新初中数学图形的相似技巧及练习题含答案(1)

初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1。

理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割.2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题,形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。

（二）重要知识点介绍： 1。

比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC,使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质: ①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d=⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()03。

平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

初一数学图形的相似试题答案及解析1.利用位似图形的方法把四边形ABCD缩小为原来的．【答案】如图所示：【解析】可以以B为位似中心，作出位似图形即可．答案不唯一．如图所示：【考点】画位似图形点评：画位似图形的一般步骤：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．2.如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）【答案】（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；（2）①；②1或2－.【解析】（1）根据平面图形的基本性质结合图形特征即可得到结果；（2）①先证得△ACB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形可求得AC的长，证得△ADE∽△ACD，根据相似三角形的性质可得到，再根据垂线段最短的性质求解即可；②分当AD=AE时，当EA=ED时，当DA=DE时，这三种情况，根据等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、相似三角形的性质求解即可.（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB为等腰直角三角形。

∴。

∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD。

∴AD：AC=AE：AD，∴当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC（直线外一点与直线上所有点的连线段中垂线段最短），AD=BC=1。

∴AE的最小值为∴CE的最大值=；②当AD=AE时，∴∠1=∠AED=45°∴∠DAE=90°∴点D与B重合，不合题意舍去当EA=ED时，如图1∴∠EAD=∠1=45°∴AD平分∠BAC∴AD垂直平分BC∴BD=1。

新初中数学图形的相似易错题汇编附解析(1)一、选择题1．已知正方形ABCD 的边长为5，E 在BC 边上运动，DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，问CE 为多少时A 、C 、F 在一条直线上（ ）A ．35B ．43C ．53D ．34【答案】C【解析】【分析】首先延长BC ，做FN ⊥BC ，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt △FNE ∽Rt △ECD ，再利用相似比得出1 2.52NE CD ==，运用正方形性质,得出△CNF 是等腰直角三角形，从而求出CE ．【详解】解：过F 作BC 的垂线，交BC 延长线于N 点，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN ，∴Rt △FNE ∽Rt △ECD ，∵DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，∴两三角形相似比为1：2，∴可以得到CE=2NF ，1 2.52NE CD == ∵AC 平分正方形直角，∴∠NFC=45°，∴△CNF 是等腰直角三角形，∴CN=NF ， ∴2255.3323CE NE ==⨯= 故选C ．【点睛】 此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.2．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且//DE BC ，CD 、BE 相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是( )A ．AD AE AB EC= B ．AG AE GF BD = C ．OD AE OC AC = D ．AG AC AF EC = 【答案】C【解析】【分析】 由//DE BC 可得到DEO V ∽CBO V ，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．【详解】解：A.∵//DE BC ， ∴AD AE AB AC= ,故不正确； B. ∵//DE BC ， ∴AG AE GF EC = ,故不正确； C. ∵//DE BC ，∴ADE V ∽ABC V ，DEO V ∽CBO V ,DE AE BC AC ∴=，DE OD BC OC = ． OD AE OC AC∴= ，故正确； D. ∵//DE BC ，∴AG AE AF AC= ,故不正确； 故选C ．【点睛】 本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上．若正方形ABCD 的边长为2，则点F 坐标为（ ）A ．（8，6）B ．（9，6）C ．19,62⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．（10，6）【答案】B【解析】【分析】 直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF 的长，进而得出△OBC ∽△OEF ，进而得出EO 的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13， ∴13BC OB EF EO ==， ∵BC ＝2，∴EF ＝BE ＝6，∵BC ∥EF ，∴△OBC ∽△OEF ，∴136BO BO =+， 解得：OB ＝3，∴EO ＝9，∴F 点坐标为：（9，6），故选：B ．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB 的长是解题关键．4．如图，点E 是ABCD Y 的边AD 上一点，2DE AE =，连接BE ，交AC 边于点F ，下列结论中错误的是（ ）A ．3BC AE =B ．4AC AF = C ．3BF EF =D ．2BC DE =【答案】D【解析】【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的性质分别判断即可．【详解】解：∵在ABCD Y 中，//AD BC ，AD BC =，∴AEF CBF V :V , ∴AE AF EF CB CF BF ==, ∵2DE AE = ∴332BC DE AE ==，选项A 正确，选项D 错误， ∴133AF AE AE CF CB AE ===，即：3CF AF =， ∴4AC AF =，∴选项B 正确，∴133EF AE AE BF CB AE ===，即：3BF EF =， ∴选项C 正确，故选：D ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，能熟练利用相似三角形对应边成比例是解题关键．5．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列结论正确的是（ ）A ．AD DE DB BC= B ．BF EF BC AB = C ．AE EC FC DE = D ．EF BF AB BC= 【答案】C【解析】【分析】 根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE ∽△ABC ，可判断A 的正误；由△CEF ∽△CAB ，可判定B 错误；由△ADE ～△EFC ，可判定C 正确；由△CEF ∽△CAB ，可判定D 错误.【详解】解：如图所示：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE AD AD BC AB DB=≠， ∴答案A 错舍去；∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ， CF EF BC A B B BF C=≠ ∴答案B 舍去∵∠ADE ＝∠B ，∠CFE ＝∠B ，∴∠ADE ＝∠CFE ，又∵∠AED ＝∠C ，∴△ADE ～△EFC ， ∴AE DE EC FC=，C 正确； 又∵EF ∥AB ， ∴∠CEF ＝∠A ，∠CFE ＝∠B ，∴△CEF ∽△CAB ， ∴EF CE FC BF AB AC BC BC==≠， ∴答案D 错舍去；故选C ．【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．6．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边40DE cm =，20EF cm =，测得边DF 离地面的高度 1.5AC m =，8CD m =，则树高AB 是（ ）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米【答案】D【解析】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.【详解】解：∵∠DEF=∠BCD-90°∠D=∠D∴△ADEF∽△DCB∴BC DC EF DE=∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m∴80.20.4BC=解得：BC=4∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米故答案为：5.5.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。

第3章图形的相似【经典例题】1.（2014湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（）．A ．(2，0)B ．(23，23)C ．(2，2)D ．(2，2)【解析】由已知得，E 点的坐标就是点A 坐标的2倍．【答案】C【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似．2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则FD BF 的值是（ ） A.21 B.31 C.41 D.51 解析：如图，由菱形ABCD 得AD ∥BE,，所以△BEF ∽△ADF, 又由EC =2BE ,得AD=BC=3BE ,故FD BF =AD BE =31. 解答：选B ．点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键.3.（2014·湖南省张家界市·10题·3分）已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为 ．【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根.【解答】ABC △与DEF △的相似比为254=52. 【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.4.（2014山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）．【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE ∽△CDF 。

由于∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF ∽△ACE 。

解：（1）在△BDE 和△CDF 中∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE ∽△CDF ．（2）在△ABF 和△ACE 中，∵∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF ∽△ACE ．【答案】△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACEABC D FE （第6题） yxAO C B D EF【点评】本题考查相似三角形的判定方法．三角形相似的判定方法有，AA ，AAS 、ASA 、SAS 等．5.(2014贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD=1，BC=3，△AOD 的面积为3，则△BOC 的面积为___________．【解析】由题意知AD ∥BC ，所以∠OAD=∠OCB ，∠ODA=∠OBC ，所以△OAD ∽△OCB ．又AD=1，BC=3，所以△OAD 与△OCB 的相似比为1:3，面积之比为1:9，而△AOD 的面积为3，所以△BOC 的面积为27．【答案】27．【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键．6.（2014贵州遵义，7,3分）如图，在△ABC 中，EF∥BC，=，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（ ）A ． 9B ． 10C ． 12D ． 13 解析：求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出=，把S 四边形BCFE =8代入求出即可． 解：∵=， ∴==，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴==，∴9S △AE F =S △ABC ，∵S 四边形BCFE =8，∴9（S △ABC ﹣8）=S △ABC ，解得：S △ABC =9．故选A ．答案： A点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．7.（2014南京市，15，2）如图，在平行四边形ABCD 中，AD=10厘米，CD=6厘米，E 为AD 上一点，且BE=BC,CE=CD ，则DE= 厘米.C A E解析：△BCE 与△CDE 均为等腰三角形，且两个底角∠DEC=∠BCE ，∴△BCE ∽△CDE ，∴CD BC =DECE ,∴ 610=DE6,∴DE=3.6厘米. 答案：3.6.点评：在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.8.(2014山东日照，21，9分) 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点,连结AE ，作BF ⊥AE ，垂足为H ,交CD 于F ,作CG ∥AE ,交BF 于G .(1)求证CG =BH ;(2)FC 2=BF·GF ; (3) 22ABFC =GB GF .解析：(1)可证△ABH ≌△BCG ；(2)证△CFG ∽△BFC 可得；(3)先证△B CG ∽△BFC 得BC 2=BF·BG ,结合AB=BC 可得.证明： （1）∵BF ⊥AE ，CG ∥AE , CG ⊥BF ,∴ CG ⊥BF .∵在正方形ABCD 中，∠ABH+∠CBG =90o , ∠CBG+∠BCG =90o,∠BAH+∠ABH =90o ,∴∠BAH=∠CBG, ∠ABH=∠BCG, AB=BC,∴△ABH ≌△BCG ,∴CG=BH ;(2) ∵∠BFC=∠CFG, ∠BCF=∠CGF=90 o ,∴△CFG ∽△BFC ,∴FCGF BF FC =, 即FC 2=BF ·GF ; (3) 由（2）可知，BC 2=BG ·BF ,∵AB=BC ,∴AB 2=BG ·BF , ∴22BC FC =BF BG BF FG ••=BGFGAF即22AB FC =GBGF 点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）的条件.9.(2014海南省，12，3分）12、如图3，在△ABC 中，∠ACB=090，CD ⊥AB ，于点D ，则图中相似三角形共有（ ）C D B AA 、1对B 、2对C 、3对D 、4对【解题思路】由射影定理可知图中相似三角形共有三对：△BDC ～△BCA ～△CDA【答案】C ．【点评】本题主要考查相似三角形基本图形中的一种，也是很重要的一种：射影定理。

