初三九年级数学下册《从梯子的倾斜程度谈起》教学反思

第一章直角三角形的邊角關係第一課時從梯子的傾斜程度談起(一)直角三角形中邊角之間的關係是現實世界中應用廣泛的關係之—.銳角三角函數在解決現實問題中有著重要的作用.如在測量、建築、工程技術和物理學中，人們常常遇到距離、高度、角度的計算問題，一般來說，這些實際問題的數量關係往往歸結為直角三角形中邊與角的關係問題.本節首光從梯子的傾斜程度談起。

引入了第—個銳角三角函數——正切.因為相比之下，正切是生活當中用的最多的三角函數概念，如刻畫物體的傾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是類比正切的概念得到的.所以本節從現實情境出發，讓學生在經歷探索直角：三角形邊角關係的過程中，理解銳角三角函數的意義，並能夠舉例說明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比，並能夠根據直角三角形的邊角關係進行計算.本節的重點就是理解tanA、sinA、cosA的數學含義.並能夠根據它們的數學意義進行直角三角形邊角關係的計算，難點是從現實情境中理解tanA、sim4、cosA的數學含義.所以在教學中要注重創設符合學生實際的問題情境，引出銳角三角函數的概念，使學生感受到數學與現實世界的聯繫，鼓勵他們有條理地進行表達和思考，特別關注他們對概念的理解.教學目標知識與能力目標1.經歷探索直角三角形中邊角關係的過程.理解正切的意義和與現實生活的聯繫.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進行簡單的計算.過程與方法目標經歷觀察、猜想等數學活動過程，體驗數形之間的聯繫，逐步學習利用數形結合的思想分析問題和解決問題.提高解決實際問題的能力.情感與價值觀目標積極參與數學活動，對數學產生好奇心和求知欲，形成實事求是的態度以及獨立思考的習慣.教學重點1.探索直角三角形的邊角關係.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯繫.教學難點理解正切的意義，並用它來表示兩邊的比.教學過程創設情境，引發探究[問題1]在直角三角形中，知道一邊和一個銳角，你能求出其他的邊和角嗎?[問題2] 想一想,你能運用所學的數學知識測出這座古塔的高嗎?這節課，我們就先從梯子的傾斜程度談起.師生互動，探索新知小明的問題在圖中，梯子AB和EF哪個更陡?你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法?提示：1、從圖中很容易發現∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.2、因為AC＝ED，所以只要比較BC、FD的長度即可知哪個梯子陡.BC<FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡. 小穎的問題在下圖中，梯子AB 和EF 哪個更陡?你是怎樣判斷的?提示：第(1)問的圖形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水準寬度BC 和FD 不一樣長，由此我們想到梯子的垂直高度與水準寬度的比值越大，梯子應該越陡. ∵385.14==BC AC , 13353.15.3==FD ED 133538〈, ∴梯子EF 比梯子AB 更陡。

北师大版九年级数学下册《梯子的倾斜程度与正切》教案及教学反思教学目标1.了解梯子的倾斜程度与正切的关系；2.掌握正切的定义、性质及应用方法；3.能够运用正切定理解决实际问题。

教学重难点1.正切的定义及性质；2.如何应用正切定理解决实际问题。

教学步骤导入环节1.引导学生们回顾斜率相关的概念，并提问：“如果我们要量一条梯子的倾斜程度，我们该怎么做呢？”2.引导学生们发现如果将直角三角形的一个角度放在梯子的倾斜角度处，那么斜边与梯子的底边就构成了这个直角三角形，这样我们就可以用正切来求解。

正文阶段3.介绍正切的定义：“正切值是指一个角的正切线与角的相邻直角边的比值。

”强调正切值只依赖于角度的大小，而不依赖于三角形的大小。

4.介绍正切的性质：“对于任意角 A，tanA=tan(π+A)，即正切值具有周期性。

同时，当角 A 的终边通过 x 轴时，tanA=0；当角 A 的终边通过 y 轴时，tanA不存在。

”5.强调正切值在计算机图形、科学工程、金融等领域具有广泛应用，接着介绍正切的应用方法，即：已知直角三角形的两条直角边，求斜边的长度，或者已知直角三角形的一个锐角和相邻直角边的长度，求斜边的长度。

6.通过讲解案例，充分展示正切的应用方法。

例如：已知一条梯子的倾斜角为30°，梯子的底边长度为 6 米，求梯子的长度。

7.进一步提出问题，引导学生自行思考并解决。

例如：如果已知一条梯子的长度和梯子与地面的夹角，如何求梯子的倾斜程度呢？总结反思8.总结正切的定义、性质、应用方法，强调“正切”的字面意义是“相切”，即与某一角度相切于一条直线。

