第四章 假设检验(2)-统计计算与方法

2. 比较两种测量方法所得的结果是否有显著性的差异。 对同一试验品分别用两种方法测量得到成对数据。
设有n对相互独立的观察结构： ( X 1 , Y1 ), ( X 2 , Y2 ), , ( X n , Yn ),令D1 X 1 Y1 , , Dn X n Yn , 则D1 , D2 , , Dn相互独立，又由于D1 , D2 , , Dn是由同一因素所引
2 2 2 2
（右侧检验）
2 2 2 2
（左侧检验）
下面我们来讨论（1）的检验法则
2 2 由于S12和S 2 分别是 12和 2 的UMVUE，因此当H 0为
S12 S12 真时， 2 应接近1。若 2 接近于0或比1大得多时，就 S2 S2 应该认为H 0为真时出现了小概率事件。于是取
S12 S12 P 2 k1 | H 0为真 P 2 k2 | H 0为真 S2 S2
设这两个样本独立，且 分别来自正态总体N ( 1 , 2 ) 和N ( 2 , 2 )，1 , 2 , 2均未知，问建议的新操 作方 法能否提高得率？ (取 0.05。 )
解： 需要检验假设
H0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0 分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差 如下 2
因此，右侧检验的拒绝域都是
X Y W ( x1 , , xn ) : u1 . 2 2 1 2 n n 1 2
同样，检验（1）的拒绝域为
X Y W ( x1 ,, xn ) : u . 2 2 1 2 1 2 n n 1 2
X Y W ( x1 , , xn ) : u1 . 2 2 1 2 n n 1 2
再讨论 H : 0 1 2
当H 0为真时，有
X Y
v.s. H1 : 1 2

2 1
（右侧检验）
v .s. H1 : 1 2 v .s. H1 : 1 2
（左侧检验）
其中为任意已知的常数。
现讨论
H0 : 1 2
v.s. H1 : 1 2
当H0为真时， ( X Y ) 比较大就应该拒绝 H0，于是
P{( X Y ) k | H0为真} ，
由于 t sW
x-y 4.295 1.7341 1 1 10 10
所以拒绝H 0，即认为建议的新操作 方法较原来 的方法为优。
三、基于成对数据的检验 逐对比较法：在相同的条件下作对比试验，得到 一批成对的观察值，然后分析观察数据作出判断。 举例说明： 1. 比较甲、乙两种橡胶轮胎的耐磨性的试验：从甲 乙两种轮胎中各抽取n个，各取一个组成一对。 再随机抽取n架飞机，将n对轮胎分配给n架飞机， 飞行了一定时间的起落后，测得轮胎磨损量的n 对数据。
0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 0.10 0.21 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89 0.10 0.09 -0.12 0.18 -0.18 0.11 0.12 0.13 0.11
问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异？）
检验（3）的拒绝域为 X Y W ( x1 , , xn ) : u . 2 2 1 2 n n 1 2
二、方差未知但相等时 1 2 的假设检验
当 , 为未知，但 时，均值差1－ 2的
2 1 2 2 2 1 2 2 2 常见的假设检验问题，与 12 , 2 为已知时的情况
§4.3 两个正态总体均值与方差的 检验
考虑
X ~ N (1 ,12 ), X1 ,, X n1为X的一个样本
2 Y ~ N (2 , 2 ),Y1 ,,Yn2 为Y的一个样本
一、当方差已知时1 2 的假设检验
2 当 12 , 2 已知时，在水平下，1 2的假设检验问题
五、均值已知时方差的假设检验
当 H 0 为真时，采取的统计量为
由于 | T | = 1.467 < 3.3554， 故接受H0 , 即认为这两台 仪器的测量结果无显著差异.
四、均值未知时方差的假设检验
2 当1 , 2未知时，在水平 下，12与 2 的检验问题为
2 2 (1) H0 : 12 2 v.s. H1 :12 2
（双侧检验）
一样，仍然是那三个问题。
统计量应选为
X Y ( 1 2 ) T ~ t ( n1 n2 2). 1 1 SW n1 n2
其中
2 ( n1 1) S12 ( n2 1) S 2 SW n1 n2 2
把T作为检验统计量，可得 下面的水平为的拒绝域：
（1） 双侧检验 | (X Y ) | W ( x1 , , x n ) : t ( n1 n2 2) 1 1 1 2 SW n n 1 2 （2） 右侧检验 (X Y ) W ( x1 , , x n ) : t1 ( n1 n2 2) 1 1 SW n1 n2
（取 0.01）
解:
H 0 : 0 0,
H 1 : 0 0
D 0 取统计量 T SD / n
| T | t1 / 2 (n 1) 拒绝域为 W：
由样本值计算得: D 0.06, SD 0.1227 , T 1.467 查表得 t1 2 ( n 1) t 0.995 ( 8 ) 3.3554
n1


