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方差、标准差知能阐释一、要点剖析1．样本方差一般地，样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数222212()()()n x x x x x x S n -+-++-=叫做样本方差。
（1）样本方差越大，说明样本的差异和波动性大；（2）当样本容量较大时，样本方差很接近反映总体差异和波动大小的特征数——总体方差，我们通常都是用样本方差去估计、推断总体方差的。
（3）两个简化公式①22222121()n S x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦； ②22/2/2/2/121()n S x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦。
其中/11x x a =-，/22x x a =-，…，/nn x x a =-，a 是接近原数据的平均数的一个常数。
2．样本标准差（1）样本标准差：方差的算术平方根(n S x x =++-叫做样本的标准差。
它是一个用来衡量一组数据波动大小的重要的量。
（2）标准差的计算步骤：①算出样本数据的平均数x ； ②算出每个样本数据与平均数的差i x x -（1i =，2，3，…，n ）；③算出②中的i x x -（1i =，2，3，…，n ）的平方；④算出③中n 个平方数的平均数；⑤算出④中平均数的算术平方根，即为样本标准差。
（3）标准差的应用标准差反映了数据对平均数的离散程度，标准差越大，数据的离散程度越大，标准差越小，数据的离散程度越小。
在实际应用中，标准差通常被理解为稳定性，标准差越小，说明产品的质量越稳定。
3．样本方差与标准差的异同二、范例剖析例1 计算下面这组数据的方差和标准差（结果精确到0.1）：423，421，419，420，421，417，422，419，423，418分析：方差有三个计算公式，计算方差时要灵活选用，以便减轻运算量。
解析：方法1：222221423421418(423421418)101010S ⎡⎤+++⎛⎫=+++-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2140231766559101010⎡⎤⎛⎫=-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦[]117665591766520.910=- 138.110=⨯ 3.8≈。
平均数方差标准差
平均数、方差和标准差是统计学中常用的三个概念，它们可以帮助我们更好地理解和描述数据的特征。
本文将分别介绍这三个概念，并说明它们在实际应用中的意义和作用。
首先，我们来谈谈平均数。
平均数是一组数据的总和除以数据的个数所得到的值。
它是最常用的描述数据集中趋势的统计量之一。
在实际应用中，平均数可以帮助我们了解数据的集中程度，比如一组考试成绩的平均数可以反映出这个班级的整体水平。
另外，平均数也可以用来比较不同数据集之间的差异，比如不同产品的平均销售额。
接下来，让我们来看看方差。
方差是衡量一组数据离散程度的统计量，它可以告诉我们数据集中的值与平均值之间的差异程度。
方差越大，说明数据的离散程度越高；方差越小，说明数据的离散程度越低。
在实际应用中，方差可以帮助我们评估数据的稳定性和可靠性，比如在质量控制中，方差可以用来衡量产品的质量稳定程度。
最后，让我们来介绍标准差。
标准差是方差的平方根，它也是衡量数据离散程度的一个重要指标。
与方差相比，标准差更容易理解和解释，因为它的单位与原始数据的单位相同。
在实际应用中，标准差可以帮助我们更直观地理解数据的分布情况，比如在投资领域，标准差可以用来衡量投资组合的风险水平。
综上所述，平均数、方差和标准差是统计学中非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解和描述数据的特征。
在实际应用中，我们可以根据这三个概念来进行数据分析、决策和预测，从而更好地指导我们的工作和生活。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和运用这些概念，提升数据分析能力，谢谢阅读！。
方差和标准差和平均数的关系关于“方差和标准差和平均数的关系”，我们来聊聊这个数学话题，但别担心，不会让你觉得枯燥乏味，咱们轻松点，像喝茶聊天一样。
1. 平均数：我们的基准线首先，咱们得先明白什么是平均数。
简单来说，平均数就是把一组数字加起来，然后平均分配给每一个数字。
比如说，你和你的朋友们一起吃饭，花了300块钱，四个人一平摊，那每个人就是75块。
这个75块就是平均数，大家心里都明白了吧？但是，平均数就像一个表面功夫，掩盖了背后的故事。
有人可能花了100块，有人只花了50块。
明白这点非常重要，因为它能帮助我们深入理解数据的分布。
1.1 方差：看得见的波动接下来，我们得说说方差。
方差是用来衡量一组数据与平均数之间的差距有多大的。
就像你和朋友一起打篮球，有的人投篮准，有的人总是空心球。
方差就像是在告诉你，大家的水平差距到底有多大。
计算方差时，我们会先找出每个数字与平均数之间的差，然后平方，再求个平均值。
听起来可能有点复杂，但其实就是告诉你，数据的“起伏”有多大。
1.2 标准差：方差的“翻译”说到这里，标准差就登场了。
标准差其实就是方差的平方根，简单易懂，就是把方差的“复杂性”变得通俗易懂。
用标准差来描述数据时，就像在告诉你“大家的表现差不多，没啥大问题”还是“哎呀，有的人真是牛逼轰轰”。
比如，一个班的数学成绩，如果标准差小，那就意味着大家的分数都差不多；如果标准差大，那就说明有些人特别优秀，而有些人……呃，可能需要多加练习了。
2. 平均数、方差和标准差的关系这三者之间可不是孤立存在的。
平均数就像一家之主，而方差和标准差就是他的两个孩子，虽然性格不同，但总是围绕着他转。
比如说，如果你知道了平均数，你可以通过方差和标准差了解数据的整体波动情况。
就像在学校，班级的平均分可能是80分，但如果标准差是20分，那说明有的人得了90分，有的人得了60分，大家的差距就非常大。
2.1 实际应用：看数据的真面目在实际生活中，这些概念有多重要呢？假设你在分析一家公司员工的薪水，平均薪水看起来不错，但如果标准差很大，说明公司内部的薪水差距非常明显，有可能导致员工的不满情绪。
方差和标准差【教材分析】本节课是在学习了如何抽样与抽样调查中所涉及到的概念，和用平均数，中位数，众数来表示数据集中程度的统计量后的另一种反映数据离散程度的统计量。
【学情分析】本节课的授课对象是八年级学生，他们正处于形象思维向抽象思维的过渡阶段，注意力水平不高，在教学中需要采用启发式教学。
