多项式除以单项式

单项式除以单项式1.掌握多项式除以单项式的运算法则，会运用这个法则进行多项式与单项式除法的计算2.经历多项式除以单项式的过程,体验数学的化归思想知识点一 多项式除以单项式（1）多项式除以单项式,先把多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加（2）式子表示：()÷÷÷÷.(0)ma mb mc m ma m mb m mc m a b c m ++=++=++≠其中把“多项式除以单项式”转化为“单项除以单项式注意：(1)在计算时，多项式里的各项要包括它前面的符号,还要注意各个运算结果的符号,不要将符号弄错;(2)多项式除以单项式要逐项相除，不要漏项，所得的商的项数与多项式的项数相同，多项式除以单项式商为 1的项不能漏掉.即学即练1 化简求值：[2(x +y )(x −y )−2(x +y )2]÷(−4y )，其中x =−2，y =3． 即学即练2 化简：[(a +3b)(−a +3b)−(2a −3b)2−5a(a −4b)]÷2a ． 题型一 多项式除以单项式例1（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）计算：(20x 4+15x 3−25x 2)÷题型二 整式四则混合运算例2（2022秋·上海奉贤·七年级统考期中）计算：(2a +b)(a −2b)−(2a −b)2. 举一反三1（2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）计算：(1)2a 2b ⋅(−3ab 2)+(2ab)3； (2)(2a +b −5)(2a −b +5)﹒举一反三2（2022秋·上海静安·七年级新中初级中学校考期末）计算：(1)(a 2)3⋅(a 2)4÷(a 2)5； (2)(3a +14b 2)(14b 2−3a)．举一反三3（2022秋·上海虹口·七年级校考期中）计算：3a 2b 2·(−2ab 4)−(−ab 2)3题型三整式的混合运算例3 （2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）计算：(4x3−2x)÷(−2x)−(1+ 2x)(1−2x)．举一反三1（2023秋·上海宝山·七年级校考期末）计算：[(−2+x)(2+x)+(2+3x)2]÷2x 举一反三2（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）计算：(a+2b−c)(a−2b−c)举一反三3（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）计算：(0.25a3b2)2⋅(4a2b)3−3(−a2b)5⋅a2b2一、单选题1．下列计算正确的是（）A．(x3)2=x5B．x3+x2=x5C．(x2−x)÷x=x(x≠0)D．x2÷x2=1(x≠0)2．一个长方形的面积为4a2−2ab，且一边长为2a，则该长方形的周长为（）．A．2a−b B．4a−b C．4a2−2ab D．8a−2b3．小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab＝4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（）A．（2a+b2）B．（a+2b）C．（3ab+2b2）D．（2ab+b2）4．（2019秋·上海静安·七年级校考期中）下列计算中，正确的是()A．a²+a²=3a4B．2x³⋅(−x²)=−2x5C．(−2a²)³=−8a5D．（6x2m+2x m)÷2x m=3x²+1 5．（2020秋·上海闵行·七年级上海市民办文绮中学校考期中）下列运算正确的是（）A．(a3)2=a5B．a3+a2=a5C．(a3−a)÷a=a2D．a3÷a3=1二、填空题1．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：y）＝﹣6x+2y﹣1则手掌捂住的多项式．÷（−12三、解答题1．化简：(1)(−2x2y)3÷(2y)·12y2(2)(21x4y3−35x3y2+7x2y2)÷(−7x2y)(3)(2x−1)2−(2x+5)(2x−5)．2．计算：(x2+3x3+2x4)⋅x−(x2+2x3+3x4)÷(−x)2．3．计算：(1)(12ax3−27ax)÷3ax；(2)(4x2y3+8x2y2−2xy2)÷2xy2．4．小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母M和N表示），污染后的习题如下：(30x4y2+M+12x2y2)÷(−6x2y)=N+3xy−2y．(1)请你帮小伟复原被污染的M和N处的代数式，并写出练习题的正确答案；(2)爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式x2y+xy+y相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．5．（2021秋·上海浦东新·七年级上海市民办新竹园中学校考期中）化简求值：[(−2a3x2)(a−2x)−34a2x3]÷[−(ax)2]，其中a=12，x=−4．。