最新初中数学图形的相似技巧及练习题附答案解析一、选择题1．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为50 cm、60 cm、80 cm，乙三角形框架的一边长为20 cm，则符合条件的乙三角形框架共有（）.A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】C【解析】试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．故选：C．点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．2．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数1yx=-、2yx=的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BE OEOF AF=；设B为（a，1a-），A为（b，2b），得到OE=-a，EB=1a-，OF=b，AF=2b，进而得到222a b=，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=22为定值，即可解决问题．【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△OFA，∴BE OE OF AF=，设点B 为（a ，1a -），A 为（b ，2b ）， 则OE=-a，EB=1a-，OF=b ，AF=2b ， 可代入比例式求得222a b =，即222a b =， 根据勾股定理可得：OB=22221OE EB a a +=+，OA=22224OF AF b b +=+， ∴tan ∠OAB=2222222212244b a OB a b OA b b b b++==++=222214()24b b b b ++=22 ∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．3．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上．若正方形ABCD 的边长为2，则点F 坐标为（ ）A ．（8，6）B ．（9，6）C ．19,62⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．（10，6）【答案】B【解析】【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO 的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴13 BC OBEF EO==，∵BC＝2，∴EF＝BE＝6，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴136BOBO=+，解得：OB＝3，∴EO＝9，∴F点坐标为：（9，6），故选：B．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB的长是解题关键．4．如图，正方形OABC的边长为6，D为AB中点，OB交CD于点Q，Q是y＝kx上一点，k的值是（）A．4 B．8 C．16 D．24【答案】C【解析】【分析】延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ=，再过点Q作垂线，利用相似三角形的性质求出QF、OF，进而确定点Q的坐标，确定k的值．【详解】解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ，OABC Q 是正方形，6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=︒=∠，D Q 是AB 的中点，12BD AB ∴=， //BD OC Q ，OCQ BDQ ∴∆∆∽， ∴12BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ，OFQ OAB ∴∆∆∽， ∴22213QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ， 2643QF ∴=⨯=，2643OF =⨯=， (4,4)Q ∴，Q 点Q 在反比例函数的图象上，4416k ∴=⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．5．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AC －CB 运动，到点B 停止．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y （cm ）与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图2所示．当点P 运动5秒时，PD 的长是（ ）A ．1.5cmB ．1.2cmC ．1.8cmD ．2cm【答案】B【解析】【分析】【详解】 由图2知，点P 在AC 、CB 上的运动时间时间分别是3秒和4秒，∵点P 的运动速度是每秒1cm ，∴AC=3，BC=4．∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴根据勾股定理得：AB=5．如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则易得△ABC ∽△ACH ． ∴CH AC BC AB =，即AC BC 3412CH CH AB 55⋅⨯=⇒==． ∴如图，点E （3，125），F （7，0）． 设直线EF 的解析式为y kx b =+，则 123k b {507k b=+=+， 解得：3k 5{21b 5=-=． ∴直线EF 的解析式为321y x 55=-+． ∴当x 5=时，()3216PD y 5 1.2cm 555==-⨯+==．6．矩形ABCO如图摆放，点B在y轴上，点C在反比例函数ykx=(x＞0)上，OA＝2，AB＝4，则k的值为（）A．4 B．6 C．325D．425【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB，根据勾股定理得到OB22OA AB=+=5C作CD⊥x轴于D，根据相似三角形的性质得到CD85=，OD45=求得8545，)于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCO是矩形，∴∠A＝∠AOC＝90°，OC＝AB，∵OA＝2，AB＝4，∴过C作CD⊥x轴于D，∴∠CDO＝∠A＝90°，∠COD+∠COB＝∠COB+∠AOB＝90°，∴∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△DOC，∴OB AB OA OC CD OD==，2542CD OD==，∴CD855=，OD45=，∴C(455，855)，∴k325 =，【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．7．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）A．9 B．12 C．14 D．18【答案】A【解析】【分析】如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．【详解】解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，由题意得∠ACB＝∠DCE，∵∠ABC＝∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴AB BCDE CE=，即1.5212DE=，∴DE＝9．即旗杆的高度为9m．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．8．在相同时刻，物高与影长成正比，如果高为1米的标杆影长为2米，那么影长为30米的旗杆的高为（ ）A ．20米B ．18米C ．16米D ．15米【答案】D【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，列出方程，求解即可得出旗杆的高度．【详解】解：根据题意解：标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，即1:2=旗杆高：30， ∴旗杆的高=130=152⨯米． 故选：D ．【点睛】 本题主要考察的是相似三角形的应用，正确列出方程是解决本题的关键．9．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F .若3sin 5CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】【分析】连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．【详解】解：连接BD ，如图，AB Q 为直径，90ADB ACB ∴∠=∠=︒，AD CD =Q ，DAC DCA ∴∠=∠，而DCA ABD ∠=∠，DAC ABD ∴∠=∠，DE AB ∵⊥，90ABD BDE ∴∠+∠=︒，而90ADE BDE ∠+∠=︒，ABD ADE ∴∠=∠，ADE DAC ∴∠=∠，5FD FA ∴==，在Rt AEF ∆中，3sin 5EF CAB AF ∠==Q ， 3EF ∴=， 22534AE ∴-=，538DE =+=，ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，ADE DBE ∴∆∆∽，::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，16BE ∴=，41620AB ∴=+=．故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．10．如图，三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形，它们的相似比为2∶3，若三角尺的一边长为8 cm ，则这条边在投影中的对应边长为( )A ．8 cmB ．12 cmC ．16 cmD ．24 cm【答案】B【解析】试题分析：利用相似比为2：3，可得出其对应边的比值为2：3，进而求出即可．解：∵三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形，它们的相似比为2：3，三角尺的一边长为8cm ，∴设这条边在投影中的对应边长为：x ，则=，解得：x=12．故选B ．考点：位似变换．11．如图，点D 是ABC V 的边BC 上一点，,2BAD C AC AD ∠=∠= ，如果ACD V 的面积为15，那么ABC V 的面积为（ ）A ．20B ．22.5C ．25D ．30 【答案】A【解析】【分析】先证明C ABD BA ∽△△，再根据相似比求出ABC V 的面积即可．【详解】∵,BAD C B B ∠=∠=∠∠∴C ABD BA ∽△△∵2AC AD =∴4S ABD S CBA =V V ∴43S ACD S CBA =V V ∵ACD V 的面积为15 ∴44152033S CBA S ACD ==⨯=V V故答案为：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．12．如图，在ABC V 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）A ．4B ．23C ．33D ．3【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ．【详解】解：∵//DE BC ，∴ADE ~ABC V V ，∵2DE BC =，∴点D 是AB 的中点，∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =∴∠B ＝30°，∴AB 6cos30BF ==︒， ∴DF=3，故选：D ．【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．13．如图，△ABC 中，∠BAC ＝45°，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB 1C 1，当点C 1、B 1、C 三点共线时，旋转角为α，连接BB 1，交AC 于点D ．下列结论：①△AC 1C 为等腰三角形；②△AB 1D ∽△BCD ；③α＝75°；④CA ＝CB 1，其中正确的是（ ）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，得到△ABC≌△AB1C1，根据全等三角形的性质得到AC1=AC，于是得到△AC1C为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C1=∠ACC1=30°，由三角形的内角和得到∠C1AC=120°，得到∠B1AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB1B=30°=∠ACB，于是得到△AB1D∽△BCD；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C1AB1=∠BAC=45°，推出∠B1AC=∠AB1C，于是得到CA=CB1；故④正确．【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，∴△ABC≌△AB1C1，∴AC1＝AC，∴△AC1C为等腰三角形；故①正确；∴AC1＝AC，∴∠C1＝∠ACC1＝30°，∴∠C1AC＝120°，∴∠B1AB＝120°，∵AB1＝AB，∴∠AB1B＝30°＝∠ACB，∵∠ADB1＝∠BDC，∴△AB1D∽△BCD；故②正确；∵旋转角为α，∴α＝120°，故③错误；∵∠C1AB1＝∠BAC＝45°，∴∠B1AC＝75°，∵∠AB1C1＝∠BAC＝105°，∴∠AB1C＝75°，∴∠B1AC＝∠AB1C，∴CA＝CB1；故④正确．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．14．如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2yx =的图象上，OA 交反比例函数()0k y k x=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】D【解析】 【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212BOF S ==V ，从而求得4COE S =V ，从而求得k 的值．【详解】解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°∵90AOB ∠=︒∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°∴∠ECO=∠FOB∴△COE ∽△OBF ∽△AOD 又∵3AO BO =，2OC CA =∴13OB OA =，23OC OA = ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ∴4COE BOFS S =V V∵点B 在反比例函数2y x =的图象上 ∴212BOF S ==V ∴4COE S =V∴42k =，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限，∴k=-8故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．15．如图，顶角为36o 的等腰三角形，其底边与腰之比等k ，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，ABC ∆为第一个黄金三角形，BCD ∆为第二个黄金三角形，CDE ∆为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（）A ．2018kB ．2019kC ．20182k k + D ．2019(2)k k +【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n 个黄金三角形的周长为k n-1（2+k ），从而得出答案．【详解】解：∵AB=AC=1，∴△ABC 的周长为2+k ；△BCD 的周长为k+k+k 2=k （2+k ）；△CDE 的周长为k 2+k 2+k 3=k 2（2+k ）；依此类推，第2020个黄金三角形的周长为k 2019（2+k ）．故选：D ．【点睛】此题考查黄金分割，相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是解题的关键．16．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ， ∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴12EF BD =,∴14EFCBCDDSS=VV,∴18EFCABCDSS=V四边形,∴1176824AGH EFCABCDS SS+=+=V V四边形=7∶24,故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．17．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH长为（）A．1 B．1.2 C．2 D．2.5【答案】B【解析】【分析】由AB∥GH∥CD可得：△CGH∽△CAB、△BGH∽△BDC，进而得：GH CHAB BC=、GH BHCD BC=，然后两式相加即可．【详解】解：∵AB∥GH，∴△CGH∽△CAB，∴GH CHAB BC=，即2GH CHBC=①，∵CD∥GH，∴△BGH∽△BDC，∴GH BHCD BC=，即3GH BHBC=②，①+②，得：123GH GH CH BHBC BC+=+=，解得：61.25GH==．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．18．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CB BDCD=D．AD ABAB AC=【答案】C【解析】【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；AB：BD=CB：AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，故选C．19．如图，在ABC∆中，,D E分别是边,AB AC的中点，ADE∆和四边形BCED的面积分别记为12,S S，那么12SS的值为（）A．12B．14C．13D．23【答案】C【解析】【分析】根据已知可得到△ADE∽△ABC，从而可求得其面积比，则不难求得12SS的值．【详解】∵,D E分别是边,AB AC的中点，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=1：2，所以它们的面积比是1：4，所以1211 =413S S= -，故选C．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．20．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为 )A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm【答案】A【解析】试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为x，则有=，解得：x=48．大多边形的周长为48cm．故选A．考点：相似多边形的性质．。