9.引导学生回顾本课所讲解的案例，从中汲取经验，并提醒学生们注意课后同类问题的处理方法。

反思本堂数学课采用了“案例教学法”和“课堂研讨法”，结合数学实际问题进行讲解，让学生们在课堂上充分感受到数学的实用性和可操作性。

在案例讲解过程中，重点突出了正切的应用方法，详细讲解了直角三角形的构造方法，以及如何通过已知角度或直角边的长度求解斜边的长度，让学生们在课堂上学习到了实用的数学知识。

九年级数学从梯子的倾斜程度谈起说课稿一、设计理念数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。

教学应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

基于以上理念，在教学中必须充分相信学生，把学习的主动权交给学生，为此，我在数学教学中设计了活动探究新知学习拓展应用总结提高的教学流程。

二、教材分析：(一)教材的地位和作用本节为九年级(下)第一章《直角三角形的边角关系》的第一节《从梯子的倾斜程度谈起》第一课时。

直角三角形的边角关系是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的应用。

如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，通过研究图形之中各个元素之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，通过本节的学习，学生将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。

在学习中，同学们将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等，通过本节的学习，将为学习正弦、余弦等三角函数知识及进一步学习其他数学知识奠定基础。

本节主要从梯子的倾斜程度谈起，引出第一个三角函数正切，正切是生活中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等都使用正切。

本节的学习，为正弦和余弦的学习做好铺垫。

(二)教学的目标和要求1、知识目标：① 经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.② 能够用tanA表示直角三角形中两边的比，理解其与物体的倾斜程度、坡度的关系，并能够用正切进行简单的计算2、能力目标：① 经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点② 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力③ 体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神3、情感目标：积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.(三)教学的重点和难点重点：1.利用模拟实验，探究直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.三、说教法、学法：1、教法：本节课主要采用活动探究法实施教学，通过三个模拟实物的数学活动，让学生总结正切函数的概念，并能较好的运用所学知识解决问题。

《从梯子的倾斜程度谈起》评课稿《从梯子的倾斜程度谈起》评课稿范文站在学生的角度听这节课，老师和蔼可亲，一节课轻松愉快，同时又学到了很多东西，老师出的题基本都会做，当堂检测基本都可以独立完成。

站在同行的角度听这节课，老师有亲和力，能与学生零距离进行授课，一节课中学生的能动性得到了极大的锻炼。

既定的教学目标有条不紊地完成了，学生的当堂检测效果很好。

这便是我听完了曹老师这节课的总体感想，下面再具体谈谈我的一些想法：这是第二次听曹老师的课了，干练、洒脱，一手漂亮的粉笔字都是比较吸引学生的。

这节课一开始曹老师就告诉了同学们她在这节课要评出最优秀的小组、纠错之星什么的，同时，脸上微笑的表情一下子就拉近了一个陌生老师与学生距离，再加上咱们的学生都是表现欲很强的学生，所以一节课课堂气氛很活跃，学生的热情很高，不管是回答问题还是上黑板，那种激情可能咱的老师达不到。

首先是引课，梯子是大家在日常生活中常见的物体，梯子斜靠在墙上，便可以让学生从实际问题中抽象出一个熟悉的图形——直角三角形，这样引入新课对学生来说一点不陌生，当时回答问题的是一个学习较差的学生，我想这个学生回答对了这个问题，可能一节课都比较愉悦，听课的'效果肯定比平时好了。

其次是对导学案的预习，放开让学生探索，尽管这是一节旧课，但里面的问题咱学生不一定都能弄懂，在预习的过程中，曹老师在教室各小组间进行巡视，并适时进行点拨，然后小组展示，对于学生出现的问题，先尽可能在小组内解决，这种“慢”、“耐心”值得我学习。

第三、尽可能让学生“说话”，我记得有一个问题有个学生回答对了，曹老师没有急着评价，而是让别的同学评价。

还有一个问题一个同学答对了，老师进行了追问，就是这什么的问题，曹老师说：“你能告诉大家你做这道题的法定是什么？”“法宝”这两个字对学生来说多么神秘，这个同学很快说出来了自己做题的技巧，但我想，这一“技巧”，在这个学生心里已经根深蒂固了，别的学生也很羡慕，所以也就有了课堂上更强烈的表现欲，每个同学可能都想把自己的一点成就拿出来与大家分享了。

一、教案基本信息教案名称：从梯子的倾斜程度谈起学科领域：数学年级：五年级课时：2课时编写日期：2024年10月二、教学目标1. 知识与技能：（1）让学生掌握梯子倾斜程度的计算方法；（2）培养学生运用梯子倾斜程度解决实际问题的能力。

2. 过程与方法：（1）通过观察、实践、探究，让学生掌握梯子倾斜程度的概念及计算方法；（2）培养学生合作、交流、归纳的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣；（2）培养学生勇于探究、积极思考的科学精神。

