下载文档原格式
幂函数的历史背景幂函数是数学中常见的一类函数，也是我们初中数学学习中的一章内容。
在数学发展历史中，幂函数也有着一个很长的发展历程，下面我将为大家详细讲述幂函数的历史背景。
1. 古希腊时期在古希腊时期，幂函数并没有被单独研究，但是这个概念已经存在了。
在古希腊时期，人们已经知道了某个数的n次方等于这个数连乘n次之后的积。
但是在这个时期，对于幂函数的研究还停留在对幂指数为2的平方函数的研究上。
2. 文艺复兴时期文艺复兴时期，人们开始重新关注幂函数的研究。
当时的数学家借助解析几何的成果研究了多项式函数和有理函数，幂函数也逐渐被纳入了研究范畴之中。
这个时期的最重要的成果是伯努利和斯特林对于对数函数和幂函数的反函数进行了简述并给出了它们的导数形式。
3. 17世纪在17世纪的时候，人们对于幂函数进行了深入的研究。
比如莱布尼茨研究了x的幂函数在x=0处的微分问题，并给出了解决这个问题的方法。
另一方面，牛顿发现了幂函数的导数可以写成一种通用形式，即：nx^(n-1)。
这就给幂函数的研究带来了新的思路，人们开始研究各种特殊的幂函数，比如指数函数，对数函数等。
4. 18世纪以后18世纪以后，人们对于幂函数进行的研究更加深入，能够研究的对象也更加广泛。
在这个时期，欧拉和拉格朗日在幂函数的研究上有了很多的成果，并给出了幂函数在各个域上的解析式。
同时欧拉和拉格朗日还对于对数函数和指数函数进行了研究，并给出了重要的结论。
总体来说，随着数学发展的不断深入，人们对于幂函数的认识也越来越深入。
幂函数是数学中很重要的一个函数，它在各个领域中都有着广泛的应用。
随着科技的发展，我们相信幂函数在未来的研究中也将会有更加广泛的应用。
对数函数的发展史对数函数的发展史是一个跨越数个世纪，涉及众多数学家和科学家的历史。
它既包括了数学理论的重大突破，也包括了人类对自然世界的深入理解。
以下是对数函数发展史的详细介绍。
**一、背景**对数函数的发展史始于16世纪，当时科学家们面临着解决复杂的数字计算问题，例如求解高次方程，或是进行大量乘法运算。
这些问题在当时是非常困难的，因为它们需要大量的计算时间和精力。
**二、约翰·纳皮尔的贡献**1. 纳皮尔是一位苏格兰数学家和天文学家，他在16世纪末解决了这个问题。
他发明了一种新的数学方法，可以简化大量计算，使这些问题变得相对容易。
这种方法就是对数。
2. 纳皮尔的对数概念是基于一种称为“幂”的概念，即一个数的指数运算。
例如，2的3次方是8，这个“8”就是2的3次幂的结果。
纳皮尔发现，对于任何两个正数a和b （其中b>1），都存在一个数x，使得a等于b的x次幂。
这个数x就被称为“以b为底数的a的对数”。
**三、亨利·布里格斯和微积分**1. 布里格斯是英国的一位数学家，他对纳皮尔的对数概念进行了改进和推广。
他引入了“自然对数”的概念，即以e为底数的对数（e是一个无理数，约为2.71828）。
布里格斯的贡献对于现代数学有着重大影响。
2. 17世纪，微积分学开始兴起。
微积分是研究变化率和变化量的数学分支。
在对数函数的发展过程中，微积分学提供了一种新的工具来研究和理解对数函数的性质和行为。
**四、查尔斯·洛夫斯托尔和欧拉**1. 洛夫斯托尔是英国的一位数学家和天文学家，他在对数函数的研究中取得了重要进展。
他发现对数函数与指数函数之间存在一种密切的关系，这为研究它们的性质提供了新的视角。
2. 欧拉是瑞士的数学家，被誉为“数学界的巨匠”。
他对对数函数有着深入的研究，并发现了许多重要的性质和应用。
欧拉还对对数表的发展做出了重要贡献，这对后来的科学计算和对数函数的应用具有重要意义。
微积分发展简史一．微积分思想萌芽微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代。
在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏用朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。
在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子?天下篇》中记载了惠施的一段话："一尺之棰，日取其半，万世不竭"，是我国较早出现的极限思想。
但把极限思想运用于实践，即利用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽。
他的"割圆术"开创了圆周率研究的新纪元。
刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积。
用他的话说，就是："割之弥细，所失弥少。
割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
"按照这种思想，他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积，得到圆周率的近似值3.14。
大约两个世纪之后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一。
其次明确提出了下面的原理："幂势既同，则积不容异。
"我们称之为"祖氏原理"，即西方所谓的"卡瓦列利原理"。
并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题。
欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题。
较为重要的当数安提芬(Antiphon,B.C420年左右)的"穷竭法"。
