第六章微分中值定理及其应用
微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”,虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用．
１．教学目的与要求:掌握微分中值定理与函数的Tayｌor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用Ｌ＇Ｈosｐiｔａl法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题.
2．教学重点与难点:
重点是中值定理与函数的Taｙloｒ公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性．
难点是用辅助函数解决有关中值问题,函数的凸性.
３.教学内容：
§1 拉格朗日定理和函数的单调性
本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理,并由此来讨论函数的单调性.
一罗尔定理与拉格朗日定理
定理６.1(罗尔(Rolｌe)中值定理)设f满足
(ⅰ)在[]b
a,上连续；
(ⅱ)在)
a内可导;
(b
,
(ⅲ))
a
f=
f
)
(
(b
则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf
（1)
注 (ⅰ)定理６.1中三条件缺一不可. 如: 1o ???=<≤=1
010
x x x y , (ⅱ),(ⅲ）满足， (ⅰ)不满足,结论不成立.
2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足， (ⅱ)不满足，结论不成立.
3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ）不满足,结论不成立．
(ⅱ） 定理6.１中条件仅为充分条件.
如:[]1,1
)(2
2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足（ⅰ)， （ⅱ), （ⅲ）中任一条,但0)0(='f .
（ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连
续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线．
例１ 设f 在R 上可导，证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根.
证 （反证法，利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Ｌegendre)多项式
n
n
n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?=
在)1,1(-内有n 个互不相同的零点.
将Ｒolle 定理的条件(ⅲ）去掉加以推广，就得到下面应用更为广泛的Lagrang ｅ中值定理.
定理6.２(拉格朗日（Lag ｒa ｎg ｅ中值定理）设f 满足 (ⅰ）在[]b a ,上连续; （ⅱ）在),(b a 内可导 则),(b a ∈?ξ使
a
b a f b f f --=
')
()()(ξ
(２)
[分析]（图见上册教材12１页图６－3) 割线AB 的方程为
)()
()()(a x a
b a f b f a f y ---+
=
问题是证明),(b a ∈?ξ,使)(ξf '与割线在ξ处导数ξ='x y 相等 即证
0])()
()()()([='----
-ξa x a
b a f b f a f x f 证 作辅助函数],[),()
()()()()(b a x a x a
b a f b f a f x f x F ∈-----=
注 （ⅰ)L ａgr ａｎge 中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲线上至少存在一点使得曲线在该点处的切线平行于曲线两端点连线.
(ⅱ)（2）式称为L ａg ｒａng ｅ(中值）公式,它还有以下几种
等价形式
(5)
10,) ()()((4) 10),))((()()((3) ),)(()()(<<+'=-+<<--+'=-<<-'=-θθθθξξh h a f a f h a f a b a b a f a f b f b a a b f a f b f 另外,无论b a >，还是b a <, L ａgrange(中值)公式都成立.此公
式将由自变量的变化而引起的因变量的增量与导数联系起来,而且比上一章中有限增量公式前进了一大步,这也是La ｇｒａnge 中值定理应用更为广泛的原因之一.
(ⅲ) Lagrange 中值定理是R ｏl ｌe 中值定理的推广. (ⅳ) Ｌa ｇrange 中值定理的证明方法是用辅助函数法.在教材中首先构造辅助函数
],[),()
()()()()(b a x a x a
b a f b f a f x f x F ∈----
-=
然后验证)(x F 在[],b a 上满足R ｏl ｌe 定理的三个条件,从而由Rol ｌｅ定理推出)(x F '存在零点而使定理得到证明.推而广之,许多中值命题常常使用这种构造辅助函数的方法．我们用框图示意如下:
当然辅助函数构造的方法不是唯一的．针对本定理,教材是从Lagran ｇe 中值定理的几何意义出发构造辅助函数)(x F ．我们也可以构造以下两个辅助函数来证明该定理.
1o 注意到(2)式成立),(b a ∈??ξ使得0)
()()(=---'a
b a f b f f ξ
?a
b a f b f x f ---
')
()()(在),(b a 内存在零点
])
()()(['---
?x a
b a f b f x f 在),(b a 内存在零点
根据以上分析我们作辅助函数x a
b a f b f x f x G ---=)
()()()((注意这种构造
辅助函数的方法是常见的).