初中数学图形的相似练习题及参考答案相似是初中数学中的一个重要概念，它描述了两个图形在形状上的相似程度。

相似的图形具有相同的形状但不一定相等的大小。

在这篇文章中，我们将介绍几道关于相似图形的练习题，并提供参考答案供大家参考。

题目一：已知三角形ABC和三角形DEF相似，且比例系数为3：4。

若AB=6cm，BC=8cm，DE=12cm，求EF的长度。

解答一：根据相似三角形的定义，相似三角形的对应边长之比相等。

即AB/DE=BC/EF。

代入已知条件，得到以下等式：6/12=8/EF通过交叉乘法可以求解EF的长度：6*EF=12*8EF=16cm所以，EF的长度为16cm。

题目二：如果一个正方形的边长为6cm，那么和它相似的另一个正方形的边长是多少？解答二：由于两个正方形相似，所以它们的对应边长之比相等。

设另一个正方形的边长为x，则根据相似三角形的性质得到以下等式：x/6=6/6通过交叉乘法可以求解x的长度：x=6cm所以，和给定正方形相似的另一个正方形的边长也是6cm。

题目三：已知一个矩形的长为10cm，宽为5cm。

如果和它相似的另一个矩形的长为15cm，求这个矩形的宽。

解答三：根据相似矩形的性质，两个矩形的边长比相等。

设相似矩形的宽为x，则根据已知条件可以得到以下等式：10/x=15/5通过交叉乘法可以求解x的长度：10*5=15*x50=15*xx=50/15x=10/3 cm所以，这个矩形的宽为10/3 cm。

题目四：如果一个三角形的三边分别为3cm，4cm和5cm，那么和它相似的另一个三角形的三边分别是多少？解答四：根据相似三角形的性质，两个三角形的边长比相等。

设相似三角形的三边分别为x、y、z，则根据已知条件可以得到以下等式：x/3=y/4=z/5通过交叉乘法可以求解x、y、z的长度：x=3*(4/5)=12/5 cmy=4*(4/5)=16/5 cmz=5*(4/5)=20/5 cm所以，和给定三角形相似的另一个三角形的三边分别是：12/5 cm、16/5 cm和20/5 cm。

