稳态信号检测的数字信号处理方法简介

3．稳态信号检测的数字信号处理方法3.1引言数字信号处理方法被广泛用于稳态信号的检测，而在电力系统中稳态信号的分析主要是针对电网谐波。

电网谐波可分为整次谐波、间谐波和分次谐波。

针对电网谐波有不同的谐波分析算法。

目前对于稳态信号检测的数字信号处理的方法主要有Fourier 变换(DFT,FFT),经典谱分析，基于加窗和频谱校正的谐波分析，现代谱分析等。

3.2 Fourier 变换3.2.1 简介离散傅里叶变换(DFT)是为适应计算机傅里叶变换而引出的。

对信号x(t)进行傅里叶变换或逆傅里叶变换运算时，无论在时域或在频域都需要进行包括(－∞，＋∞)区间的积分运算，而若在计算机上实现这一运算，则必须做到把连续信号改造为离散数据，把计算范围收缩到一个有限区间。

DFT 在信号的分析处理中起着非常重要的作用，因为DFT 能将信号的时域特性变换为频域特性，时域和频域特性的相互转换不仅在理论和形式上非常方便，而且其数值实现已有FFT 算法和软件可供使用.3.2.2 DFT 变换一个连续的周期函数)(t x p 可以表示成指数形式的傅里叶级数，即(3-1)其中傅里叶级数的复系数是 ⎰+-=1001)(11T t t kt j p K dt e t x T X ω (3-2)从这两式出发推导出周期序列的离散傅里叶级数(DFS)如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∑∑-=--=nk N j p N k p p nk N j p N n e k X N n x k X e n x ππ210210)(1)()()( （3－3） 在DFS 变换对的表达式(3-3)中，由于)(n x p 和)(k X p 都是以N 为周期的，在求出它们的0到N-1个点的数值后，只要以其主值区间序列进行周期延拓即可求出其余各点数值，因此在实际计算DFS 时，只要计算出0到N-1点即可。

如果把有限长序列看作是周期序列的主值区间序列，那么利用DFS 计算周期序列的一个周期也就是算出了有限长序列。

为此引用变换对。

∑+∞-∞==k kt j k p e X t x 1)(ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤==-≤≤==∑∑-=-=-10210210)(1)]([)(10)()]([)(N k nk N j N n nk N j N n e k X N k X IDFT n x N k e n x n x DFT k X ππ （3－4） 这就是离散傅里叶变换(DFT)，它描述有限长时间序列与其频谱的关系，它表明，时域中有限长离散序列的频谱是离散的和有限带宽的。

DFT 和DFS 除定义中n 和k 的取值范围不同外，形式上是完全相同的，因此，如果把DFT 的有限长序列x(n)及其相应的有限带宽频谱X(k)分别作为主值区间序列进行周期延拓，则所得的计算结果与DFS 完全相同。

Fourier 分析虽然可以用来对信号作时频分析，然而它没有任何时频局部化的能力。

事实上，若要得到某个固定频率ω处的频谱信息)(ω∧f ，必须利用全部的时域信息f(t)，R t ∈；而若仅仅已知局部的频谱信息，却不能由此获得信号在局部时域中的特性。

同样，信号在局部时域上的改变会影响它在全部时域中的特性。

然而，在很多实际问题中，人们特别关心的是局部时域信号在局部频域中的对应特性，例如在电力系统故障信号分析中，人们关注的是故障电流(电压)的突发时刻及在随后的极短时段内对应的频谱特征，希望能及时判断出故障和扰动发生的时刻和类型。

对于这样的突变信号的时频分析，Fourier 分析是无能为力的，人们需要短时的时频局部化分析方法。

3.2.3基于DFT 的谱估计与谐波分析取样信号)(n x 的离散傅里叶变换为： ∑-=-=102)()(N n nk N j en x k X π (3-5)得到了信号的离散傅里叶变换之后就可以对信号进行频谱分析了，变换后的每一个值都对应信号时域中的一个频率为基波整数倍的正弦分量。

其中需要注意的两个问题就是分析的最高频率和频率的分辨率：离散傅里叶变换的分析频率为采样频率的二分之一，当需要分析更高的频率时必须提高采样频率。

DFT 算法的频率分辨率是指在频率轴上的所能得到的最小频率间隔f ∆。

从离散傅里叶变换的定义可以得到频谱的最小间隔为：N f f s /=∆ 其中s f 为信号的采样频率f ∆ 越小，当然对)(ωj e X 分辨得越好。

该式反映了频谱的分辨能力的f ∆都反比于信号的长度N 。

由于 T NT N f f s s /1/1/===∆所以，严格的说f ∆反比于信号的实际长度T 。

3.3 基于经典谱估计的谐波分析3.3.1 基于相关函数法的谱估计和谐波分析自然界中的各种噪声一般都是典型的随机信号，一旦这些随机的噪声信号混入我们需要分析的对象时，它们也变成了随机信号，这时继续把它们作为确定性信号分析就不可避免的出现误差，有时候甚至导致完全错误的答案。

一般来说，电力系统中的各种噪声可以认为是随机性最强的白噪声，但是白噪声的傅氏变换在严格意义上是不存在的，各种统计特性就成为了描述随机信号的主要方法。

白噪声)(t x 的统计特性可表示为下式：0))((=t x E⎩⎨⎧≠===+0,00,)(),(2ττσττx x R t t R (3-6) 其中))((t x E 为)(t x 的数学期望， ),(τ+t t R x 为相关函数，τ为时间延迟，2σ为其方差。