三、教学重点与难点重点：梯子倾斜程度的计算方法及应用。

难点：理解梯子倾斜程度的概念，并能运用到实际问题中。

四、教学方法情境教学法、合作学习法、实践操作法。

五、教学过程1. 导入新课教师通过展示图片，引导学生思考：如何判断梯子是否倾斜？从而引出本课的主题——梯子的倾斜程度。

2. 探究新知（1）教师引导学生观察梯子倾斜程度的图片，让学生初步感知梯子倾斜程度的概念；（2）学生分组讨论，合作探究梯子倾斜程度的计算方法；（3）教师讲解梯子倾斜程度的计算公式及步骤；（4）学生进行实践操作，验证梯子倾斜程度的计算方法。

3. 巩固新知（1）教师出示例题，让学生运用梯子倾斜程度的知识解决问题；（2）学生独立完成练习题，巩固梯子倾斜程度的计算方法。

4. 拓展与应用（1）教师引导学生思考：在生活中，我们如何利用梯子倾斜程度来判断梯子是否稳定？（2）学生分组讨论，分享生活中应用梯子倾斜程度解决实际问题的例子。

六、课后作业1. 完成练习册的相关题目；2. 观察生活中的梯子，尝试运用梯子倾斜程度的知识进行分析。

七、教学评价1. 学生对梯子倾斜程度的概念、计算方法的掌握程度；2. 学生在实际问题中运用梯子倾斜程度的能力；3. 学生对数学学科的兴趣及探究精神。

八、教学反思教师在课后对自己的教学进行反思，针对学生的反馈情况进行调整教学策略，以提高教学效果。

九、教学资源1. 图片素材；2. 练习题；3. 梯子实物或模型。

《从梯子的倾斜程度谈起》教案以下是查字典数学网为您推荐的，希望本篇文章对您学习有所帮助。

一、教学任务分析知识技能1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系2..能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.数学思考1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.2..体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.解决问题1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 情感1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.重点理解tanA的数学含义.难点现实情境中理解tanA的数学含义二、教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1创设情境引入课题活动2合作交流探索新知活动3反馈练习落实新知活动4应用延伸探究思考活动5归纳小结整理反思活动6布置作业形成技能通过观察实践思考讨论等活动，促进师生间合作交流，探索新知。

设置巩固练习、综合运用、拓广探索题，达到落实新知的目的。

以探究的形式将知识进一步延伸，拓广了学生的思维。

让学生小结，养成良好的学习习惯。

通过作业，增强学生应用数学的意识，形成基本技能。

三、课前准备学具补充材料电脑、课件、课件资料四、教学过程设计问题与情境师生行为设计意图[活动1]创设情境引入课题[问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?从而引出课题在活动1中教师应重点关注:(1) 学生是否能从实际生活中发现并提出数学问题。

(2)学生的审美意识及对演示图片倾注的情感。

通过熟悉的物体（梯子），不仅让学生感受到生活中数学无处不在，也为后面的探究活动作好了情感准备。

教學反思---從梯子的傾斜程度談起恩格斯說，“數學是研究現實世界的數量關係和空間形式的科學。

”數學與現實生活和人類社會息息相關，它源於生活，又服務於社會生活和生產實踐。

在數學教學中，力求從學生熟悉的生活情景和社會現實出發，選擇學生身邊感興趣的事物，提出有關的數學問題，以激發學生學習數學的興趣和動力，培養他們聯繫實際，分析問題，解決問題的能力。

本節課的設計是從現實情景入手，以人們熟知的梯子的傾斜程度展開問題的討論，通過實驗，讓學生從實踐問題中篩選處理加工資訊與資料，掌握數學認識結構，用數學的觀點和方法去分析問題，解決問題，所以本節課提出的問題是：如何來判斷梯子的傾斜程度？而讓學生討論的結果是：梯子的傾斜程度不僅與梯子的傾斜角的大小有關還與梯子與地面和牆面形成的兩條邊有關係。

這個結果也就是我們本節課教學的目的：如何把生活知識轉化成數學問題來解決。

我還設計本節課課堂教學方法以實驗討論為主，通過對小組式研究性學習，教師給出幾幅不同且有對比價值的圖，讓學生利用觀察、類比等活動探究梯子的傾斜程度與哪幾個量有關係？同時設計這樣的問題串：你是怎樣判斷出來的？你能用語言來描述嗎？你能用數學知識來解釋嗎？找到運用數學解釋現實生活的方法，探究出解決問題的一般規律，同時提高應用意識和能力。

為下面給出正切的定義做好鋪墊，突破本節課的重點和難點。

這節課是概念探究型課，探究歸納概念的給出是重點而運用定義解決問題也是重點，所以本節課的另一任務是學以致用，建立數學模型解決問題，讓學生體驗學習中的成功與快樂，在本節課的教學設計中我認為較突出的一點是為了讓學生更準確的體會梯子的傾斜程度，與梯子與牆面地面形成的垂直高度和水準距離的比值有關係，我設計了這樣一個環節讓學生自己擺梯子，怎樣擺梯子更陡？通過動手動腦實踐加深了學生的理解和體驗，為本節課的難點做好了鋪墊，更好的完成本節課的教學。