多项式除以单项式教学目标：知识与能力1.理解整式除法运算的算理，体会除法运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。

2.会进行多项式除以单项式的运算法则。

过程与方法：.理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。

情感态度价值观：培养学生有条理的思考及有逻辑的思维能力和语言表达能力。

重点和难点：重点：多项式与单项式相除的法则。

难点：单项式的系数的符号是负时的情况。

教学过程一、复习提问1．计算并回答问题：以上的计算是什么运算？能否叙述这种运算的法则？2．计算并回答问题：(3)以上的计算是什么运算？能否叙述这种运算的法则？3．请同学利用2、3、6其间的数量关系，写出仅含以上三个数的等式．说明：希望学生能写出2×3=6，(2的3倍是6)3×2=6，(3的2倍是6)6÷2=3，(6是2的3倍)6÷3=2．(6是3的2倍)然后向大家指明，以上四个式子所表示的三个数间的关系是相同的，只是表示的角度不同，让学生理解被除式、除式与商式间的关系．二、新课1．新课引入．对照整式乘法的学习顺序，下面我们应该研究整式除法的什么内容？在学生思考的基础上，点明本节的主题，并板书标题．2．法则的推导．引例：(8x3-12x2+4x)÷4x=(？)分析：利用除法是乘法的逆运算的规定，我们可将上式化为4x · ( ？ ) =8x3-12x2＋4x．原乘法运算：乘式乘式积(现除法运算)：(除式) (待求的商式) (被除式)然后充分利用单项式乘多项式的运算法则，引导学生对“待求的商式”做大胆的猜测：大体上可以从结构(应是单项式还是多项式)、项数、各项的符号能否确定、各具体的项能否“猜”出几方面去思考．根据课上学生领悟的情况，考虑是否由学生完成引例的解答．解：(8x3-12x2+4x)÷4x=8x3÷4x-12x2÷4x+4x÷4x=2x2-3x+4x．思考题：(8x3-12x2＋4x)÷(-4x)=？以上的思想，可以概括为“法则”：法则的语言表达是3．巩固法则．例1计算：(l)(28a3-14a2+7a)÷7a；(2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y)．解：(l)(28a3-14a2+7a)÷7a=28a3÷7a-14a2+7a＋7a÷7a=4a2-2a+1；(2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y)=36x4y3÷(-6x2y)-24x3y2÷(-6x2y)＋3x2y2÷(-6x2y)小结：(l)当除式的系数为负数时，商式的各项符号与被除多项式各项的符号相反，要特别注意；(2)多项式除以单项式是利用相应法则，转化为单项式除以单项式而求得结果的．(3)在学习、巩固新的法则阶段，应尽量要求学生写出表现法则的那一步．本节是学习多项式与单项式的除法，因此对于单项式除以单项式的计算则可以从简．练习1．计算：(1)(6xy+5x)÷x； (2)(15x2y-10xy2)÷5xy；(3)(8a2b-4ab2)÷4ab；(4)(4c2d+c3d3)÷(-2c2d)．例2 化简［(2x＋y)2-y(y+4x)-8x］÷2x．解：[(2x＋y)2-y(y＋4x)-8x]÷2x=(4x2+4xy＋y2-y2-4xy-8x)÷2x=(4x2-8x)÷2x=2x-4．三、小结1．多项式除以单项式的法则写成下面的形式是否正确？(a+b＋c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m．答：上面的等式也反映出多项式除以单项式的基本方法(两个要点)：(1)多项式的每一项除以单项式；(2)所得的商相加．所以它也可以是多项式除以单项式法则的数字表示形成．学习了负指数之后，我们可以理解a、b、c是否能被m整除不是关键问题．2．多项式除以单项式的商在项数与各项的符号与什么式子有联系？有何联系？教学后记：。

