【20套精选试卷合集】太原市第五中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

太原市2019年高三年级模拟试题（二）文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|12}A x x =-≤≤，B N =，则集合A B 的子集的个数是（ ）A ． 4B ． 6C ．8D ．162.2(2)(1)12i i i+-=-（） A ．2 B ． -2 C ．13 D ．13- 3.设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则“10a >” 是“32S S >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 4.下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞上单调递增的函数是（ ） A ． x x y e e -=+ B ．ln(||1)y x =+ C.sin ||x y x =D ．1y x x =-5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：0sin150.2588≈，0sin 7.50.1305≈）A ． 6B ．12 C. 24 D ．486.某班从3名男生和2名女生中任意抽取2名学生参加活动，则抽到2名学生性别相同的概率是（ ）A ．35 B ．25 C. 310 D ．127.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(,0),(0,)c b 的直线的距离为2c ，则椭圆的离心率为（ ） A ．2 B．2 C.12 D．38. 已知 1.12a =，0.45b =，5ln2c =，则（ ） A ． b c a >> B ．a c b >> C.b a c >> D ．a b c >> 9.已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为6x π=-，若12()()4f x f x =-，则12||x x +的最小值为（ ） A ．3π B ． 2π C. 23π D ．34π 10.已知实数,x y 满足00220y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩，若10ax y a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ． (,2]-∞-B ． 1(1,]2- C. (,1]-∞- D ．1(,]3-∞- 11.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73π B ．83π- C.73π- D ．83π 12.已知函数32()f x x ax bx =++有两个极值点12,x x ，且12x x <，若10223x x x +=，则函数0()()()g x f x f x =-（）A ．恰有一个零点B ．恰有两个零点 C.恰有三个零点 D ．零点个数不确定 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知非零向量,a b 满足||2||a b =，且()(3)a b a b -⊥+，则向量,a b 的夹角的余弦值为．14.双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >> 上一点(3,4)M -关于一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点2F ，则该双曲线的标准方程为．15.已知菱形ABCD中，AB =060BAD ∠=，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为060的四面体，则四面体ABCD 的外接球的表面积为． 16.数列{}n a 中，若12a =，121n n a a +=+，21n n n b a b +=-，*n N ∈，则数列{||}n b 的前n 项和为． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且tan cos cos )a A c B b C +. （1）求角A ；（2）若点D 满足2AD AC =，且3BD =，求2b c +的取值范围.18. 按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品. 某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，对规定的质量指标值进行检测.表1是甲套设备的样本频率分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图.（1）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中的不合格品约有多少件；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；（2）根据表1和图1，对甲、乙两套设备的优劣进行比较； 附：19. 四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，2AB DC ==ACBD F =，PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心.（1）求证：//GF 平面PDC ； （2）求三棱锥G PCD -的体积.20. 已知以点(0,1)C 为圆心的动圆C 与y 轴负半轴交于点A ，其弦AB 的中点D 恰好落在x 轴上. （1）求点B 的轨迹E 的方程；（2）过直线1y =-上一点P 作曲线E 的两条切线，切点分别为,M N ，求证：直线MN 过定点. 21.已知函数()ln (0)x f x m x e m -=-≠.