2o 辅助函数)
()()()()
()
()
(111
)(a f x f a f b f a
x a b x f b f a f x b a
x H ----=
=
例３ 证明对,0,1≠->?h h 有
h h h
h
<+<+)1ln(1 证 [法一]令),1ln()(x x f +=在],0[h 或]0,[h 上利用L ａgrange 中值定理可证之.
[法二]令,ln )(x x f =在]1,1[h +或]1,1[h +上利用Lag ｒａnge 中值定理可证之.
推论1 若f 在区间I 上可导, I x x f ∈≡',0)(,则f 在I 上为常数. 推论2 若f ,g 都在区间I 上可导, 且)()(,x g x f I x '='∈?，则在I 上， f 与g 仅相差一个常数,即存在常数C ,使对I x ∈?有
C x g x f +=)()(
推论 3 (导数极限定理） 设f 在0x 的某邻域)(0x U 内连续,在
)(00x U 内可导,且)(lim 0
x f x x '→存在,则)(0x f '存在,且
)()(lim 0
x f x f x x o ''=→
注 (ⅰ)由导数极限定理不难得出区间),(b a 上导函数)(x f '不会有第一类间断点.
(ⅱ) 导数极限定理可以用来求分段函数在分段点处的导数.
例４ 证明恒等式
2
cot arctan ,2
arccos arcsin π
π
=
+=
+x arc x x x
例5 求???>+≤+=0
),ln(10
,sin )(2x x x x x x f 的导数
解 (ⅰ)先求0),(≠'x x f ;
(ⅱ)利用推论3（先验证f 在0=x 处连续)求)0(f '. 二 单调函数
函数的单调性是函数在区间上变化的整体性态之一．下面我们利用导数给出判定函数单调性的新的有效方法.
定理6.３ 设f 在区间I 上可导,则
f 在区间I 上单调递增(减))0(0)(,≤≥'∈??x f I x
定理 6.４ 设f 在区间),(b a 内可导，则f 在区间),(b a 内严格单调递增（减）的充要条件是(ⅰ） )0(0)(),,(≤≥'∈?x f b a x
(ⅱ)在),(b a 的任何子区间上,)(x f ' 不恒等于０
推论 设f 在区间I 上可导，若)0(0)(,<>'∈?x f I x ,f 在区间I 上严格单调递增(减).
注 (ⅰ)若 f 在区间),(b a 内（严格)单调递增(减),且在点a 右连续,则f 在区间),[b a 内(严格)单调递增(减).对],(b a 上的函数有类似结论．
(ⅱ)讨论可导函数的严格单调性只须求出)(x f ',再判定其符号.为此,需求出使得f '取得正负值区间的分界点.当f '连续时，这些分界点必须满足0)(='x f .
例6 求31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间.
例7 证明0 ,1≠+>x x e x .
证 令,1)(x e x f x --=考察函数)(x f 的严格单调性.
§2 柯西中值定理与不定式极限
本节介绍更为一般的微分中值定理并由此证明求不定式极限的Ｌ＇Hosp ｉta ｌ法则.
一 柯西中值定理
定理6.5 (柯西(Ｃauc ｈｙ)中值定理) 设f ,g 满足 (ⅰ)在[]b a ,上都连续； (ⅱ）在),(b a 内都可导; (ⅲ) )(x f '与)(x g '不同时为零; （ⅳ） )()(b g a g ≠ 则),(b a ∈?ξ,使
)
()()
()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ (1)
[分析] 欲证(１),只须证0])()()
()()
()([
='---ξx f x g a g b g a f b f 且0)(≠'ξg .
令),()()
()()
()()(x f x g a g b g a f b f x F ---=
由Ｒol ｌe 定理证之.
注 (ⅰ) Ca ｕch ｙ中值定理是Lagrange 中值定理的推广(当
x x g =)(情形）.
(ⅱ) Cau ｃhy 中值定理的几何意义（图见上册教材126
页图６－5）:
令],[ )
()
(b a x x g v x f u ∈??