第一章直角三角形的边角关系1.从梯子的倾斜水准谈起（一）一、学生知识状况分析本课是九年级下第一章第一节《从梯子的倾斜水准谈起》的第一课时，因为学生在前一阶段已经学习过相关直角三角形的知识，但对于直角三角形只能停留在边与边之间的关系（勾股定理）与角与角之间的关系（直角三角形两锐角互余），那么，直角三角形中边与角之间是否也存有着一定的关系呢？本节课首先通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实也存有着一定的关系。

二、教学任务分析本课是九年级下第一章第一节《从梯子的倾斜水准谈起》的第一课时。

教师采用实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实存有着一定的关系，从而，探索出直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的的比是由锐角的大小变化而变化的。

在实验过程中，不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生展开讨论，给学生提供成果展示的机会，培养学生的交流水平及学习数学的自信心.本节课教学目标如下：知识与技能：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜水准、坡度等，能够用正切实行简单的计算.过程与方法：1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提升解决实际问题的水平.2.体会解决问题的策略的多样性，发展实践水平和创新精神.情感态度与价值观：1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点：理解正切、倾斜水准、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节创设情境；第二环节：探求新知；第三环节：随堂练习；第四环节：课堂小结；第五环节：课堂体会；第六环节：布置作业。

第一环节创设情境（1）有一座千年古塔，小明很想知道古塔的高度，但小明没有充足长的尺子，怎么办呢？于是聪明的小明想了这样的办法：小明在A处仰望塔顶，测得∠1的大小，再往塔的方向前进50米到B处又测得∠2的大小，根据这些他就求出了塔的高度。

1、1从梯子的倾斜程度谈起 (2)【课标与教材分析】课标要求：能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦，余弦。

教材分析：本节从现实情境（梯子的倾斜程度）出发，让学生经历探索直角三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明，能用tanA、sinA、cosA表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算。

【学情分析】学生已经知道的：直角三角形边与边之间的关系（勾股定理）与角与角之间的关系（直角三角形两锐角互余），以及在上一节课中学习了锐角的正切值与直角三角形两直角边的关系。

学生能自己解决：学生可借助类比的方法学习在直角三角形中继续研究锐角与一直角边和斜边存在的关系。

需要教师指导解决的：在直角三角形中继续研究锐角与一直角边和斜边的存在的关系中，注意强调先确定好角，再找边。

教师采用实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实存在着一定的关系，从而，探索出直角三角形中，一个锐角的对边与邻边及斜边的的比是由锐角的大小变化而变化的。

【教学目标分析】(一)教学目标：知识技能:经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.问题解决:能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比,进行简单的计算.数学思考：理解锐角三角函数的意义.情感态度价值观（二）教学重点：理解正弦和余弦的意义，能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比,进行简单的计算（三）教学难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切.（四）创新支点设计：用试验的方法、数形结合的思想，借助多媒体课件进行淡化。

【教学评价】课堂学生参与度、当堂测试【教学方法与媒体】引导式自主探究、课件【教学过程】§1.1……从梯子的倾斜程度谈起（2）学案 姓名： 班级： 等级：学习目标：1、经历探索直角三角形中边角关系的过程。

