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新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结42 双曲线高考 概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、高等难度考纲 研读1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线) 2．了解双曲线的简单应用 3．理解数形结合的思想一、基础小题1．已知双曲线x 2m 2＋16－y 24m －3＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±54B ．±45 C.±53 D ．±35 答案 D解析 由m 2＋16＝52，解得m ＝3(m ＝－3舍去)．所以a ＝5，b ＝3，从而±b a ＝±35.故选D.2．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B ．x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D ．x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案 D解析 由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A ，C ；又c ＝5，a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝16.∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．故选D.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝1 答案 A解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10， ∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba ＝1，即a ＝2b .②由①②，解得a ＝25，b ＝5， 则C 的方程为x 220－y 25＝1.故选A.4．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点A (O 为坐标原点)，且|OA |＝2|AF |，则双曲线C 的离心率e 为( )A.5 B ．52 C.2 D ．2 答案 B解析 由题意可得tan ∠AOF ＝|AF ||OA |＝|AF |2|AF |＝12，渐近线方程为y ＝±b a x ，∴b a ＝12，e 2＝c 2a 2＝b 2＋a 2a 2＝a 24＋a 2a 2＝54，故e ＝52.故选B.5．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4 C.6 D ．8 答案 B解析 由双曲线的方程，得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|＝(22)2，解得|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.6．(多选)已知曲线C 的方程为x 2k 2－2－y 26－k ＝1，则下列结论正确的是( )A ．当k ＝8时，曲线C 为椭圆，其焦距为4＋15B ．当k ＝2时，曲线C 为双曲线，其离心率为3C ．对任意实数k ，曲线C 都不可能为焦点在y 轴上的双曲线D ．当k ＝3时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆(x －4)2＋y 2＝9相切答案 BC解析 对于A ，当k ＝8时，曲线C 的方程为x 262＋y 22＝1，该曲线为椭圆，焦距2c ＝262－2＝415，A 错误；对于B ，当k ＝2时，曲线C 的方程为x 22－y 24＝1，该曲线为双曲线，则a ＝2，c ＝6，其离心率e ＝ca ＝3，B 正确；对于C ，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎨⎧6－k <0，k 2－2<0，不等式组无解，故不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 正确；对于D ，当k ＝3时，曲线C 的方程为x 27－y 23＝1，该曲线为双曲线，其渐近线方程为y ＝±217x ，则圆(x －4)2＋y 2＝9的圆心到渐近线的距离d ＝|±421|21＋49＝4310＝2305≠3，所以双曲线C 的渐近线与圆(x －4)2＋y 2＝9不相切，D 错误．故选BC.7．(多选)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论正确的是( )A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±33xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14答案 AC解析 对于双曲线C ：x 2－y 23＝1，a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a ＝2，渐近线方程为y ＝±3x ，A 正确，B 错误；设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 20－y 203＝1，双曲线C 的两条渐近线方程分别为x －33y ＝0和x ＋33y ＝0，则点P 到两条渐近线的距离之积为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－33y 01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋33y 01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20－y 20343＝34，C 正确；当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1|≥c －a ＝1，|PF 2|＝2a ＋|PF 1|＝|PF 1|＋2，|PF 1||PF 2|2＝|PF 1|(|PF 1|＋2)2＝|PF 1||PF 1|2＋4＋4|PF 1|＝1|PF 1|＋4|PF 1|＋4≤12|PF 1|·4|PF 1|＋4＝18，当且仅当|PF 1|＝2时，等号成立，所以|PF 1||PF 2|2的最大值为18，D 错误．故选AC.8．设F 1，F 2分别为双曲线x 216－y 220＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离为9，则点P 到焦点F 2的距离为________．答案 17解析 解法一：∵实轴长2a ＝8，半焦距c ＝6，∴||PF 1|－|PF 2||＝8.∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17.又|PF 2|的最小值为c －a ＝6－4＝2，∴|PF 2|＝17.解法二：若P 在右支上，则|PF 1|≥a ＋c ＝4＋6＝10>9，∴P 在左支上．∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，∴|PF 2|＝9＋8＝17.9．直线y ＝k (x ＋6)(k >0)与双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)及其渐近线从左至右依次交于点A ，B ，C ，D ，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为4，则△F 2CD 与△F 1AB 的面积之比为________．答案 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y2b2＝1，y ＝k (x ＋6)，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－k 2b 2x 2－12k 2xb 2－1－36k 2b 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝0，y ＝k (x ＋6)，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－k 2b 2x 2－12k 2x b 2－36k2b 2＝0，由以上两式可知，x A ＋x D ＝x B ＋x C ，故AD ，BC 具有相同的中点，故|AB |＝|CD |，又直线y ＝k (x ＋6)过定点G (－6,0)，如图，过F 1，F 2作直线y ＝k (x ＋6)的垂线，垂足分别为N ，M ，由焦距为4可得F 1(－2，0)，F 2(2,0)，则|GF 2|＝2|GF 1|.所以S △F 2CD S △F 1AB＝12|CD |·|MF 2|12|AB |·|NF 1|＝|GF 2||GF 1|＝2.二、高考小题10．(2022·北京高考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B ．x 23－y 2＝1C ．x 2－3y 23＝1D ．3x23－y 2＝1答案 A解析 ∵e ＝c a ＝2，∴c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝3a ，则双曲线的方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，将点(2，3)代入双曲线的方程可得2a 2－33a 2＝1a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝3，因此，双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选A.11．(2022·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( )A.72 B ．132 C.7 D ．13 答案 A解析 由|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，即(2c )2＝(3a )2＋a 2－2×3a ×a ×cos60°，得4c 2＝7a 2，所以C 的离心率e ＝c a ＝72.故选A.12．(2022·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C ，D 两点，若|CD |＝2|AB |.则双曲线的离心率为( )A.2 B ． 3 C.2 D ．3 答案 A解析 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)的公共焦点为(c,0)，则抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－c ，令x ＝－c ，则c 2a 2－y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a ，所以|AB |＝2b 2a ，又因为双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以|CD |＝2bc a ，所以2bc a ＝22b 2a ，即c ＝2b ，所以a 2＝c 2－b 2＝12c 2，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝ 2.