数值计算方法期末考试
题
集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4
2. 已知求积公式
()()2
1
121
1()(2)636f x dx f Af f ≈
++?
，则A ＝（ ）
A ． 16
B ．13
C ．12
D ．2
3
3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）
A ．()00l x ＝0，()110l x =
B ．
()
00l x ＝0，()111
l x =
C ．
()
00l x ＝1，
()111
l x = D ．
()00l x ＝1，
()111
l x =
4. 设求方程
()0
f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性
B ．平方
C ．线性
D ．三次
5. 用列主元消元法解线性方程组1231231
220223332
x x x x x x x x ++=??
++=??--=?作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.
A ．232
x x -+= B ．
232 1.5 3.5x x -+=
C ．
2323
x x -+= D ．
230.5 1.5
x x -=-
单项选择题答案
二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设T
X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .
2. 一阶均差
()01,f x x =
????? ???????????????
3. 已知3n =时，科茨系数()()()
33301213,88C C C ===，那么
()
33C =???????????? 4. 因为方程
()420
x f x x =-+=在区间
[]1,2上满足??????????????? ?，所以()0f x =在区间内有
根。
5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题
()211y y y
x y ?'=+??
?=?
的计算公式????????????????????? .
填空题答案
1.?????? 9和29
2.??????
()()
0101
f x f x x x --?
3.?????? 1
8 4.??????
()()120
f f <
5.?????? ()12
00.11.1,0,1,2
10.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+????
=?
?
三、计算题（每题15分，共
1. 已知函数
21
1y x =
+的一组数
据：
求分段线性插
值函数，并计算
()
1.5f 的近似值.
计算题1.答案
1.?????? 解
[]
0,1x ∈，
()10
10.510.50110x x L x x --=
?+?=---??????????
[]
1,2x ∈，
()210.50.20.30.81221x x L x x --=
?+?=-+--
所以分段线性插值函数为
2. 已知线性方程组123123123
1027.21028.35 4.2
x x x x x x x x x --=??
-+-=??--+=?
（1）?????? 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）?????? 对于初始值
()()
0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别
计算()
1X
（保留小数点后五位数字）.
计算题2.答案
1.解 原方程组同解变形为 1232133
120.10.20.720.10.20.830.20.20.84
x x x x x x x x x =++??
=-+??=++?
雅可比迭代公式为
()()()()()()
()()()1123121313120.10.20.72
0.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++?=++??=-+??=++??(0,1...)m =
高斯－塞德尔迭代法公式
()()()()()()
()()()11231121
31113
120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++?=++??=-+??=++???(0,1...)m =
用雅可比迭代公式得()()
10.72000,0.83000,0.84000X =
用高斯－塞德尔迭代公式得
()()
10.72000,0.90200,1.16440X =
3. 用牛顿法求方程3310x x --=在
[]1,2之间的近似根
（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根，精确到.
计算题3.答案
4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1
01dx x +?.
计算题4.答案
确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度
证明题答案
证明：求积公式中含有三个待定系数，即101,,A A A -，将()21,,f x x x =分别代入求积公式，并令其
左右相等，得
得1113A A h -==，043h
A =
。所求公式至少有两次代数精确度。????? 又由于
故
()()()()40333h
h
h h
f x dx f h f f h -=
-++?
具有三次代数精确度。??
一、????????? 填空（共20分，每题2分）
1. 设
2.3149541...x *
=，取5位有效数字，则所得的近似值x=????? .
2.设一阶差商 ()()()211221
14
,321f x f x f x x x x --=
=
=---，
()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- ?? 则二阶差商
()123,,______
f x x x =
3. 设(2,3,1)T
X =--, 则2||||X =?????? ?，=∞||||X ?????? ?。
4．求方程?2
1.250x x --=? 的近似根，用迭代公式 1.25x x =
+，取初始值 01x =， 那么
1______x =。
???
5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =??
=?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。
6、
1151A ??
= ?
-??，则A 的谱半径 ＝????????????? 。
7、设
2()35, , 0,1,2,... ,
k f x x x kh k =+==??，则
[]12,,n n n f x x x ++=
?????????????? 和
[]123,,,n n n n f x x x x +++=
?????????????? ??。???????
8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代
都?????????? ????。
9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为???????????? ? 。
10、为了使计算23
123101(1)(1)y x x x =+
+----的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写
成 ?????????????????????????????。
填空题答案
1．设
3
2
01219
(), , 1, 44f x x x x x ====
（1）试求 ()f x 在 19,44????
??上的三次Hermite 插值多项式()x
H 使满足
''11()(), 0,1,2,... ()()j j H x f x j H x f x ===
()
x H 以升幂形式给出。
（2）写出余项 ()()()R x f x H x =-的表达式
计算题1.答案
1、（1）
()32
142632331
22545045025
x x x x
H=-++-
???（2）
()52
2
191919
()(1)(),()(,)
4!164444
R x x x x x
ξξξ
-
=---=∈
2．已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛
计算题2.答案
2、由()
x x
?