（1）若函数()f x 是单调函数，求实数m 的取值范围；（2）证明：对于任意的正实数,a b ，当a b >时，都有111a ba e e b--->-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知点P 是曲线221:(2)4C x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转090得到点Q ，设点Q 的轨迹方程为曲线2C . （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线(0)3πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，定点(2,0)M ，求MAB ∆的面积.23.选修4-5：不等式选讲已知实数,a b 满足2244a b +=.（1）求证：2≤；（2）若对任意,a b R ∈，|1||3|x x ab +--≤恒成立，求实数x 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: CADDC 6-10: BADCC 11、12：BB 二、填空题14.221520x y -= 15. 156π 16.4(21)n ⨯- 三、解答题17.（1）∵tan cos cos )a A c B b C =+∴sin tan cos sin cos )A A C B B C =+∴sin tan )A A C B A =+= ∵0A π<<，∴sin 0A ≠∴tan A =060A =（2）在ABD ∆中，根据余弦定理得：2222cos AD AB BD AD AB A +-= 即22(2)92b c bc +-= ∴2(2)96b c bc +-=又222()2b c bc +≤，∴22(2)922()33b c b c bc +-+-≤ ∴2(2)36b c +≤，∴26b c +≤ 又23b c +>，∴326b c <+≤.18.（1）由图1知，乙套设备生产的不合格品率约为750， ∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为7500070050⨯=（件） （2）根据表1和图1得到列联表：将列联表中的数据代入公式计算得：222()100(487243) 3.053()()()()5050919n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯∵3.053 2.706>，∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关. （3）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为4850，乙套设备生产的合格品的概率约为4350，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散，因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备.19.（1）连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH ， 梯形ABCD 中，∵//AB CD 且2AB DC =，∴21AE FC = 又G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH = 在AHC ∆中，21AG AF GH FC ==，故//GF HC 又HC ⊆平面PCD ，GF ⊄平面PCD ，∴//GF 平面PCD .（2）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，E 为AD 的中点， ∴PE AD ⊥，∴PE ⊥平面ABCD ，且3PE =，由（1）知，//GF 平面PDC ，∴13G PCD F PCD F CDP CDF V V V PE S ---∆===⨯⨯又由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC ==13DF BD ==又ABD ∆为正三角形，得060CDF ABD ∠=∠=∴1sin 22CDF S CD DF FDC ∆=⨯⨯⨯∠=∴132P CDF CDF V PE S -∆=⨯⨯=，∴三棱锥G PCD -的体积为220.（1）设(,)B x y ，则AB 的中点(,0)2xD ，0y >， 因为(0,1)C ，则(,1)2x DC =-，(,)2xDB y =， 在圆C 中，因为DC DB ⊥，∴0DC DB ∙=,所以204x y -+=，即24(0)x y y => 所以点B 的轨迹E 的方程为24(0)x y y =>. （2）证明：由已知条件可得曲线E 的方程为24x y = 设点(,1)P t -，11(,)M x y ，22(,)N x y ，∵24x y =，∴'2x y =∴过点,M N 的切线方程分别为111()2x y y x x -=-，222()2xy y x x -=-， 由2114y x =，22224y x =，上述切线方程可化为112()y y x x +=，222()y y x x +=， ∵点P 在这两条切线上，∴112(1)y tx -=，222(1)y tx -=， 即直线MN 的方程为2(1)y tx -=， 故直线2(1)y tx -=过定点(0,1)C . 21.（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞∵()ln xf x m x e -=-，∴'()x x m m xe f x e x x--+=+=∵函数()f x 是单调函数，∴'()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立或'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，①若'()0f x ≤，则0x m xe x-+≤，即0x m xe -+≤，x x x m xe e -≤-=， 令()xxx e ϕ=-，则1'()x x x e ϕ-=，当01x <<时，'()0x ϕ<；当1x >时，'()0x ϕ>则()x ϕ在(0,1)上递减，(1,)+∞上递增，∴min 1()(1)x e ϕϕ==-，∴1m e≤-②若'()0f x ≥，则0x m xe x-+≥，即0x m xe -+≥，x x xm xe e -≥-= 由①得()xxx e ϕ=-在(0,1)上递减，(1,)+∞上递增， 又(0)0ϕ=，x →+∞时，()0x ϕ<，∴0m >综上可知，1m e≤-或0m > （2）由（1）知，当1m e =-时，1()ln xf x x e e-=--在(0,)+∞上递减∵0b a <<，∴()()f b f a >，即11ln ln b a b e a e e e---->--，∴11ln ln a be e b a --->-要证111a ba e eb --->-，只需证ln ln 1a b a b -≥-，即证ln 1b a a b>-令b t a =，(0,1)t ∈，则需证1ln 1t t >-，令1()ln 1h t t t =+-，则21'()0t h t t-=<∴()h t 在(0,1)上递减，又(1)0h =∴()0h t >，即1ln 1t t>-，得证.22. （1）曲线1C 的极坐标方程为=4cos ρθ. 