故选A.13．(2022·浙江高考)已知a ，b ∈R ，ab >0，函数f (x )＝ax 2＋b (x ∈R )．若f (s －t )，f (s )，f (s ＋t )成等比数列，则平面上点(s ，t )的轨迹是()A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线 答案 C解析 因为函数f (x )＝ax 2＋b ，所以f (s －t )＝a (s －t )2＋b ，f (s )＝as 2＋b ，f (s ＋t )＝a (s ＋t )2＋b .因为f (s －t )，f (s )，f (s ＋t )成等比数列，所以[f (s )]2＝f (s －t )f (s ＋t )，即(as 2＋b )2＝[a (s －t )2＋b ]·[a (s ＋t )2＋b ]，化简得－2a 2s 2t 2＋a 2t 4＋2abt 2＝0，得t ＝0或2as 2－at 2＝2b ，即t ＝0或as 2b －at 22b ＝1，易知点(s ，t )的轨迹是直线和双曲线．故选C.14．(2022·天津高考)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 2＝1 答案 D解析 由题可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线l 的斜率为－b ，又双曲线的渐近线的方程为y ＝±b a x ，所以－b ＝－b a ，－b ×ba ＝－1.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝1，b ＝1.故选D.15．(2022·全国Ⅲ卷)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝( )A ．1B ．2 C.4 D ．8 答案 A解析 ∵ca ＝5，∴c ＝5a ，根据双曲线的定义可得||F 1P |－|F 2P ||＝2a ，∵S △PF 1F 2＝12|F 1P |·|F 2P |＝4，∴|F 1P |·|F 2P |＝8.∵F 1P ⊥F 2P ，∴|F 1P |2＋|F 2P |2＝(2c )2，∴(|F 1P |－|F 2P |)2＋2|F 1P |·|F 2P |＝4c 2，即(2a )2＋2×8＝4(5a )2，解得a ＝1.故选A.16．(2022·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8 C.16 D ．32 答案 B解析 ∵直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，双曲线的渐近线方程是y ＝±ba x ，不妨设D 在第一象限，E 在第四象限，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ax ，解得⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝b .故D (a ，b )．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，解得⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝－b .故E (a ，－b )．∴|ED |＝2b .∴△ODE 的面积为S △ODE ＝12a ×2b ＝ab ＝8.∵双曲线的焦距为2c ＝2a 2＋b 2≥22ab ＝216＝8，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，∴C 的焦距的最小值为8.故选B.17．(2022·全国Ⅱ卷)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A.2 B ． 3 C.2 D ． 5 答案 A解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故c a ＝2，即e ＝ 2.故选A.18．(2022·全国Ⅲ卷)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324 B ．322 C.22 D ．3 2 答案 A解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A.19．(2022·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C.23 D ．4 答案 B解析 因为双曲线的一条渐近线为y ＝33x ，所以tan ∠FON ＝33，所以∠FON ＝30°，∠MON ＝60°，又因为△OMN 是直角三角形，不妨取∠NMO ＝90°，则∠ONF ＝30°，于是|FN |＝|OF |＝2，|FM |＝12|OF |＝1，所以|MN |＝3.故选B.20．(2022·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A.5 B ．2 C.3 D ． 2 答案 C解析 由题可知|PF 2|＝b ，|OF 2|＝c ，∴|PO |＝a .在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2|＝bc ，∵在△PF 1F 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|＝b c ，∴b 2＋4c 2－(6a )22b ·2c ＝b c⇒c 2＝3a 2，∴e ＝ 3.故选C.21．(2022·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1C.x 23－y 29＝1 D ．x 29－y 23＝1 答案 C解析 解法一：∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴e 2＝1＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，即b 2＝3a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )，∵b 2a 2＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ，则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |2＝23－32a ，d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3，∴b 2＝9.∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选C.解法二：如图，设双曲线的右焦点为F (c,0)，一条渐近线为y ＝ba x ，则F 到该渐近线的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，又d 1＋d 2＝6，由梯形中位线可知2d ＝d 1＋d 2，即2b ＝6，b ＝3，∵双曲线离心率为2，∴e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，∴a 2＝3.∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选C.22．(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±3x解析 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x .23．(2022·全国乙卷)已知双曲线C ：x 2m －y 2＝1(m >0)的一条渐近线为3x ＋my ＝0，则C 的焦距为________．答案 4解析 双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)的渐近线为y ＝±1m x ，即x ±my ＝0，又双曲线的一条渐近线为3x ＋my ＝0，即x ＋m3y ＝0，对比两式可得m ＝3.设双曲线的实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则有a 2＝m ＝3，b 2＝1，所以双曲线的焦距2c ＝2a 2＋b 2＝4.24．(2022·北京高考)已知双曲线C ：x 26－y 23＝1，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是________．答案 (3,0)3解析 在双曲线C 中，a ＝6，b ＝3，则c ＝a 2＋b 2＝3，则双曲线C 的右焦点的坐标为(3,0)．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，即x ±2y ＝0，所以双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为31＋2＝ 3. 25．(2022·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．答案 2解析 解法一：由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点．又O 为F 1F 2的中点， ∴OA ∥BF 2. 又F 1B →·F 2B →＝0， ∴∠F 1BF 2＝90°. ∴|OF 2|＝|OB |， ∴∠OBF 2＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形． 如图1所示，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－32c .∵点B 在直线y ＝－b a x 上，∴ba ＝3，∴离心率e ＝ca ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2. 解法二：∵F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c .如图2，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝ba ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c,0)．又F 1A →＝AB →，∴A 为F 1B 的中点．∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝b c －a，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝2.三、模拟小题26．