他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。
但他的方法并没有被数学家们所接受。
后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到补充和完善。
之后，阿基米德(Archimedes,B.C287-B.C212)借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。
2023微积分学(吴迪光张彬著)课后答案微积分学历史背景早期思想早在公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。
古希腊数学家、力学家阿基米德(公元前287~前212)的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
中国古代数学家也产生过积分学的萌芽思想，例如三国时期的刘徽，他对积分学的思想主要有两点：割圆术及求体积问题的设想。
在3世纪，中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积，求出圆周率的近似值3.141024，并指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”。
刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法，正是极限思想的具体体现。
数列极限是函数极限的基础，一个数列an如果当n无限增大时，an与某一实数无限接近，就称之为收敛数列，a为数列的极限，记作liman=a例如an=1/n，数列的极限为0。
微分学微分学的基本概念是导数。
导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。
牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发，希望用数学工具来刻画这一事实。
若用s=s(t)表示物体的运动规律，即物体运动中所走路程s与时间t的关系，那么物体在t=t0时的瞬时速度为v(t0)，并记v(t0)=s(t0)，并称之为路程s关于时间t的导数或变化率，也可记v(t0)=()|t=t0。
而物体运动的加速度a(t)=v(t)=s(t)=()。
导数作为一个数学工具无论在理论上还是实际应用中，都起着基础而重要的作用。
例如在求极大、极小值问题中的应用。
积分学积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分。
主要内容包括积分的性质、计算，以及在理论和实际中的应用。
不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。
如果对每一xI ，有f(x)=F(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数，f(x)的全体原函数叫做不定积分，记为，因此，如果F(x)是 f(x)的一个原函数，则=F(x)+C，其中C为任意常数。
第7讲微积分发展史微积分是近代自然科学和工程技术中广泛应用的一种基本数学工具，它创立于17世纪后半叶的西欧，是适应当时社会生产发展和理论科学的需要而产生的，同时又深刻地影响着生产技术和自然科学的发展。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
一、微积分产生的背景微分和积分的思想早在古代就已经产生了。
公元前3世纪，古希腊数学家、力学家阿基米德的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲面的体积等问题中就隐含着近代积分的思想。
极限理论作为微积分的基础，也早在我国的古代就有非常详尽的论述，但当时人们习惯于研究常量和有限的对象，遇到无穷时往往束手无策。
生产力和科学技术的不断发展，为微积分的诞生创造了条件。
1492年哥伦布发现了新大陆，由此证实了大地是球形；1543年，哥白尼发表的《天体运行论》确立了“日心说”；开普勒在1609年提出了有关行星绕日运动的第一、第二定律，1618年他又提出了第三定律；1609年，伽利略用自制的望远镜观察了月亮、金星、木星等星球，把人们的视野引向遥远的地方。
这些科学家拓展了人们对世界的认识，引起了人类思想上的巨变。
16世纪，西欧出现资本主义的萌芽，产生了新的生产关系，社会生产力有了很大的发展。
从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，在航海、天文、矿山建设、军事技术等方面有许多课题需要解决，数学也开始进入了“变量数学”时代。
通过这些向数学提出了如下4个问题：（1）由距离和时间的关系求瞬时速度和瞬时加速度；反之，由速度求距离，由加速度求速度。
（2）确定物体运动方向（切线方向）或光学中曲线的切线问题。
（3）求最大、最小值问题。
（4）一般的求积（面积、体积）问题，曲线长问题，以及物体的质量、重心等问题。
在17世纪30年代创立的解析几何学里，可以用字母表示流动坐标，用代数方程刻画一般平面曲线，用代数演算代替对几何量的逻辑推导，从而把对几何图形性质的研究转化为对解析式的研究，使数与形紧密地结合起来。