理解正弦、余弦的意义和与现实 生活的联系。

2、能够用sinA,cosA 表示直角三角形中斜边与直角边的比，表示生活中物体 的倾斜程度，能够用正弦、余弦进行简单的计算。

从梯子的倾斜程度谈起教案1九年级数学教案从梯子的倾斜程度谈起教学目标(一)教学知识点1.经历探索直角三角形中边角关系的过程,理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,并能够用正切进行简单的计算.(二)能力训练要求1.经历观察、猜想等数学活动过程,发展合情推理能力,能有条理地,清晰地阐述自己的观点.2.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题,提高解决实际问题的能力.3.体会解决问题的策略的多样性,发展实践能力和创新精神.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系.教学难点理解正切的意义,并用它来表示两边的比.教学方法引导-探索法.教具准备FLASH演示教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课用FLASH课件动画演示本章的章头图,提出问题,问题从左到右分层次出现: [问题1]在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其他的边和角吗?[问题2]随着改革开放的深入,上海的城市建设正日新月异地发展,幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦,但经过多少年的城市发展,"上海最高大厦"的桂冠早已被其他高楼取代,你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗?你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗?通过本章的学习,相信大家一定能够解决.这节课,我们就先从梯子的倾斜程度谈起.(板书课题§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起).Ⅱ.讲授新课用多媒体演示如下内容:[师]梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的"陡",那个梯子放的"平缓",人们是如何判断的?"陡"或"平缓"是用来描述梯子什么的?请同学们看下图,并回答问题(用多媒体演示)(1)在图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?[生]梯子AB比梯子EF更陡.[师]你是如何判断的?[生]从图中很容易发现∠ABC&gt;∠EFD,所以梯子AB比梯子EF陡.[生]我觉得是因为AC=ED,所以只要比较BC、FD的长度即可知哪个梯子陡.BC&lt;FD,所以梯子AB比梯子EF陡.[师]我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?[师]我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,就比较困难了.能不能从第(1)问中得到什么启示呢?[生]在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的,而水平宽度BC 和FD不一样长,由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大,梯子应该越陡.[师]这位同学的想法很好.的确如此,在第(2)问的图中,哪个梯子更陡,应该从梯子AB和EF的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.那么请同学们算一下梯子AB和EF哪一个更陡呢?[生] ,∵ &lt; ,∴梯子EF比梯子AB更陡.多媒体演示:想一想如图,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?(2) 和有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?[师]我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度,即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度.下面请同学们思考上面的三个问题,再来讨论小明和小亮的做法.[生]在上图中,我们可以知道Rt△AB1C1和Rt△AB2C2是相似的.因为∠B2C2A=∠B1C1A=90°,∠B2AC2=∠B1AC1,根据相似的条件,得Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.[生]由图还可知:B2C2⊥AC2,B1C1⊥AC1,得B2C2∥B1C1,Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.[生]相似三角形的对应边成比例,得,即.如果改变B2在梯子上的位置,总可以得到Rt△B2C2A∽Rt△B1C1A,仍能得到;因此,无论B2在梯子的什么位置(除A外), 总成立.[师]也就是说无论B2在梯子的什么位置(A除外),∠A的对边与邻边的比值是不会改变的.现在如果改变∠A的大小,∠A的对边与邻边的比值会改变吗?[生]∠A的大小改变,∠A的对边与邻边的比值会改变.[师]你又能得出什么结论呢?[生]∠A的对边与邻边的比只与∠A的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关.也就是说,当直角三角形中的一个锐角确定以后,它的对边与邻边之比也随之确定.[师]这位同学回答得很棒.现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法,你作何评价?[生]小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度,因为图中直角三角形中的锐角A是确定的,因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的,与B1、B2在梯子上的位置无关,即与直角三角形的大小无关.[生]但我觉得小亮的做法更实际,因为要测量B1C1的长度,需攀到梯子的最高端,危险并且复杂,而小亮只需站在地面就可以完成.[师]这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起,值得提倡.我们学习数学就是为了更好地应用数学.由于直角三角形中的锐角A确定以后,它的对边与邻边之比也随之确定,因此我们有如下定义:(多媒体演示)如图,在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A的正切(tangent),记作tanA,即tanA= .注意:1.tanA是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号"∠".2.tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.3.tanA不表示"tan"乘以"A".4.初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A是锐角的正切.思考:1.∠B的正切如何表示?它的数学意义是什么?2.前面我们讨论了梯子的倾斜程度,课本图1-3,梯子的倾斜程度与tanA有关系吗?[生]1.∠B的正切记作tanB,表示∠B的对边与邻边的比值,即tanB= .2.我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度,因此,在图1-3中,梯子越陡,tanA的值越大;反过来,tanA的值越大,梯子越陡.[师]正切在日常生活中的应用很广泛.例如建筑、工程技术等,正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.如图,有一山坡在水平方向上每前进100m,就升高60m,那么山坡的坡度(即坡角α的正切--tanα)就是tanα= .这里要注意区分坡度和坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度.坡度越大,坡面就越陡.Ⅲ.例题讲解多媒体演示[例1]如图是甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?分析:比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡,只需分别求出tanα、tanβ的值,比较大小,越大,扶梯就越陡.解:甲梯中,tanα=乙梯中,tanβ=因为tanβ&gt;tanα,所以乙梯更陡.[例2]在△ABC中,∠C=90°,BC=12cm,AB=20cm,求tanA和tanB的值.分析:要求tanA,tanB的值,根据勾股定理先求出直角边AC的长度.解:在△ABC中,∠C=90°,所以AC= =16(cm),tanA=tanB=所以tanA= ,tanB= .Ⅳ.随堂练习1.如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗?分析:要求tanC,需从图中找到∠C所在的直角三角形.因为BD⊥AC,所以∠C 在Rt△BDC中.然后求出∠C的对边与邻边的比,即的值.解:∵△ABC是等腰直角三角形,BD⊥AC,∴CD= AC= ×3=1.5.在Rt△BDC中,tanC= =1.2.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B,已知点B到山脚的垂直距离为55m,求山的坡度.(结果精确到0.001)分析:由图可知,∠A是坡角,∠A的正切即tanA为山的坡度.解:根据题意:在Rt△ABC中,AB=200m,BC=55m,AC= ≈5×38.46=192.30(m).tanA= ≈0.286.所以山的坡度为0.286.Ⅴ.课时小结本节课从梯子的倾斜程度谈起,经历了探索直角三角形中的边角关系,得出了在直角三角形中的锐角确定之后,它的对边与邻边之比也随之确定,并以此为基础,在"Rt△"中定义了tanA= .接着,我们研究了梯子的倾斜程度,工程中的问题坡度与正切的关系,了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念.Ⅵ.课后作业1.习题1.1第1、2题.2.观察学校及附近商场的楼梯,哪个更陡.Ⅶ.活动与探究(____年江苏盐城)如图,Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图,斜坡AB的长为12m,它的坡角为45°,为了提高该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡比为1∶1.5的斜坡AD,求DB的长.(结果保留根号)[过程]要求DB的长,需分别在Rt△ABC和Rt△ACD中求出BC和DC.根据题意,在Rt△ABC中,∠ABC=45°,AB=12m,则可根据勾股定理求出BC;在Rt△ADC中,坡比为1∶1.5,即tanD=1∶1.5,由BC=AC,可求出CD.[结果]根据题意,在Rt△ABC中,∠ABC=45°,所以△ABC为等腰直角三角形.设BC=AC=x m,则x2+x2=122,x=6 ,所以BC=AC=6 .在Rt△ADC中,tanD= ,即= ,CD=9 .所以DB=CD-BC=9 -6 =3 (m).板书设计§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)1.当直角三角形中的锐角确定之后,它的对边与邻边之比也随之确定.2.正切的定义:在Rt△ABC中,锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比随之确定,这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA= .注:(1)tanA的值越大,梯子越陡.(2)坡度通常表示斜坡的倾斜程度,是坡角的正切.坡度越大,坡面越陡.3.例题讲解(略)4.随堂练习。