(2022·广东广州荔湾区高三上调研考试)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 23－y 2＝1的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为( )A ．±1B ．±2 C.±3 D ．±2 答案 C解析 由题设，渐近线为y ＝±33x ，不妨令P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，33x 0，而F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴F 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2，33x 0，F 2P →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－2，33x 0，又F 1P →·F 2P →＝x 20－4＋x 203＝0，∴x 0＝±3.故选C.27．(2022·湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF ⊥AF 时满足|AF |>2|BF |，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．1<e <2B ．1<e <32 C.32<e <2 D ．1<e <3＋32 答案 B解析 设双曲线半焦距为c ，因BF ⊥AF ，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2－y 2b 2＝1，得|BF |＝|y |＝b 2a ，而|AF |＝a ＋c ，于是得a ＋c >2·b 2a ，即a ＋c >2·c 2－a 2a ，整理得a >23c ，从而有e ＝c a <32，又e >1，所以双曲线离心率e 的取值范围是1<e <32.故选B.28．(2022·湖北黄石高三上调研)P 为双曲线x 2－y 2＝1左支上任意一点，EF 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE →·PF→的最小值为() A ．3 B ．4 C.5 D ．9 答案 C解析 如图，圆C 的圆心C 为(2,0)，半径r ＝2，PE →·PF →＝(PC →＋CE →)·(PC →＋CF →)＝(PC →＋CE →)·(PC →－CE →)＝|PC →|2－|CE →|2＝|PC →|2－4，则当点P 位于双曲线左支的顶点时，|PC →|2－4最小，即PE →·PF →最小．此时PE →·PF→的最小值为(1＋2)2－4＝5.故选C.29．(2022·重庆实验外国语学校高三上入学考试)如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且|QF |＝2|FR |，则E 的离心率为( )A.174 B ．173 C.214 D ．213 答案 B解析 如图，令双曲线E 的左焦点为F ′，连接PF ′，QF ′，RF ′，由对称性可知，点O 是线段PQ 的中点，则四边形PFQF ′是平行四边形，而QF ⊥FR ，于是有▱PFQF ′是矩形，设|FR |＝m ，则|PF ′|＝|FQ |＝2m ，|PF |＝2m －2a ，|RF ′|＝m ＋2a ，|PR |＝3m －2a ，在Rt △F ′PR 中，(2m )2＋(3m －2a )2＝(m ＋2a )2，解得m ＝4a 3或m ＝0(舍去)，从而有|PF ′|＝8a 3，|PF |＝2a 3，Rt △F ′PF 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＝4c 2，整理得c 2a 2＝179，e ＝c a ＝173，所以双曲线E 的离心率为173.故选B.30．(2022·河北沧州第一中学等十五校高三上摸底考试)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 23－y 2＝1的两个焦点，点M 在直线x －y ＋3＝0上，则|MF 1|＋|MF 2|的最小值为( )A ．213B ．6 C.26 D ．5 答案 C解析 由双曲线C ：x 23－y 2＝1可得a 2＝3，b 2＝1，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，可得c ＝2，所以F 1(－2，0)，F 2(2,0)，设点F 2(2,0)关于x －y ＋3＝0对称的点为P (m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋22－n 2＋3＝0，n m －2＝－1，可得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝5，所以P (－3，5)，所以|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |≥|PF 1|，当且仅当P ，M ，F 1三点共线时等号成立，|PF 1|＝[－3－(－2)]2＋(5－0)2＝26，所以|MF 1|＋|MF 2|的最小值为26，故选C.31．(多选)(2022·辽宁朝阳建平县高三上学期第一次联考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在圆O ：x 2＋y 2＝13上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M ，N ，点E (0，a )满足EO→＋EM →＋EN →＝0(其中O 为坐标原点)，则() A ．双曲线C 的一条渐近线方程为3x －2y ＝0 B ．双曲线C 的离心率为132 C ．|OE→|＝1 D ．△OMN 的面积为6 答案 ABD解析 如图，设双曲线C 的焦距为2c ＝213，MN 与y 轴交于点P ，由题可知|OM |＝c ＝13，则P (0，b )，由EO→＋EM →＋EN →＝0得点E 为△OMN 的重心，可得|OE |＝23|OP |，即a ＝23b ，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝94，a ＝2，b ＝3，e 2－1＝94，解得e ＝132.双曲线C 的渐近线方程为3x ±2y ＝0，|OE →|＝2，M 的坐标为(2,3)，S△OMN ＝6.故选ABD.32．(多选)(2022·湖北襄阳五中高三开学考试)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y ＝3x ，且F 1到l 的距离为33，点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为(2,0)，PQ 为∠F 1PF 2的平分线．则下列结论正确的是( )A ．双曲线的方程为x 29－y 227＝1 B.|PF 1||PF 2|＝2C ．|PF 1→＋PF 2→|＝36 D ．点P 到x 轴的距离为3152 答案 ABD解析 ∵F 1(－c,0)到y ＝3x 距离为33，∴3c2＝33，解得c ＝6，又渐近线方程为y ＝3x ，则b a ＝3，结合a 2＋b 2＝c 2可解得a ＝3，b ＝33，则双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故A 正确；∵PQ 为∠F 1PF 2的平分线，∴S △F 1PQ S △F 2PQ ＝12×|PF 1|×|PQ |×sin ∠F 1PQ12×|PF 2|×|PQ |×sin ∠F 2PQ ＝|PF 1||PF 2|，又S △F 1PQ S △F 2PQ ＝|QF 1||QF 2|＝84＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2，故B 正确；由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝6，则可得|PF 1|＝12，|PF 2|＝6，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝122＋62－1222×12×6＝14，则|PF 1→＋PF 2→|2＝PF 1→2＋2PF 1→·PF 2→＋PF 2→2＝122＋2×12×6×14＋62＝216，则|PF 1→＋PF 2→|＝66，故C 错误；在△PF 1F 2中，sin ∠F 1PF 2＝1－cos 2∠F 1PF 2＝154，设点P 到x 轴的距离为d ，则S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×d ＝12|PF 1|×|PF 2|×sin ∠F 1PF 2，即12×12×d ＝12×12×6×154，解得d ＝3152，故D 正确．故选ABD.33．(2022·湖南娄底双峰县第一中学高三上学期入学摸底)双曲线x 2－my 2＝m (m >0)的一条渐近线与y ＝2x 垂直，右焦点为F ，则以原点为圆心，|OF |为半径的圆的面积为________．答案 5π解析 由x 2－my 2＝m (m >0)可得x 2m －y 2＝1，所以a ＝m ，b ＝1，所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±1m x ，因为双曲线x 2－my 2＝m (m >0)的一条渐近线与y ＝2x 垂直，所以－1m ×2＝－1，可得m ＝4，所以c ＝a 2＋b 2＝m ＋1＝5，所以右焦点为F (5，0)，所以|OF |＝5，以|OF |为半径的圆的面积为π×(5)2＝5π.34．(2022·上饶模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积为________．答案 4解析 由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，∴|AB |＝|BF 1|，∴△F 1AB 为等腰三角形， ∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°， ∴△F 1AB 为等腰直角三角形．∴|AB |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2.∴S △F 1AB ＝12|AB |·|BF 1|＝12×22×22＝4.一、高考大题1．(2022·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．解 (1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2<|F 1F 2|＝217，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16，所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1)．(2)设T ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，t ，由题意可知直线AB ，PQ 的斜率均存在且不为0，设直线AB 的方程为y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x 2－y 216＝1，得(16－k 21)x 2－2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－16＝0. 