微分学中的隐函数定理-教案一、引言1.1隐函数定理的历史背景1.1.117世纪牛顿和莱布尼茨的微积分革命1.1.2隐函数概念的早期发展1.1.319世纪对隐函数定理的深入研究1.1.4隐函数定理在现代数学中的应用1.2隐函数定理的定义与意义1.2.1隐函数与显函数的区别1.2.2隐函数定理的基本表述1.2.3隐函数定理在微积分中的应用1.2.4隐函数定理对现代数学发展的影响1.3教学目标和教学方法1.3.1学生掌握隐函数定理的基本概念1.3.2学生能够应用隐函数定理解题1.3.3采用案例教学和问题驱动的方法1.3.4结合实际应用，增强学生的理解能力二、知识点讲解2.1隐函数定理的基本概念2.1.1隐函数的定义2.1.2隐函数定理的条件2.1.3隐函数定理的结论2.1.4隐函数定理的证明思路2.2隐函数定理的应用2.2.1隐函数定理在几何学中的应用2.2.2隐函数定理在物理学中的应用2.2.3隐函数定理在经济学中的应用2.2.4隐函数定理在工程学中的应用2.3隐函数定理的推广与拓展2.3.1隐函数定理在高维空间中的推广2.3.2隐函数定理在微分方程中的应用2.3.3隐函数定理在微分几何中的应用2.3.4隐函数定理在复变函数中的应用三、教学内容3.1隐函数定理的证明3.1.1利用微分中值定理证明隐函数定理3.1.2利用逆函数定理证明隐函数定理3.1.3利用隐函数定理证明逆函数定理3.1.4利用隐函数定理证明微分方程的解的存在性3.2隐函数定理的应用实例3.2.1利用隐函数定理求解几何问题3.2.2利用隐函数定理求解物理问题3.2.3利用隐函数定理求解经济学问题3.2.4利用隐函数定理求解工程学问题3.3隐函数定理的拓展与深入研究3.3.1隐函数定理在微分几何中的拓展3.3.2隐函数定理在微分方程中的应用3.3.3隐函数定理在复变函数中的应用3.3.4隐函数定理在现代数学发展中的地位与作用四、教学目标1.1知识与技能目标1.1.1学生能够理解隐函数定理的概念1.1.2学生能够掌握隐函数定理的证明方法1.1.3学生能够应用隐函数定理解决实际问题1.1.4学生能够了解隐函数定理在现代数学中的应用1.2过程与方法目标1.2.1学生通过案例分析和问题解决，提高逻辑思维能力1.2.2学生通过小组讨论和合作，培养团队协作能力1.2.3学生通过实际操作和实验，增强实践能力1.3情感态度与价值观目标1.3.1学生对数学产生兴趣，形成积极的数学观1.3.2学生培养勇于探索、敢于创新的科学精神1.3.3学生形成严谨、求实的学术态度1.3.4学生培养自主学习、终身学习的意识五、教学难点与重点2.1教学难点2.1.1隐函数定理的证明过程2.1.2隐函数定理的应用条件2.1.3隐函数定理在多元函数中的应用2.1.4隐函数定理与其他数学知识的联系2.2教学重点2.2.1隐函数定理的基本概念和结论2.2.2隐函数定理的证明方法和技巧2.2.3隐函数定理在实际问题中的应用2.2.4隐函数定理在现代数学中的地位和作用2.3教学难点与重点的关系2.3.1教学难点是教学重点的深化和拓展2.3.2教学重点是教学难点的基础和前提2.3.3教学难点与重点相互依存、相互促进2.3.4教学难点与重点共同构成了教学内容的核心六、教具与学具准备3.1教具准备3.1.1多媒体设备（投影仪、电脑等）3.1.2数学软件（如MATLAB、Mathematica等）3.1.3教学模型和实物（如几何模型、物理仪器等）3.1.4教学课件和讲义3.2学具准备3.2.1笔记本和文具3.2.2数学教材和相关资料3.2.3计算器和数学软件3.2.4小组讨论和合作的学习材料3.3教具与学具的使用策略3.3.1合理利用多媒体设备，提高教学效果3.3.2引导学生使用数学软件，增强实践能力3.3.3结合教学模型和实物，加深学生对知识的理解3.3.4提供丰富的学习材料，满足学生的个性化需求七、教学过程4.1导入新课4.1.1通过实际问题的引入，激发学生的学习兴趣4.1.2通过对已有知识的回顾，为新课做好铺垫4.1.3通过提出问题，引导学生思考4.1.4通过讲解隐函数定理的背景，引入新课内容4.2讲解新课4.2.1详细讲解隐函数定理的概念和结论4.2.2通过示例和练习，讲解隐函数定理的证明方法4.2.3通过案例分析，讲解隐函数定理的应用条件4.2.4通过小组讨论和合作，讲解隐函数定理在实际问题中的应用4.3巩固提高4.3.1通过练习和作业，巩固学生对隐函数定理的理解4.3.2通过小组讨论和合作，提高学生的应用能力4.3.4通过拓展和深入研究，提高学生的创新能力八、板书设计1.1隐函数定理的基本概念1.1.1隐函数的定义1.1.2隐函数定理的条件1.1.3隐函数定理的结论1.1.4隐函数定理的证明思路1.2隐函数定理的应用1.2.1隐函数定理在几何学中的应用1.2.2隐函数定理在物理学中的应用1.2.3隐函数定理在经济学中的应用1.2.4隐函数定理在工程学中的应用1.3隐函数定理的推广与拓展1.3.1隐函数定理在高维空间中的推广1.3.2隐函数定理在微分方程中的应用1.3.3隐函数定理在微分几何中的应用1.3.4隐函数定理在复变函数中的应用九、作业设计2.1基础练习2.1.1证明隐函数定理的基本结论2.1.2求解给定隐函数的具体形式2.1.3应用隐函数定理解决实际问题2.1.4探讨隐函数定理在特定领域中的应用2.2拓展练习2.2.1研究隐函数定理在高维空间中的推广2.2.2应用隐函数定理解决微分方程问题2.2.3探讨隐函数定理在微分几何中的应用2.2.4研究隐函数定理在复变函数中的应用2.3创新性练习2.3.1提出新的隐函数定理的应用问题2.3.2探索隐函数定理与其他数学知识的联系2.3.3研究隐函数定理在现代数学发展中的地位与作用2.3.4设计实验或模拟，验证隐函数定理的应用效果十、课后反思及拓展延伸3.1教学效果评估3.1.1学生对隐函数定理的理解程度3.1.2学生应用隐函数定理解决问题的能力3.1.3学生对教学方法和教学内容的反馈3.1.4教学目标的达成情况3.2教学反思与改进3.2.1教学方法和教学内容的调整与优化3.2.2教学难点和重点的讲解与引导3.2.3教学效果评估方法的改进与完善3.2.4教学资源和学习材料的丰富与更新3.3拓展延伸与深入研究3.3.1隐函数定理在其他数学分支中的应用3.3.2隐函数定理在相关学科中的应用3.3.3隐函数定理在现代科技发展中的应用3.3.4隐函数定理在数学教育中的教学策略研究重点关注环节的补充和说明：1.教学难点与重点：在讲解隐函数定理的证明方法和应用条件时，需要通过示例和练习，引导学生深入理解定理的本质和内涵。