设(,)Q ρθ，(,)2P πρθ-，于是4cos()4sin 2πρθθ=-=， 所以，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（2）M 到射线3πθ=的距离为2sin3d π==||4(sincos )1)33B A AB P P ππ=-=-=，则1||32S AB d =⨯=23. （1）证明：222441||24a b a b a +++≤=≤=.（2）由2244a b +=及2244||a b ab +≥=，可得||1ab ≤，所以1ab ≥-，当且仅当a =b =或a =b =. 因为对任意,a b R ∈，|1||3|x x ab +--≤恒成立，所以|1||3|1x x +--≤-. 当1x ≤-时，|1||3|4x x +--=-，不等式|1||3|1x x +--≤-恒成立；当13x -<<时，|1||3|22x x x +--=-，由13221x x -<<⎧⎨-≤-⎩，得112x -<≤；当3x ≥时，|1||3|4x x +--=，不等式|1||3|1x x +--≤-不成立； 综上可得，实数x 的取值范围是12x ≤.数学高考模拟试卷（文科） 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

高三数学（文） 第1页,共4页 高三数学（文） 第2页,共4页密学校 班级姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题2019届太原市五中高三下学期模拟考试数学（文）试卷（2018.4.11）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项)1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2{|4}B x x =≥， 则下图中阴影部分所表示的集合为（ ） A.{}2,1,0,1-- B.{}0 C.{}1,0- D.{}1,0,1-2.下面关于复数21iz =--的四个命题：1:2p z =2:p z 的共轭复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1--3:p z 的虚部为-1 24:2i p z =- 其中的真命题是（ ）A. 23,p pB. 12,p pC. 24,p pD.34,p p3.阅读如图所示的程序框图，若输入的9k =， 则该算法的功能是（ ）A. 计算数列{}12n -的前10项和 B. 计算数列{}12n -的前9项和C. 计算数列{}21n -的前10项和D. 计算数列{}21n -的前9项和4．若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治、历史、物理、化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ）A. 16B. 13C. 12D.235.已知点)8,(m 在幂函数n x m x f )1()(-=的图象上， 设)33(f a =，)(ln πf b =，)22(f c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b c a << B ．c b a << C ．a c b << D ． c a b <<6.如图，网格纸上小正方形的边长为1， 粗线画出的是某三棱锥的三视图， 则该三棱锥的外接球的表面积是（）A. π25B.π425C. π29D. π4297.若变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，且3z ax y =+最小值为7，则a 的值为（ ）。

太原五中2019-2020学年度第二学期6月模拟考试（一）高三数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项. 1.已知集合()(){}440A x x x =-+≤，{}22416B y x y =+=.则A B =I （ ）A.[]3,3--B.[]2,2-C.[]4,4-D.∅2.设z a bi =+且a b R ∈、，“z 是纯虚数”是“0a =”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ） A.18B.9C.6D.34.已知方程ln 112x x =-的根为0x ，且()0,1x k k ∈+，*k N ∈，则k =（ ） A.2B.3C.4D.55.已知某线性规划问题的约束条件是34y xy x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则下列目标函数中，在点()3,1处取得最小值的是（ ）A.2 z x y =-+B.2z x y =+C.12z x y =-- D.2z x y =-6.把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有（ ）种 A.41B.56C.156D.2527.43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A.12B.12C.12D.128.已知3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 21cos2αα=-，则tan2α=（ ）A.12- B.12+-C.12-± D.12- 9.设()f x ，()g x 分别为定义在[],ππ-上的奇函数和偶函数，且()()2cos xe f x x g x +=（e 为自然对数的底数），则函数()()y f x g x =-的图象大致为（ ）A B. C. D.10.