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，易知16－k 21≠0，则x A x B ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21，x A ＋x B ＝2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21， 所以|TA |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x A －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12， |TB |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x B －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12， 则|TA |·|TB |＝(1＋k 21)⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12 ＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x A x B －12(x A ＋x B )＋14 ＝(1＋k 21)－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21－12·2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21＋14＝(1＋k 21)(t 2＋12)k 21－16. 同理得|TP |·|TQ |＝(1＋k 22)(t 2＋12)k 22－16. 因为|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，所以(1＋k 21)(t 2＋12)k 21－16＝(1＋k 22)(t 2＋12)k 22－16， 所以k 22－16＋k 21k 22－16k 21＝k 21－16＋k 21k 22－16k 22，即k 21＝k 22，又k 1≠k 2，所以k 1＝－k 2，即k 1＋k 2＝0. 二、模拟大题2．(2022·湖南岳阳第一次模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为52，点P (4，3)在C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)设过点(1,0)的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM →·QN→为常数？若存在，求出点Q 的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由． 解(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－3b 2＝1，c a ＝52，a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝1.∴双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，设定点Q (t,0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x24－y 2＝1，x ＝my ＋1，得(m 2－4)y 2＋2my －3＝0.∴m 2－4≠0，且Δ＝4m 2＋12(m 2－4)＞0，解得m 2＞3且m 2≠4.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝－2m m 2－4，y 1y 2＝－3m 2－4，∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝－2m 2m 2－4＋2＝－8m 2－4，x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－3m 2m 2－4－2m 2m 2－4＋1＝－4m 2＋4m 2－4＝－4－20m 2－4.∴QM →·QN →＝(x 1－t ，y 1)·(x 2－t ，y 2)＝(x 1－t )(x 2－t )＋y 1y 2＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y 2＝－4－20m 2－4＋t ·8m 2－4－3m 2－4＋t 2＝－4＋t 2＋8t －23m 2－4为常数，与m 无关，∴8t －23＝0，即t ＝238，此时QM →·QN→＝27364.∴在x 轴上存在定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫238，0，使得QM →·QN →为常数27364.3．(2022·广东珠海高三摸底)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，且经过点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，12.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点A 是C 上一定点，过点B (0,1)的动直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，若k AP ＋k AQ 为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值．解 (1)由题意a 2＋b 2＝c 2＝2.且54a 2－14b 2＝1.联立解得a ＝b ＝1，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 2＝1. (2)设A (m ，n )，过点B 的动直线为：y ＝tx ＋1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，y ＝tx ＋1得(1－t 2)x 2－2tx －2＝0，由1－t 2≠0且Δ>0，解得t 2<2且t 2≠1，所以x 1＋x 2＝2t1－t 2，x 1x 2＝－21－t 2，k AP ＋k AQ ＝λ，即y 1－n x 1－m ＋y 2－n x 2－m ＝λ，即tx 1＋1－n x 1－m ＋tx 2＋1－nx 2－m ＝λ，化简得(2t －λ)x 1x 2＋(－mt ＋1－n ＋λm )(x 1＋x 2)－2m ＋2mn －λm 2＝0， 所以(2t －λ)－21－t 2＋(－mt ＋1－n ＋λm )2t 1－t 2－2m ＋2mn －λm 2＝0， 化简得m (λm －2n )t 2＋2(λm －n －1)t ＋2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0， 由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m (λm －2n )＝0，λm －n －1＝0，2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0如果m ＝0，那么n ＝－1，此时A (0，－1)不在双曲线C 上，舍去． 因此m ≠0，从而λm ＝2n ＝n ＋1，所以n ＝1，代入2λ－2m ＋2mn －λm 2＝0， 得2λ＝λm 2，解得m ＝±2，此时A (±2，1)在双曲线C 上． 综上，A (2，1)，λ＝2或A (－2，1)，λ＝－ 2.4. (2022·广东普通高中高三阶段性质量检测)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等轴双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与E 交于B ，C 两点，若△ABC 的面积为2＋1.(1)求双曲线E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx －1与双曲线E 的左、右两支分别交于M ，N 两点，与双曲E 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，求|MN ||PQ |的取值范围．解 (1)因为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)为等轴双曲线，可得a ＝b . 设双曲线的焦距为2c ，c >0， 故c 2＝a 2＋b 2＝2a 2，即c ＝2a . 因为BC 过右焦点F ，且垂直于x 轴，将x B ＝c ＝2a 代入双曲线的方程可得|y B |＝a ，故|BC |＝2a . 又△ABC 的面积为1＋2，即12|BC |·|AF |＝12×2a ×(a ＋c )＝1＋2， 解得a ＝1.故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.(2)由题意可得直线l ：y ＝kx －1与双曲线的左右两支分别交于M ，N 两点， 联立⎩⎨⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，可得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以1－k 2≠0，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)(－2)>0，x M x N ＜0，可得－1<k <1， 且x M ＋x N ＝－2k1－k 2，x M x N＝－21－k 2， 所以|MN |＝(x M －x N )2＋(y M －y N )2 ＝1＋k 2|x M －x N |＝1＋k 2·(x M ＋x N )2－4x M x N ＝21＋k 2·2－k 21－k 2，联立⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝kx －1，可得x P ＝1k －1，同理可得x Q ＝1k ＋1， 所以|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |＝1＋k 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k －1－1k ＋1＝21＋k 21－k 2，所以|MN ||PQ |＝21＋k 2·2－k 221＋k2＝2－k 2， 其中－1<k <1，所以|MN ||PQ |∈(1，2]．。
2021年北京市高考数学专题复习：椭圆
1．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=√3
2，已知点P(0，3
2
)到椭圆的最远
距离是√7，求椭圆的标准方程．
2．设b＞0，椭圆方程为x2
2b2+
y2
b2
=1，抛物线方程为x2＝8（y﹣b）．如图所示，过点F（0，
b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
