-. 2。

3．1 数系的扩充[学习目标] 1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．[知识链接]为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x 2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x 2＝－1在实数系中无根的问题呢？答 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＝－1的根，即i·i＝－1，方程x 2＝－1有解，同时得到一些新数． [预习导引] 1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈R ，i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．(2)复数的表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母C 表示． 2．复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .要点一 复数的概念例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数． 规律方法 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部． 跟踪演练1 已知下列命题： ①复数a ＋b i 不是实数； ②当z ∈C 时，z 2≥0；③若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数； ⑤若a 、b 、c 、d ∈C 时，有a ＋b i ＝c ＋d i ，则a ＝c 且b ＝d . 其中真命题的个数是________． 答案 0解析 根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a ＋b i 是实数．②是假命题，如当z ＝i 时，则z 2＝－1<0，③是假命题，因为由纯虚数的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝2，当x ＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a ，b ∈R .⑤是假命题，只有当a 、b 、c 、d ∈R 时，结论才成立． 要点二 复数的分类例2 求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 由已知得复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6.(1)复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2.∴当m ＝－2时复数z 是实数． (2)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2.∴当m ≠－3且m ≠－2时复数z 是虚数．(3)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔m ＝3.∴当m ＝3时复数z 是纯虚数．规律方法 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数． 跟踪演练2 实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解 由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. (1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1. (2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.要点三 两个复数相等例3 (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x 、y 的值．(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．解 (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为 3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.规律方法 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪演练3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值． 解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，∴(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知m ＝1或m ＝2.1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________． 答案 ±2，5解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.2．在复数集中，方程x 2＋2＝0的解是x ＝________. 答案 ±2i3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为________． 答案 0解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋1)＝0，m 2－1≠0，∴m ＝0.4．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－a i(a ∈R )是一个复数； ④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ； ⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数．其中正确命题的个数为________． 答案 4解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．1.对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断.一、基础达标1．如果z ＝(m 2－4)＋(m －2)i 为纯虚数，则实数m 的值为________． 答案 －2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4＝0m －2≠0，∴m ＝－2.2．设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的________条件． 答案 必要不充分解析 因为a ，b ∈R .“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数”．“复数a ＋b i 是纯虚数”则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件．3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是________． 答案 2－2i解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i. 4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y的值为________．答案 1解析 由复数相等的充要条件知，x ＋y ＝0，∴2x ＋y ＝20＝1.5．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________. 答案 2 ±2解析 由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝n 2－3m －1，－4＝n 2－m －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝±2.6．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案 －2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0m 2－1≠0⇒m ＝－2.7．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值． 解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.∴实数x ，y 的值分别为12，2.二、能力提升8．若(x 3－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是________． 答案 1解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 3－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝1.9．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为________． 答案 2k π＋π4(k ∈Z )解析 由题意，得⎩⎨⎧sin2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π4θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z .10．在给出下列几个命题中，正确命题的个数为________． ①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根． 答案 1解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错．11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，解得m ≠6且m ≠－3， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．若m 为实数，z 1＝(m 2＋1)＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝(4m ＋2)＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 的值的集合又是什么？ 解 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0， 解得m ＝0或m ＝－1或m ＝－2， ∴z 1＝1或z 1＝2或z 1＝5. 当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0， 解得m ＝0或m ＝1或m ＝4，∴z 2＝2或z 2＝6或z 2＝18.上面m 的公共值为m ＝0，此时，z 1与z 2同时为实数，且z 1＝1，z 2＝2. ∴当z 1>z 2时，m 值的集合为空集；当z 1<z 2时，m 值的集合为{0}． 三、探究与创新13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？解 因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有错误!由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1； 当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾， 综上可得m ＝0，n ＝1.。

宁县五中导学案(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是目要求的)1．复数－i＋1i＝( )A．－2i B.1 2 iC．0 D．2i【解析】－i＋1i＝－i＋(－i)＝－2i，故选A.【答案】 A2．(2014·烟台高二检测)已知i为虚数单位，复数z＝1－2i2－i，则复数z的虚部是( )A．－35i B．－35C.45i D.45【解析】1－2i2－i＝1－2i2＋i2－i2＋i＝4－3i5＝45－35i，所以复数z的虚部是－35.【答案】 B3．复数i2＋i3＋i41－i＝( )A．－12－12i B．－12＋12iC.12－12i D.12＋12i【解析】依题意得i2＋i3＋i41－i＝－1＋－i＋11－i＝－i1－i＝－i1＋i1－i1＋i＝1－i2＝选C.【答案】 C4．(2013·福建高考)已知复数z的共轭复数z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，∴z 在复平面内对应的点位于第四象限． 【答案】 D5．(2014·泰安高二检测)复数3i －11＋i(i 为虚数单位)的模是( ) A. 5 B ．2 2 C ．5 D ．8 【解析】 3i －11＋i ＝3i －11－i 1＋i1－i＝2＋4i 2＝1＋2i ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪3i －11＋i ＝|1＋2i|＝ 5. 【答案】 A6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】 z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ，依题意4t －3＝0，∴t ＝34.【答案】 A7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A ．实轴上 B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对 【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在直线y ＝±x (x ≠0)上． 【答案】 C8．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ·z i ＋2＝2z ，得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(＋2＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，∴z ＝1＋i. 【答案】 A9．若i 为虚数单位，图1中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是( )图1A ．EB ．FC ．GD ．H【解析】 由题图知z ＝3＋i ，所以z 1＋i＝3＋i1＋i ＝3＋i 1－i 1＋i 1－i＝4－2i2＝2－i ，故对应点【答案】 D10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ， ∴⎩⎨⎧μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．复数z ＝1i 的共轭复数是________．【解析】 z ＝1i ＝ii 2＝－i ，∴z ＝i.【答案】 i12．(2014·莆田高二检测)若z ＝(1－2i)(a －i)(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为___【解析】 因为z ＝(1－2i)(a －i)＝a －2－(1＋2a )i 为纯虚数，所以a －2＝0，－(1＋2a )≠0＝2.【答案】 213．设x ，y 为实数，且x1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝________. 【解析】x 1－i＋y 1－2i＝51－3i⇒x1＋i1－i 1＋i＋y1＋2i 1＋2i 1－2i＝51＋3i1－3i 1＋3i⇒12x (1＋i)＋15y (1＋2i)＝12(1＋3i) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋15y ＝12，12x ＋2y 5＝32，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4. 【答案】 414．复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数值范围是________．【解析】 复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数为z －＝(m 2－3m ＋2)－(m 2－2m －8)i ，复平面内对应的点在第一象限， 得⎩⎨⎧m 2－3m ＋2>0－m 2－2m －8>0，解得－2<m <1或2<m <4. 【答案】 (－2,1)∪(2,4)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？【解】 z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.(1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或m ＝2， 即m ＝1或2时，z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎨⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数．16．(本小题满分12分)在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i. (1)如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数；(2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．【解】 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )． 已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1.所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为 z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )， 则C (c ，d )．由(1)，得B (2，－1)． 由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.17．(本小题满分12分)(2014·南昌高二检测)设z ＝(1＋i)8＋3－i 1＋2i －815－35i ，求复数z 对应的点的距离．【解】 z ＝(1＋i)8＋3－i 1＋2i －815－35i ＝[(1＋i)2]4＋3－i 1－2i 1＋2i1－2i－815－35i ＝(2i)4＋1－7i 5－815－35i ＝815－75i －815－35i ＝－2i. 所以复数z 对应的点为(0，－2)，到原点的距离为2.18．(本小题满分14分)已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )有实根b . (1)求实数a ，b 的值；。