第九課時回顧與思考學習目標知識與能力目標能通過回顧與思考，建立起本章的知識框架圖；能利用計算器，發現同角的正弦、余弦、正切之間的關係；體會到直角三角形邊角關係這一數學模型在現實生活中的廣泛的應用價值．過程與方法目標學會利用數形結合的思想分析問題和解決問題，進一步感悟三角函數在現實生活中的廣泛應用，增強應用數學的意識．情感與價值觀要求在獨立思考問題的基礎上，積極參與對數學問題的討論，敢於發表自己的觀點．並尊重與理解他人的見解，在交流中獲益；認識到數學是解決現實問題的重要工具，提高學習數學的自信心．教學重點、難點建立本章的知識結構框架圖；應用三角函數解決現實生活中的問題，進一步理解三角函數的意義．教具準備多媒體演示、計算器教學過程回顧、思考下列問題，建立本章的知識框架圖直角三角形的邊角關係，是現實世界中應用廣泛的關係之一．通過本章的學習，我們知道了銳角三角函數在解決現實問題中有著重要的作用．如在測量、建築、工程技術和物理學中，人們常常遇到距離、高度、角度的計算問題，—般來說，這些實際問題的數量關係往往歸結為直角三角形中邊和角的關係．利用銳角三角函數解決實際問題是本章的重要內容，很多實際問題穿插於各節內容之中．[問題1]舉例說明，三角函數在現實生活中的應用．例1：甲、乙兩樓相距30 m，甲樓高40 m，自甲樓樓頂看乙樓樓頂．仰角為30°，乙樓有多高?(結果精確到1 m) 解：根據題意可知：乙樓的高度為30tn30°=40+30×3=40+103=57(m)，3即乙樓的高度約為57 m．例2，為了測量一條河流的寬度，一測量員在河岸邊相距180 m的P和Q兩點分別測定對岸一棵樹T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50°的方向，求河寬(結果精確到1 m)．解：根據題意，∠TPQ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ＝180 m．則：PT就是所求的河寬．在Rt△TPQ中，PT=180×tan40°=180×0．839≈151 m，即河寬為151 m．[師]三角函數在現實生活中的應用很廣泛，下面我們來看一個例子．典例1：如圖．MN表示某引水工程的一段設計路線從M到N的走向為南偏東30°，在M的南偏東60°的方向上有一點A，以A為圓心，500m為半徑的圓形區域為居民區，取MN上的另一點B，測得BA的方向為南偏東75°，已知MB＝400 m，通過計算回答，如果不改變方向，輸水路線是否會穿過居民區?[師生共析]解：根據題意可知∠CMB=30°，∠CMA＝60°，∠EBA ＝75°，MB=400 m ，輸水路線是否會穿過居民區，關鍵看A 到MN 的最短距離大於400 m 還是等於400 m ，於是過A 作AD ⊥MN ．垂足為D ．∵BE//MC ．∴∠EBD ＝∠CMB ＝30°． ∴∠ABN=45°． ∠AMD ＝∠CMA-∠CMB ＝60°-30°=30°． 在Rt △ADB 中，∠ABD ＝45°，∴tan45°＝ BD AD ，BD ＝︒45tan AD＝AD ，在Rt △AMD 中．∠AMD=30°，tan30° =MDAD，MD ＝︒30tan AD=3AD ， ∵MD=MD-BD ，即3AD-AD ＝400，AD-200(3+1)m>400m ． 所以輸水路線不會穿過居民區．[問題2]任意給定一個角，用計算器探索這個角的正弦、余弦、正切之間的關係．例如∠α＝25°，sin α、cos α、tan α的值是多少?它們有何關係呢?[生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063， tan25°≈0．4663． 而︒︒25cos 25sin ≈0．4663． 我們可以發現 ααcos sin ＝tan α． 這個關係是否對任意銳角都成立呢?我們不妨從三角函數的定義出發來推證一下．[師生共析]如圖，在Rt △ABC 中．∠C ＝90° ∵sinA ＝AB BC cosA ＝ABACtanA ＝ACBC， AC BC AC AB AB BC AB AC AB BC A A =⋅=÷=cos sin =tanA,tanA=AAcos sin . 這就是說，對於任意銳角A ，∠A 的正弦與余弦的商等於∠A 的正切．下面請同學們繼續用計算器探索sin α，cos α之間的關係． sin 225°≈0．1787,cos 225°≈0．8213，可以發現： sin 225°+cos 225°≈0．1787+0．8213＝1．我們可以猜想任意銳角都有關係：sin 2α+cos 2α＝1，你能證明嗎?[師生共析]如上圖．sinA= AB BC ，cosA=ABACsin 2A+cos 2A ＝2222222AB AC BC AB AC AB BC +=+， 根據畢氏定理，得BC 2+AC 2＝AB 2，∴sin 2A+cos 2A ＝1，這就是說,對於任意銳角A ，∠A 的正弦與余弦的平方和等於1．[師]我們來看一個例題，看是否可以應用上面的tanA 、sinA 、cosA 之間的關係．已知cosA=53，求sinA ．tanA ．[生]解：根據sin 2A+cos 2A ＝1．得 sinA ＝.54)53(1cos 122=-=-AtanA=345354cos sin ==A A .[生]我還有另外 一種解法,用三角函 數的定義來解． 解： ∵cosA ＝.53=∠斜边的邻边A 設∠A 的鄰邊＝3k ．斜邊＝5k ．