在知识上，我们已经接触过统计方面的知识，有助于本节课的学习。
【教学目标】知识与技能：2．了解方差，标准差的公式的产生过程。
2．掌握方差和标准差的计算方法及其运用。
3．能通过实例学会用样本方差分析总体方差，用方差公式来分析数据离散程度。
情感态度价值观：1．通过合作交流，以面对面的互动形式，培养良好的团队合作精神，感受集体的力量。
2．以具体的例子出发，体会数学来源于生活，生活离不开数学，从来增加学习数学的兴趣。
【教学重难点】重点：方差和标准差的概念、计算及其运用。
难点：方差和标准差的计算及运用。
方差是各变量值相对于平均数的离差平方的平均数。
【教学方法】采用情景探究、小组合作，实施启发式教学。
教学手段以“教师为主导，学生为主体，探索为主线，思维为核心”的教学思路，采用矛盾冲突教学方法，充实了教学内容，通过师生合作，生生合作以及学生自身的独立思考，探索获得方差的公式和标准差的合理出现。
【教学过程】一、创设情景引出课题师：同学们，谁看过射击实况转播？相信绝大多数同学都看过，今天老师要让你们自己想办法解决有关射击的问题。
问题一、为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，学校决定对选拔方案进行招标。
如果你参与竞标，那么你将设计什么方案？生：让甲、乙二人在相同的条件下各射靶10次，选拔平均环数较多的学生。
师：这个方案不错。
可是如果两人的平均环数一样，怎么办？生：再比一次。
师：如果再比一次结果还是一样，难道要一直比下去？47①比较上述数据，你将选择谁参赛？②通过计算可知，X甲= ，X乙= ，并根据计算的结果验证你选择的正确性。
尽管平均环数相同，但二人的水平还是有差距的，经过观察分析数据，我们发现：甲最多10环，最少4环，波动范围较大；而乙最多9环，最少5环，波动范围较小。
12．3平均数、方差与标准差一、知识导学1．n 个数据1a ，2a ，…….n a 的平均数或平均值一般记为-a =na a a n+++........21.2．一般地，若取值n x x x ,......,,21的频率分别为n p p p ,......,,21，则其平均数为n n p x p x p x +++......2211.3．把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.4． 一般地，设一组样本数据n x x x ,......,,21，其平均数为-x ，则称212)(1∑=--=n i i x x n s 为这个样本的方差，算术平方根21)(1∑=--=ni i x x n s 为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差. 二、疑难知识导析1.平均数，中位数和众数都是总体的数字特征，从不同角度反映了分布的集中趋势，平均数是最常用的指标，也是数据点的“重心”位置，它易受极端值（特别大或特别小的值）的影响，中位数位于数据序列的中间位置，不受极端值的影响，在一组数据中，可能没有众数，也可能有多个众数.2.方差和标准差是总体的数字特征，反映了分布的分散程序（波动大小），标准差也会受极端值（特别大或特别小的值）的影响.3.分布的分散程序还可以用极差来描述，但较粗略.4.样本方差也可以用公式21221x x n s n i i -=∑=计算.三、经典例题导讲[例1]（06年江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为.9,11,10,,y x 已知这组数据的平均数为10，方差为2，则y x -的值为（ ） A ．1 B.2 C.3 D.4解：由平均数公式为10，得1051)91110(=⨯++++y x ，则20=+y x ，又由于方差为2，则()()()()()[]25110910111010101022222=⨯-+-+-+-+-y x 得20822=+y x 1922=xy所以有()42222=-+=-=-xy y x y x y x ，故选D.[例2]数据n x x ,,1 是一名运动员的n 次射击的命中环数，则他的平均命中环数的估计是（ ）.A ．样本平均数均值∑==ni i x n x 11 B ．样本极差),,m in(),,m ax (11n n x x x x R -=C ．样本方差212)(1x x n s n i i -=∑= D ．样本平均差AD=∑=-n i i x x n 11错解：C.错因：后三个选项都表示了样本的波动程度，不能用于总体平均值的估计. 正解：A.[例3]某房间中10个人的平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为1185.11074.1+⨯=1.75.即这11个人的平均身高为1075米[例4]若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数解：年平均收入为12%511%253%70=⨯+⨯+⨯（万）；中位数和众数均为1万（1）计算所有人员的月平均收入；（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？ （4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析 解：（1）平均收入711=-x （3000+450+350+400+320+320+410）=750元 （2）这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员（3）去掉老板后的月平均收入612=-x （450+350+400+320+320+410）=375元.这能代表打工人员的月收入水平（4）由上可见，个别特殊数据可能对平均值产生大的影响，因此在进行统计分析时，对异常值要进行专门讨论，有时应剔除之 四、典型习题导练A ．4 B.4.4 C.8 D.8.82．8名新生儿的身长（cm ）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 .3．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值-x = ，病人等待时间的标准差的估计值s =4．样本1021,......,,x x x 的平均数为5，方差为7，则3()()()13,......,13,11021---x x x 的平均数、方差，标准差分别为5．下面是一个班级在一次测验时的成绩（已按从小到大的次序排列），分别计算男生和女生的成绩和平均值，中位数以及众数，试问中位数的含义是什么？对比两个平均值和中位数，你分析一下这个班级的学习情况男生：55，55，61，65，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，976．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min 抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110. （1）这样的抽样是何种抽样方法？（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.。