备战2022最新中考数学考点专题训练——专题十：图形的相似1．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．2．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．3．如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE＝．4．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．5．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝．6．如图，C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，则△MCD与△BND的面积比为．7．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．8．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD＝1：3，则BE：EC＝．9．将一个面积为1的等边三角形挖去连接三边中点所组成的三角形（如第①图）后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如第②图、第③图）…如此进行挖下去，第④个图中，剩余图形的面积为，那么第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为（用含n的代数式表示）．10．如图，已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝5，点E在AB上，且AE：EB＝2：3，过点E作EF∥BC交CD于F，则EF 的长是．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，线段DC 绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果＝m，＝n．那么m与n满足的关系式是：m＝（用含n的代数式表示m）．12．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC 与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为．13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜15），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为．14．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝．15．如图所示，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似．16．如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若＝，则＝．17．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝．18．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝AC＝，CD＝1，对角线的交点为M，则DM＝．19．已知△ABC为钝角三角形，其最大边AC上有一点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线l，使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作的条数是．20．已知AM是△ABC中BC边上的中线，P是△ABC的重心，过P 作EF（EF∥BC），分别交AB、AC于E、F，则＝．21．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是BC边中点，AP交BD于点Q．则的值为．22．如图，在凸四边形ABCD中，AB∥CD，点E和F在边AB上，且CE∥AD，DF∥BC，DF与CE相交于点G，若△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，则四边形ABCD的面积等于．23．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为米．24．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是．25．如图，正方形ABCD中，点N为AB的中点，连接DN并延长交CB的延长线于点P，连接AC交DN于点M．若PN＝3，则DM 的长为．26．已知直角坐标系中，点A（0，3），B（﹣6，0）．连结AB，作直线y＝1，交AB于点P1，过P1作P1Q1⊥x轴于Q1；连结AQ1，交直线y＝1于点P2，P2Q2⊥x轴于Q2；…以此类推．则点Q3的坐标为；△PnQnA的面积为＝（用含n的代数式表示）．27．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，与BC边的交点为D，且DC＝BC，DE∥AC，与AB边的交点为E，若DE＝4，则BE的长为．28．如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE 与AC于点F，则的值是．29．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若＝，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有．30．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．31．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为．32．如图G为△ABC的重心，GE∥AC，若S△ABC＝72，则S△GDE ＝．33．李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A，B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM与x轴交于点N（n，0），如图3．当m＝时，n＝．34．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB＝．35．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是．备战2022最新中考数学考点专题训练——专题十：图形的相似参考答案1．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．【答案】解：∵∠AEC＝∠BED，∴当＝时，△BDE∽△ACE，即＝，∴CE＝．故答案为．2．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．【答案】解：∵AG＝2，GD＝1，∴AD＝3，∵AB∥CD∥EF，∴＝，故答案为：．3．如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE＝．【答案】解：∵D为AB的中点，∴BD＝AB＝，∵∠DBE＝∠ABC，∴当∠DBE＝∠ACB时，△BDE∽△BAC时，如图1，则＝，即＝，解得DE＝2；当∠BDE＝∠ACB时，如图2，DE交AC于F，∵∠DAF＝∠CAB，∴△ADF∽△ACB，∴△BDE∽△BCA，∴＝，即＝，解得DE＝，综上所述，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE ＝2或．故答案为2或．4．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．【答案】解：∵△BOC∽△AOB，∴＝，∴＝，∴OC＝1，∵点C在x轴上，∴点C的坐标为（1，0）或（﹣1，0）；故答案为：（1，0）或（﹣1，0）．5．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝．【答案】解：如图1，当MN∥BC时，则△AMN∽△ABC，故＝＝，则＝，解得：MN＝4，如图2所示：当∠ANM＝∠B时，又∵∠A＝∠A，∴△ANM∽△ABC，∴＝，即＝，解得：MN＝6，故答案为：4或6．6．如图，C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，则△MCD与△BND的面积比为．【答案】解：∵△ACM、△CBN都是等边三角形，∴△ACM∽△CBN，∴CM：BN＝AC：BC＝3：2；∵△ACM、△CBN都是等边三角形，∴∠MCA＝∠NDB＝∠BND＝60°，∴∠MCN＝60°＝∠BND，∴∠CMD＝∠NBD（三角形内角和定理）∴△MCD∽△BND∴△MCD与△BND的面积比为（）2＝（）2＝．7．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．【答案】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知＝，即＝，解得AM＝5m．则小明的影长为5米．8．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD＝1：3，则BE：EC＝．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BEF∽DAF，∴BE：AD＝BF：FD＝1：3，∴BE：BC＝1：3，∴BE：EC＝1：2．故答案为：1：2．9．将一个面积为1的等边三角形挖去连接三边中点所组成的三角形（如第①图）后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如第②图、第③图）…如此进行挖下去，第④个图中，剩余图形的面积为，那么第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为（用含n的代数式表示）．【答案】解：观察这几个图，可以看出来，分别在每个图形中，以每个小白三角形为一个基本图形，那么在这个图形中，就会有很多以一个白色三角形为基础的图形．则可以观察出规律，在第N个图形中，会有4n个基本形；也可以看出有3n白色三角形．那么剩余部分的面积就应该是：×大三角形的面积，即×大三角形的面积，那么第④个图中，剩余图形的面积为或，∵三角形的面积是1第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为：1﹣．故答案为：或；1﹣．10．如图，已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝5，点E在AB上，且AE：EB＝2：3，过点E作EF∥BC交CD于F，则EF 的长是．【答案】解：过点A作AN∥CD，分别交EF，BC于点M，N，∵AD∥BC，EF∥BC，∴AD∥EF∥BC，∴四边形AMFD与四边形ANCD是平行四边形，∴CN＝MF＝AD＝3，∴BN＝BC﹣CN＝5﹣3＝2，∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABN，∴EN：BM＝AE：AB，∵AE：EB＝2：3，∴AE：AB＝2：5，∴EM＝BN＝0.8，∴EF＝EM+FM＝0.8+3＝3.8．故答案为：3.8．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，线段DC 绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果＝m，＝n．那么m与n满足的关系式是：m＝（用含n的代数式表示m）．【答案】解：作DH⊥AC于H，如图，∵线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处，∴DE＝DC，∴EH＝CH，∵＝n，即AE＝nEC，∴AE＝2nEH＝2nCH，∵∠C＝90°，∴DH∥BC，∴＝，即m＝＝＝2n+1．故答案为：2n+1．12．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC 与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为．【答案】解：∵直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，令x＝0可得y＝1；令y＝0可得x＝﹣2，∴点A和点B的坐标分别为（﹣2，0）；（0，1），∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，∴＝＝，∴O′B′＝3，AO′＝6，∴B′的坐标为（﹣8，﹣3）或（4，3）．故答案为：（﹣8，﹣3）或（4，3）．13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜15），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为．【答案】解：当DE⊥AB于点E，设t秒时，E点没有到达B点前，∠BED＝90°，∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠BED＝90°，∴△BED∽△BCA，∴＝，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，∴AB＝10cm，BD＝3cm，∴＝，解得：t＝8.2，设t秒时，当E点到达B点后，∠BED＝90°，∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠BED＝90°，∴△BED∽△BCA，∴＝，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，∴AB＝10cm，BD＝3cm，∴＝，解得：t＝11.8，当DE⊥CB于DE，设t秒时，∠BDE＝90°，∵DE∥AC，∴△BED∽△BAC，∴＝＝，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，∴AB＝10cm，BD＝3cm，∴＝解得：t＝5，综上所述：t的值为5s或8.2s或11.8s．故答案为：5s或8.2s或11.8s．14．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝．【答案】解：如图1，当MN∥BC时，则△AMN∽△ABC，故＝＝，则＝，解得：MN＝4，如图2所示：当∠ANM＝∠B时，又∵∠A＝∠A，∴△ANM∽△ABC，∴＝，即＝，解得：MN＝6，故答案为：4或6．15．如图所示，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似．【答案】解：已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件∠B ＝∠AED（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似，故答案为：∠B＝∠AED．16．如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若＝，则＝．【答案】解：∵＝，∴＝，∵直线a∥b∥c，∴＝＝，故答案是：．17．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝．【答案】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝AB＝×4＝2﹣2．故答案为2﹣2．18．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝AC＝，CD＝1，对角线的交点为M，则DM＝．【答案】解：在△ABC中，∵∠BAC＝90°，且AB＝AC＝，∴BC＝＝＝，在△BCD中，∵∠BDC＝90°，CD＝1，∴BD＝＝＝3，又∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AMB＝∠DMC，∴△AMB∽△DMC，∴＝＝，即＝＝，解得：DM＝，故答案为：．19．已知△ABC为钝角三角形，其最大边AC上有一点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线l，使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作的条数是．【答案】解：如图1：过点P作PE∥AB的平行线，或者作PD∥BC的平行线，都可使截得的三角形与原三角形相似；过点P可作直线交边AC于点F，使得∠PFC＝∠A，可得△CFP∽△CAB，∴有3条；如图2：只有2条．∴这样的直线l可作的条数是3条或2条．故答案为：3或2．20．已知AM是△ABC中BC边上的中线，P是△ABC的重心，过P 作EF（EF∥BC），分别交AB、AC于E、F，则＝．【答案】解：如图分别过B、C两点作BG、CK平行于AM交直线EF于G、K，则有＝，＝，两式相加，又平行四边形BCKG中，PM＝（BG+CK），而由P为重心得AP ＝2PM，故．故答案为：1．21．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是BC 边中点，AP交BD于点Q．则的值为．【答案】解：连接OP，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∵PC＝PB，∴OP∥AB，OP＝AB，∴＝＝，∴＝，故答案为．22．如图，在凸四边形ABCD中，AB∥CD，点E和F在边AB上，且CE∥AD，DF∥BC，DF与CE相交于点G，若△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，则四边形ABCD的面积等于．【答案】解：∵AB∥CD，∴△EFG∽△CDG，∴S△EFG：S△CDG＝（）2＝（）2，又∵△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，∴（）2＝（）2＝，∴＝＝，∴＝＝﹣1，∵DF∥BC，∴△EFG∽△EBC，∴S△EFG：S△EBC＝（）2＝3﹣2，∴S△EBC＝3+2，∴S四边形GFBC＝3+2﹣1＝2+2，同理S四边形GDAE＝2+2，∴S四边形ABCD＝1+2+2+2+2+2＝7+4．故答案为：7+4．23．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为米．【答案】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴，∴＝，∴AC＝7（米），故答案为：7．24．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是．【答案】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．25．如图，正方形ABCD中，点N为AB的中点，连接DN并延长交CB的延长线于点P，连接AC交DN于点M．若PN＝3，则DM 的长为．【答案】解：∵四边形ABCD为正方形，N为中点，∴AD＝PB，AN＝BN，∠DAN＝∠PBN＝90°，在△PBN和△DNA中∴△PBN≌△DNA（SAS），∴DN＝PN＝3，即DM+MN＝3，∵AB∥CD，∴△AMN∽△CMD，∴＝＝，∴DM＝2，故答案为：2．26．已知直角坐标系中，点A（0，3），B（﹣6，0）．连结AB，作直线y＝1，交AB于点P1，过P1作P1Q1⊥x轴于Q1；连结AQ1，交直线y＝1于点P2，P2Q2⊥x轴于Q2；…以此类推．则点Q3的坐标为；△PnQnA的面积为＝（用含n的代数式表示）．【答案】解：①∵点A（0，3），B（﹣6，0），作直线y＝1，交AB 于点P1，∴OA＝3，OB＝6，P1Q1＝P2Q2＝P3Q3＝1，∵P1Q1⊥x轴于Q1，P2Q2⊥x轴于Q2，…，∴P1Q1∥P2Q2∥P3Q3∥…∥PnQn∥y轴，∴△BP1Q1∽△ABO，△P2Q1Q2∽△AQ1O，△P3Q2Q3∽△AQ2O，…，∴，，，…，∴BQ1＝2，Q1Q2＝，Q2Q3＝，…，∴Q1（﹣4，0），Q2（﹣，0），Q3（﹣，0），…，P1（﹣4，1），P2（﹣，1），P3（﹣，0），…，即Q1（﹣，0），Q2（﹣，0），Q3（﹣，0），…，P1（﹣，1），P2（﹣，1），P3（﹣，0），…，∴Qn﹣1（﹣，0），Qn（﹣，0），Pn﹣1（﹣，1）Pn （﹣，1），故点Q3的坐标为：Q3（﹣，0），故答案为：Q3（﹣，0）；②∵△AP1Q1的面积＝△ABQ1的面积﹣△BP1Q1的面积＝•BQ1•OA﹣•BQ1•P1Q1＝BQ1，△AP2Q2的面积＝△AQ1Q2的面积﹣△Q1P Q2的面积＝•Q1Q2•OA﹣•Q1Q2•P2Q2＝Q1Q2，…，∴△PnQnA的面积＝Qn﹣1Qn＝﹣﹣（﹣）＝．故答案为：．27．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，与BC边的交点为D，且DC＝BC，DE∥AC，与AB边的交点为E，若DE＝4，则BE的长为．【答案】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠EDA，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED＝4，∵DE∥AC，∴＝，而DC＝BC，∴BE＝2AE＝8．故答案为8．28．如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE 与AC于点F，则的值是．【答案】解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∵DE＝DC，∴AB＝CD＝DE＝CE，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴＝＝．故答案为：．29．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若＝，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有．【答案】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴EF＝AD＝CD，∠ACD＝45°，∠GFC＝90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF＝FC，∵EG＝EF﹣GF，DF＝CD﹣FC，∴EG＝DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），∴∠HEF＝∠HDC，∴∠AEH+∠ADH＝∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC＝∠AEF+∠ADF＝180°，故②正确；③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；④∵＝，∴AE＝2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH＝GH，∠FHG＝90°，∵∠EGH＝∠FHG+∠HFG＝90°+∠HFG＝∠HFD，在△EGH和△DFH中，，∴△EGH≌△DFH（SAS），∴∠EHG＝∠DHF，EH＝DH，∠DHE＝∠EHG+∠DHG＝∠DHF+∠DHG＝∠FHG＝90°，∴△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：设HM＝x，则DM＝5x，DH＝x，CD＝6x，则S△DHC＝×HM×CD＝3x2，S△EDH＝×DH2＝13x2，∴3S△EDH＝13S△DHC，故④正确；故答案为：①②③④．30．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．【答案】解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，＝，解得x＝24，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为：24．31．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为．【答案】解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．故答案为（﹣5，﹣1）．32．如图G为△ABC的重心，GE∥AC，若S△ABC＝72，则S△GDE ＝．【答案】解：∵G为△ABC的重心，∴AD为△ABC的中线，DG：AG＝1：2，∴S△ADC＝S△ABC＝×72＝36，∵GE∥AC，∴△DEG∽△DCA，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△DEG＝×36＝4．故答案为4．33．李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A，B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM与x轴交于点N（n，0），如图3．当m＝时，n＝．【答案】解：∵AB＝3，△PDE是等边三角形，∴PD＝PE＝DE＝1，以DE的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，∵△PDE关于y轴对称，∴PF⊥DE，DF＝EF，DE∥x轴，∴PF＝，∴△PFM∽△PON，∴＝，∵m＝，∴FM＝﹣，∴＝，解得：ON＝4﹣2，即n＝4﹣2．故答案为：4﹣2．34．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB＝．【答案】解：由位似变换的性质可知，△A′B′C′∽△ABC．∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∵A′B′∥AB＝＝，故答案为2：3；35．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是．【答案】解：如图，连接CE，∵△ABC∽△ADE，∴∠ACD＝∠AEG，又∵∠AGE＝∠DGC，∴△AGE∽△DGC，∴＝，又∵∠AGD＝∠EGC，∴△AGD∽△EGC，∴∠ADG＝∠ECG，又∵Rt△ADE中，∠ADG+∠AEG＝90°，∴∠ECG+∠ACD＝90°，即∠DCE＝90°，∵F是DE的中点，∴CF＝DE，∵△ABC∽△ADE，∴当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，当AD⊥BC时，AD＝＝4.8，∵＝，即＝，∴DE＝8，∴CF＝×8＝4．故答案为：4．。