?==
它表示uov 平面上的一段曲线AB ．弦AB 的斜率即为(1）式右边，而(1)式左边
ξ
ξξ==''x dv
du
g f )()(
表示与ξ=x 相对应的点))(),((ξξf g 处的切线斜率,因此（１)式表示上述切线与弦AB 平行.
(ⅲ)研究下列函数可否作为证明C ａuc ｈy 中值定理的辅助函数 1)))]()(()
()()
()()([)()(a g x g a g b g a f b f a f x f x F ---+
-=;
２）)]()()][()([)]()()][()([)(a g b g a f x f a g x g a f b f x F -----=; ３))]()()[()()]()([)(a g b g x f x g a f b f x F ---=; ４)1
)()(1)()(1)()
(2
1
)(x f x g b f b g a f a g x F ±
= 例1设f 在[]b a ,()0>>a b 上都连续, 在),(b a 内都可导,则
),(b a ∈?ξ,使
a
b f a f b f ln
)()()(ξξ'=- 证 取x x g ln )(=,对f ,g 利用C ａuch ｙ中值定理即证之. 二 不定式极限－两个无穷小量或无穷大量之比的极限 1. 0
0型不定式极限
定理6.6(Ｌ＇Hos ｐita ｌ法则Ⅰ)设
(ⅰ）0)()(lim lim 0
==→→x g x f x x x x ;
（ⅱ) f ，g 在0x 的某空心邻域)(00x U 内可导且0)(≠'x g ; (ⅲ) A x g x f x x =''→)
()
(lim
(或∞∞±,）.则 )()(lim 0x g x f x x →存在且) ,或()()
(lim 0
∞∞±=→A x g x f x x 注 (ⅰ)定理 6.6中0x x →可换为∞→±∞→→±x x x x ,,0,此时条件(ⅱ）作相应修改即可．
(ⅱ)若
)()(x g x f ''当0x x →时仍属0
型,且)(),(x g x f ''分别满足定理中)(x f ，)(x g 的条件,则可继续施用L'Hospi ｔal 法则Ⅰ，从而确定)
()
(lim
x g x f x x →,即 )()
()()()()(lim lim lim 0
00x g x f x g x f x g x f x x x x x x ''''=''=→→→ 且可以依次类推.
(ⅲ)“一花独秀不是春”,L'Ｈo ｓｐi ｔａl 法则虽是计算
极限的强有力工具，但在使用中要注意与以前所学过的求极限方法结合使用才有更好的效果．
例2 求)0,0(lim 0
>>-→b a x b a x
x x 例３ 求x
e e x
x
x 1sin
11lim
-
∞
→-(提示:先令x
t 1=)
例4 求)
1ln()21(2
2
10
lim
x x e x
x ++-→（利用)1ln(2x +等价于2
x )0(→x 原式转化
为2
2
1
)
21(lim x x e x x +-→) 例5 求x
x e
x -→1lim
(提示:先令x t =)
2. ∞
∞型不定式极限
定理6.7（L ＇Hos ｐｉｔal 法则Ⅱ)设 (ⅰ）∞==+
+
→→)()(lim lim 00x g x f x x x x ；
（ⅱ) f ,g 在0x 的某空心邻域)(00x U +内可导且0)(≠'x g ； (ⅲ) A x g x f x x =''+
→)
()
(lim
0(或∞∞±,).则 )()(lim 0x g x f x x +→存在且) ,或()()
(lim 0
∞∞±=+→A x g x f x x 注 定理6．7中+→0x x 可换为,,,00±∞→→→-x x x x x ∞→x 等情形,此时条件(ⅱ)作相应修改即可．
例6
求)0(ln lim
>??∞
→x x
x 例7 求x
x
x 3tan tan lim
2
π
→
例8 求3lim x
e x
x --∞→
例9 求)0(lim >??∞→n n e n (提示:先证0)0(lim =>??
∞→x x e
x ）
注 （ⅰ)当)()(lim 0x g x f x x ''→或)()
()()(lim 0x g
x f n n x x →不存在时, Ｌ＇H ｏspit ａｌ法
则不能用.如：
1o x x x x x e
e e e --∞→+-lim 不能用L'Hospital 法则(x x x
x e e e e --+-=