数值分析,计算方法试题库及答案
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二、设(2)0,(0)2,(2)8f f f -===，求 )(x p 使 )()(i i x f x p =,)2,1,0(=i ；又设 M x f ≤''')( ，则估计余项 )()()(x p x f x r -= 的大小 。
（15分）三、设(0)1,(0.5)5,(1)6,(1.5)3,(2)2f f f f f =====，()k f M ≤(2,3,4)k =，（1）计算⎰20)(dx x f ，（2）估计截断误差的大小（12分）寂涯网络 2008~2009 学年第 1学期 《计算方法》课程试卷A 第 2 页 共 4 页四、设方程012523=-+x x 在 [2,1]内有实根α，试写出迭代公式,,2,1,0)(1 ==+k x x k k ϕ 使 {}α→k x ，并说明迭代公式的收敛性。
（10分）五、设有线性方程组b Ax =，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=582,3015515103531b A（1）求A LU =分解; (2) 求方程组的解 (3) 判断矩阵A 的正定性（14分）寂涯网络 2008~~2009 学年第 1学期 《计算方法》课程试卷A 第 3 页 共 4 页六、设有线性方程组b Ax =，其中 144212441A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试讨论Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的收敛性。
（14分）七、设()i j n n A a ⨯=是n 阶实对称正定矩阵，A 经过一次高斯消元计算变为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡211A O T a ，其中T 为行向量，O 是零列向量，试证明2A 是对称正定矩阵（8分）寂涯网络 2008~2009 学年第 1学期 《计算方法》课程试卷A 第 4 页 共 4 页2008 ~ 2009 学年第 1学期 《 计算方法 》课程考试试卷（B ）开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2008 年_12__月_31_日 时 考试形式：闭卷√□、开卷□，允许带 计算器 入场考生姓名： 学号： 专业： 班级：一、填空（每空3分，共27分） 1，牛顿—柯特斯求积公式的系数=)3(1C ______________________ 2, 设x的相对误差为ε，则x 的相对误差为___________ 3, 设 *4.5585x =是经四舍五入得到的近似值，则≤-x x *___________ 设(2,2,8)x =-，则=1x ___________，=∞x ___________ ，对实验数据),,2,1(),(n i y x i i =拟建立模型1a bx y =+，则,a b 满足的正规 方程组为 ______________________________ 若b a ,满足的正规方程组为：211242111n ni i i i n n n i i i i i i i na x b y x a x b x y =====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑x y 与之间的关系式为______________________7，若1λ是1-A 的按模最大的特征值，则A 的按模最小的特征值为___________ 8，对幂法迭代公式)()1(k k Ax x=+当k 充分大时有常数q p ,使0)()1()2(≈++++k k k qx px x ，则A 的按模最大的特征值 =2,1λ________________寂涯网络 2008~~2009 学年第 1学期 《计算方法》课程试卷B 第 1 页 共 4 页二、设(1)1,(0)2,(1)6f f f -===，求 )(x p 使 )2,1,0()()(==i x f x p i i ；又设 M x f ≤''')( ，则估计余项 )()()(x p x f x r -= 的大小 。
（15分）三、设2)1(,9)5.0(,6)0(,4)5.0(,1)1(====-=-f f f f f ，(4)f M ≤，则用复化simpson 公式计算⎰-11)(dx x f ，并估计整体截断误差（12分）寂涯网络 2008~2009 学年第 1学期 《计算方法》课程试卷B 第 2 页 共 4 页设有线性方程组b Ax =，其中1240269,149203A b ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥== ⎪⎢⎥⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭1）求A LU =分解; (2) 求方程组的解 (3) 判断矩阵A 的正定性 （14分） 设有线性方程组b Ax =，其中 124112111A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试讨论Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的收敛性。
（14分）寂涯网络 2008~~2009 学年第 1学期 《计算方法》课程试卷B 第 3 页 共 4 页六、设方程324100x x +-= 在 [2,1]内有实根α，试写出迭代公式,,2,1,0)(1 ==+k x x k k ϕ 使 {}α→k x 。
