2019年河北省遵化市中考数学二模试卷

2019年河北省遵化市中考数学二模试卷一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算20﹣1的结果是（）A．﹣1B．0C．1D．192．（3分）下列图形中，线段MN的长度表示点M到直线l的距离的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，在数轴上，若A、B两点表示一对互为相反数，则原点的大致位置是（）A．点C B．点D C．点E D．点F4．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于O，∠ABC＝70°，E是线段AO上一点，则∠BEC的度数可能是（）A．100°B．70°C．50°D．20°5．（3分）若m+n＝7，2n﹣p＝4，则m+3n﹣p＝（）A．﹣11B．﹣3C．3D．116．（3分）某鞋店在一周内同一款不同尺码品牌鞋的销量情况如图所示，若尺码不同的每双鞋的利润相同，则下一周该鞋店应多进鞋的尺码是（）A．22.5B．23C．23.5D．247．（3分）若a、b表示非零常数，整式ax+b的值随x的取值而发生变化，如下表x﹣3﹣1013……ax+b﹣31359……则关于x的一元一次方程﹣ax﹣b＝﹣3的解为（）A．x＝﹣3B．x＝﹣1C．x＝0D．x＝38．（3分）如图，从海岛B分别同时沿北偏西20°方向，北偏东40°驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船A、C之间的距离为（）A．60海里B．40海里C．30海里D．20海里9．（3分）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）10．（3分）计算的结果为（）A．2﹣7B．27C．﹣48D．﹣4﹣811．（2分）根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为△ABC内心的是（）A．B．C．D．12．（2分）如图，有两条长分别为a、b的铁丝，其中长为a的铁丝恰好围成一个大正方形；AB是大正方形的对角线，把AB分成n条相等的线段，再以每条线段作为小正方形的对角线，长为b的铁丝恰好能围成n个这样的小正方形；若均不考虑接口情况，则a、b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≥b13．（2分）某个几何体是由七个相同的小正方体组成，若它的俯视图如图，则它的主视图不可能是（）A．B．C．D．14．（2分）下面是嘉淇在学习分式运算时，解答的四道题，其中正确的是（）①2÷m×＝2②③＝0④A．①B．②C．③D．④15．（2分）如图，点P、M、N分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，则△PMN 的周长为（）A．6B．6C．6D．916．（2分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D是AB的中点，AC＝4，动点M从点A出发沿AB向终点B运动，动点N从点D出发沿折线DC﹣CA向终点A运动，两点速度均为每秒1个单位，两点同时出发，当其中一点到达终点后，运动停止，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（平方单位），则S与t之间的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分.把答案写在题中横线上）17．（3分）计算：×＝．18．（3分）若|x2﹣1|+（y+2）2＝0，则的值为19．（6分）我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形，（1）如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠ABC＝105°，过B作一直线交AC于D，若BD把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠BDA的度数是．（2）已知在△ABC中，AB＝AC，过顶点和顶点对边上一点的直线，把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠A的最小度数为．三、解答题（本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）20．（6分）嘉淇准备完成题目：解一元一次不等式组发现常数“□”印刷不清楚（1）他把“□”猜成﹣4，请你解一元一次不等式组；（2）张老师说：我做一下变式，若“□”表示字母，且的解集是x＞3，请求字母“□”的取值范围．21．（10分）某学校从甲、乙两名班主任中选拔一名参加教育局组织的班主任技能比赛，选拔内容分案例分析、班会设计、才艺展示三个项目，选拔比赛结束后，统计这两位班主任成绩并制成了如图所示的条形统计图：（1）乙班主任三个项目的成绩中位数是；（2）用6张相同的卡片分别写上甲、乙两名班主任的六项成绩，洗匀后，从中任意抽取一张，求抽到的卡片写有“80”的概率；（3）若按照图12所示的权重比进行计算，选拔分数最高的一名班主任参加比赛，应确定哪名班主任获得参赛资格，说明理由．