毕奥萨伐尔定理一、引言毕奥萨伐尔定理是数学中的一个重要定理，被广泛应用于各个领域。
它由数学家毕奥萨伐尔在19世纪末提出，并在接下来的几十年里被证明和推广。
本文将详细介绍毕奥萨伐尔定理的历史背景、基本定义以及相关应用。
二、历史背景19世纪末，随着数学的快速发展和应用的日益广泛，人们开始对数学基础的研究产生了更高的需求。
同时，人们也发现了在几何学、代数学和数论等领域中存在一些重要的问题，这些问题需要更为严谨的理论来解决。
三、基本定义1.毕奥萨伐尔函数–毕奥萨伐尔函数是一个连续的、周期为1的函数，记作f(x)。
它的定义域是实数集，值域是区间[0,1]。
–毕奥萨伐尔函数的特点是在其定义域上等分点的函数值组成了一个稠密的集合。
–具体的定义公式如下：f(x)=limn→∞1n∑e2πikx n−1k=02.毕奥萨伐尔级数–毕奥萨伐尔级数是毕奥萨伐尔函数的傅里叶级数展开形式。
–毕奥萨伐尔级数的一般形式如下：f(x)=a02+∑(a n cos(2πnx)+b n sin(2πnx))∞n=1–其中，a0为常数，称为直流分量；a n和b n为系数，可以表示函数在频率为n的谐波分量中的振幅和相位差。
四、定理表述与证明1.毕奥萨伐尔定理–毕奥萨伐尔定理指出，对于任意一个周期为T的连续函数f(x)，它的毕奥萨伐尔级数在定义域上几乎处处收敛到原函数。
–具体来说，就是对于几乎所有的x，都有：f(x)=limn→∞a02+∑(a n cos(2πnx)+b n sin(2πnx))∞n=1–其中，a n和b n分别是函数f(x)的傅里叶系数。
2.定理证明–定理的证明基于一个重要的数学工具：勒贝格积分。
–通过引入勒贝格积分的概念和定义，可以证明毕奥萨伐尔级数在定义域上几乎处处收敛到原函数。
–具体的证明过程比较复杂，需要运用测度论和傅里叶分析的知识，这里不再详细展开。
五、应用领域毕奥萨伐尔定理在各个数学领域以及其他科学工程领域中有着广泛的应用，以下列举了其中的几个重要应用： 1. 函数逼近 - 毕奥萨伐尔级数可以用来逼近任意周期函数。
数学史在数学教育中的地位和作用第一章前言全面认识数学史在数学教育中的价值，注重数学史与数学教育的联系，充分发挥数学史在数学教育中的作用，已经成为世界数学教育改革的一个重要内容。
数学教育的价值在于“实际需要、文化修养、智力筛选”。
然而，由于应试教育的影响，我国长期以来将智力筛选作为数学教育的主要目的，因而数学教育中数学文化的成份几乎被抹掉。
我国数学教育历来重视理论知识本身的传授，对学生数学思维发展的实际过程缺乏深入研究，数学教师很少主动接触数学史的素材，很少运用数学史的生动事例启发和培养学生的思维能力，更难以体会到数学史对数学教育的价值，由此造成数学史与数学教育的严重脱节。
要改变这种状况，首先要转变数学教师的观念，重新认识数学史在数学教育中的地位和作用。
据调查，目前中学数学教师数学史知识贫乏，数学知识结构存在一定的问题。
而即将毕业的高师数学教育专业大四学生，数学史知识也令人担忧。
第二章学生了解数学史知识的现状作者对我校数学教育专业的120名大四学生作了一次数学史知识的问卷调查。
参加调查的学生已经结束了在中学实习的工作。
2．1 问卷内容问卷给出了与数学知识密切相关的、数学史中最基本的一些问题，它们是：第一题：对数是谁发明的?简述产生的背景和恿义；第二题：简述函数概念形成与发展的历史；第三题：写出 1 0项中国古代数学家创造的领先世界的数学成就；第四题：国际数学界的最高奖是什么?第五题：写出5位19世纪以后中国著名数学家；第六题：解析几何在哪个世纪诞生?由谁创立?简述产生背景；第七题：微积分在哪个世纪诞生，由谁创立，其理论基础在哪个世纪完善。
2．2问卷结果与分析收回有效试卷120份，答题情况如下：第一题：知道对数是谁发明的有36人，84人不知道。
其产生的背景和意义知道的有27人，93人不知道。
第二题：知道和基本了解的有29人，一点不知道的有91人。
第三题：答题情况统计。
此题写出2、3项的主要集中在：祖冲之圆周率的计算、刘徽的割圆术及勾股定理。
函数产生的历史背景和发展过程
历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用．（一）
马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽．
自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源．
（二）
早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义．1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为yx.
当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．
18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延．
（三）
