11 6 x i n
∑ 2 ∑ x 一、填空题 （共 10 题，每题 2 分，共 20 分）
1．只于自身合同的矩阵是
矩阵。
? 3 7 ?? x 1 ?
2．二次型 f (x 1, x 2 )= (x 1 x 2 ) ? ? 的矩阵为
。
? ?? 2 ?
3. 设 A 是实对称矩阵，则当实数t , tE + A 是正定矩阵。
4. 正交变换在标准正交基下的矩阵为 。
5. 标准正交基下的度量矩阵为 。
6. 线性变换可对角化的充要条件为 。
7. 在 P 2?2 中定义线性变换
为：
(X )
= ? a b ? X ，写出
在基 E , E , E , E 下
? ? c d ?
的矩阵
。
11
12
21
22
8. 设V 1 、V 2 都是线性空间V 的子空间，且V 1 ? V 2 ，若dim V 1 = dim V 2 ，则
。
9. 叙述维数公式
。
10．向量在基1,2 ,???,n （1）与基1,2 ,???,n （2）下的坐标分别为 x 、 y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为 A ，则 x 与 y 的关系为
。
二、判断题 （共 10 题，每题 1 分，共 10 分）
1. 线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ）
2. 设
为n 维线性空间V 上的线性变换，则V +
-1
(0)= V 。
（ ）
3. 平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实
数域上的线性空间。（ ）
4. 设V 1 与V 2 分别是齐次线性方程组 x 1 + x 2 + ??? + x n = 0 与 x 1 = x 2 = ??? = x n 的解空间，则
V 1 ⊕V 2 = P n
（
）
n
? n ?2
5. n x - i ? 为正定二次型。（ ）
i =1 ? i =1 ?
6. 数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ）
7. 把复数域C 看作复数域上的线性空间， ?∈ C ，令= ，则是线性变换。（
）
8. 若
是正交变换，那么的不变子空间的真正交补也是的不变子空间。（
）
9. 欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ）
10. 若
为P [x ] ( n > 1 )中的微分变换，则不可对角化。（ ）
三、计算题 （共 3 题，每题 10 分，共 30 分）
2
? ? ?
? ? 1
1.
设线性变换在基, , 下的矩阵为 A = 1 2 3
并判断是否可对角化？
2. t 取什么值时，下列二次型是正定的？
? 1 2 2 ? 1 2 ? 2 2 1 ? ，求的特征值与特征向量， f (x , x , x )= x 2 + x 2 + 5x 2 + 2tx x - 2x x + 4x x
1
2
3
1
2
3
1 2
1 3
2 3
3.
设三维线性空间V 上的线性变换在基, , 下的矩阵为： A =
? a 11 a 12 a 13 ?
a a a ,求
1 2 3 2a 1 2a 2 2a 3 ? ? 31 32 33 ?
在基1, k 2 (k ∈ P ,且k ≠ 0)，3 下的矩阵 B 。
四、证明题 （共 4 题，每题 10 分，共 40 分）
1. 证明：
?1 ? ?i 1 ?
A = ? 2
? 与B = i 2
?
相似，其中i , i ,???, i 是1, 2,???, n 的一
?
? ? ? 1 2
n
?
n ? ?
个排列。
in
? s
i -1
2. 证明：和
∑V i 是直和的充要条件为：V i ∑V j = {0}(i = 2, 3,???, s )。
i =1
j =1
3. 设 A 是 n 级实对称矩阵，且 A 2 = A ，证明：存在正交矩阵T ，使得：
? 1
? ? ? T -1AT = 1
? ? 0 ?
? ?
4. 证明： A =
?1
?
2
? 0 ? ?
与 B =
?i 1
i 2
? ?
? 合同，
? ?
? ? ?
n ?
?
其中i 1 , i 2 ,???, i n 是1, 2,???, n 的一个排列。
in ?
答案
9 6 ? 1 ? ? ? 1 2 2
? ? ? 3 9 ? 一．1．零 2． ?
? ? 3.充分大 4.正交矩阵
5. E
6.有 n 个线性无关的
特征向量
? a 0 b 0 ?
0 a 0 b 7.
?
8.
V = V
9.
c 0
d 0 ? 1
2
0 c 0 d
?