=，可得3()3
x x x x
?
-=-，
1
(()3)()
2
x x x x
?ψ
=--=
? ?
3．试确定常数A，B，C和 a，使得数值积分公式
有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少它是否为Gauss型的
计算题3.答案
3、
101612
,,
995
A C
B a
====±
，该数值
求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的
4．推导常微分方程的初值问题00
'(,)
()
y f x y
y x y
=
?
?
=
?的数值解公式：
'''
1111
(4)
3
n n n n n
h
y y y y y
+-+-
=+++
?（提示：利用Simpson求积公式。）
计算题4.答案
4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程()
y f x
=’在区间[]
11
,
n n
x x
-+上积分，
得
1
1
11
()()(,())
n
n
x
n n
x
y x y x f x y x dx
+
-
+-
=+?
，记步长为h,
对积分
1
1
(,())
n
n
x
x
f x y x dx
+
-
?
用Simpson求积公式得
??
[]
1
1
1111
2
(,())()4()()(4)
63
n
n
x
n n n n n n
x
h h
f x y x dx f x f x f x y y y
+
-
-++-
≈++≈++
?’’’
所以得数值解公式： 1111(4)
3n n n n n h y y y y y +-+-=+++’’’
5．?利用矩阵的LU 分解法解方程 组 123123123
2314
252183520
x x x x x x x x x ++=??
++=??++=?
计算题5.答案
5、解：
1123211435124A LU ????
????==-????
????--????
三、证明题 （5分）
1．设
?，证明解
的Newton 迭代公式是线性收敛的。
证明题答案
1、
32231321232323333 ()(), ()6(),:()
,0,1,... ()
()5,0,1,...
6()6655 (), (),6663551 , ()()636n n n n n n n n n n n
f x x a f x x x a Newton f x x x n f x x a x a
x x n x x a x a a
x x x x x a x a a a ???++--=-=-=-
=-=-=+--=
+=-==-=-’’’’’证明：因故由迭达公式得因迭达函数而又则1
0,
32
=≠故此迭达公式是线性收敛的。
一、填空题（20分）
(1).设* 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*
x 有???????????????? 位有
效数字。
(2). 对1)(3
++=x x x f , 差商=]3,2,1,0[f ((????? ))。
(3). 设(2,3,7)T
X =-, 则||||X ∞=?????? ?。
(4).牛顿—柯特斯求积公式的系数和()
n
n k
k C
==
∑?????????????????????? 。
填空题答案
（1）3??? （2）1?? ?（3）7??????? （4）1
二、计算题
1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式
2()sin 0.34
L x 计算的值。
插值节点和相应的函数值是（0，0），（，），（，）。
计算题1.答案
2).（15分）用二分法求方程
3
()10[1.0,1.5]f x x x =--=在 区间内的一个根，误差限2
10ε-=。
计算题2.答案
2) 1234566
1.25 1.375 1.31251.34375 1.328125 1.3203125N x x x x x x =======
3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组 ???
??=++=++=++22
5218241124321321321x x x x x x x x x ，取
T )0,0,0()0(=x ，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。
计算题3.答案
3）迭代公式
4).（15分）求系数123,,A A A 和使求积公式
1
1231
11
()(1)()()233f x dx A f A f A f -≈-+-+≤?对于次数的一切多项式都精确成立。
计算题4.答案
5). (10分)对方程组 ???
??=-+=--=++8
4102541015
1023321321321x x x x x x x x x
试建立一种收敛的Seidel 迭代公式，说明理由
计算题5.答案
1)（5分）在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法,为什么 2)（5分）先叙述Gauss 求积公式, 再阐述为什么要引入它。
简答题答案
1）凭你的理解去叙述。 2）参看书本99页。
一、填空题（20分）
1. 若a =是的近似值，则a 有( )位有效数字.
2. ?)(,),(),(10x l x l x l n 是以n ,,1,0 为插值节点的Lagrange 插值基函数，则
???? =
∑=n
i i
x il 0
)(((????? )..
3. ?设f (x )可微，则求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ).
4. ?迭代公式
f BX X k k +=+)()1(收敛的充要条件是??????????? 。 5. 解线性方程组A x =b (其中A 非奇异，b 不为0) 的迭代格式
f x x +=+)
()1(k k B 中的B 称为( ). 给定方程组??
?-=-=-45892121x x x x ，解此方程组的雅可比迭代格式为
(
)。
填空题答案
二、判断题（共10分）
1. 若0)()(
2. 区间[a,b ]上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。 ( )