初中数学图形的相似技巧及练习题附答案一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．解：设AC与BD交于O点，当P在BO上时，∵EF∥AC，∴EF BPAC BO=即43y x=，∴43y x =；当P 在OD 上时，有643DP EF y x DO AC -==即， ∴y=483x -+．故选C ．2．如图，在ABC ∆中，点D E F 、、分别在边AB AC BC 、、上，// ,//DE BC DF AC ，则下列结论一定正确的是( )A ．DE CE BF AE= B ．AE CE CF BF = C ．AD AB CF AC= D ．DF AD AC AB = 【答案】B【解析】 【分析】 根据平行线分线段成比例定理，可得B 正确． 【详解】解：//DE BC ，//DF AC ，∴AE AD CE BD ，BF BD CF AD=， ∴AECF CEBF ， 故B 选项正确，选项A 、C 、D 错误，故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．3．如图，正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE EC =，将DCE ∆沿DE 对折至DFE ∆，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG ，BF ．给出以下结论：①DAG DFG ∆≅∆；②2BG AG =；③EBFDEG ∆∆；④23BFC BEF S S ∆∆=．其中所有正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】 根据正方形的性质和折叠的性质可得AD ＝DF ，∠A ＝∠GFD ＝90°，于是根据“HL”判定Rt △ADG ≌Rt △FDG ，可判断①的正误；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，根据勾股定理得到x ＝13a ，得到BG ＝2AG ，故②正确；根据已知条件得到△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，于是得到△EBF 与△DEG 不相似，故③错误；连接CF ，根据三角形的面积公式得到S △BFC ＝2S △BEF ．故④错误．【详解】解：如图，由折叠和正方形性质可知，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°，在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，AD DF DG DG ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），故①正确；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，∵BE ＝EC ，∴EF ＝CE ＝BE ＝12a∴GE=12a+x由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，即：(12a+x)2=(12a)2+(a-x)2解得：x＝13∴BG＝2AG，故②正确；∵BE＝EF，∴△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，∴△EBF与△DEG不相似，故③错误；连接CF，∵BE＝CE，∴BE＝12 BC，∴S△BFC＝2S△BEF．故④错误，综上可知正确的结论的是2个．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的折叠变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，有一定的难度．4．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，再利用相似三角形的判定和性质计算即可．【详解】解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，则BD∥B′E，由题意得CD＝2，B′C＝2BC，∵BD∥B′E，∴△BDC∽△B′EC，∴1'2 CD BCCE B C，∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，∴点B'的横坐标是3，故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．5．如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD//BC，AB//CD，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴△ADM∽△EBM，△ADF∽△ECF，△DFM∽△BAM，△EFC∽△EAB，∵∠AFD=∠BAE，∠DAE=∠E，∴△ADF∽△EBA，∴图中共有相似三角形5对，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．6．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（）A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4【答案】C【解析】【分析】根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．【详解】∵S△EFC＝3S△DEF，∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DE：BC＝DF：FC＝1：3同理△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．7．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）A．35B．43C．53D．34【答案】C【解析】【分析】首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽Rt△ECD，再利用相似比得出12.52NE CD==，运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三角形，从而求出CE．【详解】解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN，∴Rt△FNE∽Rt△ECD，∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，∴两三角形相似比为1：2，∴可以得到CE=2NF，12.52NE CD==∵AC平分正方形直角，∴∠NFC=45°，∴△CNF是等腰直角三角形，∴2255.3323 CE NE==⨯=故选C．【点睛】此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.8．在平面直角坐标系中，把△ABC的各顶点的横坐标都除以14，纵坐标都乘13，得到△DEF，把△DEF与△ABC相比，下列说法中正确的是()A．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的1 3B．横向缩小为原来的14，纵向扩大为原来的3倍C．△DEF的面积为△ABC面积的12倍D．△DEF的面积为△ABC面积的1 12【答案】A 【解析】【分析】【详解】解：△DEF与△ABC相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13；△DEF的面积为△ABC面积的169，故选A.9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【答案】B【解析】【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC ∥AB ，∴△DFE ∽△BFA ，∵DE ：EC=3：1，∴DE ：DC=3：4，∴DE ：AB=3：4，∴S △DFE ：S △BFA =9：16．故选B ．10．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm ，则较大多边形的周长为 )A ．48 cmB ．54 cmC ．56 cmD ．64 cm【答案】A【解析】试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为x ， 则有=， 解得：x=48．大多边形的周长为48cm ．故选A ．考点：相似多边形的性质．11．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,AB AC 的中点，ADE ∆和四边形BCED 的面积分别记为12,S S ，那么12S S 的值为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．23【答案】C【分析】根据已知可得到△ADE ∽△ABC ，从而可求得其面积比，则不难求得12S S 的值． 【详解】∵,D E 分别是边,AB AC 的中点，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE ：BC=1：2，所以它们的面积比是1：4，所以1211=413S S =-， 故选C ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．12．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，G ，F 分别为AD 、BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF 的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FEB=90°，∴∠AGE=∠FEB ，∠AEG=∠EFB ，∴△AEG ∽△BFE ，∴AE AG BF BE=， 又∵AE=BE ，∴AE 2=AG•BF=2，∴AE=2（舍负），∴GF 2=GE 2+EF 2=AG 2+AE 2+BE 2+BF 2=1+2+2+4=9，∴GF 的长为3，故选B. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG ∽△BFE ．13．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】D【解析】【分析】 利用对应点的连线都经过同一点进行判断．【详解】 如图，位似中心为点D ．故选D ．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．14．如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2y x =的图象上，OA 交反比例函数()0k y k x=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】D【解析】【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9BOF OAD SOB S OA ==，24()9COE AOD S OC SOA ==，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212BOF S ==，从而求得4COE S =，从而求得k 的值．【详解】解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°∵90AOB ∠=︒∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°∴∠ECO=∠FOB∴△COE ∽△OBF ∽△AOD又∵3AO BO =，2OC CA = ∴13OB OA =，23OC OA = ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==，24()9COE AOD S OC S OA == ∴4COEBOF S S =∵点B 在反比例函数2y x =的图象上 ∴212BOF S== ∴4COE S =∴42k =，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限，∴k=-8故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．15．如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)【答案】A【解析】【分析】 根据位似变换的性质可知，△ODC ∽△OBA ，相似比是13，根据已知数据可以求出点C 的坐标．【详解】由题意得，△ODC ∽△OBA ，相似比是13， ∴OD DC OB AB=， 又OB =6，AB =3，∴OD =2，CD =1，∴点C 的坐标为：（2，1），故选A ．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．16．如图，某河的同侧有A ，B 两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为2AC km =，3BD km =，这两条小路相距5km ．现要在河边建立一个抽水站，把水送到A ，B 两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（ ）A ．距C 点1km 处B ．距C 点2km 处 C ．距C 点3km 处D ．CD 的中点处【答案】B【解析】【分析】 作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=，根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．再利用三角形相似即可解决问题.【详解】作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=．根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．根据PCE PDB ∆∆，设PC x =，则5PD x =-，根据相似三角形的性质，得 PC CE PD BD =，即253x x =-， 解得2x =．故供水站应建在距C 点2千米处．故选：B ．【点睛】本题为最短路径问题，作对称找出点P ，利用三角形相似是解题关键.17．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ， ∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴12EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =, ∴18EFC ABCD SS =四边形, ∴1176824AGH EFCABCDS S S +=+=四边形=7∶24, 故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．18．如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB=2，CD=3，则GH 长为（ ）A ．1B ．1.2C ．2D ．2.5 【答案】B【解析】【分析】由AB ∥GH ∥CD 可得：△CGH ∽△CAB 、△BGH ∽△BDC ，进而得：GH CH AB BC=、GH BH CD BC=，然后两式相加即可． 【详解】解：∵AB ∥GH ，∴△CGH ∽△CAB ，∴GH CH AB BC =，即2GH CH BC =①， ∵CD ∥GH ，∴△BGH ∽△BDC ，∴GH BH CD BC =，即3GH BH BC =②， ①+②，得：123GH GH CH BH BC BC +=+=，解得：6 1.25GH ==． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．19．两个相似三角形的对应边分别是15cm 和23cm ，它们的周长相差40cm ，则这两个三角形的周长分别是（ ）A ．45cm ，85cmB ．60cm ，100cmC ．75cm ，115cmD ．85cm ，125cm 【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比列出方程，解方程即可．【详解】设小三角形的周长为xcm ，则大三角形的周长为（x+40）cm ， 由题意得，154023x x =+， 解得，x=75，则x+40=115，故选C ．20．如图，O 是AC 的中点，将面积为216cm 的菱形ABCD 沿AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．28cmB ．26cmC ．24cmD ．22cm【答案】C【解析】【分析】 根据题意得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=12AC ，故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积的14【详解】解：如图，由平移的性质得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=12AC 故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积14即图中阴影部分的面积为4cm 2．故选：C【点睛】 此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是 应用相似多边形的性质解答问题.。