22．（10分）发现任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数；验证（1）（﹣1）2﹣（﹣3）2的结果是4的几倍？（2）设三个连续的整数中间的一个为n，计算最大数与最小数的平方差，并说明它是4的倍数；延伸任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数，请说明理由．23．（10分）如图，在四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点O，AD＝BD，∠ADB＝∠EDC，DE＝DC．（1）求证：△ADE≌△BDC；（2）若∠AEB＝36°，求∠EDC；（3）若OB＝OE，求证：四边形ABCD是平行四边形．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点B（2，1），C（6，1），四边形ABCD是正方形，作直线y＝kx（k＞0）与正方形AB、CD边所在直线相交于E、F（1）若直线y＝kx（k＞0）经过点A，求k的值；（2）若直线y＝kx（k＞0）平分正方形ABCD的面积，求E的坐标；（3）若△AEF的外心在其内部，直接写出k的取值范围．25．（10分）如图，点B为长为5的线段AC上一点，且AB＝2，过B作BE⊥BC于B，且BE＝4，以BC、BE为邻边作矩形BCDE，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段BF，优弧交BE于N，交BC于M，设旋转角为a（1）若扇形MBF的面积为π，则a的度数为；（2）连接EC，判断CE与扇形ABF所在圆⊙B的位置关系，并说明埋由．（3）设P为直线AC上一点，沿EP所在直线折叠矩形，若折叠后DE所在的直线与扇形ABF所在的⊙B相切，求CP的长．2019年河北省遵化市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算20﹣1的结果是（）A．﹣1B．0C．1D．19【分析】直接利用零指数幂的性质化简得出答案．【解答】解：20﹣1＝1﹣1＝0．故选：B．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．2．（3分）下列图形中，线段MN的长度表示点M到直线l的距离的是（）A．B．C．D．【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的概念判断．【解答】解：图B、C、D中，线段MN不与直线l垂直，故线段MN不能表示点M到直线l的距离；图A中，线段MN与直线l垂直，垂足为点N，故线段MN能表示点M到直线l的距离；故选：A．【点评】本题考查了点到直线的距离的概念，正确理解点到直线的距离的概念是解题的关键．．3．（3分）如图，在数轴上，若A、B两点表示一对互为相反数，则原点的大致位置是（）A．点C B．点D C．点E D．点F【分析】根据相反数的几何意义和线段中点的意义，综合得结论．【解答】解：∵互为相反数的两数到原点的距离相等，所以原点到A、B的距离相等若线段AB的中点为D，则DA＝DB．所以，数轴上A，B两点所表示的数互为相反数，其原点与线段AB的中点重合．故选：B．【点评】本题考查了相反数和线段的中点．解决本题的关键是理解相反数的几何意义和线段中点的含义．4．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于O，∠ABC＝70°，E是线段AO上一点，则∠BEC的度数可能是（）A．100°B．70°C．50°D．20°【分析】由菱形的性质可得∠ABO＝35°，AC⊥BD，可得∠BAC＝55°，由三角形的外角性质可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝70°，∴∠ABO＝35°，AC⊥BD∴∠BAC＝55°∵∠BEC＝∠BAC+∠ABE∴55°≤∠BEC≤90°故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．5．（3分）若m+n＝7，2n﹣p＝4，则m+3n﹣p＝（）A．﹣11B．﹣3C．3D．11【分析】已知两等式左右两边相加即可求出所求．【解答】解：∵m+n＝7，2n﹣p＝4，∴m+3n﹣p＝（m+n）+（2n﹣p）＝7+4＝11，故选：D．【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（3分）某鞋店在一周内同一款不同尺码品牌鞋的销量情况如图所示，若尺码不同的每双鞋的利润相同，则下一周该鞋店应多进鞋的尺码是（）A．22.5B．23C．23.5D．24【分析】利用众数的意义得出答案．【解答】解：去鞋厂进货时23.5cm尺码型号的鞋子可以多进一些，原因是这组数据中的众数是23.5，故销售的鞋中23.5cm尺码型号的鞋卖的最好．故答案为23.5cm尺码型号的鞋子可以多进一些．故选：C．【点评】此题主要考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．