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第42讲双曲线一、考情分析1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；2、知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).二、知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2[微点提醒]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a . 2.离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.三、 经典例题考点一 双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45(2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________.解析 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案 (1)C (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系. 考点二 双曲线的标准方程【例2】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1解析 (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 答案 (1)B (2)C规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0). 考点三 双曲线的性质 角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x解析 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x . 法二 由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ＝±2x . 答案 A角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D. 2(2)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋ 34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞C.(1，2)D.(2，＋∞)解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233. 答案 (1)C (2)A角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. 答案 A规律方法 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决. [方法技巧]1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0).2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程.3.双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.4.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1， ＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.5.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y＝±a b x .四、 课时作业1．（2020·四川省仁寿第二中学月考（理））若双曲线22:13x y C m-=C 的虚轴长为（ ）A ．4B ．C ．D ．2【答案】C【解析】因为双曲线22:13x y C m -==，解得6m =，所以虚轴长为2．（2020·江苏省镇江中学开学考试）双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（ ）A ．4 B．C ．8D．【答案】C【解析】由题意可得，c 2＝a 2+b 2＝m 2+12+4﹣m 2＝16 ∴c ＝4 焦距2c ＝83．（2020·沙坪坝·重庆一中高三其他（文））若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为120︒，则该双曲线离心率为（ ） AB ．2CD【答案】B【解析】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，又其中一条渐近线的倾斜角为120︒，所以120tan ba -︒==b a=所以该双曲线离心率为2c e a ====. 4．（2020·安徽省太和中学开学考试（文））双曲线2244x y -=的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ．12y x =±D．y =【答案】C【解析】根据题意可得2,1a b ==， 所以双曲线的渐近线方程为12y x =±． 5．（2020·利辛县阚疃金石中学月考）双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4 B ．－4C ．－14D ．14【答案】C【解析】依题意，双曲线的标准方程为2211x y m-=-，即2211,a b m ==-，由于虚轴长是实轴长的2倍，所以2b a =，即224b a =，也即114,4m m -==-.故选C. 6．（2020·浙江其他）双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．95C ．125D ．3【答案】C【解析】因为双曲线221916x y -=的左顶点为(3,0)-，渐近线方程为220,430916x y x y -=±=所以双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为|4(3)30|1255⨯-±⨯= 7．（2020·四川省武胜烈面中学校高三月考（理））已知离心率为2的双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为（ ） A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=【答案】C【解析】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点由椭圆22184x y +=可得284=4c =-2c ∴=双曲线离心率2ce a==， 2221413a b c a ∴==-=-=，∴双曲线的方程为：2213y x -=8．（2020·江西九江一中期末（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，过E 的右焦点F 作其渐近线的垂线，垂足为P ，若OPF △的面积为4ac ，则E 的离心率为（ ）A ．3B ．23C ．2D ．2【答案】C【解析】双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线方程为：b y x a =±过E 的右焦点F 作其渐近线的垂线，垂足为P ，则22bc PF b a b==+所以在RT OFP 中，,,2OPF FP b OF c π∠===，所以OP a =则132OPFacSab ==，即23b c = 所以2243b c =，即()22243c a c-=，所以224a c =，故2ce a== 故选：C9．（2019·福建省泰宁第一中学月考）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>5，则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C【解析】由题知，5c a =，即54=22c a=222a b a+， ∴22b a =14，∴b a =12，∴C 的渐近线方程为12y x =±. 10．（2020·正定县弘文中学月考）双曲线221102x y -=的焦距为（ ）A ．32B ．42C ．33D ．43【答案】D【解析】由双曲线221102x y -=方程得2222210,2,10212,23,243a b c a b c c ==∴=+=+==∴=即焦距为43，答案为D11．（2018·福建省泰宁第一中学月考（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为（）A ．22126x y -=B ．22162x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=【答案】C【解析】由题意知2c =①，双曲线22221x y a b-=的渐近线方程得b y x a =，又因为一条渐近线方程是3y x =，所以3ba=222c a b =+③， 由①②③解得：1a =，3b =所以双曲线的方程为： 2213y x -=，故选：C12．（2018·福建省泰宁第一中学月考（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:410C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．22122x y -=D ．2215x y -=【答案】B 【解析】()222210,0x y a b a b-=>>， ∴其渐近线方程为0bx ay ±=，圆22:410C x y x +-+=的圆心为()2,0，半径为3r =又渐近线均和圆22:410C x y x +-+=相切，=，即223b a =圆C 的圆心是双曲线的右焦点，2c ∴=再由双曲线222c a b =+，则22244a b a =+=，所以21a =，23b =∴所求的双曲线的方程为2213y x -=.13．（2020·四川省内江市第六中学其他（文））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点()F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长AB =（ ） A．B．C ．10D．【答案】C【解析】∵双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，∴ba=b =，∵左焦点()F，∴c =∴222233=+==c a b a ，∴21a =，22b =，∴双曲线方程为2212y x -=，直线l的方程为(2=y x ，设()11,A x y ，()22,B x y由(22212y x y x ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，消y可得270++=x，∴12+=-x x 127=x x ，∴10====AB ．14．