人教版初中数学图形的相像技巧及练习题附答案分析一、选择题DG1．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG均为正方形，连结CF， DG，则（）CFA．2B．2C．3D．3 3232【答案】 B 【分析】【剖析】连结 AC 和 AF，证明△DAG∽△ CAF可得DG的值．CF【详解】连结 AC 和 AF，则 AD AG 2 ，AC AF2∵∠ DAG=45°-∠ GAC，∠ CAF=45°-GAC，∴∠ DAG=∠ CAF．∴△ DAG∽△ CAF．∴ DG AD 2 ．CF AC2故答案为： B.【点睛】本题主要考察了正方形的性质、相像三角形的判断和性质，解题的重点是结构相像三角形．2．如图，正方形（）．1A．3【答案】 D【分析】【剖析】AO ABCD中， E、F 分别为 AB、BC 的中点， AF 与 DE 订交于点O，则DO B．2 5C．2D．1532由已知条件易证△ADE≌△ BAF，从而进一步得△AOD∽△ EAD．运用相像三角形的性质即可求解．【详解】∵四边形ABCD是正方形∴A E=BF， AD=AB，∠ EAD=∠B=90∴△ ADE≌△ BAF∴∠ ADE=∠ BAF，∠ AED=∠ BFA∵∠ DAO+∠ FAB=90，∠ FAB+∠ BFA=90，∴∠ DAO=∠ BFA，∴∠ DAO=∠ AED∴△ AOD∽△ EAD∴AO AE1DO AD2应选： D【点睛】本题考察了正方形的性质，全等三角形的判断与性质，相像三角形的判断与性质．3．如图，在Rt△ABC中，∠ C＝ 90°， AC＝ 3，BC＝ 4，点 D 是 AB 的中点，点P 是直线 BC 上一点，将△BDP沿 DP 所在的直线翻折后，点 B 落在 B1处，若 B1D⊥ BC，则点 P 与点 B之间的距离为（）A ．1B ．5C ．1或3D ．5或54 4【答案】 D 【分析】 【剖析】分点 B 1 在 BC 左边，点 B 1 在 BC 右边两种状况议论，由勾股定理可 AB=5，由平行线分线段成比率可得 BDBE DE 1 ，可求 BE ， DE 的长，由勾股定理可求 PB 的长． ABBCAC 2【详解】解：如图，若点B 1 在 BC 左边，∵∠ C=90°，AC=3，BC=4，∴AB= AC 2 BC 2 5 ∵点 D 是 AB 的中点，∴ B D= 1BA= 522∵B 1D ⊥ BC ，∠ C=90°∴B 1D ∥ AC∴BDBEDE1AB BCAC 2∴ B E=EC=1BC=2， DE=1 AC=322 2∵折叠∴B 1D=BD= 5， B 1P=BP2∴B 1E=B 1D-DE=1∴在 Rt △B 1PE 中， B 1 P 2=B 1E 2+PE 2， ∴BP 2=1+（ 2-BP ） 2，∴ B P= 54如图，若点 B 1 在 BC 右边，∵B1E=DE+B1D= 3+5，22∴B1E=4在 Rt△EB1P 中， B1P2=B1E2+EP2，∴BP2=16+（ BP-2）2，∴BP=5应选： D．【点睛】本题考察了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．本题难度适中，注意数形联合思想的应用，注意折叠中的对应关系．4．在 Rt△ABC中，∠ BAC＝ 90°， AD 是△ABC的中线，∠ ADC＝45°，把△ADC沿 AD 对折，使点 C 落在 C′的地点， C′D 交 AB 于点 Q，则BQ）的值为（AQA．2B．32D．3 C．2 2【答案】 A【分析】【剖析】依据折叠获得对应线段相等，对应角相等，依据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出 AD＝ DC＝BD， AC＝ AC′，∠ ADC＝∠ ADC′＝ 45°， CD＝ C′D，从而求出∠ C、∠ B 的度数，求出其余角的度数，可得AQ＝ AC，将BQ转变为BQ，再由相像三角形和等腰直角AQ AC三角形的边角关系得出答案．【详解】解：如图，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，∵∠ ADC＝ 45°，∴△ ADE 是等腰直角三角形，即AE＝ DE＝2AD，2在 Rt△ABC中，∵∠ BAC＝ 90°， AD 是△ABC的中线，∴AD＝ CD＝ BD，由折叠得： AC＝ AC′，∠ ADC＝∠ ADC′＝ 45°， CD＝ C′D，∴∠ CDC′＝45°+45°＝ 90°，∴∠ DAC＝∠ DCA＝（ 180°﹣ 45°）÷2＝67.5 °＝∠ C′AD，∴∠ B＝90°﹣∠ C＝∠ CAE＝ 22.5 °，∠ BQD＝ 90°﹣∠ B＝∠ C′QA＝ 67.5 °，∴AC′＝ AQ＝ AC，由△AEC∽△ BDQ 得：BQ＝BD，AC AEBQ＝BQ＝AD＝2AE＝2．∴AQ AC AE AE应选： A．【点睛】考察直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相像三角形的性质和判断等知识，合理的转变是解决问题的重点．5．如图，已知点A（ 4，0）， O 为坐标原点，P 是线段 OA 上随意一点（不含端点O，A），过 P、 O 两点的二次函数极点分别为 B、 C，射线 OB 与之和等于（）y1和过 P、 A 两点的二次函数 y2的图象张口均向下，它们的AC 订交于点 D．当 OD=AD=3 时，这两个二次函数的最大值A．5B．45C． 3D． 4 3【答案】 A【分析】【剖析】【详解】过 B 作 BF⊥OA 于 F，过 D 作 DE⊥OA于 E，过 C作 CM⊥OA 于 M，∵ B F ⊥ OA ， DE ⊥ OA ，CM ⊥ OA ，∴BF ∥ DE ∥ CM ．∵ O D=AD=3， DE ⊥ OA ，∴ O E=EA=1OA=2．2由勾股定理得： DE=5 ．设 P （ 2x ， 0），依据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，∵BF ∥ DE ∥ CM ，∴△ OBF ∽△ ODE ，△ACM ∽△ ADE ．BF OF CMAM BF x CM2 x ∴OE ，，即5 2，，解得：DEDE AE52BF5?x ， CM5 2 x ．22∴BF+CM= 5 ．应选 A ．6．矩形 ABCO 如图摆放，点B 在 y 轴上，点C 在反比率函数 yk (x ＞ 0)上， OA ＝ 2，ABx＝4，则 k 的值为（）32 42 A ．4B ． 6C ．D ．55【答案】 C【分析】【剖析】依据矩形的性质获得∠A=∠ AOC=90°，OC=AB ，依据勾股定理获得OBOA 2 AB 2 2 5 ，过 C 作 CD ⊥ x 轴于 D ，依据相像三角形的性质获得8 5 4 58 5 4 5CD， OD5，求得C(， )于是获得结论．555【详解】解：∵四边形 ABCO 是矩形，∴∠ A ＝∠ AOC ＝ 90°， OC ＝AB ，∵OA ＝2， AB ＝ 4，∴过 C 作 CD ⊥ x 轴于 D ，∴∠ CDO ＝∠ A ＝ 90°，∠ COD+∠ COB ＝∠ COB+∠AOB ＝ 90°，∴∠ COD ＝∠ AOB ，∴△ AOB ∽△ DOC ，∴OB AB OA ， OCCD OD∴ 2 542 ， 4CD OD∴CD8 5，OD4 5 ，55∴ C (4 5，8 5)，5 532 ∴k，5应选： C ．【点睛】本题考察了反比率函数图象上点的坐标特色，反比率函数的性质，矩形的性质，相像三角形的判断和性质，正确的作出协助线是解题的重点．7．如图，在正方形ABCD 中，AB3 ，点M在 CD的边上，且DM1， AEM与ADM对于AMADMA90°获得ABF接 EF，则cosEFC的值是 （）A．1713B．613C．715D．6 65652517【答案】 A【分析】【剖析】过点 E 作HG//AD，交 AB 于 H，交 CD 于 G，作 EN BC 于 N，第一证明VAEH : VEMGEH AE1x ，则 EH 3x ，，则有EM，设 MGMG3DG AH1x ，在 RtVAEH 中利用勾股定理求出x 的值，从而可求EH , BN , CG , EN 的长度，从而可求FN，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos EFC FN即可求解．EF【详解】过点 E 作HG//AD，交 AB 于 H，交 CD 于 G，作 EN BC 于 N，则AHG MGE 90 ，∵四边形ABCD是正方形，∴AD AB3, ABC C D90 ，∴四边形 AHGD,BHEN,ENCG都是矩形．由折叠可得，AEM D90 ,AE AD3,DMEM 1，AEH MEG EMG MEG90，AEH EMG ，VAEH : VEMG ，EH AE1．MG EM3设 MG x ，则 EH 3x ， DG AH 1 x在 RtVAEH 中，Q AH2EH 2AE 2，(1 x)2 (3x)232，解得 x 41 （舍去），或 x5EH BN 12，CG CD DG EN65．5Q BF DM1FN BF BN 175．在 Rt△ EFN 中，由勾股定理得，EF EN2FN 213 ，FN17．cos EFC13EF65应选： A．【点睛】本题主要考察正方形，矩形的性质，相像三角形的判断及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出协助线是解题的重点．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （ ―3， 6）、B （ ―9，一 3），以原点 O 为位似中心，相像比为，把 △ABO 减小，则点 A 的对应点 A ′的坐标是（ ）A ．（ ―1，2）B ．（ ―9， 18）C ．（ ―9，18）或（ 9，― 18）D ．（ ―1， 2）或（ 1， ―2） 【答案】 D【分析】【剖析】【详解】试题剖析：方法一：∵△ABO 和 △A ′B ′O 对于原点位似，∴△ ABO ∽△ A ′B ′O 且OA'＝1.OA3∴ AE ＝0E＝ 1.∴ A ′E ＝ 1 AD ＝ 2， OE ＝ 1 OD ＝ 1.∴ A ′（－ 1,2） .同理可得 A ′′（1, ―2） .AD 0D333方法二：∵点 A （ ―3， 6）且相像比为 1，∴点 A 的对应点 A ′的坐标是（ ―3×1，331 6× ），∴ A ′（－ 1,2） .3∵点 A ′′和点 A ′（－ 1,2）对于原点 O 对称，∴ A ′′（1, ―2） .故答案选 D.考点：位似变换.9．如图，□ ABCD的对角线 AC， BD 交于点 O， CE均分∠ BCD 交 AB 于点 E，交 BD 于点 F，且∠ ABC＝ 60°， AB＝2BC，连结 OE．以下结论：① EO⊥ AC；②S△AOD＝4S△OCF；③ AC：BD ＝21： 7；④ FB2＝ OF?DF．此中正确的选项是（）A．①②④【答案】 B【分析】【剖析】① 正确．只需证明② 错误．想方法证明B．①③④C．②③④D．①③EC=EA=BC，推出∠ ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断．BF=2OF，推出 S△BOC=3S△OCF即可判断．③正确．设BC=BE=EC=a，求出 AC， BD 即可判断．④正确．求出BF， OF， DF（用 a 表示），经过计算证明即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB， OD=OB， OA=OC，∴∠ DCB+∠ABC=180°，∵∠ ABC=60°，∴∠ DCB=120°，∵EC均分∠ DCB，1∴∠ ECB=∠ DCB=60°，2∴∠ EBC=∠BCE=∠ CEB=60°，∴△ ECB是等边三角形，∴E B=BC，∵ AB=2BC ，∴EA=EB=EC ，∴∠ ACB=90°，∵ O A=OC ， EA=EB ，∴OE ∥BC ，∴∠ AOE=∠ ACB=90°，∴EO ⊥ AC ，故 ① 正确，∵OE ∥BC ，∴△ OEF ∽△ BCF ，∴OE OF 1，BCFB2∴ O F= 1OB ，3∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ，故 ② 错误，设 BC=BE=EC=a ，则 AB=2a ， AC= 3 a ，OD=OB= a2( 3 a)27a ，22∴BD= 7 a ，∴AC ：BD= 3 a ： 7 a= 21 ： 7，故 ③ 正确，∵OF= 1 O B=7a ，36∴ B F= 7a ，327 2 ， OF?DF= 77 7 72∴BF = 9aa?aaa ，6269∴ B F 2=OF?DF ，故 ④ 正确，应选： B ． 