第13章 整式的乘法§13.4 整式的除法2. 多项式除以单项式【学习目标】1.通过探索过程理解多项式除以单项式的法则.2.会用多项式除以单项式的法则进行多项式除以单项式的除法及简单综合运算.【课前导习】1.下列运算正确的是( )A ．422x 3x x 2-=--B ．642x 16)x 2(=-C ．m m 2)1m 2(m 2-=-D ．232x x )1x x (x -=+-2.计算：)133()2(23--⋅-xy xy y x = . 3.填空：∵m （a ＋b ＋c ）＝∴（ma ＋mb ＋mc ）÷m ＝概括：多项式除以单项式法则多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的 ．4.（1） （9x 4－15x 2＋6x ）÷３x＝9x 4÷３x － ＋＝（2） （28a 3b 2c ＋a 2b 3－14a 2b 2）÷（－7a 2b ）＝ ＋a 2b 3÷（－7a 2b ）－ ＝【主动探究】试一试计算： （1） （ax ＋bx ）÷x ；（2） （ma ＋mb ＋mc ）÷m ．概 括：法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项 这个单项式，再把所得的 相加．先做后说，点评例题例3计算：（1） （9x 4－15x 2＋6x ）÷３x ；（2） （28a 3b 2c ＋a 2b 3－14a 2b 2）÷（－7a 2b ）．【当堂训练】1. 计算：（1） （3ab －2a ）÷a ； （2） （5ax 2＋15x ）÷5x ；（3） （12m 2n ＋15mn 2）÷6mn ； （4） （x3－2x 2y ）÷（－x 2）．2. 计算：（1）22232)2()41()2(xy y x xy -÷-⋅- ⑵()()a a a a 296423-÷+-3. （1） [(x+y)2+(x+y)(x －y)]÷2x （2）（16x 3－8x 2＋4x ）÷（－2x ）．4. 计算：（1） （4a 3b 3－6a 2b 3c －2ab5）÷（－２ab 2）；（2） x 2y 3－1/2x 3y 2＋2x 2y 2÷1/2xy 2．【回学反馈】1.计算：（1）（6a3b－9a2c）÷３a2；（2）（4a3－6a2＋9a）÷（－2a）（3）（－4m4＋20m3n－m2n2）÷（－4m2）；（4） x2y－1/2xy2－2xy÷1/2xy．2.计算：（1）（12p3q4＋20p3q2r－6p4q3）÷（－2pq）2；（2）［４y（2x－y）－2x（2x－y）］÷（2x－y）．3. 求下列各式的值：（1）（3x4－2x3）÷（－x）－（x－x2）·３x，其中x＝－1/2；（2）［（ab＋1）（ab－2）－2a2b2＋2］÷（－ab），其中a＝3/2，b＝－4/3．。

《多项式除以单项式》典型例题例1 计算：（1）2234993436x x x x ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；（2）()233454235.0612125.0b a b a a a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--．例2 计算：（1）()1213963-++÷-+n n n n a a a a ；（2）()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+．例3 （1）已知一多项式与单项式457y x -的积为()3235675272821y x y y x y x +-，求这个多项式．（2）已知一多项除以多项式342-+a a 所得的商是12+a ，余式是82+a ，求这个多项式．例4 ()()()2232232521525b a b ab a a ab -⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅-． 例5 计算题：（1）x x x x 4)4816(34÷--； （2）)4()7124(22323a b a b a a -÷-+-；（3）1214)1284(-++÷-+m m m m a a a a ．例6 化简：（1）x x x y y y x 2]8)4()2[(2÷-+-+；（2）)41()4()412)(124(43362x x x x x x -÷-+++-例7 计算)].(31[)](32)(2)[(23q p q p q p q p +÷+-+-+参考答案例 1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果．解：（1）原式()22232499934936x x x x x x ++÷+÷-= 127442++-=x x （2）原式()()()2334235423235.0615.0215.025.0b a b a b a b a b a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷= ab ab 31213++-= 21313-+=ab ab 说明：运算结果，应当按某一字母的降幂（或升幂）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处．例2 分析：（1）题利用法则直接计算. （2）题把()b a +看作一个整体，就是多项式除以单项式．解：（1）原式11211393633--+-+÷-÷+÷=n n n n n n a a a a a aa a a 3232-+=a a a 3223-+=（2）原式=()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+ ()()21232-+-+=b a b a 212323222---++=a a b ab a 例3 解：（1）所求的多项为()[]()4532356757272821y x y x y y x y x -÷+- ()()457956757562821y x y x y x y x -÷+-=343843y x xy y -+-=（2）所求多项式为 ()()()8212342+++-+a a a a8234682223++-++-+=a a a a a a59223++=a a说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。