2 2

( X Y ) ( 1 2 )
122
n2
由此可得
X Y ( X Y ) ( 1 2 ) u u 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 n n n n 1 2 1 2
所以，在H0为真时，
X Y ( X Y ) ( 1 2 ) P u1 P u1 , 2 2 2 2 1 2 1 2 n n n n 1 2 1 2
2 起的, 可认为它们服从同一分布.假设Di ~ N ( D , D )，
i 1,2, , n。这就是说D1 , D2 , , Dn 构成正态总体
2 2 N ( D , D )的一个样本，其中 D , D 未知。
基于这一样本检验假设：
(1) H 0 : D 0, H1 : D 0; ( 2) H 0 : D 0, H1 : D 0; ( 3) H 0 : D 0, H1 : D 0.
由F分布的分位数可得
k1 F (n1 1, n2 1) k2 F
2 1

2
(n1 1, n2 1) .
由此检验的拒绝域为
S12 W ( x1 , , x n1 , y1 , , yn2 ) : 2 F ( n1 1, n2 1) S2 2 S12 F ( n1 1, n2 1). 2 1 S2 2
同样，我们可以得到右侧检验的拒绝域为
S12 W ( x1 ,, xn1 , y1 ,, yn2 ) : 2 F1 ( n1 1, n2 1). S2
左侧检验的拒绝域为
S12 W ( x1 ,, xn1 , y1 ,, yn2 ) : 2 F ( n1 1, n2 1). S2
(1) H0 : 1 2
v.s. H1 : 1 2 （双侧检验）
(2) H 0 : 1 2 H 0 : 1 2 (3) H 0 : 1 2 H 0 : 1 2
v .s. H1 : 1 2 v .s. H1 : 1 2
其中k1为适当小的正数， k2为适当大的正数。
为方便，我们取
S12 S12 P 2 k1 | H 0为真 P 2 k2 | H 0为真 S2 S2 2
当H 0为真时，
S12 F 2 ~ F ( n1 1, n2 1), S2
分别记D1 , D2 , , Dn的样本均值和样本方差的观察
2 值为d , s D ，则此问题转化为关于单个正态总体均值
的t检验。检验问题(1), ( 2), ( 3)的拒绝域分别为 (检验 水平为 ) :
| t | t t
d sD d n d n n
t1 ( n 1),
2
sD sD
t1 ( n 1), t1 ( n 1)
例5 有两台光谱仪，用来测量材料中某种金属 的含量，为鉴定他们的测量结果有无显著的差 异，制备了9件试块（它们的成份、金属含量、 均匀性等均各不相同），现在分别用这两台仪 器对每一试件测量一次，得到9对观察值如下：
x% y%
d=x% -y%
（3） 左侧检验
(X Y ) W ( x1 , , xn ) : t1 ( n1 n2 2) 1 1 SW n1 n2
例 4： 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的 建议是否会增加钢的得率，试验是在一个平炉 上进行的。每炼一炉钢时，除操作方法外，其 它条件都尽可能做的相同。先用标准方法炼一 炉，然后用建议的新方法炼一炉，各炼了10炉 其得率分别为 (1)标准方法：78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 (2)新方法：79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1