白噪声离散采样序列的n x 的自相关函数为：0)()()()(===++k n n k n n xx x E x E x x E k R 当0≠k 时设p 个正弦信号组合为：∑=+=pk k k n q x 1)cos(θω (3-7)在这种情况下，自相关函数为：∑=-=-=qk k xx xx i l q i l r i l r 12)(cos 2)(),(ω (3-8)从上式可见经过自相关变换之后正弦信号的频率信息被保留下来，丢失了相位信息，所以基于自相关变换的频谱分析只能用来定位信号中的正弦分量的频率，由于白噪声本身和任何正弦信号都是不相关的，这样白噪声中正弦信号组合的自相关函数为：)()(cos 2)(),(12k i l q i l r i l r qk k xx xx ρσω+-=-=∑= (3-9)其中ρ为白噪声的方差。

这样经过自相关变换后白噪声的影响将集中在0=k 时刻。

基于相关函数法的谱估计就是通过统计分析，从时域上先求信号的自相关函数，在作Fourier 变换，求得功率谱估计值。

⎰+∞∞--=ττωωτd e R S j x x )()( (3-10)图给出了混有大量白噪声的正弦信号及其自相关变换，从图3-1中我们可以看出经过自相关变换，随机信号中的周期分量表现的更加明显了。

3.3.2 基于周期图法的谱估计和谐波分析基于周期图法的谱估计是把随机信号)(n x 的N 点观察数据)(n x n 视为一个能量有限信号，直接取)(n x n 的傅里叶变换，得)(k X n ，然后再取幅值的平方，并除以N ，作为对)(n x 真的功率谱)(k S x 的估计，以)(k S x ∧表示用周期图估计出的功率谱，则2)(1)(k X N k S N x =∧(2-11) 这种谱估计的方法包含了下述假设及步骤： (1)把平稳随机信号)(n x 视为各态遍历的，用其一个样本)(n x 的N 个观察值)(n x n 来估计)(n x 的功率谱)(k S x 。

(2)从记录到的一个连续信号)(t x 到估计出)(k S x ∧，还包括了对)(t x 的离散化(A/D),,必要的预处理(如除去均值﹑除去信号的趋势﹑滤波)等。

显然，基于周期图法的谱估计只需对信号序列本身作DFT 运算，然后取其绝对值的平方，再进行该序列长度范围内的平均。

因此，采用FFT 算法，很容易直接估计一个实随机序列的功率谱密度的近似值。

但是，一个估计的好坏，取决于它的估计与功率谱密度真值之间的误差。

分析表明当用周期图法作谱估计时，存在功率谱密度的统计变异性，它是由于在功率谱密度测量中收集的数据数量有限而引起的不确定度。

因此，在数据中处理技术上往往采取措施，对周期图法进行修改，以达到尽量减小统计误差的目的。

对于有限长数据的处理，由于数据的概率性质，而产生你统计误差，此称为谱估计的变异性，用变异系数来表征谱估计的变异性，变异系数定义为： )]([)]([k S k S x x r ∧∧=μσε (3-12)即谱估计的均方差与均值之比。

-50050100150200250300350400-4-3-2-101234采样点数 A/p.u. (a) 原始信号 -50050100150200250300350400-1.0-0.50.00.51.01.52.0采样点数 A/p.u.(b) 变换结果 图3-1 混有白噪声的正弦信号及其自相关变换结果由分析可知，谱估计)(k S x ∧是两个独立高斯变量的平方和，它相当与具有两个自由度的卡埃平方分布。

从概率统计学可知，卡埃平方分布222212n z z z ++=χ (3-13)式中，2χ是自由度为n 的卡埃平方变量；i z 是独立随机变量，服从正态分布；n 是独立变量数，称为自由度。

变量2χ的均值和方差：n E =][2χ (3-14)n 22=σ (3-15)所以由前定义可知，其变异系数：nk S k S x x r 2)]([)]([==∧∧μσε (3-16) 显然用(2-11)式作谱估计时，相当于具有自由度n=2.因此，其估计的变异系数为1。

这表明估计的功率谱密度的相对误差达到了100％，即估计的变异性和被估量一样大，这样的估计是不合用的，为此可采用平均化处理方法来提高估计精度。

对周期图进行平均化处理，将会使变异系数r ε减小，得到较高的谱估计精度。

平均周期图的方法是将序列x(n)分段，求各段周期图，再进行平均。

设序列x(n)总体长度为N ，将其分为q 段，每段长度为q N ，对每段数据q N 作谱估计，得到)(1k S ，)(2k S ，……，)(k S q ，此时有：)]()()([1)(21k S k S k S q k S q +++=∧(3-17) 如果各段频率分量的实部)(k X Rj 与虚部)(k X Rj (j=1,2,……,q)是互为独立的随机变量，那么有：∑∑===+q j q j j IjRj k X k X k X 11222)()]()([ (3-18) 可以看出，此时2χ分布的自由度n=2q 。

将各段估计谱在对应的频率上作q 个估计量的平均，可以得到：∑∑∑===∧===q j qj q j j j q j x k X N k X qN k S q k S 11122)(1)(1)(1)( (3-19)此时变异系数：q r /1=ε此式表明，随平均谱的分段数q 增大，其r ε值减小，显然分段数越多，即2χ变量数增多，自由度增加，故而减少了谱估计的变异性。