7．（3分）若a、b表示非零常数，整式ax+b的值随x的取值而发生变化，如下表x﹣3﹣1013……ax+b﹣31359……则关于x的一元一次方程﹣ax﹣b＝﹣3的解为（）A．x＝﹣3B．x＝﹣1C．x＝0D．x＝3【分析】将原方程化为ax+b＝3，然后根据表格即可求出答案．【解答】解：∵﹣ax﹣b＝﹣3，∴ax+b＝3，由表格可知：x＝0，故选：C．【点评】本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是正确理解表格的意义，本题属于基础题型．8．（3分）如图，从海岛B分别同时沿北偏西20°方向，北偏东40°驶出甲、乙两艘货船，若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船A、C之间的距离为（）A．60海里B．40海里C．30海里D．20海里【分析】连接AC，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可．【解答】解：连接AC，由题意得，BA＝BC＝20×2＝40（海里），∠CBA＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝40（海里），故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．9．（3分）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．【解答】解：如图所示：位似中心的坐标为（0，﹣1）．故选：D．【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．10．（3分）计算的结果为（）A．2﹣7B．27C．﹣48D．﹣4﹣8【分析】把分母写成28（2﹣1），再与分子约分即可解答．【解答】解：原式＝＝2×2﹣8＝2﹣7．故选：A．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及负整数指数幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．11．（2分）根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为△ABC内心的是（）A．B．C．D．【分析】由于三角形内心为三角形三个内角的平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．【解答】解：由基本作图得C选项中点O为∠ABC和∠ACB的平分线的交点，所以点O 为△ABC内心．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形内心的定义．12．（2分）如图，有两条长分别为a、b的铁丝，其中长为a的铁丝恰好围成一个大正方形；AB是大正方形的对角线，把AB分成n条相等的线段，再以每条线段作为小正方形的对角线，长为b的铁丝恰好能围成n个这样的小正方形；若均不考虑接口情况，则a、b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≥b【分析】在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，平移不改变图形的大小．【解答】解：由平移可得，n个这样的小正方形的边长与大正方形的边长相等，∴a、b的大小关系是a＝b，故选：C．【点评】本题主要考查了平移变换的运用，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．13．（2分）某个几何体是由七个相同的小正方体组成，若它的俯视图如图，则它的主视图不可能是（）A．B．C．D．【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．【解答】解：由俯视图可知，几何体的主视图有三列，D中只有两列，所以它的主视图不可能是D；故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．14．（2分）下面是嘉淇在学习分式运算时，解答的四道题，其中正确的是（）①2÷m×＝2②③＝0④A．①B．②C．③D．④【分析】运用分式的乘除法法则、分式的加减法法则逐个运算，得结论．【解答】解：∵2÷m×＝2××＝≠2，故①不正确；是最简分式，它不等于x﹣x2，故②不正确；＝+＝≠0，故③不正确；，故④正确．故选：D．【点评】本题考查了分式的乘除法法则、分式的加减法则．掌握分式的运算法则，是解决本题的关键．15．（2分）如图，点P、M、N分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，则△PMN 的周长为（）A．6B．6C．6D．