如图是正态分布()0,1N 的正态曲线图，下面4个式子中，等于图中阴影部分面积的式子的个数为（ ）注：()()a P X a Φ=≤①()12a -Φ- ②()1a Φ- ③()12a Φ- ④()()12a a Φ-Φ-⎡⎤⎣⎦ A.1 B.2C.3D.411.如图所示，在ABC △中，AD DB =，点F 在线段CD 上，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，AF xa yb =+u u u r r r ，则141x y ++的最小值为（ ）A.6+B.C.6+D.3+12.设()f x '是函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2f x f x x'>，若在ABC △中，A ∠为钝角，则下列不等式一定成立的是（ ） A.()()22sin sin sin sin f A B f B A <B.()()22sin sin sin sin f C B f B C <C.()()22cos sin sin cos f A B f B A ->D.()()22cos sin sin cos f C B f B C >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.2020503+被7除后的余数为________________________.14.若顶点在原点的抛物线经过三个点()2,1-，()1,2，()4,4中的2个点，则满足要求的抛物线的标准方程有_______________________.15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点.若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，设直线1D P 与直线1C C 所成角为θ，则cos θ的取值范围是___________________.16.ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .且()sin A C +=，若AC 边上的中线BM 的长为2，则ABC △面积的最大值为____________________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）如图所示的多面体ABCDEF 满足：正方形ABCD 与正三角形FBC 所在的两个平面互相垂直，//FB EA 且2FB EA =.（1）证明：平面EFD ⊥平面ABFE ； （2）求二面角E FD C --的余弦值. 18.（12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-，对一切*n N ∈都成立.（1）当1λ=时，证明数列1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是常数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 19.（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点)，离心率为3（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0M 的直线交椭圆于A ，B 两点，若AM MB λ=u u u u r u u u r ，在线段AB 上取点D ，使得AD DB λ=-u u u r u u u r.求证：点D 在定直线上. 20.（12分）为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如茎叶图：（1）（Ⅰ）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m ，并将连续正常运行时间超过m 和不超过m 的次数填入下面的列联表：（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）工厂的生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种.对生产线设定维护周期为T 天（即从开工运行到第T 天()*k N ∈进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元.现制定生产线一个生产周期（以120天计）内的维护方案：30T =，1,2,3,4k =以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列. 21.（12分） 已知函数()1x x f x a e-=-的两个零点记为1x ，2x .（1）求a 的取值范围； （2）证明：12x x ->.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分. 22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点A .曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）过点)P作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PB-的值. 23.（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()0, 0f x x a x b a b =-++>>. （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+； （2）若()f x 的值域为[)3,+∞，证明：()224281a b b a b +++≥+.