?
dim (V 1 + V 2 )= dim V 1 + dim V 2 - dim (V 1 V 2 )
10. X = AY 二．1. ? 2. ?
3. ?
4.√
5. ?
6. ?
7. ?
8. √ 9. ?
10. √
三．1.解： f A (
)= E - A = -1
-2
-2 - 2 -1 -2
-2 - 2 -1
= (- 5)(+1)2
（3 分）
所以，的特征值为1 = -1（二重）和2 = 5 。把1 = -1代入方程组
( E - A )X = 0 得： ??-2x 1 - 2x 2 - 2x 2 = 0 ? 1 ? -2x - 2x - 2x = 0 基础解系为 n = ? 0 ?
n = ?? 0??
? 1 2 2 1
? ? 2 ? ?
?-2x - 2x - 2x = 0 ?-1?
?-1?
因此，
属于-1得两个线性无关得特征向量为：
1 = 1 -2
,2 = 2 -3
因而属于-1的全部特征向量就是 k 11 + k 22
， k 1 、 k 2 取遍 P 中不全为零的全部数对
?1? （6 分），再用2 = 5 代入(E - A )X = 0 得：基础解系 n 3 = ?1? ，因此，属于 5 的全部特 ??1??
征向量是 k 3 ， k 是 P 中任意不等于零的数。
（9 分） 因为
有三个线性无关的特征向量，所以
可能对角化。
（10 分）
? 1 t -1?? 2.解： f 的矩阵为： A = t 1 2
? -1 2 5 ? 1 t 2 2
4 1 > 0 ，
t = 1- t 1
> 0 ， A = -5t - 4t > 0 。得： - < t < 0 5
21 2 313
∑
∴当- 4
< t < 0 时， f 是正定的。
5
3．解： 1 = a 111 + k
a 1
(k )+ a （2.5 分）
(k 2 )= ka 121 + a 22 (k 2 )+ ka 323
（2.5 分） ( )= a + 1
a (k )+ a
（2.5 分）
3
13 1
k 23 2
33 3
? a 11 ka 12 a 13 ? 1 a a
1 a ? ∴
在基下的矩阵为 B = 21 22
23 （2.5 分）
k k ? a ka a ?
? 31
32 33 ? 四．1.证：任意 n 维向量空间V ， ?V 的基
1,2 ,???,n ，则? 唯一
∈ L (V )使
( ??? )= ( ??? )
?1
2
?
? （3 分）
1 2
n
1 2
n
?
即
(i )=
∴
(i 1 )= i 1i 1 (i 2 )= i 2i 2
???????
(in )= in in
?
n ?
i = 1, 2,???, n
∴
在基
i 1,i 2 ,???,in 下的矩阵为 B （6 分）
∴ A 与 B 相似（1 分）
s
2. 证： ?
V j 是直和 i =1
∴V i ∑V i = {0}
j ≠i
（3 分）
i -1
V i ∑V j ? V i ∑V j
i -1
∴V i ∑V j = {0}
（2 分）
j = 1
j ≠i
j =1
? 令1 + ??? +
s -1 +s = 0
∴s = - (1 + ??? +s -1
)
∴s ∈V s
s -1
∑V
j
j =1
（ 3 分）
∴s = 0 ，同理s -1 = ??? =2 =1 = 0
∑ ?
s
∴ V i 是直和。
（2 分）
i =1
3. 证：设
是 A 的任一特征值
∴?
≠ 0 ，使 A =
∴ A 2= A ()= 2 A 2 = A ，∴2
=
∴(
2 -
)
= 0
∴=1或= 0
A 实对称矩阵
≠ 0 ∴2
-= 0
? 1 ?
?
? ∴?正交矩阵T ，使T -1AT = 1
?
0 ?
? ? 0 ? ? ?
4. 证： A 、 B 对应的二次型分别为
f (x ,???, x )= x 2 + x 2 + ??? + x 2
1
n
1 1
2 2
n n
g (y ,???, y )=
y 2 +
y 2 + ??? +
y 2
1
n
i 1 1
i 2 2
in in
? y 1 = x i 1
令 ? y 2 = x i 2 ??????? ? y n = x in
， g (y ,???, y )= x 2 + ??? + x 2 = f (x ,???, x )
1
n
i 1 i 1
in in
1
n
所以， A 与 B 合同。
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!