12．3平均数、方差与标准差
一、知识导学
1．n 个数据1a ，2a ，…….n a 的平均数或平均值一般记为-
a =
n
a a a n
+++........21.
2．一般地，若取值n x x x ,......,,21的频率分别为n p p p ,......,,21，则其平均数为
n n p x p x p x +++......2211.
3．把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.
4． 一般地，设一组样本数据n x x x ,......,,21，其平均数为-
x ，则称2
1
2
)(1∑=--=n i i x x n s 为这
个样本的方差，算术平方根21
)(1∑=--=n
i i x x n s 为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差. 二、疑难知识导析
1.平均数，中位数和众数都是总体的数字特征，从不同角度反映了分布的集中趋势，平均数是最常用的指标，也是数据点的“重心”位置，它易受极端值（特别大或特别小的值）的影响，中位数位于数据序列的中间位置，不受极端值的影响，在一组数据中，可能没有众数，也可能有多个众数.
2.方差和标准差是总体的数字特征，反映了分布的分散程序（波动大小），标准差也会受极端值（特别大或特别小的值）的影响.
3.分布的分散程序还可以用极差来描述，但较粗略.
4.样本方差也可以用公式21
2
2
1x x n s n i i -=∑=计算.
三、经典例题导讲
[例1]（06年江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为.9,11,10,,y x 已知这组数据的平均数为10，方差为2，则y x -的值为（ ） A ．1 B.2 C.3 D.4
解：由平均数公式为10，得105
1
)91110(=⨯
++++y x ，则20=+y x ，又由于方差为2，则()()()()()[]
25
11091011101010102
2222=⨯-+-+-+-+-y x 得
20822=+y x 1922=xy
所以有()42222
=-+=-=
-xy y x y x y x ，故选D.
[例2]数据n x x ,,1 是一名运动员的n 次射击的命中环数，则他的平均命中环数的估计是（ ）.
A ．样本平均数均值∑==n
i i x n x 11 B ．样本极差),,m in(),,m ax (11n n x x x x R -=
C ．样本方差2
12
)(1x x n s n i i -=∑= D ．样本平均差AD=∑=-n i i x x n 1
1
错解：C.
错因：后三个选项都表示了样本的波动程度，不能用于总体平均值的估计. 正解：A.
[例3]某房间中10个人的平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？
解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为
11
85
.11074.1+⨯=1.75.即这11个人的平均身高为1075米
[例4]若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数
解：年平均收入为12%511%253%70=⨯+⨯+⨯（万）；中位数和众数均为1万
（1）计算所有人员的月平均收入；
（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？
（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？ （4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析 解：（1）平均收入7
1
1=
-
x （3000+450+350+400+320+320+410）=750元 （2）这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员
（3）去掉老板后的月平均收入6
1
2=
-
x （450+350+400+320+320+410）=375元.这能代表打工人员的月收入水平
（4）由上可见，个别特殊数据可能对平均值产生大的影响，因此在进行统计分析时，对异常值要进行专门讨论，有时应剔除之 四、典型习题导练
A ．4 B.4.4 C.8 D.8.8
2．8名新生儿的身长（cm ）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 .
3．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：
用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值-
x = ，病人等待时间的标准差的估计值s =
4．样本1021,......,,x x x 的平均数为5，方差为7，则3()()()13,......,13,11021---x x x 的平均数、方差，标准差分别为
5．下面是一个班级在一次测验时的成绩（已按从小到大的次序排列），分别计算男生和女生的成绩和平均值，中位数以及众数，试问中位数的含义是什么？对比两个平均值和中位数，你分析一下这个班级的学习情况
男生：55，55，61，65，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94
女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，97
6．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min 抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110. （1）这样的抽样是何种抽样方法？
（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.。