太原五中2020年6月数学（理科）答案和解析一、选择题：1-12 BAAC ABDB ACDD 二、填空题13.4； 14.24x y =或24y x = 15.2⎣⎦； 16.8- 三、解答题17解：（1）由题可得，∵四边形ABCD 是正方形且三角形FBC 是正三角形，所以//BC AD ，BC AD =，FB BC =且60FBC ∠=︒，又∵//EA FE ，2EA FB =，所以60EAD ∠=︒，在三角形EAD 中，根据余弦定理可得：ED AE ⊥. ∵平面ABCD ⊥平面FBC ，AB BC ⊥，平面ABCD I 平面FBC BC =，且AB ⊆平面ABCD ，所以AB ⊥平面BCF ，∵//BC A ，//EA FB ，FB BC B =I ，且FB BC ⊆、平面FCB ，,EA AD ⊆平面EAD ，所以平面//EAD 平面FBC ，所以AB ⊥平面EAD ， 又∵ED ⊆平面EAD ，所以AB ED ⊥，综上：ED AE ⊥，ED AB ⊥，EA AB A =I 且,EA AB ⊆面ABFE ，所以DE ⊥平面ABFE ， 又∵DE ⊆平面DEF ，所以平面EFD ⊥平面ABFE .（2）如图，分别取BC 和AD 的中点O ，G ，连接OF ，OG ， 因为BO OC =且三角形FBC 为正三角形，所以FO BC ⊥， 因为AG GD =，BO OC =，所以//OG AE ，由（1）可得，AB ⊥平面FBC ，则OG ⊥平面FBC ，故OF 、OB 、OG 两两垂直，分别以OB 、OG 、OF 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不设4BC =，则(F ，()2,0,0C -，()2,4,0D --，(1,E -设平面DEF 的法向量为()111,,n x y z =r，平面DCF 的法向量为()222,,m x y z =u r ，则(111112401,1,030x yDF nnDE n x⎧⎧++=⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩u u u r rru u u r r，则)22220240140DF m x ymyDC m⎧⎧⋅=++=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩u u u r u ru ru u u r u r，所以cos,nn mmn m⋅==⋅=rru ru rr r又二面角E FD C--是钝二面角，所以二面角E FD C--的余弦值为18.解：（1）①当1λ=时，111n n n n n na S a S a a+++-=-，则111n n n n nna S aa S a++++=+，即()()1111n n n nS a S a+++=+.∵数列{}n a的各项均为正数，∴1111n nn nSaSa+++=+.∴3131221212111111n nn na a S Sa Sa a a S S S+++++⋅⋯=⋅⋯+++，化简，得1112n nS a+++=，①∴当2n≥时，12n nS a+=，②②-①，得12n na a+=，∵当1n=时，22a=，∴1n=时上式也成立，∴数列{}n a是首项为1，公比为2的等比数列，即12nna-=.（2）由题意，令1n=，得21aλ=+；令2n=，得()231aλ=+.要使数列{}n a是等差数列，必须有2132a a a=+，解得0λ=.当0λ=时，()111n n n nS a S a++=+，且211a a==.当2n≥时，()()()1111n n n n n nS S S S S S+-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，即1111n n n nS S S S +-+=+， 从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋯=⋅⋯+++， 化简，得11n n S S ++=，即11n a +=. 综上所述，可得1n a =，*n N ∈. ∴0λ=时，数列{}n a 是等差数列.19.解：（1）由题意得223311c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得a =b =，2c =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=. （2）证明：设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，由224162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2238100m y my +++=，()()2284030n m ∆=-+>，则25m >，则有12283m y y m -+=+，122103y y m =+， 由AM MB λ=u u u u r u u u r，得12y y λ-=，由AD DB λ=-u u u r u u u r 可得1212011x x x y y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，()121204411my my x x x λλλλ+-+-==-- 21121212210222334448213m my my y m y m y y m y ⨯+=+=+=+=-+++，212112012122102225381213y y y y y m y y m y y m m y λλ⨯-+=====---+++. 综上，点D 在定直线32x =上. 20.解：（Ⅰ）（1）由茎叶图的数据可得中位数2931302m +==， 根据茎叶图可得：5a =，15b =，15c =，5d =，（2）根据（1）中的列联表，222()40(551515)10 6.636()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯， 有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；（Ⅱ）120天的一个生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，得51204p ==， 设一个生产周期内需要ξ次维护，1~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，正常维护费为0.542⨯=万元， 保障维护费为首项为0.2，公差为0.2的等差数列，共ξ次维护需要的保障费为()20.20.210.20.10.12ξξξξ++-⋅⎡⎤⎣⎦=+元，故一个生产周期内保障维护X 次的生产维护费为()20.10.12ξξ++万元， 设一个生产周期内的生产维护费为X 万元，则X 可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4，则()40438124256P X C ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭， ()31413272.24464P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， ()222413272.644128P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3341333.24464P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()41144256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 则X 的分布列为：21.