多项式除以单项式说课稿一、说教材《多项式除以单项式》是数学教学中的重要内容，它位于代数学的初期阶段，起着承前启后的作用。

本文在课文中占据了显著的地位，不仅是学习整式除法的基础，也是培养学生数学运算能力和逻辑思维能力的有效载体。

（1）作用与地位：多项式除以单项式是整式除法运算的基础，是学生从算术除法过渡到代数除法的桥梁。

通过这部分内容的学习，学生可以巩固以往所学的整式知识，为后续学习多项式除法打下坚实基础。

（2）主要内容：本文主要介绍了多项式除以单项式的法则，包括商的确定、余数的判定以及除法运算的步骤。

通过具体实例，让学生掌握如何将多项式除以单项式的运算过程，并能够熟练运用到实际问题中。

（3）教材编排：本文按照“引入概念—讲解法则—举例说明—巩固练习”的顺序编排，旨在让学生在理解概念的基础上，通过具体实例掌握运算方法，从而提高解题能力。

二、说教学目标学习本课，学生需要达到以下教学目标：（1）理解多项式除以单项式的概念，掌握其运算规则。

（2）能够熟练地将多项式除以单项式，并正确求出商和余数。

（3）培养逻辑思维能力和数学运算能力，提高解题速度和准确率。

（4）通过本节课的学习，激发学生对数学学习的兴趣，增强克服困难的信心。

三、说教学重难点（1）重点：多项式除以单项式的运算规则，如何确定商和余数。

（2）难点：如何将多项式除以单项式的运算过程应用到实际问题中，提高解题能力。

在教学过程中，要充分关注这两个方面，确保学生能够扎实掌握多项式除以单项式的运算方法。

同时，注意引导学生克服难点，将所学知识运用到实际问题中，提高数学素养。

四、说教法在教学《多项式除以单项式》这一部分内容时，我计划采用以下几种教学方法，旨在提高教学效果，凸显教学亮点。

1. 启发法：在引入新课内容时，我将以实际生活中的问题作为切入点，引导学生发现多项式除以单项式的实际意义，激发学生的探究兴趣。

通过设置问题情境，让学生在思考中逐步理解多项式除以单项式的运算规则。

《多项式除以单项式》知识清单在数学的学习中，多项式除以单项式是一个重要的知识点。

它不仅是代数式运算的基础，也在解决各种数学问题中有着广泛的应用。

接下来，让我们一起来详细了解一下多项式除以单项式的相关内容。

一、基本概念多项式：由有限个单项式的代数和组成的代数式叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

二、运算法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。

用式子表示为：＄（am ＋ bm ＋ cm)÷m ＝ am÷m ＋ bm÷m ＋cm÷m ＝ a ＋ b ＋ c$三、运算步骤1、把多项式的每一项分别除以单项式。

2、计算各项除以单项式的商。

3、将所得的商相加。

例如：计算$（6x³ 9x²＋ 3x)÷3x$第一步：分别除以单项式＄6x³÷3x ＝ 2x²$＄ 9x²÷3x ＝ 3x$＄3x÷3x ＝ 1$第二步：将商相加＄（6x³ 9x²＋ 3x)÷3x ＝ 2x² 3x ＋ 1$四、注意事项1、运算时要注意符号，同号相除得正，异号相除得负。