9【分析】分别过正六边形的顶点A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，得到∠EAM＝∠NBF＝30°，EF＝AB＝2，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：分别过正六边形的顶点A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，则∠EAM＝∠NBF＝30°，EF＝AB＝2，∵AM＝BN＝2＝1，∴EM＝FN＝1＝，∴MN＝++2＝3，∴△PMN的周长3×3＝9，故选：D．【点评】本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．16．（2分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D是AB的中点，AC＝4，动点M从点A出发沿AB向终点B运动，动点N从点D出发沿折线DC﹣CA向终点A运动，两点速度均为每秒1个单位，两点同时出发，当其中一点到达终点后，运动停止，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（平方单位），则S与t之间的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意找到临界点，M、N分别同时到达B、A，画出一般图形利用锐角三角函数表示y即可．【解答】解：在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝30°，AC＝4，∠ACB＝90°，∴AD＝DC＝DB＝AC＝4，∠ADC＝60°，∵M、N两点的速度均为1cm/s∴当0≤x≤4时，y＝•x•sin∠ADC＝；当4≤x≤8，y＝＝．由图象可知A正确故选：A．【点评】本题为动点问题可函数图象探究题，考查了二次函数图象和锐角三角函数函数的应用，解答关键是分析动点到达临界点前后图形的变化．二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分.把答案写在题中横线上）17．（3分）计算：×＝3．【分析】根据二次根式的乘法运算法则和算术平方根的概念计算即可．【解答】解：原式＝＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法运算法则：＝是解题的关键．18．（3分）若|x2﹣1|+（y+2）2＝0，则的值为2或﹣2【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．【解答】解：∵|x2﹣1|+（y+2）2＝0，∴，解得，当x＝1时，，当x＝﹣1时，．故答案为：2或﹣2【点评】本题主要考查了实数的非负性，一个数的绝对值和一个数的平方均为非负数．19．（6分）我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形，（1）如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠ABC＝105°，过B作一直线交AC于D，若BD把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠BDA的度数是130°．（2）已知在△ABC中，AB＝AC，过顶点和顶点对边上一点的直线，把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠A的最小度数为（）°．【分析】（1）由DA＝DB可得∠ABD＝∠A＝25°，再根据三角形的内角和解答即可；（2）已知在△ABC中，AB＝AC，过顶点和顶点对边上一点的直线，把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠A的最小度数为【解答】解：（1）根据题意得DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝25°，∴∠BDA＝180°﹣25°×2＝130°．故答案为：130°；（2）①如图1，∵AB＝AC，当BD＝CD，CD＝AD，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠BAC＝90°．②如图2，∵AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA，∵∠CDA＝∠B+∠BAD＝2∠B，∴∠BAC＝3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠BAC＝108°．③如图3，∵AB＝AC，AD＝BD＝BC，∴∠B＝∠C，∠BAC＝∠ABD，∠BDC＝∠C，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABC＝∠C＝2∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∴5∠BAC＝180°，∴∠BAC＝36°．④如图4，∵AB＝AC，AD＝BD，CD＝BC，∴∠ABC＝∠C，∠BAC＝∠ABD，∠CDB＝∠CBD，∵∠BDC＝∠BAC+∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABC＝∠C＝3∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∴7∠BAC＝180°，∴∠BAC＝（）°．