解：（Ⅰ）由()0f x =得1x a e-=，令()1x g x xe-=，()11x g x xe --'=， 当1x <，()0g x '>，()g x 递增， 当1x >，()0g x '<，()g x 递减，因为当0x <，()0g x <；当0x >，()0g x >，且()00g =，()11g =，0x +→，()0g x +→， x →+∞，()0g x +→，所以函数有两个不同的零点，此时01a <<； （Ⅱ）先证122x x +>，不妨设12x x <，由（1）可知，1201x x <<<， 构造函数()()()()1122xx F x f x f x xex e --=--=--，()()()111x x F x x e e --'=--，当01x <<，()0F x '>，()F x 递增，()10F =，()0F x <， 所以()10F x <，即()()112f x f x <-因为1201x x <<<，所以121x ->，()()12f x f x =，由（1）可知()f x 在()1,+∞是递增，212x x >-，即122x x +>，要证明12x x ->()2111121x x x -+->->即2112x x a ->-，111x x a e -=，只需证明12111120x x x x e -+->，101x <<，令()212x xh x x x e -=+-，()()1112x h x x e -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，当()0,1ln 2x ∈-，()0h x '>，()h x 递增，当()1ln 2,1x ∈-，()0h x '<，()h x 递减，当01x <<，()()(){}min min 0,10h x h h ==，()0h x >，故12x x ->22.解：（1）由题意得点A的直角坐标为)，将点A代入4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 则直线l的普通方程为2y =-. 由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =.故曲线C 的直角坐标方程为24y x =. （2）设直线DE的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =得20t +-=. 设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t .则12t t +=-12t t =-10t >，20t <. ∴1212121211111112t t PD PE t t t t t t +-=-=+==. 23.解：（Ⅰ）当1a b ==时，不等式为112x x x -++<+，当1x <-时，不等式化为2223x x x -<+⇒>-，此时不等式无解； 当11x -≤<时，不等式化为220x x <+⇒>，故01x <<；当1x ≥时，不等式化为222x x x <+⇒<，故12x ≤<. 综上可知，不等式的解集为{}02x x <<.（Ⅱ）()f x x a x b a b =-++≥+，当且仅当x a -与x b +同号时，()f x 取得最小值a b +， ∵()f x 的值域为[)3,+∞，且0a >，0b >，故3a b +=.故()2222211a b b a b ++=++-，()122a b ++≥=，∴()2218a b ++≥（当且仅当12a b =+=时取等号）.又∵()1a b ++≥()41a b +≤，∴()411a b +≥，（等号成立条件同上） ∴()224281a b b a b +++≥+.。

悔 ሻ
A. [ 3, 3] B. [ , ]
C. [ , ]
D. ⌀
. 设 z = a + bi 且 a、b ∈ R，“z 是纯虚数”是“a = 0”的( )
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 若双曲线ሼ ‫ נּ‬什 1悔
ሻ的一条渐近线与直线
得最小值的是悔 ሻ
A. 什 ‫ נּ‬ሼ B. 什 ‫ נּ‬ሼ C. 什 1 ‫ נּ‬ሼ D. 什 ‫ נּ‬ሼ
. 把 9 个完全相同的口罩分给 6 名同学，每人至少一个，不同的分法有悔 ሻ种
A. 41
B. 56
C. 156
D. 252
7. 如图所示，用一边长为 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成
C. f( − cosA)sin2B > f(sinB)cos2A
D. f(cosC)sin2B > f(sinB)cos2C
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 5
3 被 7 除后的余数为______．
1 . 若顶点在原点的抛物线经过三个点悔 ,1ሻ，悔1, ሻ，悔 , ሻ中的 2 个点，则满足要
A.
B. 3 C.
D. 3
1 . 设 f′(x)是函数 悔‫נּ‬ሻ悔‫נּ‬
ሻ的导函数，且满足 悔‫נּ‬ሻ
悔‫נּ‬ሻ，若在△ ABC 中，∠A
‫נּ‬
为钝角，则下列不等式一定成立的是悔 ሻ
A. f(sinA)sin2B < f(sinB)sin2A
B. f(sinC)sin个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.且 ݅ 悔 ೃሻ 什 3 ， 若 AC 边上的中线 BM 的长为 2，则△ ABC 面积的最大值为__________．