【点睛】本题考察相像三角形的判断和性质，平行四边形的性质，角均分线的定义，解直角三角形，解题的重点是灵巧运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．10． 如图，将图形用放大镜放大，应当属于 ( )．A ．平移变换B ．相像变换C ．旋转变换D ．对称变换【答案】 B【分析】【剖析】依据放大镜成像的特色，联合各变换的特色即可得出答案．【详解】解：依据相像图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状同样，大小不同样，因此属于相像变换．应选： B ．【点睛】本题考察的是相像形的辨别，重点要联系图形，依据相像图形的定义得出．11． 如图，在 ABC 中， D , E 分别是边 AB, AC 的中点，ADE 和四边形 BCED 的面积分别记为S 1, S 2 S 1的值为（ ），那么 S 2A ．1 1 1 2B ．4C ．D ．233【答案】 C【分析】【剖析】依据已知可获得 △ADE ∽△ ABC ，从而可求得其面积比，则不难求得S 1的值．S 2【详解】∵ D , E 分别是边 AB, AC 的中点，∴DE ∥BC ，∴△ ADE ∽△ ABC ，∴DE ：BC=1： 2，因此它们的面积比是 1： 4，因此S1=11，S2 4 13应选 C．【点睛】本题考察了三角形的中位线定理和相像三角形的性质：（1）相像三角形周长的比等于相像比；（ 2）相像三角形面积的比等于相像比的平方；（3）相像三角形对应高的比、对应中线的比、对应角均分线的比都等于相像比．12．（ 2016 山西省）宽与长的比是5 1（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴2藏着丰富的美学价值，给我们以协调解均匀的美感．我们能够用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 ABCD，分别取 AD、 BC 的中点 E、 F，连结 EF：以点 F 为圆心，以 FD 为半径画弧，交 BC 的延伸线于点 G；作 GH⊥ AD，交 AD 的延伸线于点 H，则图中以下矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH【答案】D【分析】【剖析】先依据正方形的性质以及勾股定理，求得DF 的长，再依据DF=GF求得 CG 的长，最后依据CG与 CD 的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．【详解】解：设正方形的边长为2，则 CD=2， CF=1在直角三角形 DCF 中，DF12225FG5CG51CG51CD2∴矩形 DCGH为黄金矩形应选： D．【点睛】本题主要考察了黄金切割，解决问题的重点是掌握黄金矩形的观点．解题时注意，宽与长的比是51的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形 ABGH 也为黄金矩形．213． 如图， △AOB 是直角三角形，∠ AOB ＝ 90°， △AOB 的两边分别与函数y 1, y 2 的xx图象交于 B 、 A 两点，则等于（ ）2 1 13 A ．B ．C ．D ．2243【答案】 A【分析】【剖析】过点 A,B 作 AC ⊥ x 轴 ,BD ⊥x 轴 ,垂足分别为 C,D.依据条件获得 △ACO ∽△ ODB.依据反比率函S OBD( OB1 1利用相像三角形面积比等于相像比 数比率系数 k 的几何意义得出 )2＝ 2 ＝S AOC OA12的平方得出OB2OA2【详解】∵∠ AOB ＝90°，∴∠ AOC+∠ BOD ＝∠ AOC+∠CAO ＝90°，∠CAO ＝∠ BOD ，∴△ ACO ∽△ BDO ，∴S OBD (OB ) 2 , S AOC OA∵S △1 △1 1 ，AOC ＝2×2＝1， S BOD ＝2×1＝2∴ (OB )2＝ 1 2＝OA1∴ OB 2 ，OA 2应选 A ．1 ，2【点睛】本题考察了反比率函数图象上点的坐标特色和相像三角形的判断与性质，解题重点在于做协助线，而后获得相像三角形再进行求解14．已知线段 MN ＝ 4cm，P 是线段 MN 的黄金切割点，MP＞NP，那么线段MP 的长度等于（）A．（ 2 5 +2）cm B．（ 2 5 ﹣2）cm C．（ 5 +1）cm D．（ 5 ﹣1）cm 【答案】 B【分析】【剖析】依据黄金切割的定义进行作答.【详解】由黄金切割的定义知，MP 5 1，又 MN=4 ，因此， MP=2 5 2. 因此答案选 B.MN2【点睛】本题考察了黄金切割的定义，娴熟掌握黄金切割的定义是本题解题重点.15．如图，Rt ABO中，AOB290 ， AO 3BO ，点B在反比率函数y的图象x上， OA 交反比率函数y k0的图象于点 C ，且 OC2CA ，则 k 的值为（k）xA．2B．4C．6D．8【答案】 D【分析】【剖析】过点 A 作 AD ⊥x 轴，过点 C 作 CE ⊥x 轴，过点B 作 BF ⊥ x 轴，利用 AA 定理和平行证得△COE ∽△ OBF ∽△ AOD ，而后依据相像三角形的性质求得SVBOF (OB )2 1 ，S VOAD OA9 SVCOE(OC 24SVBOF2 1 ，从而求得SV AOD)，依据反比率函数比率系数的几何意义求得2OA9S VCOE 4 ，从而求得 k 的值．【详解】解：过点 A 作 AD ⊥ x 轴，过点 C 作 CE ⊥ x 轴，过点 B 作 BF ⊥ x 轴 ∴CE ∥ AD ，∠ CEO=∠BFO=90° ∵AOB 90∴∠ COE+∠ FOB=90°，∠ ECO+∠ COE=90°∴∠ ECO=∠ FOB∴△ COE ∽△ OBF ∽△ AOD又∵ AO 3BO ， OC2CA∴ OB1 ， OC 2OA3 OA3∴ SV BOF (OB )21 ， SVCOE (OC )2 4SVOADOA9SVAODOA 9S VCOE4∴SV BOF∵点 B 在反比率函数y2的图象上x∴SV BOF 212∴ S V COE 4∴ k4 ，解得 k= ±82又∵反比率函数位于第二象限， ∴ k =-8应选： D ．【点睛】本题考察反比率函数的性质和相像三角形的判断和性质，正确增添协助线证明三角形相像，利用数形联合思想解题是重点．16．如图，已知△ABC， D、 E 分别在边AB、 AC 上，以下条件中，不可以确立△ADE∽△ ACB 的是（）A．∠ AED＝∠ B B．∠ BDE+∠ C＝ 180 °C． AD?BC＝ AC?DE D． AD?AB＝ AE?AC【答案】C【分析】【剖析】A、依占有两组角对应相等的两个三角形相像，进行判断即可；B：依据题意可获得∠ ADE=∠ C，依占有两组角对应相等的两个三角形相像，进行判断即可；C、依据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相像，进行判断即可；D、依据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相像，进行判断即可．【详解】解： A、由∠ AED=∠ B，∠ A=∠A，则可判断△ADE∽△ ACB；B、由∠ BDE+∠ C=180°，∠ ADE+∠ BDE=180°，得∠ ADE=∠ C，∠ A=∠ A，则可判断△ADE∽△ ACB；C、由AD?BC=AC?DE，得不可以判断△ADE∽△ ACB,一定两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相像.D、由AD?AB=AE?AC得，∠ A=∠ A，故能确立△ADE∽△ ACB，应选：C．本题考察了相像三角形的判断：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相像（注意，必定是夹角）；有两组角对应相等的两个三角形相像．17． 如图，在 □A BCD 中， E 、F 分别是边 BC 、CD 的中点， AE 、 AF 分别交 BD 于点 G 、 H ，则图中暗影部分图形的面积与 □ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】 B 【分析】 【剖析】依据已知条件想方法证明【详解】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB ∥ CD ， AD ∥ BC ， AB=CD ， AD=BC ， ∵ D F=CF ， BE=CE ，∴ DHDF1 ， BG BE 1 ， HBAB2 DG AD2∴ DHBG 1 ， BDBD3∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ， ∴S 平行四边形 ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ： S 平行四边形 ABCD =1： 6， ∵E 、 F 分别是边 BC 、 CD 的中点 ,∴EF 1, BD 2S VEFC1∴S V BCDD 4,SVEFC1∴8 ,S 四边形 ABCDSV AGHSVEFC1 1 7∴6 824 =7∶24,S四边形ABCDBG=GH=DH ，即可解决问题；【点睛】本题考察了平行四边形的性质、平行线分线段成比率定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．18．如图， AB∥ GH∥CD，点 H 在 BC 上， AC 与 BD 交于点 G， AB=2， CD=3，则 GH 长为（）A．1B． 1.2C． 2D． 2.5【答案】 B【分析】【剖析】由 AB∥ GH∥ CD可得：△CGH∽△ CAB、△BGH∽△ BDC，从而得：GHCH 、AB BCGH BH CD ，而后两式相加即可．BC 【详解】解：∵ AB∥GH，∴△ CGH∽△ CAB，∴GHCH ，即 GH CH① ，AB BC2BC∵CD∥ GH，∴△ BGH∽△ BDC，∴GHBH，即GHBH② ，CD BC3BCGH GH CH BH1，解得： GH 61.2 ．① +②，得：3BC BC52应选： B．【点睛】本题考察了相像三角形的判断和性质，属于基本题型，娴熟掌握相像三角形的判断和性质是解题的重点．19．两个相像三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．45cm ，85cm【答案】 CB． 60cm， 100cm C． 75cm， 115cm D． 85cm， 125cm 【分析】【剖析】依据相像三角形的周长的比等于相像比列出方程，解方程即可．【详解】设小三角形的周长为xcm，则大三角形的周长为（x+40） cm，人教版初中数学图形的相似技巧及练习题附答案解析由题意得，x15，40 x 23解得， x=75，则 x+40=115，应选 C．20．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣ 4， 2）， F（﹣ 2，﹣ 2），以原点 O 为位似中心，相像比为，把△EFO减小，则点 E 的对应点 E′的坐标是A．（﹣ 2， 1）B．（﹣ 8， 4）C．（﹣ 8，4）或（ 8，﹣ 4）D．（﹣ 2，1）或（ 2，﹣ 1）【答案】 D【分析】试题剖析：依据位似的性质，减小后的点在原点的同侧，为（-2,1），而后求在另一侧为（2， -1）．应选 D考点：位似变换。