則∠A 的對邊＝.4)3()5(22k k k =-∴sinA=.5454==∠k k A 斜边的邻边tanA=.3434==∠∠k k A A 的邻边的对边[問題3]：你能應用三角函數解決哪些問題? 銳角三角函數反映了直角三角形的邊角關係．凡是屬於直角三角形的問題或可以轉化為直角三角形的問題，都可以用三角函數來解決．我們知道在直角三角形中，除直角外，有兩個銳角．兩條直角邊以及斜邊共5個元素，它們之間的關係很豐富．如圖：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所對的邊分別為a 、b 、c ．(1)邊的關係：a 2+b 2=c 2(畢氏定理)： (2)角的關係：∠A+∠B ＝90；(3)sinA=ca ，cosA=cb ，tanA=ba ； sinB=cb ，cosB=ca ，tanB=ab ．利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作圖，我們知道：當一直角邊和斜邊確定時，直角三角形唯一確定，即直角三角形的一直角邊和斜邊已知，則直角三角形中其他元素都可以求出．同學們不妨試一試．例如Rt △ABC 中，∠C ＝90°．a ＝4，c=8求b ，∠A 及∠B 解：∵a ＝4，c ＝8，根據畢氏定理可得 b=3422=-a c .∵sinA=ca =2184=， ∴∠A ＝30°． 又∵∠A+∠B ＝90°， ∴∠B ＝60°．問題：是不是只要知道直角三角形除直角外的兩個元素，其餘元素就都可以求出呢?在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分別是∠A ，∠B 、∠C 的對邊．(1)已知a ＝3，b ＝3，求C ，∠A ，∠B ． (2)已知b ＝5，c ＝10，求a ，∠A ，∠B ． (3)已知∠A=45°，c ＝8，求a ，b ，∠B ． 解：(1)根據畢氏定理c ．=23332222=+=+b a . 又∵tanA ∴∠A=ba =33=1, ∴∠A=45°． 又∵∠A+∠B ＝90，∴∠B ＝45°．(2)根據畢氏定理，得a=355102222=-=-b c , 又∵sinB ＝21105==cb ∴∠B=30°． 又∵∠A+∠B=90°∴∠A=60°.(3) ∵sinA=c a ∴=csinA=8×sin45°=42,又∵cosA ＝cb∴b=c ·cosA ＝8×cos45°=42，又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B=45°．實踐證明，在直角三角形中，已知除直角外的兩個元素(至少有一個是邊)，利用直角三角形中特殊的邊的關係、角的關係、邊角關係，就可求出其餘所有元素．因此，在現實生活中，如測量、建築、工程技術和物理學中，常遇到的距離、高度、角度都可以轉化到直角三角形中，這些實際問題的數量關係往往就歸結為直角三角形中邊和角的關係問題．[問題4]：如何測量一座樓的高度?你能想出幾種辦法? 第一種：用太陽光下的影子來測量．因為在同一時刻，物體的高度與它的影子的比值是一個定值．測量出物體的高度和它的影子的長度，再測出高樓在同一時刻的影子的長度．利用物體的高度：物體影子的長度＝高樓的高度，高樓影子的長度．便可求出高樓的高．第二種：在地面上放一面鏡子，利用三角形相似，也可以測量出樓的高度．第三種：用標杆的方法．第四種：利用直角三角形的邊角關係求樓的高度． 本章內容框架： 隨堂練習 1．計算 (1)︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos(2)sin 230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos 230°； (3).60tan 60tan 60tan 212︒-︒+︒-2．如圖，大樓高30 m ，遠處有一塔BC ，某人在樓底A 處測得塔頂的仰角為60°，爬到樓頂D 測得塔頂的仰角為30°，求塔高BC 及樓與塔之間的距離AC(結果19確到0．0l m)． 解：沒AC=x ，BC ＝y ，在Rt △ABC 中，tan60°=x y ， ①在Rt △BDE 中．tan30°=xy 30-， ②由①得y ＝3x ，代入②得33=xx 303-. x=153≈25．98(m)． 將x ＝153代入y=3x=3×153 ＝45(m)．所以塔高BC 為45 m ，大樓與塔之間的距離為25．98 m ． 歸納提煉本節課針對回顧與思考中的四個問題作了研討，並以此為基礎，建立本章的知識框植架結構圖．進一步體驗三角函數在現實生活中的廣泛應用． 課後作業複習題A 組1，2，5，6，8 B 組2．3，4，5，6 活動與探究如圖．AC 表示一幢樓，它的各樓層都可到達；BD 表示一個建築物，但不能到達．已知AC 與BD 地平高度相同，AC 周圍沒有開闊地帶，僅有的測量工具為皮尺(可測量長度)和測角器(可測量仰角、俯角和兩視線間的夾角)．(1)請你設計一個測量建築物BD 高度的方案，要求寫出測量步驟和必要的測量資料(用字母表示)，並畫出測量示意圖：(2)寫出計算BD 高度的運算式．[過程]利用測量工具和直角三角形的邊角關係來解決．這裡的答案不唯一，下面只寫出一種方法供參考．[結果]測量步驟(如圖)：①用測角器在A 處測得D 的俯角α；②用測角器在A 處測得B 的仰角β③用皮尺測得AC=am ．(2)CD=αtan a , BE=αtan a ·tan β, BD=a+αβtan tan a .。

