协方差分析

协方差分析
是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法。

方差分析是从质量因子的角度探讨因素不同水平对实验指标影响的差异。

一般说来，质量因子是可以人为控制的。

回归分析是从数量因子的角度出发，通过建立回归方程来研究实验指标与一个(或几个)因子之间的数量关系。

但大多数情况下，数量因子是不可以人为加以控制的。

目录
基本定义
协方差的性质
协方差在农业上的应用
编辑本段基本定义
方差反应参数的波动情况。

而两个不同参数之间的方差就是协方差。

若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。

定义E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差，记作COV(X，Y)，即COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。

协方差与方差之间有如下关系：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X，Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X，Y) 因此，COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。

编辑本段协方差的性质
（1）COV(X，Y)=COV(Y，X)；（2）COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，（a，b是常数）；（3）COV(X1+X2，Y)=COV(X1，Y)+COV(X2，Y)。

由协方差定义，可以看出COV(X，X)=D(X)，COV(Y，Y)=D(Y)。

协方差作为描述X和Y相关程度的量，在同一物理量纲之下有一定的作用，但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。

为此引入如下概念：定义ρXY=COV(X，Y)/√D(X)√D(Y)，称为随机变量X和Y的相关系数。

定义若ρXY=0，则称X与Y不相关。

即ρXY=0的充分必要条件是COV(X，Y)=0，亦即不相关和协方差为零是等价的。

定理设ρXY是随机变量X和Y的相关系数，则有（1）∣ρXY∣≤1；（2）∣ρXY∣=1充分必要条件为P{Y=aX+b}=1，（a，b为常数，a≠0）定义设X和Y是随机变量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。

若E{[X-E(X)]^k}，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶中心矩。

若E(X^kY^l)，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合原点矩。

若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l}，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。

显然，X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩，协方差COV(X，Y)是X和Y的二阶混合中心矩。

编辑本段协方差在农业上的应用
农业科学实验中，经常会出现可以控制的质量因子和不可以控制的数量因子同时影响实验结果的情况，这时就需要采用协方差分析的统计处理方法，将质量因子与数量因子(也称协变量)综合起来加以考虑。

比如，要研究3种肥料对苹果产量的实际效应，而各棵苹果树头年的“基础产量”不一致，但对试验结果又有一定的影响。

要消除这一因素带来的影响，就需将各棵苹果树第1年年产量这一因素作为协变量进行协方差分析，才能得到正确的实验结果。

当两个变量相关时，用于评估它们因相关而产生的对应变量的影响。

当多个变量独立时，用方差来评估这种影响的差异当多个变量相关时，用协方差来评估这种影响的差异简单来说，可以把协方差当成方差来理解。

什么是贡献率在统计分析中经常使用“贡献率”，那么“贡献率”是什么含义？它是怎样计算的？贡献率是分析经济效益的一个指标。

它是指有效或有用成果数量与资源消耗及占用量之比，即产出量与投入量之比，或所得量与所费量之比。

计算公式：贡献率（%）=贡献量（产出量，所得量）/投入量（消耗量，占用量）×100% 贡献率也用于分析经济增长中各因素作用大小的程度。

计算方法是：贡献率（%）=某因素增加量（增量或增长程度）/总增加量（总增量或增长程度）×100% 上式实际上是指某因素的增长量（程度）占总增长量（程度）的比重。

编辑本段举例说明
举例说明如下：总资产贡献率（%）=（利润总额+税金总额+利息支出）/平均资产总额×100% （1）总资产贡献率：反映企业资金占用的经济效益，说明企业运用全部资产的收益能力。

（2）社会贡献率：是衡量企业运用全部资产为社会创造或支付价值的能力。

社会贡献率（%）= 社会贡献总额/平均资产总额×100% 社会贡献总额包括工资、劳保退休统筹及其他社会福利支出、利息支出净额、应交增值税、产品销售税金及附加、应交所得税及其他税、净利润等。

为了反映企业对国家所作贡献的程度，可按上述原则计算贡献率。

企业对国家的贡献率（%）= 税金总额+上缴利润/社会贡献总额×100% 技术进步对产出增长速度的贡献率这个指标是指在产出增长速度中，技术进步因素所占的比重，综合反映了技术进步对经济增长作用的大小。

技术进步对产出增长速度的贡献率（%）=技术进步速度/产出增长速度×100% 上式贡献率越大则表明技术进步对经济增长的贡献和作用就越大，反之则小。

（4）各产业贡献率：第一、二、三产业增量与国内生产总值增量之比，即为各产业的贡献率。

第三产业贡献率= 第三产业当年增量/国内生产总值当年增量×100% 应该注意的是，贡献率指标比较抽象，在使用时，应说明具体含义，但也不能任意使用，要符合常规，做到标准化、规范化、通俗化。

如资本收益率、资金利税率以及某些对增量因素分析的指标，已有专用名称，就没有必要改称为贡献率。

另外，在计算各产业贡献率时应剔除价格变动因素，分子、分母均用可比价格的增量计算。

编辑本段实例分析
2009年广东省生产总值39081.59亿元，比上年增长9.5%。

其中，第一产业增加值2006.02亿元，增长4.9%；第二产业增加值19270.48亿元，增长8.7%；第三产业增加值17805.09亿元，增长11.0%。

那么三大产业对广东省GDP的贡献率是多少？广东省GDP 增长总额=39081.59-39081.59/(1+9.5%)=3390.05（亿元）第一产业增长总额=2006.02-2006.02/(1+4.9%)=93.70（亿元），贡献率=93.70/3390.05=2.76% 第二产业增长总额=19270-19270/(1+8.7%)=1542.31（亿元）,贡献率=1542.31/3390.05=45.50% 第三产业增长总额=17805.09-17805/(1+11.0%)=1764.46（亿元）,贡献率=1764.46/3390.05=52.05%。