2020-2021初中数学图形的相似技巧及练习题附答案解析(1)一、选择题1．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）A．35B．43C．53D．34【答案】C【解析】【分析】首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽Rt△ECD，再利用相似比得出12.52NE CD==，运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三角形，从而求出CE．【详解】解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN，∴Rt△FNE∽Rt△ECD，∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，∴两三角形相似比为1：2，∴可以得到CE=2NF，12.52NE CD==∵AC平分正方形直角，∴∠NFC=45°，∴△CNF是等腰直角三角形，∴CN=NF，∴2255.3323 CE NE==⨯=故选C．【点睛】此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.2．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数1 yx=-、2yx=的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BE OEOF AF=；设B为（a，1a-），A为（b，2b），得到OE=-a，EB=1a-，OF=b，AF=2b，进而得到222a b=，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠2为定值，即可解决问题．【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△OFA，∴BE OEOF AF=，设点B为（a，1a-），A为（b，2b），则OE=-a，EB=1a-，OF=b，AF=2b，可代入比例式求得222a b=，即222ab=，根据勾股定理可得：22221OE EB aa+=+22224OF AF bb+=+∴tan∠OAB=2222222212244baOB a bOAb bb b++==++222214()24bbbb++22∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．3．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．4．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG=2，则线段AE 的长度为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D【解析】 分析：根据正方形的性质可得出AB ∥CD ，进而可得出△ABF ∽△GDF ，根据相似三角形的性质可得出AF AB GF GD==2，结合FG=2可求出AF 、AG 的长度，由CG ∥AB 、AB=2CG 可得出CG 为△EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE 的长度，此题得解． 详解：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠ABF=∠GDF ，∠BAF=∠DGF ，∴△ABF ∽△GDF ， ∴AF AB GF GD==2， ∴AF=2GF=4，∴AG=6． ∵CG ∥AB ，AB=2CG ，∴CG 为△EAB 的中位线，∴AE=2AG=12．故选D ．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF 的长度是解题的关键．5．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，作CD 的中垂线与CD 交于点E ，与BC 交于点F ．若CF ＝x ，tanA ＝y ，则x 与y 之间满足（ ）A ．2244x y+= B ．2244x y -= C ．2288x y -= D ．2288x y+= 【答案】A【解析】【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出CD ＝12AB ＝AD ＝4，由等腰三角形的性质得出∠A ＝∠ACD ，得出tan ∠ACD ＝GE CE＝tan A ＝y ，证明△CEG ∽△FEC ，得出GE CE CE FE ，得出y ＝2FE ，求出y 2＝24FE ，得出24y＝FE 2，再由勾股定理得出FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4，即可得出答案．【详解】解：如图所示：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，∴CD ＝12AB ＝AD ＝4， ∴∠A ＝∠ACD ，∵EF 垂直平分CD ， ∴CE ＝12CD ＝2，∠CEF ＝∠CEG ＝90°， ∴tan ∠ACD ＝GE CE ＝tanA ＝y ， ∵∠ACD+∠FCE ＝∠CFE+∠FCE ＝90°，∴∠ACD ＝∠FCE ，∴△CEG ∽△FEC ， ∴GE CE ＝CE FE， ∴y ＝2FE， ∴y 2＝24FE ， ∴24y＝FE 2， ∵FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4， ∴24y＝x 2﹣4， ∴24y +4＝x 2， 故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．6．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且//DE BC ，CD 、BE 相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是( )A ．AD AE AB EC= B ．AG AE GF BD = C ．OD AE OC AC = D ．AG AC AF EC = 【答案】C【解析】【分析】 由//DE BC 可得到DEO V ∽CBO V ，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．【详解】解：A.∵//DE BC ， ∴AD AE AB AC= ,故不正确； B. ∵//DE BC ， ∴AG AE GF EC = ,故不正确； C. ∵//DE BC ，∴ADE V ∽ABC V ，DEO V ∽CBO V ,DE AE BC AC ∴=，DE OD BC OC= ． OD AE OC AC∴= ，故正确； D. ∵//DE BC ，∴AG AEAF AC= ,故不正确；故选C．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．7．如图，点A在双曲线y═kx（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于12OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（）A．2 B．3225C．435D．2525+【答案】B【解析】分析：如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；详解：如图，设OA交CF于K．由作图可知，CF垂直平分线段OA，∴OC=CA=1，OK=AK，在Rt△OFC中，22=5OF OC+∴2555，∴OA=455，由△FOC∽△OBA，可得OF OC CFOB AB OA==，∴21545OB AB==，∴OB=85，AB=45，∴A（85，45），∴k=3225．故选B．点睛：本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．如图，将ABC∆沿BC边上的中线AD平移到A B C'''∆的位置．已知ABC∆的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若1AA'=，则A D'等于（）A．2 B．3 C．4 D．32【答案】B【解析】【分析】由S△ABC＝16、S△A′EF＝9且AD为BC边的中线知1922A DE A EFS S'∆'∆==，182ABD ABCS S∆∆==，根据△DA′E∽△DAB知2A DEABDSA DAD S∆∆'⎛⎫='⎪⎝⎭，据此求解可得．【详解】16ABCS∆=Q、9A EFS∆'=，且AD为BC边的中线，1922A DE A EF S S ∆∆''∴==，182ABD ABC S S ∆∆==， Q 将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移得到A B C '''∆，//A E AB ∴'， DA E DAB '∴∆~∆，则2A DE ABD S A D AD S ∆∆'⎛⎫=' ⎪⎝⎭，即22991816A D A D ⎛⎫== '⎪+⎝⎭'， 解得3A D '=或37A D '=-（舍）， 故选：B ．【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的 性质、相似三角形的判定与性质等知识点．9．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F .若3sin 5CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．【详解】解：连接BD ，如图，AB Q 为直径，90ADB ACB ∴∠=∠=︒，AD CD =Q ，DAC DCA ∴∠=∠，而DCA ABD ∠=∠，DAC ABD ∴∠=∠，DE AB ∵⊥，90ABD BDE ∴∠+∠=︒，而90ADE BDE ∠+∠=︒，ABD ADE ∴∠=∠，ADE DAC ∴∠=∠，5FD FA ∴==，在Rt AEF ∆中，3sin 5EF CAB AF ∠==Q ， 3EF ∴=， 22534AE ∴=-=，538DE =+=，ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，ADE DBE ∴∆∆∽，::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，16BE ∴=，41620AB ∴=+=．故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．10．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AC －CB 运动，到点B 停止．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y （cm ）与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图2所示．当点P 运动5秒时，PD 的长是（ ）A ．1.5cmB ．1.2cmC ．1.8cmD ．2cm【答案】B【解析】【分析】【详解】 由图2知，点P 在AC 、CB 上的运动时间时间分别是3秒和4秒，∵点P 的运动速度是每秒1cm ，∴AC=3，BC=4．∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴根据勾股定理得：AB=5．如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则易得△ABC ∽△ACH ． ∴CH AC BC AB =，即AC BC 3412CH CH AB 55⋅⨯=⇒==． ∴如图，点E （3，125），F （7，0）． 设直线EF 的解析式为y kx b =+，则 123k b {507k b=+=+， 解得：3k 5{21b 5=-=． ∴直线EF 的解析式为321y x 55=-+． ∴当x 5=时，()3216PD y 5 1.2cm 555==-⨯+==． 故选B ．11．两个相似三角形的对应边分别是15cm 和23cm ，它们的周长相差40cm ，则这两个三角形的周长分别是（ ）A ．45cm ，85cmB ．60cm ，100cmC ．75cm ，115cmD ．85cm ，125cm【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比列出方程，解方程即可．【详解】设小三角形的周长为xcm ，则大三角形的周长为（x+40）cm ，由题意得，154023x x =+， 解得，x=75，则x+40=115，故选C ．12．如图，点E 为ABC ∆的内心，过点E 作MN BC P 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若7AB =，5AC =，6BC =，则MN 的长为（ ）A ．3．5B ．4C ．5D ．5．5【答案】B【解析】【分析】 连接EB 、EC ，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME ，同理可得NC=NE ，接着证明△AMN ∽△ABC ，所以767MN BM -=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56MN②，把两式相加得到MN 的方程，然后解方程即可．【详解】连接EB 、EC ，如图，∵点E 为△ABC 的内心，∴EB 平分∠ABC ，EC 平分∠ACB ，∴∠1=∠2，∵MN ∥BC ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴BM=ME ，同理可得NC=NE ，∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴MN AM BC AB = ，即767MN BM -=，则BM=7-76MN①， 同理可得CN=5-56MN②， ①+②得MN=12-2MN ，∴MN=4．故选：B ．【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．13．如图，已知ABC ∆和ABD ∆都O e 是的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ADE ∆的相似的三角形是（ ）A ．BCE ∆B ．ABC ∆ C ．ABD ∆ D ．ABE ∆【答案】A【解析】【分析】 根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠，CEB ∠和DEA ∠是对顶角，所以ADE BCE ∆∆∽．【详解】解：BCE BDA ∠=∠Q ，CEB DEA ∠=∠ADE BCE ∴∆∆∽，故选：A ．【点睛】考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．14．如图，三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形，它们的相似比为2∶3，若三角尺的一边长为8 cm ，则这条边在投影中的对应边长为( )A．8 cmB．12 cmC．16 cmD．24 cm【答案】B【解析】试题分析：利用相似比为2：3，可得出其对应边的比值为2：3，进而求出即可．解：∵三角尺与其灯光照射下的中心投影组成了位似图形，它们的相似比为2：3，三角尺的一边长为8cm，∴设这条边在投影中的对应边长为：x，则=，解得：x=12．故选B．考点：位似变换．15．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则DGCF（）A．23B．22C．33D．32【答案】B 【解析】【分析】连接AC和AF，证明△DAG∽△CAF可得DGCF的值．【详解】连接AC和AF，则2 AD AGAC AF==，∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC，∴∠DAG=∠CAF．∴△DAG∽△CAF．∴22 DG ADCF AC==．故答案为：B.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FEB=90°，∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，∴△AEG∽△BFE，∴AE AG BF BE=，又∵AE=BE，∴AE 2=AG•BF=2，∴AE=2（舍负），∴GF 2=GE 2+EF 2=AG 2+AE 2+BE 2+BF 2=1+2+2+4=9，∴GF 的长为3，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG ∽△BFE ．17．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，△AOB 的两边分别与函数12,y y x x=-=的图象交于B 、A 两点，则等于（ ）A ．22B ．12C ．14D ．33【答案】A【解析】【分析】过点A,B 作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO ∽△ODB.根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆＝121＝12利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出2OB OA =【详解】 ∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC +∠BOD ＝∠AOC +∠CAO ＝90°，∠CAO ＝∠BOD ，∴△ACO ∽△BDO ，∴2()S OBD OB S AOC OA∆=∆ , ∵S △AOC ＝12 ×2＝1，S △BOD ＝12×1＝12，∴2()OB OA＝121＝12 ， ∴2OB OA =， 故选A ．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线，然后得到相似三角形再进行求解18．若△ABC 的每条边长增加各自的50%得△A 'B 'C '，若△ABC 的面积为4，则△A 'B 'C '的面积是（ ）A ．9B ．6C ．5D ．2【答案】A【解析】【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵△ABC 的每条边长增加各自的50%得△A ′B ′C ′，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的三边对应成比例，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴214()150%9ABC A B C S S '''==+V V ， ∵△ABC 的面积为4，则△A'B'C'的面积是9．故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．19．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABD=∠CB ．∠ADB=∠ABC C ．AB CB BD CD = D ．AD AB AB AC = 【答案】C【解析】【分析】 由∠A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A 与B 正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D 正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】∵∠A 是公共角，∴当∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC 时，△ADB ∽△ABC （有两角对应相等的三角形相似），故A 与B 正确，不符合题意要求；当AB ：AD=AC ：AB 时，△ADB ∽△ABC （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D 正确，不符合题意要求；AB ：BD=CB ：AC 时，∠A 不是夹角，故不能判定△ADB 与△ABC 相似，故C 错误，符合题意要求，故选C ．20．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，2CD =，1BD =，则AD 的长是（ ）A ．1.B 2C ．2D ．4【答案】D【解析】【分析】 由在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B ，又由∠CDB=∠ACB=90°，可证得△ACD ∽△CBD ，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【详解】∵在Rt △ABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB ，∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B ，∴△ACD ∽△CBD ， ∴=AD CD CD BD， ∵CD=2，BD=1， ∴2=21AD ， ∴AD=4.故选D.【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于证得△ACD ∽△CBD.。