从梯子的倾斜程度谈起教学反思恩格斯说，数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。

数学与现实生活和人类社会息息相关，它源于生活，又服务于社会生活和生产实践。

在数学教学中，力求从学生熟悉的生活情景和社会现实出发，选择学生身边感兴趣的事物，提出有关的数学问题，以激发学生学习数学的兴趣和动力，培养他们联系实际，分析问题，解决问题的能力。

本节课的设计是从现实情景入手，以人们熟知的梯子的倾斜程度展开问题的讨论，通过实验，让学生从实践问题中筛选处理加工信息与数据，掌握数学认识结构，用数学的观点和方法去分析问题，解决问题，所以本节课提出的问题是：如何来判断梯子的倾斜程度？而让学生讨论的结果是：梯子的倾斜程度不仅与梯子的倾斜角的大小有关还与梯子与地面和墙面形成的两条边有关系。

这个结果也就是我们本节课教学的目的：如何把生活知识转化成数学问题来解决。

我还设计本节课课堂教学方法以实验讨论为主，通过对小组式研究性学习，教师给出几幅不同且有对比价值的图，让学生利用观察、类比等活动探究梯子的倾斜程度与哪几个量有关系？同时设计这样的问题串：你是怎样判断出来的？你能用语言来描述吗？你能用数学知识来解释吗？找到运用数学解释现实生活的方法，探究出解决问题的一般规律，同时提高应用意识和能力。

为下面给出正切的定义做好铺垫，突破本节课的重点和难点。

这节课是概念探究型课，探究归纳概念的给出是重点而运用定义解决问题也是重点，所以本节课的另一任务是学以致用，建立数学模型解决问题，让学生体验学习中的成功与快乐，在本节课的教学设计中我认为较突出的一点是为了让学生更准确的体会梯子的倾斜程度，与梯子与墙面地面形成的垂直高度和水平距离的比值有关系，我设计了这样一个环节让学生自己摆梯子，怎样摆梯子更陡？通过动手动脑实践加深了学生的理解和体验，为本节课的难点做好了铺垫，更好的完成本节课的教学。

反思二：从梯子的倾斜程度谈起教学反思回想自己对三角函数的认识，只是知道它也以计算，而对于它还有其他什么用处，在没讲这节课之前真的不知道。