综上所述，∠A的最小度数为（）°【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键．三、解答题（本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）20．（6分）嘉淇准备完成题目：解一元一次不等式组发现常数“□”印刷不清楚（1）他把“□”猜成﹣4，请你解一元一次不等式组；（2）张老师说：我做一下变式，若“□”表示字母，且的解集是x＞3，请求字母“□”的取值范围．【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可；（2）用a表示出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是x＞3求出a的值即可．【解答】解：（1），由①得：x＞3；由②得：x＞4，则不等式组的解集为x＞4，（2）设“□”为a，则不等式x﹣2＞1的解集为x＞3，不等式x+a＞0的解集是x＞﹣a，∵不等式的解集是x＞3，∴3≥﹣a，即a≥﹣3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（10分）某学校从甲、乙两名班主任中选拔一名参加教育局组织的班主任技能比赛，选拔内容分案例分析、班会设计、才艺展示三个项目，选拔比赛结束后，统计这两位班主任成绩并制成了如图所示的条形统计图：（1）乙班主任三个项目的成绩中位数是80；（2）用6张相同的卡片分别写上甲、乙两名班主任的六项成绩，洗匀后，从中任意抽取一张，求抽到的卡片写有“80”的概率；（3）若按照图12所示的权重比进行计算，选拔分数最高的一名班主任参加比赛，应确定哪名班主任获得参赛资格，说明理由．【分析】（1）直接从三个数据中找到中位数即可；（2）利用概率公式求解即可；（3）分别按照不同的权，利用加权平均数求解即可．【解答】解：（1）乙班主任的得分排序为：72，80，85，中位数为80；（2）六张卡片中写着80的共两张，因此P（抽到的卡片写有80）＝＝；（3）甲教师得分：70×30%+80×60%+87×10%＝77.7分；乙教师的得分：80×30%+72×60%+85×10%＝75.7分；∵77.7＞75.7，∴甲教师获得参赛资格．【点评】本题考查了概率公式等知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．22．（10分）发现任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数；验证（1）（﹣1）2﹣（﹣3）2的结果是4的几倍？（2）设三个连续的整数中间的一个为n，计算最大数与最小数的平方差，并说明它是4的倍数；延伸任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数，请说明理由．【分析】（1）通过计算可求倍数；（2）通过完全平方公式可求平方差，即可证平方差是4的倍数；延伸：通过完全平方公式可求平方差，即可判断平方差是8的倍数．【解答】解：（1）发现：（﹣1）2﹣（﹣3）2的＝1﹣9＝﹣8＝4×（﹣2），则（﹣1）2﹣（﹣3）2的结果是4的（﹣2）倍；（2）设三个连续的整数中间的一个为n，则最大的数为n+1，最小的数为n﹣1，（n+1）2﹣（n﹣1）2＝n2+2n+1﹣n2+2n﹣1＝4n，∵n是整数，∴任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数；延伸：设中间的一个奇数为n，则最大的奇数为n+2，最小的奇数为n﹣2，（n+2）2﹣（n﹣2）2＝n2+4n+4﹣n2+4n﹣4＝8n，∵n是整数，∴任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，熟练运用完全平方公式计算是本题的关键．23．（10分）如图，在四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点O，AD＝BD，∠ADB＝∠EDC，DE＝DC．（1）求证：△ADE≌△BDC；（2）若∠AEB＝36°，求∠EDC；（3）若OB＝OE，求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】（1）证出∠ADE＝∠BDC，由SAS证明△ADE≌△BDC即可；（2）由全等三角形的性质得出∠AED＝∠C，求出∠AED＝∠DEC＝∠C＝72°，再由三角形内角和定理即可得出结果；（3）由等腰三角形的性质得出∠OBE＝∠OEB，得出∠OEB＝∠DAE，证出AD∥BC，再证出AD＝BC，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ADE＝∠BDC，在△ADE和△BDC中，，∴△ADE≌△BDC（SAS）；（2）解：∵△ADE≌△BDC，∴∠AED＝∠C，∵∠AEB＝36°，∴∠AED＝∠DEC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，∴∠EDC＝1880°﹣2×72°＝36°；（3）证明：∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵∠DAE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠DAE，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠OBE，∴∠ADB＝∠DAE，∴OA＝OD，∴AE＝BD，∵AD＝BD，∴AE＝AD，∵△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点B（2，1），C（6，1），四边形ABCD是正方形，作直线y＝kx（k＞0）与正方形AB、CD边所在直线相交于E、F（1）若直线y＝kx（k＞0）经过点A，求k的值；（2）若直线y＝kx（k＞0）平分正方形ABCD的面积，求E的坐标；（3）若△AEF的外心在其内部，直接写出k的取值范围．【分析】（1）由B（2，1），C（6，1），得BC＝4，于是AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，所以A（2，5），将A（2，5）代入y＝kx，得k＝；（2）当直线y＝kx（k＞0）经过正方形的中心P时，平分正方形ABCD的面积．过点P 作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N．则P（4，3），直线y＝kx经过点P，所以3＝4k，k＝，将E的横坐标x＝2代入y＝，得y＝，E（2，）；（3当直线y＝kx（k＞0）经过点D时，△AEF为直角三角形，因为D（6，5），此时k ＝，当0＜k时，△AEF为锐角三角形，即△AEF的外心在其内部，k的取值范围为：0＜k．【解答】解：（1）∵B（2，1），C（6，1），∴BC＝4，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴A（2，5），将A（2，5）代入y＝kx，得5＝2k，∴k＝；（2）当直线y＝kx（k＞0）经过正方形的中心P时，平分正方形ABCD的面积．过点P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N．易得PM＝3，PN＝4，∴P（4，3），∵直线y＝kx经过点P，∴3＝4k，k＝，∴，将E的横坐标x＝2代入y＝，得y＝，∴E（2，）；（3）∵△AEF的外心在其内部，∴△AEF为锐角三角形，当直线y＝kx（k＞0）经过点D时，△AEF为直角三角形，由（1）可知D（6，5），此时k＝，∴当0＜k时，△AEF为锐角三角形，即△AEF的外心在其内部，k的取值范围为：0＜k．【点评】本题考查了正方形的性质与一次函数解析式，熟练运用正方形的性质与一次函数图象的性质是解题的关键．25．（10分）如图，点B为长为5的线段AC上一点，且AB＝2，过B作BE⊥BC于B，且BE＝4，以BC、BE为邻边作矩形BCDE，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段BF，优弧交BE于N，交BC于M，设旋转角为a（1）若扇形MBF的面积为π，则a的度数为200；（2）连接EC，判断CE与扇形ABF所在圆⊙B的位置关系，并说明埋由．（3）设P为直线AC上一点，沿EP所在直线折叠矩形，若折叠后DE所在的直线与扇形ABF所在的⊙B相切，求CP的长．【分析】（1）由扇形的面积公式得：＝，则∠MBF＝20°，即可求解；（2）过点B作BG⊥CE于点G，则CB×BE＝CE×BG，求出BG＝＞2，即可求解；（3）分点Q在BE的左侧、点Q在BE右侧两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由扇形的面积公式得：＝，则∠MBF＝20°，a＝180°+20°＝200°，答案为：200；（2）相离．如图1，∵BE⊥BC，∴∠EBC＝90°，∵BE＝4，BC＝3，∴EC＝5，过点B作BG⊥CE于点G，∴CB×BE＝CE×BG，∴BG＝＞2，∴CE与扇形ABF所在圆⊙B相离；（3）①当折叠后DE所在的直线与扇形ABF所在的圆B相切时，切点为Q，如图2，当点Q在BE的左侧时，连接BQ，则∠BQE＝90°，∵BQ＝2，BE＝4，sin∠QEB＝，∴∠QEB＝30°，∵四边形EBCD为矩形，∴∠DEB＝90°，∴∠QED＝120°，又由题意得：∠QEP＝∠PED＝60°，∴∠EPB＝30°，∵BE＝4，∴PB＝，∴CP＝3﹣；②如图3，当点Q在BE右侧时，同理可得：∠QEB＝30°，又由题意得：∠QEP＝∠PED＝30°，∵BE＝4，∴PB＝4，∠BEP＝60°，∴CP＝4﹣3．③当D′E于圆相切时，如图3，由折叠知：∠1＝∠2，在Rt△BQE中，∵BQ＝BE，∴∠BEC＝30°，又∠B′EC＝90°，∴∠1＝∠2＝30°，在Rt△PBE中，PB＝tan∠PEB•BE＝×4＝，PC＝3+；④当D′E同左侧圆相切时，如图4，同理可得：PB＝4，PC＝4+3；综上，PC＝3﹣或4﹣3或3+或4+3．【点评】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理、解直角三角形等方法，计算线段的长等．。