2、不要漏项，每一项都要除以单项式。

3、注意商的次数，商的每一项的次数都应该小于等于原来多项式中对应项的次数。

五、实际应用多项式除以单项式在解决实际问题中经常用到，比如在几何图形的面积计算、工程问题中的工作量计算等方面。

例如：一个长方形的面积为$（6x²＋ 9x)平方米$，宽为 3x 米，求长方形的长。

多项式除以单项式重点法则及其应用。

多项式除以单项式，
其基本方法与步骤是化归为单项式除以单项式，结果仍是多项式，其项数与原多项式的项数相同。

因此多项式除以单项式的运算关键是将它转化为单项式除法的运算，再准确应用相关的运算法则。

运算法则的实质是把多项式除以单项式的的运算转化为单项式的除法运算。

故多项式除以单项式的法则也可以看做是乘法对加法的分配律的应用。

规律多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．同底数幂相除
1任何不等于0的数的0次幂都等于1．
2任何不等于0的数的－p（p是正整数）次幂等于这个数的p次幂的倒数．
①大于1的整数的位数减1等于10的幂的指数．②小于1的纯小数，连续零的个数（包括小数点前的0）等于10的幂的指数的绝对值．
1．同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（
，、都是正整数，且）.
2．指数相等的同底数的幂相除，商等于1，即，其中 .
3．同底数幂相除，如果被除式的指数小于除式的指数，则出现负指数幂，规定
（其中，为正整数）.
4．底数可表示非零数，或字母或单项式、多项式（均不能为零）.。

多项式除以单项式解析题本文档将介绍多项式除以单项式的解析题。

在解析多项式除法的过程中，我们将探讨如何将多项式除以单项式，并给出相关的实例和解答。

1. 多项式除以单项式的概述多项式除以单项式是一种常见的数学运算，特别适用于代数学的研究。

它通常涉及将一个多项式除以一个单项式，并找出商和余数。

2. 解析题的要求解析题的主要要求是对给定的多项式和单项式进行除法运算，并给出正确的解答。

常见的解析题类型包括有理系数多项式除以一元一次多项式，一元二次多项式除以一元一次多项式等。

3. 解析题的解题步骤解析多项式除法的步骤如下：1. 对多项式进行降阶排列，确保多项式的次数按降序排列。

2. 确定单项式的次数，并找出单项式的首项系数。

3. 将单项式的首项系数除以多项式的首项系数，得到商的首项系数。

4. 通过将多项式的每一项与单项式的首项的相反数相乘，并将乘积加到多项式上，得到新的多项式。

5. 重复步骤3和4，直至无法再进行除法运算为止，得到最终的商和余数。

4. 实例解析考虑以下实例，我们将对一个多项式进行除法运算：多项式：$3x^3 - 7x^2 + 5x - 2$单项式：$x - 2$步骤1：降阶排列多项式按降序排列为：$3x^3 - 7x^2 + 5x - 2$步骤2：确定单项式的次数和首项系数单项式的次数为1，首项系数为1。

步骤3：计算商的首项系数商的首项系数为：$1/3$。

步骤4：进行除法运算将多项式的每一项与单项式的首项的相反数相乘，并将乘积加到多项式上，得到新的多项式：$3/1 * (x - 2) = 3x - 6$新的多项式为：$3x^3 - 7x^2 + 5x - 2 + (3x - 6)$步骤5：重复步骤3和4我们可以继续进行除法运算：$3/1 * (x - 2) = 3x - 6$新的多项式为：$3x^3 - 7x^2 + 5x - 2 + (3x - 6) + (3x - 6)$继续进行除法运算：$3/1 * (x - 2) = 3x - 6$最终的多项式为：$3x - 6$因此，多项式 $3x^3 - 7x^2 + 5x - 2$ 除以单项式 $x - 2$ 的解析解为：商 $= 3x - 6$ 余数 $= 0$。