（10分）七、设A 是非奇异矩阵，矩阵序列{}k X 满足)2(1k k k AX I X X -=+，若1)(0<-AX I ρ，证明： 1lim -∞→=A X k k （8分）寂涯网络 2008~2009 学年第 1学期 《计算方法》课程试卷B 第 4 页 共 4 页200 8 ~ 200 9 学年第 1 学期 《 计算方法 》课程 试卷（A ）参考答案及评分标准开课二级学院： 理学院 ，学生班级：07数学,07信算1,2 教师： 何满喜一、填空（共27分，每空3分）1， 3 2，41104-⨯ 3， 11 6 4， I T ≥ 5，13- 6，211242111n ni ii i n n ni i i i i i i na x b y x a x b x y=====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ 7，1a bx y =+ 8，s 二（共15分）、由公式得0010012012(3)()()[,]()[,,]()()311(2)(2)22622()()(2)(2)33!(2)(2)366p x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x f r x x x x M M x x x η'=+-+--'=+++=++'=+-'≤+-≤=三（共12分）、根据给定数据点的个数应该用复化simpson 公式计算由公式得⎰20)(dx x f ≈4))2()1(2))5.1()5.0((4)0((3'++++ f f f f f h=476 21=h 2' )(2880),()4(414ηf h a b s f R --= 3'h h MM 2,14402880021==-≤3' 若用其它公式计算正确，且误差比以上的误差大时只给过程分数8分，扣除方法分数4分。
四、（10分）把方程012523=-+x x 等价变为以下方程：512+=x x 2'《 计算方法》课程试卷A 参考答案及评分标准 第 1 页 共 3 页,512)(+=x x ϕ取 2' ,)5(1212)(3+-='x x ϕ则有 2'有因此对21<<x ,1616122)51(1212)5(1212)(33<<=+≤+='x x ϕ 2' ,)(1是收敛的式所以由定理可知迭代公k k x x ϕ=+即迭代公式512)(1+==+k k k x x x ϕ 收敛于方程在区间]2,1[内根α上。
2'五、（14分）因为 13521352[,]31015831025153055055A b ⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=⇒ ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭5'（1）A =LU=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛500010531105013001 3' (2) 方程组的解为;⎪⎩⎪⎨⎧-===121321x x x 3' （3） 由于A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛500010531105013001=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010531511105013001 所以矩阵A 是对称正定的 3'六（14分）、11044()202,440B D D A --⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦2'031==-∴λλB I 2'所以 10)(1<=B ρ ，由定理可知简单（Jacobi ）迭代法收敛。
3'12100044044()2100020810,244100001624B I L U ---⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎪ ⎪⎢⎥'=-=--=- ⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦⎝⎭22(3232)0I B λλλλ∴-=-+= 2'所以2()161B ρ=+>，由定理可知Seidel 迭代法不收敛。
3'《 计算方法》课程试卷A 参考答案及评分标准 第 2 页 共 3 页七（8分）、证：2A 的元素为 )1(11111111)1(i j i j i j j i j i j i a a a a a a a a a a =-=-=，因此2A 为对称矩阵。
2'记⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==1001001,11211111 n i i m m L a a m ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=211211110000A O O a A a AL L tt 2' 对任意n-1维非零向量0x ，作tt x x ),0(0=，记x L y t1=，则0,0>∴≠Ay y y t，2'而0,0),0()()(020020021101111>∴=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===x A x x A x xA O O a x x AL L x x L A x L Ay y t t tt t t t t t t ，从而2A 为正定矩阵。
2'《 计算方法》课程试卷A 参考答案及评分标准 第 3 页 共 3 页课程编号：12000044 北京理工大学2010-2011学年第一学期2009级计算机学院《数值分析》期末试卷A 卷班级 学号 姓名 成绩注意：① 答题方式为闭卷。
② 可以使用计算器。
请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。
一、 填空题 （2 0×2′）1. 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 位有效数字。
2. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A ，‖A ‖∞＝_______，‖X ‖∞＝_______，‖AX ‖∞≤____ ___ (注意：不计算‖AX ‖∞的值) 。