（2020·安徽高三月考（文）的双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个顶点为P ，直线//l x 轴，l 交双曲线C 于A ，B 两点，则APB ∠取值范围是（ ）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2π C ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为e ==a b =， 设()00,A x y ，()00,B x y -，则22200x y a -=.不妨设(),0P a ，()00,PA x a y =-，()00,PB x a y =--，222000PA PB x a y ⋅=-++=，所以PA PB ⊥，15．（2020·安徽宣城·高二期末（文））已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223F PF π∠=，若22e =，则1e 的值是（ ） ABCD【答案】D【解析】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 不妨设P 为第一象限内的点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 则221212PF PF a a =-，由余弦定理得：2222212121212242cos3c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++， ()22222211212443c a a aaa∴=--=+，2212314e e ∴+=，又22e =，2145e ∴=，15e ∴=. 16．（2020·梅河口市第五中学其他（文））已知双曲线的一条渐近线方程为y =，且双曲线经过点()2,3，若1F ，2F 为其左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若点()6,8A ，则当2PA PF +|取最小值时，点P 的坐标为（ ）A．1,322⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭B．122⎛++ ⎝⎭C．32321,3⎛⎫++⎪⎪⎝⎭D．221,3⎛⎫++⎪⎪⎝⎭【答案】C【解析】由条件可知2233bb aa=⇔=，即224913a a-=，解得：21a=，23b=，2213yx∴-=，()12,0F-，()22,0F2111222PA PF PA PF a PA PF AF+=+-=+-≥-，当1,,P F A三点共线时取等号，()()221628082AF=++-=此时直线1AF的斜率()80162k-==--，直线1AF的方程为2y x=+，联立22213y xyxx=+⎧⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，解得：3122x=，3322y=+，即点P的坐标为3312,3222⎛⎝.17．（多选题）（2020·江苏南京·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线221412x y-=，则（）A．实轴长为2 B．渐近线方程为3y x=±C．离心率为2 D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3【答案】BC【解析】由双曲线方程221412x y -=，得2a =，b =4c ==，所以实轴长24a =，故选项A 错误；渐近线方程为by x a=±=，故选项B 正确； 离心率2ce a==，故选项C 正确； 准线方程21a x c =±=±，取其中一条准线1x =，y =与1x =的交点(A ，点A到直线y =的距离d ==D 错误.18．（多选题）（2020·江苏省镇江中学开学考试）已知双曲线C 过点(且渐近线为y x =，则下列结论正确的是（ ）A ．C 的方程为2213x y -=B ．C C ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点D ．直线10x -=与C 有两个公共点【答案】AC【解析】对于选项A ：由已知3y x =±，可得2213y x =，从而设所求双曲线方程为2213x y λ-=，又由双曲线C 过点(，从而22133λ⨯-=，即1λ=，从而选项A 正确；对于选项B ：由双曲线方程可知a =1b =，2c=，从而离心率为3c e a ===，所以B 选项错误；对于选项C ：双曲线的右焦点坐标为()2,0，满足21x y e-=-，从而选项C 正确；对于选项D：联立221013x x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，整理，得220y +=，由2420∆=-⨯=，知直线与双曲线C 只有一个交点，选项D 错误.19．（多选题）（2020·江苏省镇江中学开学考试）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；20．（多选题）（2020·全国开学考试）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:13O x y +=上，圆22:13O x y +=与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M 、N ，点(0, )E a 满足0EO EM EN ++=（其中O 为坐标原点），则（ ） A ．双曲线C 的一条渐近线方程为320x y -= B ．双曲线C 的离心率为13C ．||1OE =D ．OMN 的面积为6【答案】ABD【解析】如图：设双曲线C 的焦距为2213c =，MN 与y 轴交于点P ，由题可知||13OM c ==，则(0, )P b ，由0EO EM EN ++=得点E 为三角形OMN 的重心，可得2||||3OE OP =，即23a b =，2222294b c a a a -==，2a =，3b =，2914e -=，解得13e =. 双曲线C 的渐近线方程为320x y ±=，||2OE =，M 的坐标为(2,3)，6OMN S =△， 故选：ABD.21．（2020·全国课时练习）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一个焦点在直线:33120l x y ++=上，且其一条渐近线与直线l 平行，求该双曲线的方程.【解析】依题意得，双曲线的焦点在y 轴上，又直线l 与y 轴的交点为(0,4)-，所以双曲线的一个焦点坐标为(0,4)-，即224c a b =+=.又因为直线l的斜率为a b =，解得224,12a b ==， 故双曲线的方程为221412y x -=.22．（2019·上海黄浦·高二期末）已知双曲线22116x y n -=的焦点在x 轴上，焦距为10. （1）求n 的值；（2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程. 【解析】（1）焦距为10 5c ∴= 21625169n c ∴=-=-=（2）由（1）知，双曲线方程为：221916x y -=，即3a =，4b =∴双曲线顶点坐标为()3,0±，渐近线方程为：43b y x x a =±=± 23．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线2222C:1x y a b-= (a>0,b>0)(1)求双曲线C 的渐近线方程.(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点在圆225x y +=上,求m 的值. 【解析】解：（Ⅰ）由题意，得ce a==，223c a ∴= ∴22222b c a a =-=，即222b a=∴所求双曲线C 的渐进线方程by x a=±= （Ⅱ） 由（1）得当1a =时, 双曲线C 的方程为2212y x -=.设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由22120y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩得22220x mx m ---=（判别式0∆>）, ∴12000,22x x x m y x m m +===+=,∵点()00,M x y 在圆225x y +=上,∴()2225m m +=，∴1m =±.24．（2020·上海高三专题练习）设圆C 与两圆(224x y ++=，(224x y +=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点,55M ⎛⎫⎪⎝⎭，)F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标．【解析】（1）设圆C 的圆心坐标为(),x y ，())12,F F ，由题意，2122CF CF +=-或1222CF CF +=-，所以2112||||422CF CF a F F c -==<==‖所以圆心C 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上, 且实轴为4，焦距为2222,1a c b c a ===-=，故C 的圆心轨迹L 的方程为2214x y -=.（2）过点,M F 的直线l 方程为2(y x =-，代入2214x y -=，解得12x x ==.故直线l 与L 的交点为12,551515T T ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.因为1T 在线段MF 外，2T 在线段MF 上，故11||||2MT FT MF -==，22||||||2MT FT MF -<=‖.若点P 不在MF 上，则||||2MP FP MF -<=‖‖， 若点P 在1T 处，则||=2MP FP -‖‖； 综上所述，||MP FP -‖‖只在点1T 处取到最大值2，此时点P 的坐标为⎝⎭. 25．（2020·全国高二单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C x y -=．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积； （2）设斜率为1的直线1C 交于P 、Q 两点．若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥；【解析】（1）双曲线221:112x C y -=，左顶点(A，渐近线方程：y =．过点A与渐近线y =平行的直线方程为2y x =+，即1y =+．解方程组1y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得412x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以所求三角形的面积为1||28S OA y ==‖． （2）设直线PQ 的方程是y x b =+，因直线PQ 与已知圆相切，1=，即22b =． 由2221y x bx y =+⎧⎨-=⎩得22210x bx b ---=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1221221x x bx x b +=⎧⎨=--⎩又1212()()y y x b x b =++，所以12121212(())OP OQ x x y y x x x b x b ⋅=+=+++()212122x x b x x b =+++22222(122)0b b b b =--++=-=．故OP OQ ⊥．。