函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如，偏微分方程在工程技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立．1833年至1834年，高斯开始把注意力转向物理学．他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究．
后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步．”
在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张函数不必局限于解析表达式．1822年，他在名著《热的解析理论》中说，“通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的……，我们不假定这些纵坐标服从
一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个．”在该书中，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数．更确切地说就是，任意一个以2π为周期函数，在〔－π，π〕区间内，可以由
表示出，其中
富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动．原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍．
通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义．
1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分．
1837年，德国数学家狄里克莱（Dirichlet）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，所以他的定义是：“如果对于x的每一值，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数．”
根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）：
f（x）= 1（x为有理数），
0（x为无理数）．
在这个函数中，如果x由0逐渐增大地取值，则f（x）忽0忽1．在无论怎样小的区间里，f（x）无限止地忽0忽1．因此，它难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题．但是不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个f（x）仍是一个函数．
狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义．
（四）
生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪20年代，人类开始研究微观物理现象．1930年量子力学问世了，在量子力学中需要用到一种新的函数——δ-函数，
即ρ（x）＝0，x≠0，
∞,x=0．
且
δ-函数的出现，引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“∞”作为数．另外，对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等于零，这也是不可想象的．然而，δ-函数确实是实际模型的抽象．例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力．从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点x=0处的压强是
P（0）=压力／接触面=1／0=∞．
其余点x≠0处，因无压力，故无压强，即P（x）=0.另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即
函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展，产生了新的现代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）.元素x称为自变元，元素y称为因变元．
函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概念上的重大发展，是数学发展道路上的重大转折，近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系．
函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了．不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”．
设集合X、Y，我们定义X与Y的积集X×Y为
X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．
积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系，若（x,y）∈R，则称x与y有关系R，记为xRy.若（x,y）R，则称x与y无关系．
现设f是X与Y的关系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那么称f为X到Y 的函数．在此定义中，已在形式上回避了“对应”的术语，全部使用集合论的语言了．从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要．。