专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。
第五讲椭圆ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：(1)若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2)若a＝c，则集合P为__线段F1F2__；(3)若a＜c，则集合P为__空集__．知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为__2a__；短轴B1B2的长为__2b__焦距|F1F2|＝__2c__离心率e＝ca∈(0,1)a、b、c__c2＝a2－b2__重要结论1．a ＋c 与a －c 分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值． 2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b 2a ，称为通径．3．若过焦点F 1的弦为AB ，则△ABF 2的周长为4a ． 4．e ＝1－b 2a2． 5．椭圆的焦点在x 轴上⇔标准方程中x 2项的分母较大，椭圆的焦点在y 轴上⇔标准方程中y 2项的分母较大．6．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则(1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|； (2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论正确的是( CD )A ．平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆B ．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆C ．方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆D ．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同题组二 走进教材2．(必修2P 42T4)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( C )A ．4B ．8C ．4或8D ．12[解析] 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4．当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8． ∴m ＝4或8．3．(必修2P 68A 组T3)过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( A )A ．x 215＋y 210＝1B ．x 225＋y 220＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 220＋y 215＝1题组三 考题再现4．(2019·湖南郴州二模)已知椭圆E 的中心为原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，则椭圆E 的方程为 x 28＋y 24＝1 ．[解析] ∵椭圆上一点到焦点的最小距离为a －c ， ∴a －c ＝22－2，∵离心率e ＝22， ∴c a ＝22， 解得a ＝22，c ＝2，则b 2＝a 2－c 2＝4， ∴椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1．5．(2018·课标全国Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( D )A ．1－32B ．2－ 3C ．3－12D ．3－1[解析] 设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝3x ，|F 1F 2|＝2x ，故2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(1＋3)x,2c ＝|F 1F 2|＝2x ，于是离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝2x(1＋3)x＝3－1．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 椭圆的定义及应用——自主练透例1 (1)(2019·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，那么动点M 的轨迹是( B )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线(2)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点．则|P A |＋|PF |的最大值和最小值分别为 6＋2，6－2 ．(3)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°.若△PF 1F 2的面积为33，则b ＝__3__．[解析] (1)如图所示，由题知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，设椭圆方程：x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a >b >0)．连接MO ，由三角形的中位线可得：|F 1M |＋|MO |＝a (a >|F 1O |)，则M 的轨迹为以F 1、O 为焦点的椭圆．(2)如下图所示，设椭圆右焦点为F 1，则|PF |＋|PF 1|＝6．∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6． 由椭圆方程x 29＋y 25＝1知c ＝9－5＝2，∴F 1(2,0)，∴|AF 1|＝2．利用－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P 、A 、F 1共线时等号成立)． ∴|P A |＋|PF |≤6＋2，|P A |＋|PF |≥6－2． 故|P A |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－2． (3)|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2， 即(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，又因为S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33，所以b ＝3.故填3． 名师点拨 ☞(1)椭圆定义的应用范围：①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． ②解决与焦点有关的距离问题． (2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1||PF 2|；通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕(1)(2019·大庆模拟)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为__8__．(2)(2020·河北衡水调研)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为__－5__．[解析] (1)直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)．而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8．(2)由题意可知F 2(3,0)，由椭圆定义可知|PF 1|＝2a －|PF 2|.∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号，又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a ＝10，∴|PM |－|PF 2|≥5－10＝－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5．考点二 求椭圆的标准方程——师生共研例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)两点；(4)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率，且经过点(2，－3)．[解析] (1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．。
(3,4)∪(4,5)[由已知得⎩⎨⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k≠k－3.解得3＜k ＜5且k ≠4.]4．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)、离心率为12、则椭圆的标准方程为 ．x24＋y23＝1 [设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)．因为椭圆的一个焦点为F (1,0)、离心率e ＝12、所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，a2＝b2＋c2，解得⎩⎨⎧a ＝2c ＝2，b2＝3，故椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.]第1课时 椭圆及其性质考点1 椭圆的定义及应用已知F 1、F 2是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点、P 为椭圆C 上的一点、且PF 1⊥PF 2、若△PF 1F 2的面积为9、则b ＝ .3 [设|PF 1|＝r 1、|PF 2|＝r 2、 则⎩⎨⎧r1＋r2＝2a ，r21＋r22＝4c2，所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 2)＝4a 2－4c 2＝4b 2、所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9、所以b ＝3.]考点2 椭圆的标准方程定义法又∵|AF 1|＝3|F 1B |、∴由AF1→＝3F1B →得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，－b23、 代入x 2＋y2b2＝1 得25c29＋b49b2＝1. 又c 2＝1－b 2、 ∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.](1)已知椭圆上两点、常设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0、n ＞0、m ≠n )；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为2b2a .考点3 椭圆的几何性质。
课时规范练42 椭圆及几何性质基础巩固组1.已知焦点坐标为(0，-4)，(0，4)，且过点(0，-6)的椭圆方程为()A.x236+y220=1 B.x220+y236=1C.x236+y216=1 D.x216+y236=12.(2020广东深圳外国语学校高三考试)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√53，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12，则椭圆的短轴长为()A.8B.6C.5D.43.(2020湖南长沙一中高三段考)已知P是椭圆上一点，F是椭圆的一个焦点，则以线段PF为直径的圆和以椭圆长轴为直径的圆的位置关系是()A.相离B.内切C.内含D.相交4.已知F1，F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，BF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥14F1F2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，则椭圆的离心率的取值范围为()A.0，12B.0，√22C.0，√33D.(12,1)5.(多选)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子中正确的是()A.a1+c1=a2+c2B.a1-c1=a2-c2C.c1a2>a1c2D.c1a1<c2a26.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，点F关于直线y=bx的对称点Q在椭圆C上，则离心率e=，S△FOQ=.7.(2019全国3，理15)设F1，F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为.综合提升组8.(2019全国1，理10)已知椭圆C的焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为()A.x22+y2=1 B.x23+y22=1C.x24+y23=1 D.x25+y24=19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是()A.(√3-12,1) B.(√3-12,12)C.(12,1) D.(0,12)10.(2020福建福州模拟)已知F1，F2为椭圆x24+y2=1的左、右焦点，P为椭圆上异于顶点的任意一点，K为△F1PF2内切圆的圆心，过点F1作F1M⊥PK于点M，O为坐标原点，则|OM|的取值范围为.创新应用组11.(2020江西八校联考)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1，F2为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边形F1B1F2B2的面积为2，P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆(记为圆P)总经过坐标原点O.(1)求椭圆E的长轴A1A2的长的最小值，并确定此时椭圆E的方程.(2)对于(1)中确定的椭圆E，若给定圆F1:(x+1)2+y2=3，则圆P和圆F1的公共弦MN的长是否为定值?若是，求|MN|的值;若不是，请说明理由.参考答案课时规范练42 椭圆及几何性质1.B 由题意，椭圆焦点坐标为(0，-4)，(0，4)，可得椭圆的焦点在y 轴，且c=4，又由过点(0，-6)，则a=6，所以b 2=a 2-c 2=62-42=20，所以椭圆的标准方程为x 220+y 236=1.故选B . 2.A 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率e=ca=√53，椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，即2a=12，则a=6，c=2√5，所以b=√a 2-c 2=√36-20=4，则椭圆短轴长为2b=8.故选A . 3.B 不妨设椭圆的方程为x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)，F ，F'分别是椭圆的左右焦点，作出以线段PF 为直径的圆和以长轴为直径的圆x 2+y 2=a 2，如图所示.设PF 中点为M ，连接PF'，∴OM 是△PFF'的中位线，∴|OM|=12|PF'|，即两圆的圆心距为12|PF'|，根据椭圆定义，可得|PF|+|PF'|=2a ，∴圆心距|OM|=12|PF'|=12(2a-|PF|)=a-12|PF|，即两圆的圆心距等于它们半径之差，∴以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系是内切.故选B . 4.C 由椭圆定义可知|BF 1|=|BF 2|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ，则sin ∠OBF 1=ca =e ，所以cos ∠F 1BF 2=1-2sin 2∠OBF 1=1-2e 2，因为BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥14F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，即(1-2e 2)a 2≥c 2，(1-2e 2)≥e 2， 即e 2≤13.所以0<e ≤√33.故选C .5.BC 由题图可知a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1+c 1>a 2+c 2，∴A 不正确;∵a 1-c 1=|PF|，a 2-c 2=|PF|， ∴a 1-c 1=a 2-c 2，B 正确;由a 1+c 2=a 2+c 1，可得(a 1+c 2)2=(a 2+c 1)2，a 12−c 12+2a 1c 2=a 22−c 22+2a 2c 1， 即b 12+2a 1c 2=b 22+2a 2c 1，∵b 1>b 2，∴a 2c 1>a 1c 2，C 正确; 可得c 1a 1>c 2a 2，D 不正确.故选BC .6.√22 12 设点Q (x ，y )，则由点Q 与椭圆的右焦点F (1，0)关于直线y=bx 对称得{yx -1=-1b ,y 2=b ·x+12,解得{x =1-b 21+b 2,y =2b 1+b 2,代入椭圆C 的方程得(1-b 2)2a 2(1+b 2)2+4b 2b 2(1+b 2)2=1，结合a 2=b 2+1解得{a =√2,b =1,则椭圆的离心率e=ca =√22，S △FOQ =12|OF|·|2b 1+b 2|=12×1×21+12=12.7.(3，√15) ∵a 2=36，b 2=20，∴c 2=a 2-b 2=16，∴c=4. 由题意得，|MF 1|=|F 1F 2|=2c=8. ∵|MF 1|+|MF 2|=2a=12， ∴|MF 2|=4.设点M 的坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则S △MF 1F 2=12×|F 1F 2|×y 0=4y 0.又S △MF 1F 2=12×4×√82-22=4√15，∴4y 0=4√15，解得y 0=√15.又点M 在椭圆C 上， ∴x 0236+(√15)220=1，解得x 0=3或x 0=-3(舍去). ∴点M 的坐标为(3，√15). 8.B 如图，由已知可设|F 2B|=n ，|BF 1|=m.由|AB|=|BF 1|，则|AF 2|=m-n ，|AB|=m.又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|，故|AF 1|=2n. 由椭圆的定义及|AF 2|=2|F 2B|，得{m -n =2n ,m +n =2a ,解得{m =3a2,n =a 2.∴|AF 1|=a ，|AF 2|=a.∴点A 为(0，-b ).∴k AF 2=b1=b.过点B 作x 轴的垂线，垂足为点P. 由题意可知△OAF 2∽△PBF 2. 又|AF 2|=2|F 2B|，∴|OF 2|=2|F 2P|. ∴|F 2P|=12. 又k AF 2=|BP ||F 2P |=|BP |12=b ，∴|BP|=12b.∴点B (32,12b).把点B 坐标代入椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1中，得a 2=3.又c=1，故b 2=2. 所以椭圆方程为x 23+y 22=1.9.B 由题意可得，|PF 2|2=|F 1F 2|2+|PF 1|2-2|F 1F 2|·|PF 1|cos ∠PF 1F 2=4c 2+4c 2-2·2c·2c·cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|=2√2c ·√1F 2所以a=|PF 1|+|PF 2|2=c+√2c ·√1-cos∠PF 1F 2，又60°<∠PF 1F 2<120°，所以-12<cos ∠PF 1F 2<12，所以2c<a<(√3+1)c ，则√3+1<ca <12，即√3-12<e<12. 10.(0，√3) 如图，延长PF 2，F 1M 相交于点N ，∵K 是△F 1PF 2内切圆的圆心， ∴PK 平分∠F 1PF 2， ∵F 1M ⊥PK ，∴|PN|=|PF 1|，M 为F 1N 中点， ∵O 为F 1F 2中点，M 为F 1N 中点，∴|OM|=12|F 2N|=12||PN|-|PF 2||=12||PF 1|-|PF 2||<12|F 1F 2|=c=√3，∴|OM|的取值范围为(0，√3). 11.解(1)依题意四边形F 1B 1F 2B 2的面积为2bc ，所以2bc=2.因为|A 1A 2|=2a=2√b 2+c 2≥2√2bc =2√2，当且仅当b=c=1时，等号成立，此时a=√2， 所以长轴A 1A 2的长的最小值为2√2，此时椭圆E 的方程为x 22+y 2=1.(2)是定值.设点P (x 0，y 0)，则x 022+y 02=1，所以y 02=1-x 022. 圆P 的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=x 02+y 02，即x 2+y 2-2x 0x-2y 0y=0，① 圆F 1的方程为(x+1)2+y 2=3，即x 2+y 2+2x-2=0， ②①-②得公共弦MN 所在直线的方程为(x 0+1)x+y 0y-1=0，所以点F 1到公共弦MN 所在直线的距离d=0√(x 0+1)+y 0=0√(x 0+1)+1-12x 0=0√12x 0+2x 0+2=√2，则|MN|=2√3-d 2=2，所以圆P 和圆F 1的公共弦MN 的长为定值2.。
